经典力学的哈密顿理论.

第八章 经典力学的哈密顿理论

教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。

教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。

教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。

§8.1 正则共轭坐标

坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。

一：坐标的发展历史.

1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用

z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，

用k j i

,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。

2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变

矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v

,等物理量。从直角坐标到极坐

标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。

另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。

下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。

二：正则共轭坐标

1.拉格朗日函数L 的不确定性

如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量),,(1t q q L αα 为拉格朗日函数，即1L 满足

拉格朗日方程

,0)(11=∂∂-∂∂ααq L q L dt d s ,...2,1=α。那么可证明dt

t q df t q q L t q

q L )

,(),,(),,(12ααααα+= 也必然满足拉格朗日方程。

证明：为了简单起见我们假设广义坐标q 只有一个，即s=1，

因t f

q q f dt t q df ∂∂+∂∂= ),(，q t f q q

f dt t q df q ∂∂∂+∂∂=∂∂∴22

2]),([ ， q

t f

q q f q f dt d dt t q df q dt d ∂∂∂+∂∂=∂∂=∂∂222)()]),(([ 。将L 2代入拉格朗日方程左边可得

0)(]),([)]),(([)()(111122=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=∂∂-∂∂α

αααααq L q L dt d dt t q df q dt t q df q dt d q L q L dt d q L q L dt d ， 即L 2与同样L 1满足拉格朗日方程。

因此可以看出虽然L 2≠L 1，但二着均能满足拉格朗日方程且得到的微分方程是完全一致。所以说，在经典力学中一个力学体系的L 并不是唯一的，它们之间可以相差一项

dt

t q df )

,(α。以前我们定义L=T-V 只是这种情况较简单而已，也就是说L 具有不确定性， 2.广义动量αp 的不确定性

如果我们定义L=T-V ，那么由ααq

L

p ∂∂=

得到的αp 与αq 将有一一对应的关系。但如果我们定义满足拉格朗日方程的L 均为拉格朗日函数，那么由ααq

L

p ∂∂=得到的αp 与αq 将无对应关系。原因就是附加项

dt

t q df )

,(α中同样含有αq

项，所以可以说由此得到的αp 与αq 是相互独立的。比较的这两种定义，显然后者更具有理论和实用价值。 3.正则共轭坐标

在保持广义坐标αq 的定义和广义动量α

αq L

p ∂∂=

的定义不变的基础上，对),(t q f α也不做

任何限制，可以使αp 与αq 保持相互独立，因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态，这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。

用这种坐标为基础在分析力学中开拓了一片崭新的领域—哈密顿正则方程和哈密顿原理等。这些结论最终又推广到了物理学别的领域并取得了很大的成就。

三：本节重点：正则共轭坐标（αp ，αq ）的物理意义。

§8.2 哈密顿函数和正则方程

哈密顿正则方程的建立可以有多种途径，本节我们准备从拉格朗日方程入手建立它。 一：哈密顿函数H.

1. H 的定义：用2S 个变量),(ααq p 表示的广义能量),(1

αααααq p H L q

p H s

=-=∑=

被称为哈密顿函数。下面我们来证明这种表示法是可行的。

证明：由),,(t q

q L αα 可得dt t L

dq q L q d q L dL s

s

∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==11ααα

ααα ， 另由拉格朗日方程得

)(ααq L dt d q L ∂∂=∂∂αααp p dt

d

q L ==∂∂⇒)(。所以dL 的上述表达式可改写为：

dt t

L

dq p q

d p dL s

s ∂∂++=∑∑==1

1

αααααα ○1 另外∑∑∑===+=s

s

s

dp q q d p q p d 1

1

1

)(ααααααααα ○2

由○2—○1可得 dt t

L

dq p dp q L q

p d s

s

s

∂∂--=-∑∑∑===1

1

1

)(ααααααααα （2.1） 因广义能量∑=-=s

L q

p H 1

ααα ，所以上式实际上可写成dt t

L

dq p dp q dH s

s

∂∂--=∑∑==1

1αααααα 。 在上述∑=-=s

L q p H 1

ααα 的表达式可见其中有αααq q p ,, 共3s 变量，但独立的变量只有2s 个。