2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛全国一等奖A题城市表层土壤重金属污染分析

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛城市表层土壤重金属污染分析摘要本文主要研究重金属对城市表层土壤污染的问题,我们根据题目所给定的一些数据和信息分析并建立了扩散传播模型、权重分配模型、对比模型和转换模型解决问题。

首先，我们利用Matlab 软件拟出该城区地势图（图1），根据所给数据绘出该地区的三维地势及采样点在其上的综合空间分布图。

之后将8种重金属的浓度等高线投影到该地区三维地形图曲面上，接着分别计算8种重金属在五个区域的平均值，立体图和平面图（图1附件）相结合便可得出8种重金属元素在该城区的空间分布。

其次，在确定该城区内不同区域重金属的污染程度时，我们运用两种方法进行解答。

先假设各重金属毒性及其它性质相同，运用公式ij ij P C P='求出各区域各金属相对于背景平均值的比值作为金属污染程度，再运用1j i ij j C C ==∑求出各区域重金属污染程度，并将各区进行比较。

之后，我们加上各重金属的毒性，对各重金属求出权数，再结合国标重金属污染等级和已知的各组数据来确定金属的污染程度。

由上述两种方法的对比，更准确地得出重金属对各区的影响程度。

即： 工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区并根据第一个模型的数据来说明重金属污染的主要原因。

再次，对重金属污染物的传播特征进行了分析，判断出重金属污染物主要是通过大气、土壤和水流进行传播。

在分析之中，我们得出这三种状态的传播并不是孤立存在的，而是可以相互影响和叠加的，因此，我们分别建立三个传播模型，再对这三个传播模型进行了时间和空间上的拟合，得出重金属浓度最高的区域图，并结合各重金属的分布图（图6）来确定各污染源的位置。

最后，本题中只给出了重金属对土壤的污染，对于研究城市地质环境的演变模式，还需要搜集一些信息（图7）。

根据每种因素对地质环境的影响程度进行由定性到定量的转化。

建立同一地质时期地质环境中各因素的正影响和负影响的权重分配模型，再对这些权重进行验算和修正。

从而，根据这些权重再建立预测模型便可反向推出各重金属对不同时期地质环境的影响，得出随时间变化的地质环境的演变模式。

结论：在本次模型建立中，我们得出以下结论：1.重金属在各个区域中的污染严重程度为：工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区2.各重金属的污染源主要分布在工业区和交通区关键词：重金属污染 三维地形图 时空结合 地质环境演变 影响因子权重一．问题重述1.问题背景目前，社会经济发展迅速，人口数量不断增加，环境污染现象日显突出，尤其重金属对土壤的污染更受广泛关注。

土壤状况直接影响着动植物的生长和安全，甚至通过食物链进入人体，导致一些慢性疾病的发生。

对于具有独立的系统来说，人们的生活和生产将会给环境和土壤造成污染，而且，每一个区域的功能不同，如山区、生活区、工业区、主干道路区和绿地区等，对环境和土壤的污染程度也不同。

所以，做好调查分析，控制污染源是现今的关键。

2.提出问题：（1）.根据题中所给各区域点的坐标，绘制中该区的空间分布图，计算不同重金属对该区的影响。

（2）.分析数据，考虑浓度分布和客观因素，说明重金属的来源。

（3）.分析重金属产生后的传播特性，并建立模型确定污染源的位置。

（4）.考虑重金属浓度和客观因素优化模型并推广，以便对城市地质环境的演变做更准确的分析和预测。

二．问题分析（1）.由于各种重金属在各个区域的浓度都不同，所以对不同区域的影响程度也不同，根据题中所给采样点的坐标和各重金属的浓度，用MATLAB软件绘制出重金属在该区的空间分布图及8种重金属的浓度等高线在该地区三维地形图曲面的投影图。

