点共线问题的证明方法
三点共线定理证明
三点共线定理证明
三点共线定理（Theorem of Three Points on One Line）是一个数学定理，它指出，如果三个不同的点都在同一条直线上，则这三个点必定位于同一条直线上。
它的证明可以用一般的方法，也可以用数学归纳法证明。
首先，假设有三个点A、B、C，它们都在同一条直线上。
我们需要证明：A、B、C三点共线。
1. 我们首先证明点A、B、C共线的基本情况——即当
A、B两点位于同一条直线上时，加入点C也在同一条直线上。
假设A、B两点位于同一条直线上，由定义，点C必须位于AB之间，即AB+BC=AC，所以AB+BC=AC，A、B、C三点共线，这就是基本情况的证明。
2. 假设基本情况已经证明，现在考虑一般情况，即假设有N个点A1、A2、…、AN，它们都在同一条直线上。
首先，当N=3时，根据基本情况，A1、A2、A3三点共线；当N=4时，A1、A2、A3三点共线，加入A4点，依然是A1、A2、A3、A4四点共线；以此类推，当N=n时，A1、
A2、…、An n个点共线。
3. 由于当N=3时，A1、A2、A3三点共线，当N=4时，A1、A2、A3、A4四点共线，当N=n时，A1、A2、…、An n个点共线，从而可以得出结论，即当有N个点A1、
A2、…、AN，它们都在同一条直线上时，A1、A2、…、AN N个点共线。
总结，三点共线定理可以用数学归纳法证明。
根据基本情况，A、B两点位于同一条直线上时，加入点C也在同一条直线上；通过对N个点的归纳，可以得出当有N个点A1、A2、…、AN，它们都在同一条直线上时，A1、
A2、…、AN N个点共线，即三点共线定理成立。
（2）点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用
2012年高中数学竞赛讲座在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。
n(n≥4)点共线可转化为三点共线。
例1 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。
又作平行四边形CFHD，CGKE。
求证：H，C，K三点共线。
证连AK，DG，HB。
由题意，AD EC KG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AK DG。
同样可证AK HB。
四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。
而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线。
例2如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。
求证：D，E，F三点共线。
证如图，连AC，DF，DE。
因为M在O上，则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，有△AMC∽△ACF，得FA BCDEFHKG第 3 页 共 23 页。
CDCFCA CF MA MC ==又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得。
AEADAE AC MA MC ==所以，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽AEADCD CF =△ADE 。
所以∠ADE =∠DFB 。
因为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ，E ，D 三点共线。
例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。
由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F 。
求证：P ，E ，F 三点共线。
证 如图。
连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆，连CM ，PF 。
设PF 与圆的另一交点为E ’，C E (E')ABDF PMQ G并作QG丄PF，垂足为G。
如何证明三点共线的几何性质
如何证明三点共线的几何性质在几何学中，三点共线是一个基本的概念。
如果三个点在同一直线上，我们称这三个点为共线点。
