一类非线性高阶波动方程的初值问题局部解的存在性
一类广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题
一类广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题张能伟;陈翔英【摘要】The existence and uniqueness of the global generalized solution ν∈C([0,∞ ) ; Hs ( R) ) ∩C1 ( [0,∞ ) ;Hs-2(R) ) (s≥4) and the global classical solution of a generalized BBM-Burgers equationrnvt -avxxt -βvxx + γvxxxx +f(v)x =G(v) +h(vx)x +g(v)xx ,x ∈ R,t >0,rnv(x,0) =vo(x) , x ∈ Rrnwere proved. Moreover, the decay estimate of the solution was given.%证明了广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题vt-αvxxt-βvxx+γvxxx+f(v)x=G(v)+h(vx)x+g(v)xx,x∈R,t＞0,v(x,0)=v0(戈),x∈R存在唯一整体强解v∈C([0,∞)；Hs(R))∩C′([0,∞)；Hs-2(R))(s≥4)和唯一的整体古典解,并给出解的衰减估计.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(044)002【总页数】7页(P24-30)【关键词】广义BBM-Burgers方程;Cauchy问题;整体解;解的衰减估计【作者】张能伟;陈翔英【作者单位】安阳师范学院数学与统计学院河南安阳455002;郑州电力高等专科学校经济贸易系河南郑州450004【正文语种】中文【中图分类】O175.29;O175.260 引言文[1]研究了具有耗散项的多维广义BBM-Burgers方程组Cauchy问题(1)u(x,0)=u0(x), x∈RN(2)解的最优瞬间衰减估计，其中，u(x,t)=(u1(x,t),…,un(x,t))T是未知向量值函数，fj(u)=(fj1(u),…,fjn(u))T(j=1,2,…,N)是定义在是以某一固定点为球心，l为半径的闭球，而l>0为任意固定常数)上的任意n×1光滑向量值流量函数.文[2]证明了具有耗散项的一维广义BBM-Burgers方程组Cauchy问题ut+f(u)x-αuxxt-βuxx+γuxxxx=0, x∈R, t>0,(3)u(x,0)=u0(x), x∈R(4)整体光滑解的存在性和收敛性，其中，α,β,γ>0为常数，u(x,t)=(u1(x,t),…,un(x,t))T和f(u)=(f1(u),…,fn(u))T为光滑向量值函数.文[3]研究了多维的Cauchy问题(3)，(4)整体光滑解的存在性和收敛性，所得结果推广了Cauchy问题(3)，(4)的结果.作者研究下列广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题vt-αvxxt-βvxx+γvxxxx+f(v)x=G(v)+h(vx)x+g(v)xx,x∈R, t>0,(5)v(x,0)=v0(x), x∈R,(6)其中，v(x,t)表示未知函数，等,α,β,γ>0为常数，f(s),h(s),G(s)和g(s)为给定的非线性函数，v0(x)是定义在R上的已知初值函数.作者采用以下记号：Lp(1≤p≤∞)表示所有定义在R上Lp可积函数的空间，并赋予范数‖·‖Lp=‖·‖p,‖·‖L2=‖·‖;Hs(R)表示R上的Sobolev空间，赋予范数其中，是单位算子,表示u(x,t)对x的Fourier变换.1 Cauchy问题(5),(6)局部解的存在性和唯一性为了讨论方便起见，对方程(5)和初值条件作尺度变换(7)于是方程变为(8)而初值变为若令则Cauchy问题(5)，(6)变为ut-uxxt-uxx+uxxxx+f(u)x=G(u)+h(ux)x+g(u)xx,x∈R, t>0,(9)u(x,0)=u0(x), x∈R.