人教版数学七年级下册-无限循环小数可以化成分数
无限循环小数化为分数的方法
无限循环小数化为分数的方法无限循环小数化为分数的方法如下：一、等比数列法无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
再如：0.999999.......循环节为9则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^n=0因此：0.99999.....=0.9/0.9=1二、解方程法无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数纯小数纯循环小数例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：10x-x=1.1111……-0.1111……9x=1X=1/9例：0.999999.......=1设x=0.9999999......10x-x=9.999999.....-0.999999.....9x=9x=1关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。
例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333归纳为了公式化，我们可以这样表示：x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。
把无限循环小数化成分数的方法
把无限循环小数化成分数的方法如何将无限循环小数化成分数无限循环小数是指小数部分存在一个或多个重复的数字组合，无限重复下去的小数。
例如，0.3333...就是一个无限循环小数，因为小数部分的3无限重复下去。
将无限循环小数化成分数是一种常见的数学运算，可以使得无限循环小数变成一个有限的数值。
下面将介绍几种方法来实现这个转换。
方法一：设x为无限循环小数，将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的循环部分移到整数部分，然后用等式表示这个乘法，解方程求解x的值。
例如，将0.3333...乘以10，得到3.3333...。
然后用等式表示这个乘法：10x = 3.3333...。
接着，将等式两边减去原来的等式，得到9x = 3。
解这个方程，得到x = 1/3。
方法二：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。
然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。
接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。
解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。
例如，将0.3333...的循环部分移到整数部分后，得到3。
然后用等式表示这个移位操作：0.3333... = 3 + 1/10^1。
接着，将等式两边乘以10，得到10*0.3333... = 10*3 + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到9*0.3333... = 3。
解这个方程，得到0.3333... = 3/9 = 1/3。
方法三：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。
然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。
接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。
把循环小数化成分数的方法
把循环小数化成分数的方法循环小数是指小数部分有无限循环的数字。
例如，0.3333...就是一个循环小数，因为小数部分永远都是3无限循环。
循环小数有时候会给我们带来麻烦，特别是在数学中。
但是，将循环小数转换成分数是一个简单而有效的方法，可以让我们更方便地进行计算和理解。
本文将介绍如何将循环小数转换成分数的方法，包括使用长除法和使用公式的两种方法。
这些方法都是非常简单易懂的，无需高深的数学知识，只需要一些基本的算术技巧和耐心。
使用长除法转换循环小数成分数长除法是一种基本的算术技巧，可以帮助我们将循环小数转换成分数。
下面是一个例子，演示了如何使用长除法将循环小数转换成分数：例如，将0.6666...转换成分数。
首先，让分数x等于0.6666...，然后将x乘以10，这样小数点右移一位，得到6.6666...。
接下来，将6.6666...减去0.6666...，得到6。
然后将6除以10，得到0.6。
现在，让分数x等于0.6。
将x乘以10，得到6，将6减去0.6，得到5.4。
将5.4除以10，得到0.54。
现在，让分数x等于0.54，将x乘以10，得到5.4，将5.4减去0.54，得到4.86。
将4.86除以10，得到0.486。
现在，让分数x等于0.486，将x乘以10，得到4.86，将4.86减去0.486，得到4.374。
将4.374除以10，得到0.4374。
以此类推，我们可以一直进行下去，直到我们得到一个分数为止。
在这个例子中，我们不断地将x乘以10，然后从中减去之前的结果，直到得到一个不再循环的小数。
这个不再循环的小数就是我们想要的分数。
在这个例子中，我们得到的分数是2/3。
使用公式转换循环小数成分数除了长除法外，我们还可以使用公式来将循环小数转换成分数。
这个公式是：x = a + b/(c-1)其中，a是循环小数的整数部分，b是循环小数的非循环部分，c 是循环节的长度。
下面是一个例子，演示了如何使用公式将循环小数转换成分数：例如，将0.3333...转换成分数。
《无限循环小数化分数》教学案例
《无限循环小数化分数》教学案例XXXXXX1.案例背景在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。
该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的研究却有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。
新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。
故而在教学中我安排了部分时间，采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。
2.教学片断在新内容开始前我先带着学生回顾了之前研究的关于有理数的部分知识，并作为新课的引入。
[师]：我们之前在研究有理数时曾经提到过所有的有理数都可以写成什么形式啊？[生]：都可以写成分数的形式。
[师]：很好。
那我问大家，我们之前研究过的，无限循环小数是不是有理数啊？可不可以化为分数形式啊？[生]：无限轮回小数是有理数，可以化为分数形式。
[师]：那我举个例子，比如说0.3，它的分数形式应该怎么表示呢？[师]：很好，这是大家很早就认识的一个分数了，对它也比较了解。
那任意一个无限循环小数又如何去表示成分数呢？（学生们开始沉思）这就需要大家自己参照我们的课本好好探究了。