证明三点共线的几何性质是学习几何学的重要内容之一。
本文将介绍如何证明三点共线的几何性质，包括点的投影、互相连接以及面积等方法。
一、点的投影证明法点的投影证明法是最基本的证明方法之一。
通过将每个点在同一直线上进行投影，如果它们的投影点重合，则说明这三个点共线。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C，连成线段 AB、AC。
2. 以 AB 为直线，将点 C 在 AB 上进行投影，得到点C′。
3. 以 AC 为直线，将点 B 在 AC 上进行投影，得到点B′。
4. 连接点B′ 和C′。
如果连接点B′C′和直线 AB 重合，则 A、B、C 三点共线。
否则，三点不共线。
二、互相连接证明法这种方法利用了三点的连线特点。
连接两点得到线段，同时如果这个点与另外两个点都连线，那么它们应该互相连接。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C。
2. 连接点 A 和 B，得到线段 AB。
3. 连接点 A 和 C，得到线段 AC。
4. 连接点 B 和 C，得到线段 BC。
5. 如果线段 AB、AC、BC 任意两个相交，那么这三个点 A、B、C 共线；如果它们不相交，则说明三个点不共线。
三、面积证明法这是一种用于证明三点共线的几何性质的可靠的证明方法。
根据向量积的定义，如果三个向量的向量积为零，则这三个向量共面。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C，连接成ΔABC，即三角形 ABC。
2. 按照任意顺序带入向量公式：2×ΔABC=AB×AC+AC×BC+BC×BA，其中，2×ΔABC 是三角形 ABC 的面积，AB×AC+AC×BC+BC×BA 就是向量积。
3. 如果向量积为零，即2×ΔABC=0，则这三个点 A、B、C 共线，否则不共线。
证明点共线的方法
证明点共线的方法要证明几个点共线，可以使用以下几种方法。
1. 画出几何图形：首先，我们可以根据给定的点，画出相应的几何图形。
然后检查是否存在一条直线可以经过给定的点。
如果能够找到这样一条直线，那么这些点就是共线的。
例如，假设给定三个点A、B、C，我们可以使用直尺和圆规来画出以这三个点为顶点的三角形ABC。
然后我们可以观察这个三角形的性质，看是否存在一条直线通过三个点。
如果能够找到这样的直线，那么A、B、C就是共线的。
2. 使用向量的方法：对于平面上的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以使用向量AB(x2 - x1, y2 - y1)来表示从A到B的方向向量。
如果给定了三个点A、B、C，通过计算向量AB和向量AC的夹角，可以判断这三个点是否共线。
具体来说，如果向量AB和向量AC的夹角是0或180，那么A、B、C就是共线的。
3. 使用斜率的方法：对于平面上的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以计算通过这两个点的直线的斜率。
如果给定了三个点A、B、C，我们可以计算斜率AB和斜率AC，然后比较它们的值。
如果斜率AB等于斜率AC，那么A、B、C就是共线的。
需要注意的是，当斜率不存在时，比如两点的x坐标相同，我们需要特殊处理。
此外，当斜率为0时，表示直线平行于x轴；当斜率无穷大时，表示直线平行于y轴。
4. 使用面积的方法：对于平面上的点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，可以计算三角形ABC的面积。
如果三角形的面积为0，那么A、B、C就是共线的。
计算三角形的面积可以使用行列式的方法，即S = 0.5 * x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) 。
如果计算结果为0，说明三角形ABC是退化的，即三点共线。
5. 使用交点的方法：对于给定的几个点，我们可以连接它们的线段或直线，然后观察这些线段或直线的交点。
如果这些线段或直线相交于同一个点，那么这些点就是共线的。
如何证明三点共线高中数学
如何证明三点共线高中数学
要证明三个点共线，可以使用以下几种方法：
1. 通过观察法：观察三个点的位置关系，如果它们在一条直线上，那么就可以证明它们共线。
这种方法适用于简单的情况，例如三个坐标已知的点。
2. 使用向量法：可以使用向量的加法、减法和数乘来推导出三个点共线的关系。