(10)所以作者只需研究Cauchy问题(9)，(10)整体强解和整体古典解的存在性、唯一性和解的衰减性质，因为通过变换(7)可得Cauchy问题(5)，(6)的结果.为了将Cauchy问题(9)，(10)转化为积分方程，引入常微分方程的基本解和几个引理.令F(x)是常微分方程w(x)-wxx(x)=δ(x)(11)的基本解，其中,δ(x)为Dirac函数，即易证基本解满足下面的引理.引理1 ① F(x)在R上有意义、连续且F(x)>0;② F(x)∈Lq,其中，1≤q≤∞且‖F‖1=1；③其中，是F(x)的Fourier变换；④‖F*f‖Hs(R)=‖f‖Hs-2(R),∀s∈R,其中，F*f(x)表示函数F和f的卷积.引理2[4] 假设f(u)∈Ck(R),f(0)=0,u∈L∞∩Hs(R)且k=[s]+1,s≥0.如果‖u‖L∞(R)≤M,则‖f(u)‖Hs(R)≤C1(M)‖u‖Hs(R),其中，C1(M)是依赖于M的常数.引理3[5] 假设s≥0,f(u)∈Ck(R)(k=[s]+1),u,v∈L∞∩Hs(R),如果‖u‖L∞(R)+‖u‖Hs(R)≤M,‖v‖L∞(R)+‖v‖Hs(R)≤M,则‖f(u)-f(v)‖Hs(R)≤C2(M)‖u-v‖Hs(R),其中，C2(M)是依赖于M的常数.设u(x,t)∈C1([0,T];Hs(R))(s≥4)是问题(9)，(10)的强解，则方程(9)可写为ut-uxx-[ut-uxx]xx+f(u)x=G(u)+h(ux)x+g(u)xx.(12)令f(0)=h(0)=g(0)=G(0)=0,由方程(12)和基本解F(x)可知=F*[G(u)+h(ux)x-f(u)x+g(u)xx].(13)定义1 对于任意T>0，如果s≥2,函数u(x,t)∈C([0,T);Hs(R))∩C1([0,T);Hs-2(R))是问题(13)，(10)的解，则称u(x,t)是问题(9)，(10)的强解.如果T<∞，则称u(x,t)为问题(9)，(10)的局部强解;如果T=∞,则称u(x,t)为问题(9),(10)的整体强解.为了应用压缩映射原理证明问题(13),(10)存在唯一的整体解,首先考虑下列线性方程的Cauchy问题ut-uxx=φ(x,t), (x,t)∈R×[0,T],(14)u(x,0)=u0(x), x∈R.(15)引理4 令s∈R.设对任意的T>0，u0∈Hs(R),φ∈L1([0,T];Hs(R)),则问题(14)，(15)存在唯一强解u(x,t)∈C([0,T];Hs(R))且有估计(16)证明类似于文献[6],证明波动方程的Cauchy问题utt-uxx=φ(x,t), (x,t)∈R×[0,T],u(x,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x), x∈R解的存在唯一性，可以证明问题(14)，(15)存在唯一的强解u(x,t)∈C([0,T];Hs(R)).下面证明估计式(16)成立.方程(14)两边作Fourier变换，有(17)(17)式两端同时乘以eξ2t,得从0到t积分可知(18)其中，是u0(x)的Fourier变换.因为e-ξ2t≤1,由(18)式得(19)引理证毕.对于s≥2,u0∈Hs(R),定义函数空间X(T)={w|w∈C([0,T];Hs(R))},其范数定义为显然X(T)是一个Banach空间.对于任意M，T>0,定义集合P(M,T)={w|w∈X(T),‖w‖X(T)≤M},显然P(M，T)是X(T)中一不空有界闭凸集，对于w∈X(T)，u0∈Hs(R),g,f,h,G∈Ck(R)且k=[s]+1，考虑下列线性方程的Cauchy问题ut-uxx=F*[G(w)+h(wx)x-f(w)x+g(w)xx], x∈R, t>0,(20)u(x,0)=u0(x), x∈R.(21)令S表示由w到问题(20)，(21)的唯一解的映射，由引理4知，S映X(T)到X(T). 定理1 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1.如果T相对于M充分小，则S：P(M，T)→P(M，T)是严格压缩的.证明当s≥2时，由Sobolev嵌入定理推得其中，是由定义在R上的连续函数和一阶有界连续导数全体组成的空间且C3是一嵌入常数.令由引理1和引理2得(22)其中，故所以由引理4知(23)如果M和T满足(24)则由(23)式推出‖u(·,t)‖Hs(R)≤M.