在教学中，我安排学生自主阅读教材探究这样一个问题，学生们带着问题去读书，注意力集中，兴趣也提高了。
在看到学生基本上通读过教材内容之后，我对于教材提出了相应的问题，布·置了简单的两个练，学生也很快按照课本上的方法做出了回覆。
练：将0.11和0.1写成分数的形式。
在这两个练的命题上我有自己的处理安排，而学生也很快有了自己的问题：[生]：0.11原本就是0.1，为什么教师要写两个轮回节标记呢？[师]：这位同学的问题很好，也确实如此，写成两个循环节符号是没有必要的。
混循环小数化成分数的方法高分指南
混循环小数化成分数的方法高分指南一、混循环小数的定义与特点混循环小数是指小数部分为无限循环小数的分数。
3.5454...，这样的小数就是混循环小数。
由于混循环小数具有无限循环的特点，因此化成分数的方法相对复杂，需要我们根据具体情况采取不同的策略。
二、混循环小数化成分数的一般步骤1.观察小数部分的循环节，找出循环节的长度。
2.假设循环节的长度为n，则将小数部分乘以10^n，得到10^n*x。
3.假设10^n*x = a.bbb...，其中a为整数部分，bbb为非循环节部分。
4.设10^n*x = a + 0.bbb...，则将10^n*x - x = a，得到(10^n -1)*x = a。
5.解出x = a / (10^n - 1)，即为混循环小数化成分数的结果。
三、具体实例分析例1：将0.3(无限循环)化成分数。
1.观察小数部分的循环节，发现只有一位循环节。
2.将0.3乘以10，得到3。
3.将10*0.3 = 3，得到3 = 3 + 0，即a=3，bbb=0。
4.由于循环节只有一位，令n=1，即10^1 - 1 = 9，a = 3。
5.根据公式x = a / (10^n - 1)，代入a=3，n=1得到x=3/9=1/3。
6.0.3(无限循环)化成分数的结果为1/3。
例2：将0.36(无限循环)化成分数。
1.观察小数部分的循环节，发现只有两位循环节。
2.将0.36乘以100，得到36。
3.将100*0.36 = 36，得到36 = 36 + 0，即a=36，bbb=0。
4.由于循环节有两位，令n=2，即10^2 - 1 = 99，a = 36。
5.根据公式x = a / (10^n - 1)，代入a=36，n=2得到x=36/99=4/11。
6.0.36(无限循环)化成分数的结果为4/11。
四、混循环小数化成分数的注意事项1.观察小数部分的循环节，根据循环节长度的不同采取相应的方法。
2.化简分数部分，得到最简分数形式。
无限循环小数化分数
•
把 0.3 化成分数
• 分析：
• 3.3333…与0.3333… 的关系： ① 3.3333…是 0.3333…的（）倍 的（）倍 是 0.3 即 3.3 大（） 3.3 ② 比 0.3
练
• 把下列无限循环小 数化为分数：
•
习
通过练习， 你能发现有 什么规律吗？
0.2
2 9
• • •
0.4
0.6 0.9
4 9
2 6 = 3 9
9 =1 9
0.a 0.a
=？
=
a 9
自主探索
• 你能把 0.13 化成分
数吗？
把下列无限循环 小数化为分数：
练
习Hale Waihona Puke 通过练习，你发现有 什么规律吗？ 0.ab =？
ab 0.ab = 99
0.14
14 99
0.21
•
说出下列无限循环小 数化成分数的结果
0.7 0 . 5 0.22 • （1） （2） （3） 0.531 0.2465 • （4） 0.34 （5） （6）
课堂小结
• 1. 无限循环小数化为分数的 基本思路是什么？
• 2. 无限循环小数化为分数有 一般的规律吗？要注意什么 问题？
拓展提高
•
= 0.14
14 99
化成分数吗？ • 你能将 0.014 14 • 0.014 = 990
化成分数吗？ • 你能将 1.114
•
= 1.114
113 1 990
无限循环小数化分数
双凤中学 刘登雪
•
我们知道分数可化为有限小数 或无限循环小数，有限小数可 化为分数，那么无限循环小数 能化为分数吗？
无限循环小数化成分数的方法
无限循环小数化成分数的方法无限循环小数，顾名思义就是小数部分无限循环重复的数字。
在数学中，我们经常会遇到无限循环小数，那么如何将无限循环小数化成分数呢？接下来，我们将介绍几种方法来解决这个问题。
首先，我们来看一个简单的例子，0.3333...，这个小数无限循环重复的数字是3。
我们可以将它表示为0.3（3）的形式，其中括号内的数字表示循环的部分。
这样，我们就将无限循环小数化成了分数，即1/3。
接下来，我们来介绍一种常见的方法，设x=0.3333...，则10x=3.3333...。
接着，我们将两个式子相减，得到9x=3，从而得出x=1/3。
这就是将无限循环小数化成分数的一种常用方法。
通过这个例子，我们可以看到，将无限循环小数化成分数的关键在于找到一个适当的变换，使得原来的无限循环小数可以表示为一个分数。
除了上述方法外，还有一种更直观的方法来将无限循环小数化成分数，那就是利用无限循环小数的性质。
我们知道，无限循环小数可以表示为一个有限小数加上一个无限不循环小数的和。
比如0.272727...可以表示为0.27+0.0027+0.000027+...，这样我们就可以将无限循环小数化成一个分数的形式。
此外，我们还可以利用数学定理来将无限循环小数化成分数。
比如，对于形如0.abcabc...的无限循环小数，我们可以利用“无穷等比数列求和公式”来将其化成分数的形式。
这种方法需要一定的数学知识作为基础，但是一旦掌握，就可以轻松地将无限循环小数化成分数。
总的来说，将无限循环小数化成分数并不是一件困难的事情，只要我们掌握了一定的方法和技巧，就可以轻松地解决这个问题。
通过本文的介绍，相信读者们已经对这个问题有了更深入的理解，希望可以对大家有所帮助。
人教版 数学七年级下册课时练 第六章 实数 6.3 第1课时 实数的概念
人教版 数学七年级下册 第六章 实数6.3 实数第1课时 实数的概念1．(教材P57，习题6.3，T1改编)下列说法正确的是( C )A ．带根号的数一定是无理数B ．无限小数一定是无理数C ．无理数一定是无限小数D ．无理数是开平方或开立方开不尽的数2．(2019·湖南邵阳中考)下列各数中，属于无理数的是( C ) A.13 B ．1.414 C. 2 D. 43．(2018·湖北咸宁中考)写出一个比2大比3小的无理数(用含根号的式子表示)__5(答案不唯一)__．4．下列说法中，正确的是( C )A ．无理数包括正无理数、零和负无理数B ．无限小数都是无理数C ．正实数包括正有理数和正无理数D ．实数可以分为正实数和负实数两类5．把下列各数填在相应的大括号内：0，8，－3827，16，－27，－2，3，227，π4，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)．自然数集合：{0，16，…}；有理数集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－3827，16，－2，227，…；正数集合：{8，16，3，227，π4，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，…}；整数集合：{}0，16，－2，…；非负整数集合：{}0，16，…；无理数集合：{8，－27，3，π4，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，…}．