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§1.7 质点的动量定理 一、动量定理 momentum theorem
动量 momentum
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
p mv
单位：千克·米/秒, kg·m/s
由Newton第二定律，得：
F
ma
m
dv
d
(mv)
即：
F
dp
dt dt
dt
这就是动量定理。
解： 由于作用时间很短，忽略重力影响。
则
设挡板对球的冲力为
rr
r
F
r
I Fdt mv2 mv1
取坐标，将上式投影：
y
v2 30º x 45º n
v1
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
mv
mv1
mv2
F
F
Fm
F
o t1
t
t2
例题：一重锤质量为m，从高h处自由落下，打 在地面不再跳起。设重锤与地面相互作用时间
为 Δt 。 求：重锤对地的平均冲力。
解： 重锤受两力： mg和N 由动量定理： (mg N )Δt ΔP
0 mυ m 2gh
对地平均冲力为:
对地平均冲力为:
F
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8 102 N
t
0.019
相当于 40kg 重物所受重力! O
t
0.019s
例题：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞 来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。 求：1）乒乓球得到的冲量；2）若撞击时间为 0.01s，则板施于球的平均冲力的大小和方向。
在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高速 运动情况下，只有动量定理成立。
二、冲量定理 impulse theorem
由动量定理，有：
Fdt
d (mv)
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
冲量 impulse
作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。
对涉及冲力的问题，由于力和加速度在极短时间内急剧变化，有时无 法知道力与时间的函数关系，不便于用牛顿第二定律求解，因此引入平均 冲力的概念，即力对时间的平均值定义为：
t2
F dt
F
t1
I
P2 P1 mv2 mv1
F
t2 t1 Δ t Δ t
Δt
Fm
讨论
动量与冲量的区别
①.动量是状态量；冲量是过程量； ②.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。
冲量定理的使用
①.计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。 ②.F为合外力，不是某一个外力。
t
③.动量定理的分量式： Ix to Fxdt px m vx vox
t
F I
Fdt
to
t t to
F
o
to
t t
平均冲力与同段时间内变力等效。
例题 有一冲力作用在质量为0.30kg的物体上，物体最初出于
静止状态，已知力 F 的大小与时间的关系为
2.5 104 t,0 t 0.02 F(t) 2.0 105 (t 0.07)2 ,0.02 t 0.07
④.平均冲力的计算由： F I t
例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横 杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别 为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击 力。
m 2gh
N' N
mg
Δt
注 这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当 意 前项远大于后一项时，才能不计自重。
例题：一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度 下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时 间仅0.019s。 求：对地平均冲力。
解：篮球到达地面的来自百度文库率
F
F(max)
v 2gh 2 9.8 2 6.3 m/s
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
rrr
r
r
I I xi I y j 0.061i 0.007 j N s
式中 F 的单位是 N ，t 的单位是s 。
求：（1）上述时间内的冲量、平均冲力大小； （2）物体末速度的大小。
4）平均冲力
在冲击和碰撞等问题中，
常引入平均冲力的概念。
F
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意 在 p 一定时
t 越小，则F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
Fx 6.1N Fy 0.7N
F Fx 2 Fy 2 6.14N
tan
Fy Fx
0.1148
6.54o
为平均冲力与 x 方向的夹
角
思考
I p
例1：撑杆跳运动员从横杆跃 过,落在海棉垫子上不会摔伤， 如果不是海棉垫子，而是大 理石板，又会如何呢？
例2：汽车从静止开始运动， 加速到20m/s。如果牵引力大， 所用时间短；如果牵引力小， 所用的时间就长。
如：打桩、小鸟与飞机相撞等
F
利用平均冲力可解释为何你会畏惧 砸向你的石块，而毫不在乎落下的树叶！
o t1
t
t2
冲力 impulsion
在冲击过程中，力一般是时间的函数。冲击过程中任一时刻质点所受 的合力称为此时刻质点上的冲力。
F dI
dt
F
平均冲力 mean impulsion
当变化较快时，力的瞬时值很 难确定，用一平均力代替该过 程中的变力，这一等效力称为 冲击过程的平均冲力。
元冲量 dI Fdt
t
冲量
I Fdt t0
冲量是矢量，其方向为合外力的方向。 单位：牛顿秒, N·s
冲量定理： I p 即：合外力的冲量等于质点的动量增量。
为何你毫不在乎树上掉下的树叶，却很畏惧空 中掉下的大石块？
平均冲力
作用时间极短、但力的变化很快又极为复杂，并且可以达到很大的数值， 这种力称为冲力。