因此，如果(24)式成立，则S映P(M，T)到P(M，T).下证S:P(M,T)→P(M,T)是严格压缩的.给定w1,w2∈P(M,T).令u1=Sw1,u2=Sw2,u=u1-u2,w=w1-w2,则u(x,t)满足下列Cauchy问题ut-uxx= F*[G(w1)-G(w2)+h(w1x)x-h(w2x)x-(f(w1)x-f(w2)x)+g(w1)xx-g(w2)xx],x∈R, t>0,(25)u(x,0)=0, x∈R.(26)由引理1和引理3推出‖F*[f(w1)x-f(w2)x]‖Hs(R) ≤‖f(w1)-f(w2)]‖Hs-1(R)(27)类似可知(28)(29)(30)所以由引理4和(27)～(30)式有(31)如果T满足(24)式和(32)则由(31)式得定理证毕.定理2 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1，则Cauchy问题(9)，(10)存在唯一的局部强解u(x,t)∈C([0,T0);Hs(R))∩C1([0,T0);Hs-2(R)),其中，[0，T0)是解存在的最大时间区间，同时如果(33)则T0=∞.证明由定理1和压缩映射原理知，对于适当选择的T>0,S有唯一不动点u(x,t)∈P(M,T),显然它是问题(9)，(10)的局部广义解，易证对于每一T′>0,问题(9)，(10)至多有一解u∈X(T′).下面证明u∈C1([0,T0);Hs-2(R)).由方程(13)和引理1，2推出所以Cauchy问题(9)，(10)存在唯一强解u∈C([0,T0);Hs(R))∩C1([0,T0);Hs-2(R)). 令[0，T0)是解u∈X(T0)存在的最大时间区间，利用文献[7]中的标准方法可证如果(33)式成立，则T0=∞.定理证毕.下面将解的延拓条件(33)转化为以下定理3中的(34)式.定理3 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1，又设[0，T0)是问题(9)，(10)解u(x,t)存在的最大时间区间，如果(34)则T0=∞.证明由(34)式可知‖u(·,t)‖L∞(R)<λ,t∈[0,T0).令由引理1和引理2得≤C1(λ)‖u‖Hs-2(R)+C1(λ)‖ux‖Hs-1(R)+C1(λ)‖u‖Hs-1(R)+C1(λ)‖u‖Hs(R)≤4C1(λ)‖u‖Hs(R) =C5(λ)‖u‖Hs(R).由引理4推出利用Gronwall不等式给出由定理2知T0=∞.定理证毕.2 Cauchy问题(9) ，(10)的整体解为了证明问题(9)，(10)存在唯一的整体强解和整体古典解，先引入下面一个有用的引理.引理5[8] 设是一个非负整数集合)，则Hs(R)嵌入Cm,λ(R)和对于任意w∈Hs(R)有|Dkw(x)|→0(|x|→∞), ∀k∈N, 0≤k≤m,其中，Cm,λ(R)表示Hölder空间和定理4 设u0∈Hs(R)(s≥4),g,f,h,G∈Ck(R)且k=[s]+1,h(0)=0且h′(z)≥0,∀∀z∈R,g′(z)≥0;G(0)=0且存在常数γ0>0,使得∀z∈R成立G′(z)≤-γ0.则Cauchy问题(9)，(10)有唯一的整体强解u(x,t)∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R)).证明根据定理3，只需证明(34)式成立即可.方程(9)两端同乘以2u，并在R上积分可得(35)其中，(·，·)表示L2(R)中的内积.利用引理5和中值定理有(36)(h(ux)x,u)=-(h′(θ1ux)ux,ux)≤0,(37)(g(u)xx,u)=-(g′(u)ux,ux)≤0,(G(u),u)=(G′(θ2u)u,u)≤γ0‖u‖2,(39)其中，0<θ1,θ2<1.将(36)～(39)式代入(35)式后，对t积分可得利用Gronwall不等式有由嵌入定理可得定理证毕.注1 如果则Cauchy问题(9)，(10)存在唯一整体古典解3 Cauchy问题(9)，(10)解的衰减性质定理5 设以下条件成立：①② G∈C1(R),G(0)=0且存在常数γ0>0，使得∀z∈R成立G′(z)≤-γ0;③1 h∈C1(R),∀z∈R,h(z)z≥0;③2 h∈C1(R)，h(0)=0,存在常数α0>0,使得∀z∈R成立h′(z)≥α0;④ g∈C2(R),存在常数β0>0,使得∀z∈R成立g′(z)≥β0.