具体方法是，设三个点分别为A(x1, y1)、
B(x2, y2)和C(x3, y3)，计算向量AB和向量AC的比例：
若向量AB = λ * 向量AC，则可以得出点A、B、C共线。
3. 利用斜率法：如果三个点的斜率相等，即点A、B、C的斜率相等，那么可以证明它们共线。
具体方法是，设三个点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，计算斜率k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1)和斜率k_AC = (y3 - y1) / (x3 - x1)，
若k_AB = k_AC，则可以得出点A、B、C共线。
4. 使用面积法：根据平行四边形的性质，如果三个点A、B、C的顺序在一条直线上，并且共同构成一个平行四边形，那么就可以推出它们共线。
具体方法是计算三角形ABC的面积，如果面积等于零，则可以得出点A、B、C共线。
需要注意的是，以上方法仅是一些常用的证明方法，具体在使用时要根据题目情况选择合适的方法。
另外，还可以使用其他高中数学的概念和定理来证明三个点共线，例如利用三角形的相似性质、圆的性质等。
三点共线的证明方法
三点共线的证明方法在几何学中，三点共线是一个非常重要的概念，也是一个基本概念。
三点共线的定义是：三个点任意排列，这三个点都在同一直线上。
那么要证明三点共线，便需要使用到几何学中的知识。
首先，我们先从直角三角形开始讲起，直角三角形中的两条直角边之间的角度是90°，若三点的形状不是直角三角形，那么就要考虑斜边的问题。
若三点不在一条直线上，那么斜边的角度就不会等于90°，也就是我们所说的斜边的角度比90°大或者小，由此可以判断出，三点是否共线。
接下来，还可以从两点之间的连线来考虑，即把第三点和剩下两点用连线相连，且用直尺量出连线的长度，如果三条线段的长度相等，那么就可以证明三点共线。
另外，极角的概念也可以帮助我们证明三点的共线性。
极角的定义是：如果一条直线上有两个点，用第一个点作为基准点，那么把一条射线与另一个点连接，射线经过的角度就称为极角，也可以理解为两个点之间的夹角。
如果三点在一条直线上，那么极角两点之间的夹角一定为180°，正好正反切，也就可以判断出三点共线。
此外，还可以用梯形的概念来证明三点共线，梯形的定义是：由两条平行线和两条非平行线所组成的四边形，判断三点是否共线的方法是：用三点画出一个四边形，如果在这个四边形中，任何一条边都不平行于另外一条边，那么三点就一定是共线的。
最后，可以用数学的方法来证明三点的共线性。
首先，确定三点在平面直角坐标系中的坐标，分别记作A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，然后计算A、B两点之间的斜率m1=(y2-y1)/(x2-x1)，再计算B、C两点之间的斜率m2=(y3-y2)/(x3-x2)，若m1=m2，那么说明三点共在一条直线上。
至此，我们总结出了几种可以证明三点共线的方法。
其中，最容易理解也最直观的就是极角的概念，如果三点的极角都是180°，就可以说明三点共线。
另外，数学的方法也能帮助我们证明三点的共线性，即计算出它们之间的斜率，若斜率相等，就可以证明三点共线。
共线点与共点线的证明方法
在 口上 的射影．在 Ｌ上任取
同一平面内 ，Ａ＇Ｂ ／／ＡＢ，Ｂ＇Ｃ ／／ＢＣ，Ｃ＇Ａ ／／ＣＡ．
一 点 Ｍ ，设 Ｎ 是 Ｍ 在 上
求证 ：ＡＡ 、ＢＢ 、ｃＵ交 于一点．
的射影 ，则 ＭＮ上 ．依直线和平面垂直 的性 质定理可
证法一 因 Ａ Ｂ ／／ＡＢ，Ｂ
知 ，ＭＮ／／ＰＡ，又 ＰＡＣ平 面 Ｐ０Ａ，ＭＥ平 面 ＰＯＡ，则 Ｃ ／／ＢＣ， Ａ ／／ＣＡ，可 设 Ａ Ｂ
爨
解题 方法 与技巧 ｚＨ鬟 ｉ＿ｌｌ 一
ＯＮＧ ＸＵＫｉ Ｋ｝Ｆ￣
共 线 点 与 共 点 绂 的 证 明 方 ．去
湖 北远安 县职教 中心 （４４４２００） 杨 春
点共线和线共点 的问题是立 体几 何 中常见 的问
因 Ｐ∈Ａ１Ｂｌ、Ｐ∈ＡＢ，】 平 面 ＡｌＢ１Ｃ１，
ＯＡ，则知 ＭＮ 平 面 ＰＡｏ，因为 ＰＡ上ａ，ＭＮｊ＿口，所 其 中 ＡＢ＝／＝Ａ Ｂ ，又 ＡＢ／／ｉ Ｂ ，则 ＡＡ 与 ＢＢ 不平
以 ＰＡ／／ＭＮ，而 ＰＡＣ平 面 ＰＯＡ，因此 ，ＭＮ／／平 面 行 ，设 ＡＡ ｎＢＢ 一Ｐ，又 知 ＰＥｆ ｌＮ．Ｐ∈ ７，由 于 ｆ ｌｒ１），