6．(2019·湖北宜昌中考)如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是( D)A．点A B．点BC．点C D．点D7．如图，O是原点，实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列结论错误的是( B)A．a－b＞0 B．ab＜0C．a＋b＜0 D．b(a－c)＞08.(2019·安徽合肥蜀山区期末)如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B，则点A表示的数为__1－3__.易错点对无理数的概念理解不清而致错9．(2019·湖北黄冈期末)在实数：3.141 59，364，0.4.6.，1.010 010 001…(每两个1之间依次多1个0)，π，227中，无理数有( B)A．1个B．2个C ．3个D ．4个10．已知点A 为数轴上表示实数2－1的点，将点A 沿数轴平移3个单位得到点B ，则点B 表示的实数为__2－4或__2＋2__. 11．(2019·福建泉州惠安一模)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．我们以无限循环小数0.5·为例说明如下：设0.5·＝x ，由0.5·＝0.555…可知，10x ＝5.555…，所以10x －x ＝5，解方程得x ＝59，于是，0.5·＝59.请你把0.2·7·写成分数的形式：__311__.12．先阅读材料，再回答问题．因为12＋1＝2，且1<2<2，所以12＋1的整数部分为1； 因为22＋2＝6，且2<6<3，所以22＋2的整数部分为2； 因为32＋3＝12，且3<12<4，所以32＋3的整数部分为3.(1)20的整数部分是__4__，小数部分是__20－4__；(2)以此类推，n 2＋n (n 为正整数)的整数部分是__n __，请说明理由．解：(2)n ，理由如下：因为n 2<n 2＋n <（n ＋1）2，即n <n 2＋n <n ＋1，所以n 2＋n 的整数部分为n .。
初中数学 数学论文 用猜想验证的方法化循环小数为分数
用猜想验证的方法化循环小数为分数把循环小数化成分数的方法,可以用移动循环节的过程来推导，也可以用无限递缩等比数列的求和公式计算得到。
下面我们运用猜想验证的方法来推导。
（一）化纯循环小数为分数大家都知道：一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。
那么,一个纯循环小数可以化成分母是怎样的分数呢？我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。
如:＠①、＠②……化成分数时，它们的分母可以写成几呢？想一想：可能是10吗？不可能。
因为1/10＝0.1〈@①，3/10＝0.3>＠②；可能是8吗?不可能。
因为1/ 8＝0.125〉＠①，3/8＝0。
375〉＠②；那么，可能是几呢？因为1/10〈@①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8,所以分母可能是9。
下面我们来验证一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝0.111……＝＠①;3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝@②。
计算结果说明我们的猜想是对的.那么,所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗？让我们根据自己的猜想, 把＠③、＠④化成分数后再验证一下。
@③＝4/9 验证:4/9＝4÷9＝0.444……@④＝6/9＝2/3 验证：2/3＝2÷3＝0。
666……经过上面的猜想和验证，我们可以得出这样的结论:循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用一个循环节组成的数作分子,用9 作分母；然后，能约分的再约分。
循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分数时，它们的分母又可以写成多少呢？想一想：可能是100吗？不可能。
因为12/100＝0。
12〈＠⑤,13/100＝0。
13〈＠⑥。
可能是98吗？不可能。
因为12/98≈0.1224〉＠⑤，13/98≈0。
1327〉＠⑥；可能是多少呢？因为12/100<@⑤〈12/98，13/100〈＠⑥〈13/98,所以分母可能是99。
2020人教版七年级数学下学期第6章实数单元综合评价试卷含解析
2020人教版七年级数学下学期第6章实数单元综合评价试卷含解析姓名座号题号一二三总分得分考后反思（我思我进步）：一．选择题（共12小题）1．7的平方根是（）A．±B．C．D．142．16的算术平方根是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．±43．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（）A．B．C．D．734．利用教材中的计算器依次按键下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.95．下列四个数中，是负数的是（）A．|﹣3| B．﹣（﹣3）C．（﹣3）2D．﹣6．在实数，，π，0.1010010001中，是无理数的是（）A．B．C．πD．0.10100100017．当式子的值取最小值时，a的取值为（）A．0 B．C．﹣1 D．18．|1﹣|的值为（）A．1﹣B．1+C．﹣1 D．+19．下列说法中①正数和负数互为相反数；②有限小数都是有理数；③无限小数都是无理数；④绝对值最小的数是0；其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．点A的位置如图，点A所表示的数可能是（）A．﹣2.6 B．C．D．1.411．计算+的结果是（）A．﹣4 B．0 C．4 D．812．阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：i l＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2019＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i二．填空题（共6小题）13．某个数的一个平方根是﹣5，则这个数是．14．已知一个正数x的两个平方根分别是和m，则m＝，x＝．15．写出一个满足＜a＜的整数a的值为．16．比较大小：3．17．已知+＝0，那么（a+b）2007的值为．18．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简2|a+b|﹣|a﹣b|的结果为．三．解答题（共6小题）19．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：﹣，，|﹣|，0，2π，﹣0.6，﹣其中，甲说“﹣”，乙说“”，丙说“2π”．