如果条件①，②，③1和④成立，min(γ0,1+β0)=σ0，则Cauchy 问题(9)，(10)的整体强解u∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R))(s≥4)和整体古典解u(x,t)有衰减性质‖u‖2+‖ux‖2≤(‖u0‖2+‖u0x‖2)e-2σ0t,t≥0.(40)如果条件①，②，③2和④成立，min(γ0,1+α0+β0)=σ，则Cauchy问题(9)，(10)的整体强解u∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R))(s≥4)和整体古典解u(x,t)有衰减性质‖u‖2+‖ux‖2≤(‖u0‖2+‖u0x‖2)e-2σt,t≥0.证明利用引理5和对x进行分部积分，如果对于任意的z∈R,h(z)z≥0,得(h(ux)x,u)=-(h(ux),ux)≤0;(42)如果h′(z)≥α0,利用中值定理有(h(ux)x,u)=-(h(ux)-h(0),ux)=-(h′(θ3ux)ux,ux)≤-α0‖ux‖2,(43)其中，0<θ3<1;又有(g(u)xx,u)=-(g′(ux)ux,ux)≤-β0‖ux‖2.(44)和(G(u),u)=(G′(θ4u)u,u)≤-γ0‖u‖2,(45)其中，0<θ4<1.将(36)，(42)，(44)和(45)式代入(35)式，得(46)解不等式(46)，推知(40)式成立.将(36)，(43)～(45)式代入(35)式,有(47)解不等式(47)，推知(41)式成立.定理5得证.致谢此文在郑州大学数学系陈国旺教授的指导下完成，特此感谢！参考文献：[1] Zhao Huijiang.Optimal temporal decay estimates for the solution to the multidimensional generalized BBM-Burgers equations with dissipative term[J].Applicable Analysis,2000,75(1/2):85-105.[2] Zhao Huijiang,Xuan Benjin.Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,1997,28(11):1835-1849.[3] Zhao Huijiang.Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term Ⅱ:the multidimensional case[J].Applicable Analysis,2000,75(1/2):107-135.[4] Wang Shubin,Chen Guowang.Small amplitude solutions of the generalized IMBq equation[J].J Math Anal Appl,2002,274(2):846-866. [5] Wang Shubin,Chen Guowang.Cauchy problem of the generalized double dispersion equation[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2006,64(1):159-173.[6] Sogge C D.Lectures on Nonlinear WaveEquations[M].Boston:International Press of Boston,1995:6-9.[7] 陈国旺，吕胜关.人口问题中广义三维Ginzburg-Landau模型方程的初边值问题[J].应用数学学报，2000，23(4)：507-517.[8] 王耀东.偏微分方程的L2理论[M].北京：北京大学出版社，1989:42-44.。
一类高阶波动方程的整体解及指数衰减估计
Ｉ ｆ上托４－△ “４ －ｑ（ｘ）ｕ ４ －ｇ（ｕ￡）＝ ０． ∈Ｑ，ｔ＞Байду номын сангаас
（１．４）