ＭＮ＇＿Ｌｍ因为过一点作与 已知平面垂直 的直线只有一 Ｂ Ｃ 与 ＢＣ、ＵＡ 与 ＣＡ 确定 的平 Ｂ
条，则 ＭＮ与 ＭＮ＇重合，所以 ＮＥＯＡ，命题成立．
面分别为 口、 、），，于是 ＡＡ 、ＢＢ
【例 ２】 如图 ，Ａ１、Ｂ 、Ｃ１别是 ＯＡ、ＯＢ、（ 上的 ｃａ则知 ＡＡ ／／ＢＢ ，又 因为 ＡＡ ｃｙ，ＢＢ ｃｐ且 Ｉ８Ｎｙ
ＰＯＡ．这与 ＭＮＮ平面 尸０Ａ—Ｍ 相矛盾 ，故 Ｎ∈ＯＡ． ＝Ｃｃ，，则 ＰＥＣＣ ，所 以 ＡＡ 、ＢＢ 、ｃＵ交 于一点．
三点共线的证明方法
三点共线的证明方法
已知三点坐标的情况下，方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式，代入
第三点坐标，看是否满足该解析式。
方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：a倍AB
向量=AC向量（其中a为非零实数）。
利用点差法求出ab斜率和ac斜率相等即三点共线；证三次两点一线；用梅涅劳斯定理；利用几何中的公理“如果两个不重合的'平面有一个公共点，那么它们有且只有一条
过该点的公共直线”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线；
运用公（的定）理“过直线外一点存有且只有一条直线与未知直线平行（横向）”，其实就是同一法；证明其夹角为° ；设a b c，证明△abc面积为0。
判断三点共线的方法
判断三点共线的方法
在二维平面内，任意两个不重合的点所连成的线段都有一个斜率，可以通过斜率是否相等来判断三个点是否共线。
假设我们有三个点
A(x1, y1), B(x2, y2)，和C(x3, y3)，我们可以计算出两条线段AB 和BC的斜率。
如果斜率相等，那么三个点就共线。
2. 向量法
另一种判断三个点是否共线的方法是使用向量。
假设我们有三个点A(x1, y1), B(x2, y2)，和C(x3, y3)，我们可以计算出两个向量BA和BC。
如果这两个向量的夹角为180度（即它们完全相反），那么三个点就共线。
3. 行列式法
行列式方法是通过计算一个3x3矩阵的行列式来判断三个点是
否共线。
假设我们有三个点A(x1, y1), B(x2, y2)，和C(x3, y3)，我们可以使用以下矩阵来计算。
| x1 y1 1 |
| x2 y2 1 |
| x3 y3 1 |
如果该矩阵的行列式等于0，那么这三个点就共线。
总结
以上三种方法都可以用来判断三个点是否共线。
每种方法都有其优点和缺点，具体使用哪种方法应取决于问题的具体情况。
高考数学专项讲解：专题3.7三点共线证法多,斜率向量均可做
【题型综述】
三点共线问题证题策略一般有以下几种:①斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线;②距离法:计算出任意两点间的距离,若某两点间的距离等于另外两个距离之和,则这三点共线;③向量法:利用向量共线定理证明三点共线;④直线方程法:求出过其中两点的直线方程,在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法:求出过其中某两点的直线方程,计算出第三点到该直线的距离,若距离为0,则三点共线.⑥面积法:通过计算求出以这三点为三角形的面积,若面积为0,则三点共线,在处理三点共线问题,离不开解析几何的重要思想:“设而不求思想”.
122
x y -=点. 41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(1)求椭圆的标准方程;
C (2)如图,已知是椭圆上的两个点,线段的中垂线的斜率为
且与交于点, 为坐标原,R S RS 12RS P O 点,求证: 三点共线.
,,P O M 【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点,建立关于a ,b ,c 的方程组从而得到41,33M ⎛⎫
(2)根据题意,设直线PQ的方程为y=k(x﹣3),联立直线与椭圆的方程可得(3k2+1)
x2﹣18k2x+27k2﹣6=0,设出P、Q的坐标,由根与系数的关系的分析求出、的坐标,由向量平行的坐标表示方法,分析可得证明;
(3)设直线PQ的方程为x=my+3,联立直线与椭圆的方程,分析有(m2+3)y2+6my+3=0,设P(x1,y1 ),Q(x2,y2),结合根与系数的关系分析用y1.y2表示出△FPQ的面积,分析可得答案.