（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是．（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：20．在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把它们连接起来．|﹣4|，0，﹣1.5，21．解方程（1）（x﹣2）2＝9（2）8（x+1）3＝27．22．已知a﹣1的算术平方根是3，b是的整数部分，求a﹣b的值．23．我们都知道无限不循环小数是无理数，而无限循环小数是可以化成分数的，例如0.333……（3为循环节）是可以化成分数的，方法如下：令a＝0.333……①则10a＝3.333……②②﹣①得：10a﹣a＝3，即9a＝3，解得a＝请你阅读上面材料完成下列问题：（1）0.化成分数是．（2）0.化成分数是．（3）请你将3.3化成分数（写出过程）24．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求：①x、y的值；②x﹣y的相反数．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．7的平方根是（）A．±B．C．D．14 【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：7的平方根是：±．故选：A．2．16的算术平方根是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．±4 【分析】根据算术平方根的定义求解可得．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的算术平方根是4，故选：C．3．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（）A．B．C．D．73【分析】由立方根的定义可得正方体的棱长为．【解答】解：正方体的体积为7，则正方体的棱长为，故选：B．4．利用教材中的计算器依次按键下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9 【分析】利用计算器得到的近似值即可作出判断．【解答】解：∵≈2.646，∴与最接近的是2.6，故选：B．5．下列四个数中，是负数的是（）A．|﹣3| B．﹣（﹣3）C．（﹣3）2D．﹣【分析】根据小于0的是负数即可求解．【解答】解：|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3，（﹣3）2＝9，∴四个数中，负数是﹣．故选：D．6．在实数，，π，0.1010010001中，是无理数的是（）A．B．C．πD．0.1010010001【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的概念即可判定选择项．【解答】解：A.是分数，属于有理数；B.，是整数，属于有理数；C．π是无理数；D.0.1010010001是有限小数，属于有理数．故选：C．7．当式子的值取最小值时，a的取值为（）A．0 B．C．﹣1 D．1【分析】根据2a+1≥0，求出当式子的值取最小值时，a的取值为多少即可．【解答】解：∵2a+1≥0，∴当式子的值取最小值时，2a+1＝0，∴a的取值为﹣．故选：B．8．|1﹣|的值为（）A．1﹣B．1+C．﹣1 D．+1【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数．【解答】解：|1﹣|的值为﹣1．故选：C．9．下列说法中①正数和负数互为相反数；②有限小数都是有理数；③无限小数都是无理数；④绝对值最小的数是0；其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数与有理数的概念即可求出答案．【解答】解：①正负号相反的两个数互为相反数，故①错误；②有限的小数都是有理数，故②正确；③无限不循环小数称为无理数，故③错误；④绝对值最小的数是0，故④正确；故选：B．10．点A的位置如图，点A所表示的数可能是（）A．﹣2.6 B．C．D．1.4【分析】先根据数轴判断出点A表示的数的范围，再结合各选项逐一判断可得．【解答】解：由数轴知，点A表示的数大于﹣2，且小于﹣1，∵，∴点A所表示的数可能是．故选：B．11．计算+的结果是（）A．﹣4 B．0 C．4 D．8【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝+＝﹣4+4＝0，故选：B．12．阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：i l＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2019＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】根据已知得出变化规律进而求出答案．【解答】解：∵i l＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，∴每4个数据一循环，∵2019÷4＝504…3，∴i2019＝i3＝﹣i．故选：D．二．填空题（共6小题）13．某个数的一个平方根是﹣5，则这个数是25 ．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解答】解：这个数为（﹣5）2＝25，故答案为：2514．已知一个正数x的两个平方根分别是和m，则m＝﹣，x＝ 5 ．【分析】根据正数平方根的性质，求出m，再利用平方计算出x的值．【解答】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以+m＝0，解得，m＝﹣．因为2＝5，所以x＝5．故答案为：﹣，5．15．写出一个满足＜a＜的整数a的值为答案不唯一，如：2 ．【分析】根据算术平方根的概念得到1＜＜2，4＜＜5，根据题意解答．【解答】解：∵1＜＜2，4＜＜5，a为整数，∴2≤a＜5，∴满足＜a＜的整数a的值可以为2，故答案为：2（答案不唯一）．16．比较大小：＜3．【分析】求出3═，再根据实数的大小比较法则比较即可．【解答】解：∵3＝＞，∴＜3，故答案为：＜．17．已知+＝0，那么（a+b）2007的值为﹣1 ．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，所以，（a+b）2007＝（2﹣3）2007＝﹣1．故答案为：﹣1．18．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简2|a+b|﹣|a﹣b|的结果为﹣3a﹣b．【分析】在数轴上，右边的数总大于左边的数．原点右边的表示正数，原点左边的表示负数．【解答】解：由图可知：﹣3＜b＜﹣2＜0＜a＜1，∴a+b＜0，a﹣b＞0，可得：2|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣2a﹣2b﹣a+b＝﹣3a﹣b，故答案为：﹣3a﹣b．三．解答题（共6小题）19．