满 足条 件 （１．２）和 （１．３）的初 边值 问题 ，其 中 ９（·）是 一个连 续增 函数 ，且 ９（０）＝０，ｑ：ｆ２一 ［０，＋∞）足一个有界函数，并证明了此问题整体解的存在性和正则性结果．在 （·）的适 当增 长条件下，进而建立 了弱解和强解的衰减性．准确地说，在文献 ［５］中， Ｇｕｅｓｍｉａ给出了如
Ｎｏ．１
叶耀军 等：一类 高 阶波 动方 程的整 体解 及指 数衰 减估计
ｉｉｉ
下结果 ：如果 ９（．）是 线性 函数 ，则 解 呈指数 衰减 ；否则 ，解 呈 多项式 衰减 ．当方程 （１．４）和 半 线性 波动 方 程耦合 时 ， Ｇｕｅｓｍｉａ［。】得 到 了与文 献 ［５］类似 的结果 ．
当 △ “ｔ＋ｚｘｇ（ｚｘ￣）代 替 （１．４）式 中的 ｑ（ ）ｕ＋９（¨ｔ）时 ， Ａａｓｓｉｌａ和 Ｇｕｅｓｍｉａ［ 】应用文 献 ［８］中的引 理建 立 了解 的指数 衰 减性 ．此 外 ， Ｍｅｓｓａｏｕｄｉ［。】研 究 了下面 的初边 值 问题
Ｊｆ ｕ札＋△ 。 ＋ａｌｕ ｆｐ一。乱ｔ： ６ＩｕＩｒ－２ｕ， （Ｘ，ｔ）∈Ｑ×Ⅱ ＋
收稿 日期 ：２０１６—０３—０８；修 订 日期 ：２０１７—０４—１７ Ｅ—ｍ ａｉｌ：ＹＪｙｅ２０１３＠１６３．ｃｏｎｌ 基金项 目：浙江省 自然科学基金 （ＬＹ１７Ａ０１０００９）和 国家 自然科学基金 （６１２７３０１６）
Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ（ＬＹ１７Ａ０１０００９）ａｎｄ ｔｈｅ ＮＳＦＣ （６１２７３０１６）
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值问题
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡ Ｃ Ｅ Ｅ ＯＵＲ ＡＴ Ｌ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｓ Ｊ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲ Ｉ ＭＡＬ Ｕ ＶＥ Ｉ ￣ ＮＩ ＲＳ Ｔ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ００ ｏ． ， ｏ２２ １ ２
一
类 具 有 非 线 性 异 号 源 项 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值 问题
３ ３
（ ），（ ｔ ） ，）∈Ｌ ０ Ｔ Ｌ （ ） ， （ ， ； ） 对所 有 ｆ ∈
［ ，） ０Ｔ 成立 （ ）＋ｆ Ａ ，ｖｄ （ ｕ， （ ｕＡ ）Ｔ＋ ， ）＋
Ｉ ０ “ Ｐｕ— ｕ 一 ， ｄ Ｉ ｂ ｒ＝（１ ） （ｌ 一 Ｉ Ｉ Ｍ） ， ＋ 口
ｌ Ｉ－ １ 体解 的存在 性 、 ｐ “整 唯一性 及 光滑性 ， 造 构 不 稳定集 证 明 了解 在 有 限 时刻 发 生爆 破 ， 参 考 在
文献［ ］中利用整体迭代法证明了 ４ ＋ △ ¨＋／ ／ ， Ｆ “ 整体经典解的存在唯一性． （） 在此基础上 ，
＝
笔者研究如下具有两个异号非线性源项的梁振动 方程 的初 边值 问题 ：
ｕ ５ ＝一 一 ， 一１ ｕ Ｉｕｌ
一
ｕ ＋△ 盯
＋ Ｏｔ ｔ ｊ＋ ａ ｌ ｔ
Ｉ 一 — ｂ ｌ／ Ｉ 一 ｐ ２ ，Ｐ
＝
０ （） １
＞０
（） ３
（ ０ ， ）＝“ （ ， （） ， ）＝ （ ， ∈ ０ ） “ ｔ （ ０ ） （） ４
。
＾
∞ ； ≥ ５时 ， １＜ｑ＜Ｐ ＜
， 一
，ｏ ）∈ （ ，ｌ ）∈ （ ， 问题存 在一 个 “（ ） （ 力） 则
一类非线性高阶波动方程的初边值问题
摘要：该文研究一类非线性高阶波动方程
Ｕｔ ｌｚ ＋ａｕ４ ３ｚｔ＝ ｕ ） ＋，ｕ ｕ ，黝ｕ ： ｕ４ ｔ～ａｕｚ ２ｚ ＋ａｕ４ （ｚｚ （，ｚｕ ：黝ｚ ｚ） ｔ ，
的初边值问题．证 明整体古典解的存在唯一性并给出古典解爆破的充分条件． 关键词：非线性高阶波动方程；初边值 问题；整体古典解 ；解 的爆破； Ｇｒｅ ｅｎ函数 ．
Ｉ ＋ ３４＝ ， ａ（ ０ Ｙ ）
【（＝ （ （ （＝ ０ １ ０ １ ０ ） ） ） ）
的 Ｇ ｅｎ函数 ，其 中 ａ ｒｅ ３＞０为 （． 式 中的 ａ， １１ ） ３ 即
：
其 中