(),代入抛物线方程消去x整理得,再设,,进而得,可得直线的方程为,又,,故BD方程化为
证明三点共线问题的方法Word版
证明三点共线问题的方法1、利用梅涅劳斯定理的逆定理例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。
解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC CCC BS AC C B S ∆∆=又易证11AC C CC B ∆∆.则11222AC C CC B S AC b S CB a∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故1112221112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c⋅⋅=⋅⋅=.由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。
2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。
(96中国奥数证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。
记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。
联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ，易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=，∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD因为2AM AE AB AH AD =⋅=⋅（B 、D 、H 、E 四点共圆），即AM ADAH AM=；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ∆∆，故AHM AMD ∠=∠同理，AHN AND ∠=∠。
因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。
3、利用面积法如果SS EMNFMN=∆∆，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与ABCC 1B 1A 1EF的中点三点共线。
通过一道题目看三点共线的常用证明方法(论文)
通过一道题目看三点共线问题的常用证明方法(陕西师范大学附中 张锦川 王全 710061)题目：如图,已知AB 是半圆O 的直径,,CA CD 是该半圆的切线,,A D 为切点,DE 垂直AB 于点E ,且F 为DE 中点,求证:,,B F C 三点共线.三点共线是平面几何中的典型问题，证法灵活多样，对于学生逻辑思维的锻炼及几何感觉的培养大有裨益.常见的证明方法有：利用角的关系证明、利用梅涅劳斯定理的逆定理证明、利用塞瓦定理的逆定理证明、利用向量共线证明、利用解析法证明、利用同一法证明等.下面，笔者拟使用这些方法对本题进行证明：思路一、利用角的关系证明：解法1：通过证EBF ABC ∠=∠来证点,,B F C 共线.证明：连接,,,OC OD AD BD ,由已知可得OC AD ⊥，又BD AD ⊥,∴ OC ∥BD ， 易知OACBED ∆∆,则AC ED OA BE =，即212AC EFBE AB =. 故AC EFAB BE=,即tan tan ABC EBF ∠=∠, 从而可得ABC EBF ∠=∠,故点,,B F C 共线.思路二、利用梅涅劳斯定理的逆定理证明：解法2：通过梅涅劳斯定理的逆定理证点,,B F H 共线来证明点,,B F C 共线.证明：同解法1得AC EF AB EB=,即EF AB BE AC ⋅=⋅. 故1DH AB EF DH AB DF AB EF ABHA BE FD HA BE AC BE BE AC⋅⋅=⋅=⋅=⋅=. 故点,,B F H 共线,从而可得点,,B F C 共线.FED OABCCF EOABDH CF EOABD解法3：由切线的性质得线段的关系后结合梅涅劳斯定理的逆定理证点,,B F C 共线. 证明：作BQ PD ⊥于点Q ,则由PD 为切线可知PDB BAD BDE ∠=∠=∠,故有BQ BE =.由PBQPCA ∆∆得BQ CA CDBP CP CP==. 于是有1PC DF EB BP DF EBCD FE BP BQ FE BP⋅⋅=⋅⋅=. 所以,由梅涅劳斯定理的逆定理可得点,,B F C 共线.解法4：由调和点列的相关知识与梅涅劳斯定理的逆定理直接证明点,,B F C 共线. 证明：由于AB 为直径,DE AB ⊥,以及PD 为切线可知:点,,,P A B E 成调和点列,即PA AEPB BE=. 又因DE ∥AC ,故PC PACD AE=. 因此有1PC DF EB PA BE CD FE BP AE PB⋅⋅=⋅=,于是由梅涅劳斯定理的逆定理可得点,,B F C 共线.注：利用梅涅劳斯定理的逆定理证明时，选择不同的三角形会得到不同的比式乘积.因而要挖掘题目的条件，选准方向进行求证.思路三、利用塞瓦定理的逆定理证明：解法5：由赛瓦定理的逆定理证点,,B F H 共线来证明点,,B F C 共线.证明：同解法1得DH DF EF BEAH AC AC AB===. 又由DF EF =可得A D F A E F S S ∆∆=,即sin sin DAF AEEAF AD∠=∠. 于是有sin sin ADG ABG S DG AD DAG AD AE AEBG S AB BAG AB AD AB∆∆∠===⋅=∠. 故1DG BE AH AE BE AB GB EA HD AB AE BE⋅⋅=⋅⋅=. 所以,由赛瓦定理的逆定理可得点,,B F C 共线.GH CFEOABD PCF EOABDQ PCFEOABD思路四、利用向量共线证明：解法6:可以利用向量共线的方法证明CF BF ∥. 证明:设AE AB λ=,EF AC μ=.∴ (1)CF CA AE EF AB AC λμ=++=+-； (1)BF BE EF AB AC λμ=+=-+. ∵ 向量AB 、AC 可以作平面内一组基底，∴ 点,,B F C 共线CF BF ⇔∥(1)(1)1λμλμλμ⇔=--⇔+=. 