点共线问题的证明方法

一、点共线问题

证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．

1．如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，AC

BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线．

证明：连结11AC ，1C ∈ 平面11A

ACC ，且1C ∈平面1DBC ， 1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．

又M AC M ∈∴∈ ，

平面11A ACC ． M BD M ∈∴∈ ，平面1DBC ．

M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1AC 与截面1DBC 的交点， O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点．

1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线．

2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）．

分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β．

又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β，

即 E 为平面α与β的一个公共点．

同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．

∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴ E ，F ，G ，H 四点必定共线．

点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．