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：﹣，，|﹣|，0，2π，﹣0.6，﹣其中，甲说“﹣”，乙说“”，丙说“2π”．（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；（2）根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）因为“﹣”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“2π”是无理数．所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．故答案为：甲（2）整数有：0、；负分数有：、﹣0.6．故答案为：0、；、﹣0.6．20．在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把它们连接起来．|﹣4|，0，﹣1.5，【分析】首先在数轴上确定各数的位置，再根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大用“＜”号把它们连接起来．【解答】解：如图：，﹣1.5＜0＜＜|﹣4|．21．解方程（1）（x﹣2）2＝9（2）8（x+1）3＝27．【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；（2）根据立方根的定义，即可解答．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，x﹣2＝±3，x＝5或﹣1；（2）8（x+1）3＝27，（x+1）3＝，x+1＝，x＝．22．已知a﹣1的算术平方根是3，b是的整数部分，求a﹣b的值．【分析】由已知可得a﹣1＝9，b＝3，进而求出a、b值代入即可．【解答】解：∵a﹣1的算术平方根是3，∴a﹣1＝9，∴a＝10，∵b是的整数部分，∴b＝3，∴a﹣b＝10﹣3＝7．23．我们都知道无限不循环小数是无理数，而无限循环小数是可以化成分数的，例如0.333……（3为循环节）是可以化成分数的，方法如下：令a＝0.333……①则10a＝3.333……②②﹣①得：10a﹣a＝3，即9a＝3，解得a＝请你阅读上面材料完成下列问题：（1）0.化成分数是．（2）0.化成分数是．（3）请你将3.3化成分数（写出过程）【分析】（1）根据阅读材料设0.＝x，方程两边都乘10，转化为7+x＝10x，求出其解即可；（2）根据阅读材料设0.＝x，方程两边都乘100，转化为23+x＝100x，求出其解即可；（3）根据阅读材料化混循环小数为：×33.，再由材料转化为整数与另一无限循环小数的和，依次化简可得结论．【解答】解：（1）设0.＝x，即x＝0.777…，将方程两边都×10，得10x＝7.777…，即10x＝7+0.777…，又因为x＝0.777…，所以10x＝7+x，7所以9x＝1，即x＝，所以0.＝．故答案为：；（2）设0.＝x，100x＝23.100x＝23+xx＝，∴0.＝，故答案为：；（3）解：3.3＝（33+0.）＝+×＝．24．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求：①x、y的值；②x﹣y的相反数．【分析】（1）先估算出，的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）根据题意得：a＝﹣2，b＝3，则a+b﹣＝1；（2）①∵x为整数，10+＝x+y，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝﹣1；②x﹣y的相反数为﹣（x﹣y）＝﹣x+y＝﹣12．。
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第六章6-4《实数》章末复习(能力提升)
第六章 实数6.4 《实数》章末复习（能力提升）【要点梳理】要点一：平方根和立方根要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题例1、一个正数的x 的平方根是2a ﹣3与5﹣a ，求a 和x 的值．【思路点拨】根据平方根的定义得出2a ﹣3+5﹣a=0，进而求出a 的值，即可得出x 的值．【答案与解析】解：∵一个正数的x 的平方根是2a ﹣3与5﹣a ， ∴2a ﹣3+5﹣a=0， 解得：a=﹣2， ∴2a ﹣3=﹣7， ∴x=（﹣7）2=49．【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键． 举一反三： 【变式1】已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根。
数学小报-无限循环小数与分数的互化
二年级二班姓名指导老师：1．把下列各分数化为循环小数，并求出小数点后第100位上的数字。
（1）134（2）223（3）27548（4）901（5）133（6）33001672．将下列循环小数化成分数。
=•50.=••570.=••246.2=•310.【答案在本期找】例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？(1)115（2）2716【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。
解：（1）=115..54.0200÷2＝100 所以第200为数字是5。
（2）=2716..295.0200÷3＝66…2 所以第200为数字是91．分数化为小数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
基本方法：分子除以分母。
2．循环小数化为分数（1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。
（2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。
例2 将下列循环小数化成分数。
①=•70.②=••86.1③=••54370.④=••57.3【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数解：（1）=•70.97（2）=••86.199681（3）=••54370.99997435（4）332539975357.3==••。
