华理线代答案7 khdaw

即
⎢⎢k
⎥ ⎥
=
λ
⎢⎢1
2
1⎥⎥⎢⎢k
⎥ ⎥
,
w ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣1 1 2⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
网 w 即
⎧ 1 = λ(3 + ⎩⎨k = λ(2 +
k) 2k)
,
解得 ⎩⎨⎧kλ1 1==−12 , ⎩⎨⎧λk2 2==114 ,
故有
案k = −2 或 k = 1.
答 6. 设ξ1,ξ2 分别是矩阵 A 属于不同特征值 λ1, λ2 的特征向量, 试证:
⎡1 0 0⎤ 特征向量, 从而 A 相似于对角阵 Λ = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ .
⎢⎣0 0 3⎥⎦
⎡− 2 − λ
om (2)
A
−
λI
=
⎢ ⎢
1
c ⎢⎣ 1
0 2−λ
0
−4 ⎤
1
⎥ ⎥
,
3 − λ⎥⎦
w. 由 A − λI = −(2 − λ)2 (λ + 1) = 0 得 A 的特征值 λ1 = λ2 = 2, λ3 = −1.
华东理工大学
线性代数 作业簿（第七册）
学 院____________专 业____________班 级____________ 学 号____________姓 名____________任课教师____________
5.1 方阵的特征值与特征向量
om 1. 求下列矩阵的特征值与特征向量:
c ⎡−1 1 0⎤
.k 2. 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为1,−1,2 , B = A3 − 5A2 ,求 B 的特征值. ww 解: 容易证明， 当 λ 是 A 的特征值时, 则矩阵 A 的多项式 f (A) 必 w 有 特 征 值 f (λ) . 设 B = f (A) = A3 − 5A2 , 则 B 有 特 征 值 :
⎢⎣− 3 6 1⎥⎦
解:（1） 由 A − λI = −(λ −1)2 (λ + 2) , 可得矩阵 A 的特征值位
m λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2 .
co 对 应 特 征 值 λ1 = λ2 = 1 , 有 两 个 线 性 无 关 特 征 向 量
aw. ⎡− 2⎤
⎡0⎤
hd p1
=
⎢ ⎢
m 当 λ3 = 5 时, 解方程: ( A − 5I )x = 0 , 由
co ⎡−4 2 2 ⎤ ⎡1 0 −1⎤
⎡1⎤
w. A − 5I
=
⎢ ⎢
2
−4
2
⎥ ⎥
~
⎢⎢0
1
−1⎥⎥ , 得基础解系为
p3 = ⎢⎢1⎥⎥ ,
a ⎢⎣ 2 2 −4⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
hd 故对应 λ3 = 5 的全部特征向量为 kp3(k ≠ 0) .
hda ⎡− 4 0 − 4⎤ ⎡1 0 1⎤
.k 再
由
A − 2I
=
⎢ ⎢
1
0
1
⎥ ⎥
~
⎢⎢0
0
0⎥⎥
知
方
程
组
w ⎢⎣ 1 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
ww (A − 2I )x = 0 有两个线性无关的特征向量；
案网 而单根 λ3 = −1 必有另一特征向量, 故 A 有三个线性无关的特
⎡2
om ⎡2 0 0⎤
⎡2 0 0 ⎤
.c 4．已知矩阵 A = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ 与 B = ⎢⎢0
y
0
⎥ ⎥
相似，
w ⎢⎣0 1 x⎥⎦
⎢⎣0 0 −1⎥⎦
a (1)求 x, y ；(2)求一个满足 P−1AP = B 的可逆阵 P .
hd 解: (1)由 A 相似于 B , 得 | A − λI |=| B − λI | , 即
2. 问下列矩阵能否与对角阵相似？为什么？
⎡1 2 3⎤ (1) A = ⎢⎢0 2 3⎥⎥ ;
⎢⎣0 0 3⎥⎦
⎡− 2 0 − 4⎤
(2)
A
=
⎢ ⎢
1
2
1
⎥ ⎥
;
⎢⎣ 1 0 3 ⎥⎦
⎡ 2 −1 2 ⎤
(3)
A
=
⎢ ⎢
5
−3
3
⎥ ⎥
.
⎢⎣−1 0 − 2⎥⎦
解：(1)显然 A 有三个不同的特征值1,2,3 , 故 A 有三个线性无关的
da Ax = λx , h 所以有
.k (Ax)T Ax = (λx)T λx = λ2xT x , w 另一方面, 又有
ww ( Ax)T Ax = xT AT Ax = xT Ix = xT x ,
网 结合上述两式得 λ2 = 1 , 即 λ = ±1.