动量 momentum
质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。
p mv
单位：千克·米/秒, kg·m/s
由Newton第二定律，得：
F
ma
m
dv
d
(mv)
即：
F
dp
dt dt
dt
这就是动量定理。
解： 由于作用时间很短，忽略重力影响。
则
设挡板对球的冲力为
rr
r
F
r
I Fdt mv2 mv1
取坐标，将上式投影：
y
v2 30º x 45º n
v1
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
mv
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F
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Fm
F
o t1
t
t2
例题：一重锤质量为m，从高h处自由落下，打 在地面不再跳起。设重锤与地面相互作用时间
为 Δt 。 求：重锤对地的平均冲力。
解： 重锤受两力： mg和N 由动量定理： (mg N )Δt ΔP
0 mυ m 2gh
对地平均冲力为:
对地平均冲力为:
F
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8 102 N
t
0.019
相当于 40kg 重物所受重力! O
t
0.019s
例题：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞 来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。 求：1）乒乓球得到的冲量；2）若撞击时间为 0.01s，则板施于球的平均冲力的大小和方向。
在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高速 运动情况下，只有动量定理成立。
二、冲量定理 impulse theorem
由动量定理，有：
Fdt
d (mv)
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
冲量 impulse
作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。
对涉及冲力的问题，由于力和加速度在极短时间内急剧变化，有时无 法知道力与时间的函数关系，不便于用牛顿第二定律求解，因此引入平均 冲力的概念，即力对时间的平均值定义为：
t2
F dt
F
t1
I
P2 P1 mv2 mv1
F
t2 t1 Δ t Δ t
Δt
Fm
讨论
动量与冲量的区别
①.动量是状态量；冲量是过程量； ②.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。
冲量定理的使用
①.计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。 ②.F为合外力，不是某一个外力。
t
③.动量定理的分量式： Ix to Fxdt px m vx vox
t
F I
Fdt
to
t t to
F
o
to
t t
平均冲力与同段时间内变力等效。
例题 有一冲力作用在质量为0.30kg的物体上，物体最初出于
静止状态，已知力 F 的大小与时间的关系为
2.5 104 t,0 t 0.02 F(t) 2.0 105 (t 0.07)2 ,0.02 t 0.07
④.平均冲力的计算由： F I t
例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横 杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别 为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击 力。
m 2gh
N' N
mg
Δt
注 这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当 意 前项远大于后一项时，才能不计自重。
例题：一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度 下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时 间仅0.019s。 求：对地平均冲力。
解：篮球到达地面的来自百度文库率
F
F(max)
v 2gh 2 9.8 2 6.3 m/s
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
rrr
r
r
I I xi I y j 0.061i 0.007 j N s
式中 F 的单位是 N ，t 的单位是s 。
求：（1）上述时间内的冲量、平均冲力大小； （2）物体末速度的大小。
4）平均冲力
在冲击和碰撞等问题中，
常引入平均冲力的概念。
F
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意 在 p 一定时
t 越小，则F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
Fx 6.1N Fy 0.7N
F Fx 2 Fy 2 6.14N
tan
Fy Fx
0.1148
6.54o
为平均冲力与 x 方向的夹
角
思考
I p
例1：撑杆跳运动员从横杆跃 过,落在海棉垫子上不会摔伤， 如果不是海棉垫子，而是大 理石板，又会如何呢？
例2：汽车从静止开始运动， 加速到20m/s。如果牵引力大， 所用时间短；如果牵引力小， 所用的时间就长。
如：打桩、小鸟与飞机相撞等
F
利用平均冲力可解释为何你会畏惧 砸向你的石块，而毫不在乎落下的树叶！
o t1
t
t2
冲力 impulsion
在冲击过程中，力一般是时间的函数。冲击过程中任一时刻质点所受 的合力称为此时刻质点上的冲力。
F dI
dt
F
平均冲力 mean impulsion
当变化较快时，力的瞬时值很 难确定，用一平均力代替该过 程中的变力，这一等效力称为 冲击过程的平均冲力。
元冲量 dI Fdt
t
冲量
I Fdt t0
冲量是矢量，其方向为合外力的方向。 单位：牛顿秒, N·s
冲量定理： I p 即：合外力的冲量等于质点的动量增量。
为何你毫不在乎树上掉下的树叶，却很畏惧空 中掉下的大石块？
平均冲力
作用时间极短、但力的变化很快又极为复杂，并且可以达到很大的数值， 这种力称为冲力。