人教版七年级数学下册15.实数全章复习与巩固(提高)巩固练习及答案.doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】【巩固练习】 一.选择题1．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2b D ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b 2.下列式子表示算术平方根的是 （ ）． ①()233-= ②()()2515--= ③93104-=- ④ 255-= ⑤ 0.010.1±=± ⑥ ()20a a a =≥A ．①②④B ．①④⑥C ．①⑤⑥D ．①②⑥ 3. 下列说法正确的有（ ）①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数； ③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数. A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④4. 下列语句、式子中 ① 4是16的算术平方根，即.416=±②4是16的算术平方根，即.416=③－7是49的算术平方根，即.7)7(2=-④7是2(7)-的算术平方根，即.7)7(2=-其中正确的是（ ）A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④ 5. （2015•南京）估计介于（ ）A ．0.4与0.5之间B ．0.5与0.6之间C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间6.下列运算中正确的是（ ）4913=12622-82==）（C. 24±=D. ∣32-∣＝23- 7. 已知:a a 则，且,68.2868.82.62333=-=＝（ ） A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600 8. －2781 ） A ．0 B ．6C ．6或－12D ．0或6 二.填空题9. 下列命题中正确的有 (填序号)(1)若,b a >那么b a 22>; (2)两数的和大于等于这两数的差;(3)若,b a >那么22b a >; (4)若,b a > c b >则c a >;(5))()(c b a c b a ++=++ (6)一个数越大,这个数的倒数越小; (7)有理数加有理数一定是有理数; (8)无理数加无理数一定是无理数; (9)无理数乘无理数一定是无理数; 10.（2015•庆阳）若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，则m ﹣3n 的立方根是 ．11. 若22)3(-=a ，则a ＝ ，若23)3(-=a ，则a ＝ .12. 已知 :===00236.0,536.136.2,858.46.23则 . 13. 若x x -+有意义，则=+1x ________.14. 阅读下列材料：设0.30.333x ==…①，则10 3.333x =…②，则由②－①得：93x =，即13x =.所以0.30.333= (1)=3.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. 0.7＝ 1.3＝ ；15. 方程 361(12)164x +-=的解x ＝ _________ . 16. 若,19961995a a a =-+-则21995-a 的值等于_________.三.解答题17. （2015春•和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a 和2a ﹣9 （1）求a 的值，并求这个正数； （2）求17﹣9a 2的立方根．18. 如图所示，已知A 、B 两点的坐标分别为(5,0)A -，(2,1)B -．（1）求△OAB 的面积和△ACB 的面积（结果保留一位小数）； （2）比较点A 所表示的数与－2.4的大小．19. 把下列无限循环小数化成分数：（1）0.6•（2）0.23••（3）0.107••20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：()()212211122===+，S ； ()()223312222===+，S； ()()234413322===+，S； ……，……； （1）请用含n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律；（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于7的长度；（4）你能计算出210232221S S S S ++++ 的值吗？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b . 2. 【答案】D ；【解析】算术平方根的专用记号是“a ”根号前没有“－”或“±”号. 3. 【答案】A ； 4. 【答案】C ；【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个. 5.【答案】C ． 【解析】∵ 2.235，∴﹣1≈1.235，∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间.6. 【答案】D ；7. 【答案】D ；O.....S 5S 4S 3S 2S 1111111A 6A 5A 4A 3A 2A 1【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，a ＝－23600. 8. 【答案】A ；【解析】819=，9的算术平方根是3，故选A. 二.填空题 9. 【答案】（1），（4），（5），（7）； 10.【答案】2. 【解析】若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，∴，解方程得：．∴m ﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．8的立方根是2．故答案为：2． 11.【答案】3±39【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根. 12.【答案】0.04858【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858. 13.【答案】1；【解析】x ≥0，－x ≥0，得x ＝0，所以=+1x 1. 14.【答案】74;93； 【解析】设x ＝0.777……，10x ＝7.777……，9x ＝7, x ＝79.设y ＝1.333……，10y ＝13.333……，9y ＝12, y ＝43. 15.【答案】18； 【解析】()31255112,12,6448x x x +=+==. 16.【答案】1996；1996a -a ≥1996，原式＝a －19951996a -a 1996a -1995，两边平方得21995-a ＝1996. 三.解答题17.【解析】 解：（1）由平方根的性质得，a+2a ﹣9=0， 解得a=3，∴这个正数为32=9；（2）当a=3时，17﹣9a 2=﹣64， ∵﹣64的立方根﹣4， ∴17﹣9a 2的立方根为﹣4． 18.【解析】解：（1）∵ (5,0)A ，(2,1)B -，∴ ||5OA =BC ＝1，AC ＝OA －OC 52．∴ 115||||51 1.122OAB S OA BC ∆===≈． 115||||(52)110.1222ACB S AC BC ∆==⨯⨯=-≈． （2）点A 表示的实数为5-5 2.24-≈-． ∵ 2.24＜2.4，∴ －2.24＞－2.4， 即 5 2.4>- 19.【解析】解：(1) 设0.6x •= ① 则10x ＝6.6•② ②－①得 9x ＝6∴6293x ==，即20.63•=(2) 设0.23x ••= ① 则10023.23x ••= ② ②－①，得 99x ＝23∴2399x =，即230.2399••=. (3) 设0.107x ••= ① 则1000107.107x ••= ② ②－①，得 999x ＝107，∴107999x =，即1070.107999••=. 20.【解析】 解：（1）()2,112nS n n n =+=+． （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （3）略．22222222123101231055(4)22224S S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