5.2 相似矩阵
案
答 1.已知 A 是 n 阶可逆矩阵， 如果 A 与矩阵 B 相似，则下列四个命
当 λ1 = λ2 = 1 时, 解方程 ( A − I )x ห้องสมุดไป่ตู้ 0 , 由
网 ⎡−2 1 0⎤ ⎡1 0 1⎤
⎡1⎤
案 A − I = ⎢⎢−4
2
0⎥⎥ ~ ⎢⎢0
1
2⎥⎥ , 得基础解系为
p1
=
⎢ ⎢
2
⎥ ⎥
,
答 ⎢⎣ 1 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
⎢⎣− 1⎥⎦
后 故对应 λ1 = λ2 = 1 的全部特征向量为 kp1(k ≠ 0) ;
.k 2 − λ 0 0 2 − λ 0
0
w 0 − λ 1 = 0 y − λ 0 ,
ww 0 1 x − λ 0 0 −1− λ
亦即
网 (2 − λ)[λ(λ − x) −1] = (2 − λ)(λ − y)(λ +1) ,
案 解之得 x = 0, y = 1 ；
(2) A 与 B 有相同的特征值 λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = −1,
(λ0 − λ1)ξ1 + (λ0 − λ2 )ξ2 = 0 , 再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”, 知
必有 λ0 − λ1 = λ0 − λ2 = 0, 即得 λ1 = λ2 , 与已知条件 λ1 ≠ λ2 矛 盾, 故命题得证.
7. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 证明 AB 与 BA 有相同的特征根.
1
⎥ ⎥
,
p2 = ⎢⎢0⎥⎥ ；
k ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
w. ⎡−1⎤
ww 对应特征值 λ3 = −2 , 有一个线性无关特征向量
p3
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
；
网 因为 A 有三个线性无关的特征向量, 所以 A 可对角化.
案⎡− 2 0 −1⎤
答 取 P
= [ p1 p2 p3 ]
=
⎢ ⎢
1
0
1
⎥ ⎥
再由
A
+
I
=
⎢ ⎢
5
−2
3
⎥ ⎥
~
⎢⎢0
⎢⎣−1 0 −1⎥⎦ ⎢⎣0
0 1⎤ 1 1⎥⎥ , 0 0⎥⎦
知方程组
( A + I )x = 0 只有一个线性无关的特征向量, 即三阶矩阵 A 没有三
个线性无关的特征向量, 故 A 不能相似于任何对角矩阵.
⎡ 4 6 0⎤ 3. 设矩阵 A = ⎢⎢− 3 − 5 0⎥⎥ . (1)证明 A 可对角化; (2)计算 An .
⎡1
4.
设
A
=
⎢ ⎢
2
⎢⎣− 3
a =( ).
(A) 2 ;
−1 1⎤ 4 a⎥⎥ , 且 A 有 特 征 值 λ1 = 6, λ2 = λ3 = 2 , 则 − 3 5⎥⎦
(B) − 2 ;
(C) 4 ;
(D) − 4 .
1 −1 1
解: B. 一方面 | A |= λ1λ2λ3 = 24 ； 又 | A |= 2 4 a = 6(6 + a) , −3 −3 5
课 当 λ3 = 2 时, 解方程 ( A − 2E)x = 0 , 由 ⎡−3 1 0⎤ ⎡1 0 0⎤
⎡0⎤
A − 2I = ⎢⎢−4 1 0⎥⎥ ~ ⎢⎢0 1 0⎥⎥ , 得基础解系为 p2 = ⎢⎢0⎥⎥ ,
⎢⎣ 1 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
故对应 λ3 = 2 的全部特征向量为 kp2 (k ≠ 0) .
,
则有
后 ⎢⎣ 0 1 1 ⎥⎦
⎢⎣ 1 ⎥⎦
课
⎡1
⎤
P
−1
AP
=
Λ
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
;
⎢⎣
− 2⎥⎦
⎡−1 −1 0⎤ (2)由（1）知 A = PΛP−1 , 而 P−1 = ⎢⎢−1 − 2 1⎥⎥ , 故
⎢⎣ 1 2 0⎥⎦
An = (PΛP−1)n = PΛn P−1
⎡− 2 0 −1⎤⎡1n
A + I = ⎢⎢2 2 2⎥⎥ ~ ⎢⎢0 0 0⎥⎥ , 得 基 础 解 系 为 ⎢⎣2 2 2⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
⎡− 1⎤
p1
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
,
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡− 1⎤
p1
=
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
，故对应
λ1
=
λ2
=
−1 的全部特征向量为
⎢⎣ 1 ⎥⎦
k1 p1 + k2 p2 (k1k2 ≠ 0) ;
0 0 1−λ
因 为 A 有 特 征 值 为 1,2,3 得 :
⎧(1 − 2)[(1 − 2)( y − 2) − 2x] = 0
⎨ ⎩
(1
−
3)[(1
−
3)(
y
−
3)
− 2x]
=
0
,
即
⎧2x + y − 2 = 0
⎨ ⎩
x
+
y
−3
=
0
,
解得
⎧x = −1
⎨ ⎩
y
=
4
,
z 无限制,
故
x = −1, y = 1, z ∈ R .