下面证明1λμ+=.(21)CD CA AE ED AB AC λμ=++=+-,两边平方可得222222222||||(21)||||(44)||CD AB AC AB AC λμλμμ=+-⇔=-2222||44||AB AC μμλ-⇔=， ①又10()()0()(2)02CO AD CA AO AE ED AC AB AB AC λμ⋅=⇔+⋅+=⇔-+⋅+= 22||4||AB AC λμ⇔=22||4||AB AC μλ⇔=, ② 由①,②可知224441μμμλμλλ-=⇔+=.∴ ,,B F C 三点共线.思路五、利用解析法证明：解法7：由于本题关系明确,且图形简单,因此用解析法来证明点,,B F C 共线. 证明：如图建立平面直角坐标系,不妨设圆的半径为1,点D 的坐标为(,)m n ,221m n +=且0m >,则由题意得点,B F 坐标依次为(1,0)B ,1(,)2F m n . 又由于CD OD ⊥,故直线CD 的方程为:1()m m y x m n x n n n=--+=-+. FED OABCyxCFEOABD而直线AC 的方程为1x =-,故可得直线CD 与直线CA 的交点1(1,)mC n+-.故可得2(1)BF n k m =-,12BC m k n+=-,又由221m n +=可得BC BF k k =,因此点,,B F C 共线.解法8:利用解析法,通过三角换元进行证明证明: 如图建立平面直角坐标系,不妨设圆的半径为1,设点(cos ,sin )D θθ,则1(cos ,sin )2F θθ,(1,0)A -,(1,0)B ；直线CD :cos sin 1x y θθ+=,直线CA :1x =-.由1cos sin 11cos 1sin x x y x y θθθθ=-⎧+=⎧⎪⇒+⎨⎨=-=⎩⎪⎩,则点C 的坐标为1cos (1,)sin θθ+-. ∴ 1cos 2sin BC k θθ+=-,sin 2(cos 1)BF k θθ=-.易知BC BF k k =,∴ ,,B F C 三点共线.问题延伸:由解法8可知,如果将图在纵轴方向上进行伸缩变换,圆变成椭圆,直线CA 、CD 成为椭圆的切线,点F 仍为DE 的中点,,,B F C 三点依然共线.证明:如图,建立平面直角坐标系,不妨设半椭圆的方程为22221(,0)x y a b a b+=>,0y ≥.设点(cos ,sin )D a b θθ,则(cos ,sin )2bF a θθ,(,0)A a -,(,0)B a ；直线CD :cos sin 1x y a bθθ+=,直线CA :x a =-. 由cos sin 1(1cos )sin x y x aa b b y x a θθθθ=-⎧⎧+=⎪⎪⇒+⎨⎨=⎪⎪=-⎩⎩,则点C 的坐标为(1cos )(,)sin b a θθ+-.∴ (1cos )2sin BC b k a θθ+=-,sin 2(cos 1)BF b k a θθ=-.易知BC BF k k =,∴ ,,B F C 三点共线.yxCFEOABDy xC FEOABDCFEOABDABODlFEABOD CFEABODCFEABOD 思路六、利用同一法证明：解法9:用同一法证明直线BC 与DE 的交点就是线段DE 的中点.证明:设BC 交DE 于F ',如图,2BE BA OAF E CA CA =='. DF EF ''=212BE OACA DE ⇔=BE OA DE CA ⇔=. 由解法一可知OAC BED ∆∆,从而BE OADE CA=成立. 因此点F 与点F '为同一点,从而得点,,B F C 共线.注：由解法9可知直线CD 切半圆O 于点D 的充要条件是F 为DE 中点(椭圆上条件也是充要的).因此，如果换一个角度去看这个问题，已知圆上一点，可以作出圆上该点处的切线；已知道椭圆上一点，也可以作出椭圆上该点处的切线.特别地，对于椭圆来讲，在已知椭圆的长轴的情况下，作图方法简单易行.现举例作图如下：已知：椭圆O 的长轴为AB ，D 是椭圆上异于A 、B 的任一点. 求作：椭圆在点D 处的切线.作法：1.过点A 作直线l AB ⊥；作DE AB ⊥于E ,取DE 的中点F ； 2.作直线BF 交直线l 于点C ；3.作直线CD ，则直线CD 为所求作的切线.。
三点共线的证明方法
三点共线的证明方法袁竞成题目已知点A（1，2）、B（2，4）、C（3，6），求证：A、B、C三点共线。
方法1：利用定比分点坐标公式证明三点共线设P（）分AC所成的比为，则= 1。
方法2：利用向量平行的充分条件来证明三点共线，向量方法3：其中一个点到另外两个点所在直线的距离为0由两点式求得直线AB的方程为方法4：的面积为0证明三点共线方法5：直线夹角为0来证明三点共线2方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式。
代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）方法二：设三点为A、B、C 。
利用向量证明：a倍AB向量=AC向量（其中a为非零实数）。
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
方法四:用梅涅劳斯定理注意梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。
其实就是同一法。
方法七：证明其夹角为180°方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0方法九：帕普斯定理注意帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。
帕普斯定理[。
初中数学竞赛证明三点共线
初中数学竞赛证明三点共线要证明三点共线，我们可以使用反证法。
假设有三个点A,B和C，我们要证明它们共线。
那么我们可以假设它们不共线，即A,B和C不在同一条直线上。
首先，我们可以连接AB和AC这两条线段。
这样我们就得到了一个三角形ABC。
在三角形ABC中，我们可以找到一个内角D，使得D是一个钝角。
我们假设D是钝角。