｛２ ｃ ，。ｃ Ｉ ｓ（ Ｉ ＋２ ｈ — 一２ — Ｔ＋ 。 ￣ ｓ ＋ｓ ｖ ｃ ［ ＋２ｓｃ，－－２ 一 ２ｚ］ —ｃ ￣－ ｓ（－＋ ［ ｘ］ ￣ ，ｈ 。 ， ｎ ｓ ＝ ＿ Ｉ －８ ｓｃ， ￣ ２ ｔ ｓ ｓ － ，ｉ ｎ 一ｔ ｔ ｘ＋ Ｉ ｎ － ＿ － ｓ ｎ ｎ ＋ ＋２ｓ ２ｐ ） ｘ ｌ ）ｏ 一 －ｃ －ｓ ］ ） ＋ ｃ ｏ ￣ ［ ｃ，ｈ 一ｃ ｃ， ｓ ］ —２ｓ ］ ＋＋ ｃ ， — ｎ ｓ ［ 。 ｌ —｝ — ｃ， ｓ ｌ ， ｎ
问题以及方程 （ ） 多维情况的 Ｃ ｕｈ ａ ｃｙ问题的结果，见文献 ［ ７ ８． ６ ，】 ，
２ 初边值问题 （．）（．） １１－１３ 的局部古典解
为了将初边值问题 （ １，１ ）（． 转换为等价的积分方程，我们首先给出相应常微分 １ ）（． ，１ ） ． ２ ３ 方 程边值 问题 的 Ｇ ｅｎ函数．设 （，） ｒｅ 为常微分 方程 的边值 问题
的初 边值 问题 （． １） １
ｕｏｔ＝ｕ１ｔ ＝Ｕ （， ＝Ｕ （，） ， ｔ ０ （，） （，） 。０ｔ ） 。１ｔ ＝０ ， ｕｘ０ ＝ｕ （）ｕ（，） ｌｚ， ０ ｚ １ （，） ｏｘ，ｔ ０ ＝Ｕ （） ｘ
查新报告样本
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一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性
一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性带有非局部项的Allen-Cahn方程是一类重要的非线性偏微分方程，研究它的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将介绍关于带非局部项的Allen-Cahn方程解存在性的一些主要研究工作和结果。
Allen-Cahn方程是一个经典的描述相分离现象的模型，它在物理、化学、材料学等领域中具有广泛的应用。
方程的基本形式为：ε²∆u-f(u)+λ∇W*u=0(1)其中，u(x)是未知函数，表示时间和空间变量，ε是小的正数，f(u)是一个给定的非线性函数，λ是常数，∆是拉普拉斯算子，W是一个权重核算子，*表示卷积操作。
带有非局部项的Allen-Cahn方程是在经典Allen-Cahn方程的基础上引入了非局部项的一个扩展。
非局部项代表了系统中物质的非局部相互作用，可以更好地描述物质的长程相互作用和相界面的形成过程。
关于带有非局部项的Allen-Cahn方程解的存在性的研究工作主要集中在两个方面，一个是存在性的充分条件，另一个是存在性的证明方法。
首先，对于存在性的充分条件，很多学者通过构造合适的能量函数，证明了一些条件下带有非局部项的Allen-Cahn方程存在解。
其中一个经典的充分条件是“能量估计”，也称为Ginzburg-Landau能量估计。
根据能量估计，当能量的衰减速度快于等于非局部项的增长速度时，方程存在解。
此外，还有学者通过研究方程的动力学行为，证明了带有非局部项的Allen-Cahn方程的解存在。
其次，关于存在性的证明方法，主要有两类。
一类是基于变分方法的证明方法，另一类是基于解的连续性的证明方法。
变分方法是一种广泛应用的证明方法，它通过构造适当的变分问题，证明了方程的解存在。
而基于解的连续性的证明方法则是先证明该方程的解存在于一定的函数空间中，然后通过限制序列的紧性，得到方程的解存在。
在具体的研究中，学者们从不同的角度出发，针对不同类型的非局部项，展开了许多具体的研究。
一类非线性波动方程的初边值问题
一类非线性波动方程的初边值问题作者：周晓宇任煜东来源：《商情》2008年第13期【摘要】本文研究一类非线性波动方程的初边值问题，利用Galerkin方法证明了其整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明了解的衰减性。
【关键词】非线性波动方程初边值问题整体解衰减估计一、引言及主要结论本文讨论如下初边值问题：的整体广义解的存在性及衰减性，其中是空间中具有光滑边界的有界域。
我们用Galerkin方法证明问题(1)—(4)的整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明解的衰减性，主要结论为：定理假定是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足且对某个，当时，有和.其中为正常数。