所以得 a = −2 .
om ⎡2 1 1⎤ .c 5.设向量 α = [1, k,1]T 是矩阵 A = ⎢⎢1 2 1⎥⎥ 的逆矩阵 A−1 的特征向
aw ⎢⎣1 1 2⎥⎦ d 量, 试求常数 k 的值.
kh⎡1⎤ ⎡2 1 1⎤⎡1⎤
w. 解：设 A−1α = λα ,
左乘 A 得
α = λAα ,
⎤
答 征向量，从而三阶矩阵
A
能够相似于对角阵
⎢ ⎢
2
⎥ ⎥
.
后 ⎢⎣
− 1⎥⎦
课 ⎡2 − λ −1
2⎤
(3)
A
−
λI
=
⎢ ⎢
5
−3−λ
3
⎥ ⎥
,
⎢⎣ −1
0 − 2 − λ⎥⎦
由 A − λI = −(λ + 1)3 = 0 得 A 的特征值 λ1 = λ2 = λ3 = −1.
⎡ 3 −1 2 ⎤ ⎡1
⎤⎡−1 −1 0⎤
=
⎢ ⎢
1
0
1
⎥⎢ ⎥⎢
1n
⎥⎥⎢⎢−1 − 2 1⎥⎥
⎢⎣ 0 1 1 ⎥⎦⎢⎣
(−2)n ⎥⎦⎢⎣ 1 2 0⎥⎦
⎡ 2 − (−2)n 2 − 2(−2)n 0⎤
=
⎢ ⎢
1
+
(−2)n
−1 + 2(−2)n 0⎥⎥ .
⎢⎣−1 + (−2)n − 2 + 2(−2)n 1⎥⎦
证明: 只要证明 AB 的特征值都是 BA 的特征值即可.
如 果 0 是 AB 的 特 征 值 , 则 得 | AB |= 0 , 从 而
| BA |=| A || B |=| AB |= 0 , 故 0 也是 BA 的特征值;
再设 λ 是 AB 的任意一个非零特征值, 对应的特征向量为 x ,
即有
(AB)x = λx ,
两边左乘 B 得 B(AB)x = λBx , 即
(BA)(Bx) = λ(Bx) ,
显然 Bx ≠ 0（否则有 λx = (AB)x = A(Bx) = 0 , 得到 λ = 0 , 矛盾）,
故 λ 也是 BA 的特征值, 对应的特征向量为 Bx .
com 8．设 A 为实正交矩阵, 即 AT A = I , 证明: A 的特征值的绝对值只 . 能是1或 −1. w 证明: 设 λ 是 A 的特征值, x 是对应 λ 的特征向量, 即有
ξ1 + ξ2 不可能是 A 的特征向量.
后 解: 设ξ1 + ξ2 是 A 的对应于特征值 λ0 的特征向量, 即有 课 A(ξ1 + ξ2 ) = λ0 (ξ1 + ξ2 ) = λ0ξ1 + λ0ξ2 ,
另一方面, 又有
综合得
A(ξ1 + ξ2 ) = Aξ1 + Aξ2 = λ1ξ1 + λ2ξ2 ,
网 f (1) = −4 , f (−1) = −6 , f (2) = −12 .
案 ⎡1 2 3⎤
答 3.设矩阵
A
=
⎢ ⎢
x
y
z
⎥ ⎥
,
且 A 的特征值为1,2,3 ,
求 x, y, z .
后⎢⎣0 0 1⎥⎦ 课 1−λ 2
解: | A − λI |= x y − λ
3 z = (1 − λ)[(1 − λ)( y − λ) − 2x] = 0 ,
1−λ 2 2 解: (2) 由| A − λI |= 2 1− λ 2 = (λ + 1)2 (5 − λ) = 0 ,
2 2 1−λ
解得 A 的特征值为: λ1 = λ2 = −1, λ3 = 5 , 当 λ1 = λ2 = 1 时, 解方程 ( A + I )x = 0 , 由 ⎡2 2 2⎤ ⎡1 1 1⎤
⎡1 2 2⎤
w. (1) A = ⎢⎢− 4 3 0⎥⎥ ; (2) A = ⎢⎢2 1 2⎥⎥ .
da ⎢⎣ 1 0 2⎥⎦
⎢⎣2 2 1⎥⎦
h −1− λ 1 0
.k 解:（1）由 | A − λI |= −4 3 − λ 0 = (2 − λ)(1 − λ)2 = 0 ，
w 1
0 2−λ
ww 解得 A 的特征值为: λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2 ,
题中，
后 (1) AB 与 BA 相似, 课 (3) A−1与 B−1 相似,
(2) A2 与 B2 相似, (4) AT 与 BT 相似,
正确的命题共有( ).
(A) 4 ;
(B) 3 ;
(C) 2 ;
(D)1.
解：A. (2)、（3）、（4）显然；（1）成立是因为 B −1(BA)B = AB .