现在，我们将点B向点C移动。
点B移动到B'，新的线段BB'与AC相交于点E。
由于AB'与AC相交于E，所以根据隐含的直角定理，我们可以得知E是一个直角，即∠AEB'=90°。
同理，我们将点C向点B移动，点C移动到C'，新的线段CC'与AB相交于点F。
由于AC'与AB相交于F，我们可以得知F是一个直角，即∠AFC'=90°。
现在，我们来考虑线段BB'和CC'的关系。
根据直线的传递性，我们可以得知∠EAF'=∠CFB'。
同时，根据直角的性质，我们可以得知∠EAF'=∠CAF'和∠CFB'=∠CBF'。
因此，∠CBF'=∠CAF'。
现在，考虑三角形BC'F'和AC'F'。
根据共边原理，我们可以得知∠C'BF'=∠A'CF'和∠F'CB'=∠F'CA'。
因此，∠C'BF'=∠A'C F'。
现在，我们来考虑三角形BC'F'和BA'F'。
根据角边对应原理，我们可以得知∠C'BF'=∠B'AF'和∠F'CB'=∠F'BA'。
因此，∠C'BF'=∠B'AF'。
现在，我们来考虑线段ABB'和ACC'的关系。
初中数学中三点共线的方法
初中数学中三点共线的方法
1.两个角，如果两角相邻且加在一起180°，就是三点共线。
2.利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”。
可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
3.在三角形中，AB+BC=AC，所以B点在AC上，所以：ABC三点共线。
1三点共线证明
例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。
求证M、N、K三点共线。
由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、RQ、RP上，根据公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分别在直线CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根据公理3可知M、N、K在平面PQR与平面BCD的公共直线上，所以M、N、K三点共线。
关于点共线、线共点问题的多种证法
关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。
而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。
对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。
关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。
而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。
对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。
因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。
比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。
如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。
这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。
用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。
1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应：定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。
同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。
由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。
证明四点共线的定理
证明四点共线的定理四点共线的定理是几何学中的基本定理之一，它表明如果四个点在同一条直线上，那么它们就是共线的。
这个定理在几何证明中经常被使用，因为它为我们提供了一种简单而直接的方法来判断四个点是否共线。
下面将详细阐述这个定理的证明过程。
我们假设有四个点A、B、C和D，我们要证明这四个点共线。
为了方便，我们可以将这四个点的坐标表示为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)和D(x4, y4)。
我们可以使用向量的方法来证明这个定理。
假设向量AB、AC和AD都在同一个直线上，我们需要证明向量AB、AC和AD的线性组合为零。
根据向量的定义，我们可以将向量AB表示为向量BA的相反数，即AB = -BA；同样，向量AC可以表示为-CA，向量AD 可以表示为-DA。
现在，我们将向量AB、AC和AD的线性组合表示为以下形式：m(AB) + n(AC) + p(AD) = 0其中，m、n和p是任意实数。
根据向量的运算规则，我们可以将上述等式展开为以下形式：m(BA) + n(CA) + p(DA) = 0接下来，我们可以将向量BA、CA和DA表示为它们的坐标差值，即：m(x1 - x2, y1 - y2) + n(x1 - x3, y1 - y3) + p(x1 - x4, y1 - y4) = 0将上述等式展开，得到：mx1 - mx2 + nx1 - nx3 + px1 - px4 + my1 - my2 + ny1 - ny3 + py1 - py4 = 0将相同项合并，得到：x1(m + n + p) - x2m - x3n - x4p + y1(m + n + p) - y2m - y3n - y4p = 0我们可以将上述等式分为x坐标和y坐标两个方程：x1(m + n + p) - x2m - x3n - x4p = 0y1(m + n + p) - y2m - y3n - y4p = 0现在，我们需要证明当且仅当m + n + p = 1时，上述两个方程才成立。