在上满足相容性条件.其中则对任意的T>0，问题(1)—(4)存在至少一个整体广义解若令中的p=1且和中的β充分小，则存在正常数c和γ，使得此外，若连续，则解是唯一的。
二、定理的证明设是空间的一组标准正交基，使得.作问题(1)—(4)的近似解据Galerkin方法，满足下列常微分方程组的初值问题据常微分方程的一般理论，问题(5)—(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明能被整体延拓到[0，+∞)上.第一个估计将方程(5)中的换成，并在(0，t)上积分，得到由假设，Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理，得到合并(7)，(8)，选η充分小，利用Gronwall不等式即得第一个估计其中是不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。
第二个估计首先估计的范数，易得其中是一个不依赖于k的正常数.接下来，对(5)式两边关于t求导一次，而后将其中的换为得到对上式左边第一项进行估计，可得在(0，t)上积分(9)式，，得到类似(8)的做法，，可以得到合并(10)、(11)，选η充分小，利用Gronwall引理得到第二个估计其中，是一个不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。
非线性项的分析利用Lions引理和Sobolev迹嵌入定理易得和.由第一个估计和假设可知，存在函数，使得利用广义格林公式，由(5)得到由于Δu∈，从而有再利用广义格林公式，由(13)和(14)得到由于接下来，把(5)中的换为并在(0，T)上积分，得到对上式两边取极限得到合并(14)、(15)和(16)，利用广义格林公式得到由假设得到利用Lions引理即得(12).惟一性设和是问题(1)-(4)的两个解，则-满足在(17)中令，由假设、可以得到其中，λ来自于不等式另一方面，由连续和假设可知，存在常数C使得在(0，t)上积分(18)得到利用Gronwall引理，由上式即得.惟一性得证.能量的一致衰减由(1)得到(19)若令中的P=1，则存在正常数和，使得(20)考虑到假设，由(19)，(20)得到(21)注意到h(0)=0简单的计算易知(22)其中定义修正能量(23)假定(24)其中λ>0来自于不等式则由(23)，(24)可得(25)因此，E(t)的衰减是e(t)衰减的直接结果.接下来，由(21)，(22)，(23)，(25)及假设得到定义扰动能量.其中.不难证明，存在正常数，使得(26)和(27)综合(26)，(27)可得其中，C，λ为正常数.证毕.参考文献：[1]Yang Zhijian.Global existence， asymptotic behavior and blow up of solutions for a class of nonlinear wave equations with dissipative term. J. Differential Equation，2003，187：520-540.[2]Tokio Matsuyama.On global solutions and energy decay for the wave equations of kirchhofftype with nonlinear damping term.J.Math.Anal.Appl.1996，204：729-753.[3]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti，J.S.Prates Filho and J.A.Soriano.Existence and uniform decay of solutions of a degenerate equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Nonlinear Analysis T.M.A.，1999，38：281-294.[4]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti.Existence and uniform decay of the wave equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Calculus of Variations，2002，15：155-180.