无限循环小数化成分数的一般规律
无限循环小数化成分数的一般规律示例文章篇一：《无限循环小数化成分数的一般规律》我呀，在数学的世界里就像一个小小的探险家。
有一天，我遇到了一个特别神奇的东西，那就是无限循环小数。
你们知道吗？这无限循环小数就像是一个调皮的小精灵，老是在数字的世界里不停地转圈儿，怎么看都觉得很神秘。
我先给你们举个例子吧，像0.3333……这个数，它的3一直在循环。
我当时就想，这么个一直转下去的数，怎么能变成我们熟悉的分数呢？我就跑去问我的数学老师。
老师笑着跟我说：“你看啊，这个0.3333……，我们可以设它为x。
”我当时眼睛就瞪大了，啥？设这个数为x？这怎么想出来的呢？老师接着说：“那10x是多少呢？10x就等于3.3333……呀。
”我就有点明白了，好像有个什么东西在我脑袋里开始亮起来了。
老师又说：“那10x - x是多少呢？”我赶紧在纸上算起来，10x - x就等于3.3333…… - 0.3333……，这不就等于3嘛。
我兴奋得差点跳起来，那x不就是3÷9 = 1/3嘛。
哇，原来0.3333……就是1/3啊。
我就像发现了新大陆一样，又去琢磨其他的无限循环小数。
比如说0.121212……这个数。
我就按照老师教的方法，设这个数为x，那100x就是12.121212……。
然后100x - x就等于12.121212…… - 0.121212……，这就等于12啦。
那x就等于12÷99，约分一下就是4/33。
这时候我的同桌凑过来问我：“你在干嘛呢？神神秘秘的。
”我就把我的发现一股脑儿地告诉了他。
他皱着眉头说：“这好复杂啊，我都晕了。
”我拍拍他的肩膀说：“其实不复杂啦。
你看，如果循环节是一位数，像0.3333……，我们就乘以10，要是循环节是两位数，像0.121212……，我们就乘以100。
然后用乘完后的数减去原来的数，就可以把那个无限循环的部分去掉，剩下的就好算了。
”同桌眼睛一亮说：“哦，我好像懂了。
那要是0.234234234……这样的呢？”我笑嘻嘻地说：“那我们就设这个数为x，因为循环节是三位数，所以我们乘以1000，1000x就等于234.234234……。
无限循环小数化分数
人教版初中数学七年级上册实验与探究（第95页）无限循环小数化分数武汉市黄陂区前川街第三中学刘光华【教学目标】知识技能:了解无限循环小数可以化为分数形式,会列一元一次方程, 将无限循环小数化为分数。
数学思考：在探究无限循环小数化分数的过程中渗透转化的思想，体会方程在解决这一问题中的作用。
解决问题：通过观察、动手实践、合作探究，提高学生利用方程思想解决问题的能力。
情感态度：体会数学的理性美，培养学生主动探究意识。
【教学重点】列方程将一位循环节的纯无限小数化为分数。
【教学难点】探究将循环小数化为分数的方法。
【教学过程】一、情景导入每天的日落日出，永不停息；一年四季的春夏秋冬，周而复始，这是大自然赋予的神奇的循环；艺术家也用循环创作出美妙的音乐和绚丽的图案。
在数学世界里也有这样神奇的数---无限循环小数，同学们知道，在除法运算中，因无法除尽而产生无限循环小数，例如：=0.333…反过来，一个无限循环小数能否化为分数？怎样转化1÷3=13呢？（出示课题：无限循环小数化分数）二、 导学共探1、 想一想下列循环小数你能将哪些化为分数？要探究这些循环小数化分数，你会选择怎样的顺序？0.3·2· ， 0.3· ， 0.3·16· ， 2.07· ， 0.7· ， 1.3· ，0.13·【设计意图】让学生初步体会从特殊到一般的数学探究思想2、 探究0.7·的分数的化法分析：设0.777…＝x ①两边同时乘10，得：7. 777…＝10x ②②-①得9x ＝7，即x ＝79.练习：分别把0.1· 、0.2·化为分数，你有什么发现？（学生独立完成） 想一想0.9·≈1和0.9·＝1哪一个正确，请用所学知识说明。
3、合作探究（一）（纯循环小数化分数）:怎样把怎样把0.3·2· ，0.3·16·化成分数，你有什么发现？ 归纳：纯循环小数化分数。
0.916 , 6的循环,化成分数
0.916的循环是什么？如何将其化成分数？1. 0.916的循环在数学中，我们经常会遇到一些无限循环小数。
0.916就是一个很典型的例子，它是一个无限不循环小数，可以表示为0.0...。
这种循环小数的特点是，在小数点后面的数字会一直循环出现，没有终止的趋势。
2. 如何将0.916化成分数要将0.916化成分数，我们需要利用一些数学方法来进行计算。
假设0.916的循环部分为a，则有：0.916 = 0.9 + 0.01 * a10 * 0.916 = 9 + 0.1 * a9.16 = 9 + 0.1 * a0.16 = 0.1 * aa = 1.6通过上面的计算可以得出，0.916的循环部分a为1.6。
接下来，我们可以利用这个结果将0.916化成分数：0.916 = 0.9 + 0.01 * 1.6= 9/10 + 16/1000= (9*100 + 16) / 1000= 916 / 1000= 229 / 2503. 结论将0.916化成分数的结果为229/250。
这个分数可以看出，0.916其实是一个接近1的数，只是在小数部分进行了循环。
将循环小数化成分数有助于我们更好地理解这个数的大小和性质，方便进行进一步的数学运算。
4. 总结无限循环小数是数学中一个很有趣的概念，它挑战着我们对数学的理解和计算能力。
通过将循环小数化成分数，我们可以更好地理解和利用这些数字，为我们在数学领域的探索和研究提供了更多的可能性。
希望通过本文的介绍，读者对于循环小数的理解有了进一步的加深，并且能够在实际问题中灵活运用这些知识。
循环小数是指小数部分出现循环节的一种特殊小数形式。
在数学中，我们经常会遇到一些无限循环小数，它们有着独特的性质和规律。
本文将继续探讨循环小数的相关概念以及如何将0.916这个循环小数化成分数的方法。
5. 循环小数的特点循环小数是一种无限小数，其中小数点后的数字会一直循环出现，没有终止的趋势。
循环小数0.724545…化成分数
循环小数0.xxx…化成分数1. 了解循环小数的概念循环小数是指小数部分出现的数字序列是一个无限循环的情况。
0.3333…和0.xxx…这样的小数都属于循环小数。
2. 确定循环节的位置对于循环小数0.xxx…，我们可以观察到循环节“45”是从小数点后第三位开始出现循环的。
我们可以确定循环节的位置为从第三位开始。
3. 设x=0.xxx…接下来，我们设x=0.xxx…，然后通过数学方法将其转化成分数的形式。
4. 乘10消去小数点我们将x乘以10，得到10x=7.xxx…。
5. 再次观察循环节观察得知，10x的小数部分也以“xxx…”循环。