射影观点下点共线问题的证明
射影观点下点共线问题的证明射影观点下点共线问题的证明在几何学中，点共线问题是一个经典的问题，尤其在射影几何中更是一个重要的概念。
根据射影观点，点共线问题实际上是在平面几何中的一种延伸，深入研究这个问题对于我们理解几何学的本质和原理至关重要。
在本文中，我将从简到繁地探讨射影观点下点共线问题的证明，希望能够对读者有所启发和帮助。
一、点共线的定义和基本原理在开始证明之前，我们首先需要了解什么是点共线，以及在射影几何中的基本原理。
在平面几何中，三个点如果在同一条直线上，就称它们共线。
在射影几何中，点共线的定义和平面几何中并无二致，但是在处理无穷远点和射影变换时，我们需要借助射影观点来解释和证明点共线问题。
二、射影观点下点共线问题的延伸在射影几何中，点共线问题并不仅限于有限点的共线性，还包括了无穷远点的共线性。
射影几何中的点和线是通过射影变换相互联系的，而无穷远点则是射影几何中独特的概念。
证明点共线问题需要考虑有限点和无穷远点的共线性，这也是射影几何和平面几何的一个重要区别所在。
三、证明点共线问题的基本方法在证明点共线问题时，我们可以借助射影坐标系和射影几何的基本定理进行推导和论证。
射影坐标系可以帮助我们将有限点和无穷远点统一起来，从而简化问题的复杂度。
射影几何的基本定理如帕斯卡定理和倍比定理等也是我们证明点共线性的重要工具，通过这些定理可以得出点共线的必要条件和充分条件。
四、个人观点和理解在我看来，射影观点下点共线问题的证明是射影几何中的一个经典而又复杂的问题。
通过深入研究这个问题，我不仅对射影几何有了更深刻的理解，也从中领悟到了数学证明的方法和技巧。
我相信，通过不断地思考和探索，我们能够更好地理解点共线问题及其在射影几何中的意义，从而为数学领域的发展做出更大的贡献。
总结回顾通过本文的探讨，我们对射影观点下点共线问题的证明有了更深入的了解。
我们从点共线的基本定义和原理出发，延伸到射影几何中特有的概念和定理，最终得出了对点共线问题的证明和个人观点。
三点共线,线共点
是平行四边形，于是 第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、 塞瓦定理 的应用。
1•点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。
n(n A 4)点共线可转化为三点共线。
例1如图，设线段AB 的中点为C,以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ,BFCG 。
又作平行四边形 CFHD , CGKE 。
求证：H , C , K 三点共线。
证连AK , DG , HB 。
£可证AK^HB 。
四边形AHBK 其对角线AB , KH 互相平分。
而C 是AB 中点，线段KH由题意，AD^EC^KG , 是平行四边形,过C点，故K, C, H 点共线例2 如图所示，菱形ABCD中，/A=120 ° , O为△ABC外接圆，M为其上点，连接MC交AB于E, AM 交CB延长线于F。
求证：D , E, F 点共线证如图，连AC ，DF ，DE因为M 在Go 上,则 ZAMC =60 ° zSABC= ZACB ， 有△AMC S /ACF ,得MC CF CF MA CA CD又因为Z AMC = BAC ，所以A AMC ^z EAC ,得 MC AC ADMA AE AECF AD 所以 ，又Z BAD = ZBCD=120。
，知Z FD s CD AE△ADE 。
所以Z ADE= /DFB 。
因为 AD //BC ，所以Z ADF= ZDFB= ZADE ,于是 F ,E , D 三点共线例3 四边形ABCD 内接于圆，其边 AB 与DC 的延长线交于点P , AD 与BC的延长线交于点Q 。
由Q 作该圆的两条 点分别为E , F 。
求证：P , E , F 三点共 如图。
连接PQ ,并在PQ 上取一点M ，使得切线QE 和QF , 切B ,C , M , P 四点共圆，连 CM , PF 。
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一、点共线问题
证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．
1．如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，AC
BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线．
证明：连结11AC ，1C ∈ 平面11A
ACC ，且1C ∈平面1DBC ， 1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．
又M AC M ∈∴∈ ，
平面11A ACC ． M BD M ∈∴∈ ，平面1DBC ．
M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1AC 与截面1DBC 的交点， O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点．
1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线．
2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）．
分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β．
又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β，
即 E 为平面α与β的一个公共点．
同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．
∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴ E ，F ，G ，H 四点必定共线．
点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．。