利用平均数法求得各种金属在不同区域的影响。

在考虑重金属毒性的情况下，利用加权平均数求出各种金属的污染程度。

两种方案作对比，找出最优化方案。

（2）.在上题的结论基础上，依据各种重金属在不同区域的浓度大小，通过分析比较，并考虑各区域的特点，可以分析出重金属的主要来源。

（3）.由于重金属产生后的传播途径有很多，本题忽略其它因素，只考虑水体、大气和土壤传播，分别建立水体传播模型，大气沉降模型和固体传播模型，并结合三者在传播过程中在时间和空间上的相互影响和制约，对污染源的位置进行准确的定位。

（4）.在研究城市地质环境演变的过程中，除运用到重金属的浓度之外，还应搜集重金属的沉积和埋藏深度、生活污水，废气污染、地壳运动植物和微生物的净化。

根据污染毒性的大小确定各项的权重，。

由此建立模型推出不同时期地质环境的变化，即演变模式。

三．问题假设1.假设重金属元素在土壤和水中化学反应均匀。

2.假设各区域成土母质中含重金属的浓度是相同的。

3.假设各地区重金属分布稳定，污染源排放量不变4.假设各数据拟合的函数是光滑曲线，且各外在因素都忽略。

5.计算重金属在空气中传播速度不考虑风速过大的影响。

四、名词解释及符号说明1．名词解释：1.地质环境：包括岩石、水、气和生物在内的互相关联的系统。

2.时空结合：将金属传播的三种模型进行拟合，找出污染源。

2．符号说明ijP i区域中j重金属元素的浓度ijP i 区域中j重金属元素的平均浓度n i 区域中调查重金属的点数ijC i 区域中j重金属元素污染程度N 区域金属对评价等级的隶属度R各金属因子的权重构成的向量D 各金属因子对评价等级的隶属度m 土壤环境质量级别jkX金属因子的隶属度jkS某区域各金属因子j在k级指标P 各金属因子的实测浓度jkx某地区第j个重金属污染物的实测浓度;jf第j个重金属污染物的毒性级别指数;jr某地区第j个重金属污染物的权重值()F j ε 土颗粒表面所吸附的溶质（j ）的质量分数 ()j ρ 孔隙中的溶质的质量浓度（ｇ／Ｌ）；ｅ 土壤孔隙比 0ρ 土样干密度（3/g cm ） ς 土壤孔隙率S 土壤容重 g ρ 气体密度p ρ 粒子密度r 粒子半径ｔ 时间 d R 阻滞因子(()D j ρ） 扩散系数，v 为孔隙流体的流速 η 动力粘性系数 W 粒子垂直方向速度F 浮 粒子受到的浮力F 阻 粒子受到的流体阻力 ()t Γ 随机力及大气流动引起的随机加速度五、 模型的建立及求解一、 重金属元素的空间分布及污染程度模型1. 重金属元素的空间分布：a 、根据已知数据，我们运用MATLAB 软件将该地区的三维地势及采样点在其上的综合空间分布图绘制如下图（1）所示在此图中，我们能清晰的分出生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区。

将生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区用i 表示。

i=(1、2、3、4、5) b 、对八种重金属元素的浓度进行处理：设八种重金属元素的浓度用ij P 表示，As (μg/g)、Cd (ng/g)、Cr (μg/g )、Cu (μg/g)、Hg (ng/g)、 Ni (μg/g)、 Pb (μg/g)、 Zn (μg/g)分别为j=(1、2、 (8)对数据进行处理分别求出各地区各金属元素的平均浓度ij P ，根据公式 ijij P P n = （1）下图（图1附件）：结合图（1）、图（1）附件和表（1）清晰地看出8种主要重金属元素在该城区各区域的空间分布。