6. 用10x减去x我们用10x减去x，得到9x=7.24。
这一步的目的是消去循环节前的数字，将循环节单独提出来。
7. 求得x的值通过简单的代数运算，我们可以求得x=7.24÷9=0.xxx…。
8. 确定循环节长度观察新的循环小数0.xxx…可以得知，循环节“4”是从小数点后第二位开始出现循环的。
循环节的长度为1。
9. 化成分数根据循环节长度的特点，我们可以将0.xxx…化成分数。
具体方法是，将循环节的数字作为分子，分母为循环节长度所对应的位数的“9”加“0.”。
0.xxx…化成分数的形式为“4/9”。
10. 总结通过以上的步骤，我们成功地将循环小数0.xxx…化成了分数的形式，结果为“4/9”。
这个过程涉及了一些代数运算和对循环小数的观察，希望读者能够通过这篇文章加深对循环小数与分数之间关系的理解。
循环小数是数学中的一个重要概念，涉及到分数的转化和循环节的观察。
我们已经通过前面的步骤将循环小数0.xxx…化成了分数的形式“4/9”，接下来，我们可以进一步探讨循环小数与分数之间的关系，以及一些相关的数学知识。
11. 循环小数与分数的关系循环小数和分数其实是可以相互转化的。
对于一个循环小数a.bbb…，可以将其化成分数的形式c/d。
其中，c为循环节的数字，d为循环节长度对应的位数的“9”加“0.”，c/d为该循环小数所对应的分数。
0.315 315循环化成分数
315循环是一个常见的数学问题，其化成分数的过程需要一定的数学知识和技巧。
在本文中，我们将通过详细的步骤和示例，向读者介绍315循环化成分数的方法和过程。
通过学习本文，读者将能够掌握将315循环化成分数的技巧，提高对数学理解和运用的能力。
1. 315循环的定义在数学中，循环是指一个无限不循环小数，例如0.0…。
在这个循环中，315不断重复出现，因此可以将它化成分数的形式。
化成分数的过程就是将循环小数转化为一个分数形式，这个分数形式具有一定的规律，可以更好地描述原来的循环小数。
2. 315循环化成分数的步骤要将315循环化成分数，可以按照以下步骤进行操作：2.1 写出循环数的代数式将315循环表示为x=0.0…的代数式。
2.2 将循环数乘以10的n次方接下来，我们将循环数乘以10的n次方，使得乘积的小数部分与原循环数部分相同。
这里的n取决于循环节的位数，对于315循环，n取3。
2.3 求出循环数与10的n次方乘积的差将第2步得到的乘积与原循环数相减，得到差值。
2.4 解方程，求解x设循环数的分数形式为a，非循环数的分数部分为b，利用差值得到的方程式进行求解，得到x=a+b。
3. 实际示例以下使用一个具体的例子来展示315循环化成分数的过程：步骤1：写出循环数的代数式将315循环表示为x=0.0…的代数式。
步骤2：将循环数乘以10的n次方将315循环乘以1000，得到315.0…。
步骤3：求出循环数与10的n次方乘积的差315.0… - 0.0… = 315步骤4：解方程，求解x设循环数的分数形式为a，非循环数的分数部分为b。
根据步骤3得到的差值，求解x=315/999。
4. 结论通过以上步骤，我们成功地将315循环化成了分数的形式。
这个分数形式为315/999，可以更好地描述原来的循环小数。
对于其他循环数，我们也可以按照类似的步骤进行操作，将其化成分数的形式。
通过学习和掌握这些化成分数的技巧，我们能够更好地理解和运用数学知识，提高自己的数学能力。
无限循环小数如何能化为分数
无限循环小数如何化为分数由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。
转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。
一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。
方法一：（代数法）类型1：纯循环小数如何化为分数例题：如何把 0.33……和 0.4747……化成分数例1： 0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747……=47那么 0.4747……=47/9由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
练习：（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。
（3）0.312 312……=类型2：混循环小数如何化为分数例题：把0.4777……和0.325656……化成分数例3：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以：0.4777……=43/90例4： 0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32所以： 0.325656……=3224/9900练习：（1）0.366……=（2）1.25858……=（3）6.23898989……=可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
无限循环小数可以化成分数
我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看：
探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数．
分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……①
上面的方程两边都乘以100得
100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……②
②-①得
100x-x=32
99x=32
x= 32 99
所以0323232……= 32 99
用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 5
9，0.3
·
02·=
302
999．
我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字．
探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数
分析：把小数乘以10得
0.4777……×10=4.777……①
再把小数乘以100得
0.4777……×100=47.77……②
②-①得
0.4777……×100-0.4777……×10=47- 4
0.4777……×90=43
0.4777……= 43 90
所以 0.4777……=4390
再分析第二个数0.325656……化成分数．
把小数乘以100得
0.325656……×100=32.5656…… ①
把小数×10000得
0.325656……×10000=3256.56…… ②
②-①得
0.325656……×（10000-100）=3256-32
0.325656……×9900=3224
∴0.325656……=32249900
同样的方法，我们可化0.172·5·
=17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5·化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．。