2. 重金属元素污染程度模型：1)、在不考虑重金属毒性的情况下：已知的背景区重金属平均浓度P '如表（2）：8种主要重金属元素的背景值设重金属元素污染程度ij C ,则，ij ij P C P ='(2)污染程度ij C即： 1ji ij j C C ==∑ （3）所以：1 1.74 2.36 2.23 3.74 2.66 1.49 2.23 3.4319.88C =+++++++=经计算，可以得到以下关系式；2C >4C >1C >5C >3C ；即： 该城区内不同区域重金属的污染程度工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区2)在考虑重金属的毒性的情况下：目前大多数人在确定污染程度时仅仅考虑了重金属污染物浓度超标的情况,未考虑重金属本身的毒性作用,这就有可能掩盖有些浓度低但毒性大的有毒物的污染作用。

本模型法用隶属度来描述模糊的污染分级界线,各评价等级的隶属度再以各金属因子的权重修正,则得到金属因子对评价等级的隶属度。

则得到如下数学模型:N R D =⨯ （4）式中：N — 区域金属对评价等级的隶属度R — 各金属因子的权重构成的向量D — 各金属因子对评价等级的隶属度a 、金属因子隶属度D 的建立：为了运算，我们需要建立隶属度函数，并用隶属度来描述土壤污染状况的模糊界线。

设土壤环境质量分为m 个级别,则 V = (1,2, , m )在这里我们用降半梯形分布来刻画隶属度:111()1()()0jk jk jk jk jk jk jk jk P S S P X S P S S S P S +++⎧≤⎪-⎪=⎨<≤-⎪⎪>⎩（5） 式中：jk X — 金属因子的隶属度jk S — 某区域各金属因子j 在k 级指标(j = 1, 2, ,n; k = 1, 2, 3,m )中的标准值;P — 各金属因子的实测浓度由此可得评价因子j 对不同级别k 的隶属度矩阵D:11118m n m P P D P P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L MM L (6) b 、金属因子权重向量R 的确定:将污染物浓度和毒性级别指数加权叠加,并作归一化处理,得到某污染组分的权重公式:1jjn j j j C f j C f r ==∑ (7)111n jjk j m m j jk jkk k x x C SS ====∑∑∑ (8) 式中, jk x — 某地区第j 个重金属污染物的实测浓度;j f — 第j 个重金属污染物的毒性级别指数;j r — 某地区第j 个重金属污染物的权重值,且 11n j j C ==∑，11nj j r ==∑将各金属因子的实测浓度值、毒性系数和选定的评价标准分别代入上式,可得到各金属因子的权重值,由此组成某个区域各金属因子的权重向量:R = [ 1r 、2r , 3r , ,n r ] (9)将权重向量R 和隶属度矩阵D 带入模型（4）可得区域金属对评价等级的隶属度NC 、隶属度函数的确定：本文所选用的八种元素，选用国家《土壤环境质量标准》[ 18 ] ( GB15618 -1995)进行土壤环境评价,土壤环境质量标准见表（4）。

根据表（1）和表（5）的数据，利用公式（5）计算各重金属元素对应于各土壤重金属环境质量等级的隶属函数,得到 关系模糊矩阵。

级别指数赋值：Zn=l ， Cr=2，Cu=5，Pb=5，Ni=5， As=10，Cd=30，Hg=40，指数越大，代表毒性越大。

按照（7）、（8）两式，将表（1）的数据和毒性指数代入计算，得各区域各重金属权重值，其中R = [ 1r 、2r , 3r , ,8r ]= [0. 0962 、0. 2838、 0. 0680、 0. 0585、 0. 3723、 0. 0211、、] （10）结合公式（4）、（6）、（10）及表（1）可得：1N = 2N =3N = 4N =5N =所以：2N ＞4N ＞1N ＞5N ＞3N ，即，工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区结合1）、2）两个模型可以得到该城区各区域重金属的污染程度为工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区二．重金属污染成因：根据上述两个模型的结合与对比，我们可以得出下面的关系式：工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区1.从整体的角度分析：工业区污染最大，占整体区域的36%。