[5]M.Nakao.Asymptotic Stability of the Bounded or Almost Periodic Solutions of the Wave Equation with Nonlinear Dissipative Term，J.Math.Anal.Appl.1997，58，336-343.基金项目：河南省自然科学基金资助项目，编号021*******.(作者单位：河南财经学院信息学院)注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
初值问题的解是不存在的例子
初值问题的解是不存在的例子
摘要：
一、初值问题的概念
二、初值问题解不存在的例子
1.非线性微分方程
2.波动方程
3.扩散方程
三、结论
正文：
初值问题是指在微分方程中，需要求解初始时刻的函数值和导数值的问题。
在一些情况下，初值问题的解是不存在的。
本文将介绍三个初值问题解不存在的例子。
首先，考虑非线性微分方程。
非线性微分方程的特点是方程中的项不是线性的，而是非线性的。
这种方程的解往往很复杂，有时甚至不存在。
例如，著名的Riccati 方程就是一个非线性微分方程，它的解在某些情况下是不存在的。
其次，波动方程。
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，它的解有时也是不存在的。
特别是在一些特殊情况下，如波长无限小或时间无限长，波动方程的解可能不存在。
最后，扩散方程。
扩散方程是描述物质扩散现象的偏微分方程，它的解在某些情况下也是不存在的。
例如，当扩散系数为零时，扩散方程的解就不存
在。
综上所述，初值问题的解不存在的情况在实际应用中是存在的。
对于非线性微分方程、波动方程和扩散方程等，我们需要根据具体问题具体分析，判断其解是否存在。
一类非线性双曲方程的局部解存在性
引进 稳 定 集 或 势 井 ：
Ｗ ＝ ｛ ∈ Ｈ 口） Ｊ（ ＜ ｄ， （ ）＞ ０ ５ （ ， ） ｌｕ ）Ｕ ｛ ） ０．
主要 结 论 为 ：
定 理 设 Ｍ ， 足 （） ｉ ， 对 于 初 值 。ｚ ａ满 ｉ ，（ ） 且 ｉ （ ）∈ 日６口）Ｎ Ｈ 口） （ （ （ ， ｚ）∈ Ｈ 口） ６ ．当 （
初始条件 为 ：
ｆ （） ＿ ∑ ｂ ， ０＝ ｏ ． 扣
（） ３
ｌ （ ＝ 兰∑． ０ ：） － ，
这 里取 ： ｚ） （ 和 ： ｚ） 足 （ 满
ｆ Ｈ３口） 日 （ ）中Ｉ ．＝ 强收敛 ， 在 （ Ｎ 口 ０ 。
Ｉ ＿ —’
． Ｈ３口）ｉ ‘ ＝ 强收敛 ， ｛ 在 （ ｌ ｍｔ
０
（ ）∈ Ｗ 并 且 （ ０ ）＜ ｄ， 在 一 个 正 常 数 ０ ０ 使 得 问题 （ ） ［ ， ］上 有 唯 一 局 部 ｚ （ ） 存 ＞ ， １ 在 ０ 。
解 （ ￡ ， 足 ： ∈ Ｃ（０ Ｔ０；Ｈ６口） ， 。∈ （ ０ ；Ｌ （ ） ｚ，） 满 ［ ， ］ （ ） ［ ，Ｔ０ ］ 口） ，
首先构造逼近解 作 ￡＝∑夕 （ ， 扣Ｊ ，， ｔ 由 ， （ ） 扣￡ 其中夕 （＝１ …，） 下面的 方程 ） ２ ｎ 微分
Ｊ ｌ —
决定：
， ｒ 、
（ ￡ ） （ Ｉ 一ｄ） ，ｏ ＝（一）２￡ ）＝１， （ （， ＋ ｊ Ｉ ‘ ＶＳ Ｉ（Ｉ （， Ｊ ，… ２ ） 口 一 ） ￡ｄ ） ｚ ‘ 一 ２ ， ）
（ 口）） ．
∈ Ｌ （０ ； ［ ，Ｔ０ ］
Boussinesq型方程初值问题局部解的存在性和整体解的不存在性
０《 Ｉ ｒ 《 一 ０《 “《ｒ
ＶＷ， ∈ Ｘ（ Ｔ 对 面 Ｍ， ）．
埘∈ （ Ｔ Ｍ， ）和 ∈ Ｃ （ 。 Ｒ）， 虑线性 方 程 考 ｕ ＋Ｍ … ＝ （ ＋ Ｗ） ，）， ｔ （ ０ １）
Ｄｅ ２ １ ｃ． ０１
２ １年 １ ０１ ２月
ｄ ｉ１ ． ９ ９ ｊ ｉ ｎ １ ０ ０ ３ ． ０ ．４ ０ ３ ｏ ：０ ３ ６ ／ ．ｓ ． ０ ７— ８ ４ ２ １ ０ ． ０ ｓ １
Ｂ ｕ ｓ ｅｑ型 方 程初 值 问题 局 部 解 的存 在 性 和 ｏ ｓｉ ｓ ｎ 整 体 解 的不存 在 性
组成 的空 间 ， 赋予 范数 Ｉ ＝ Ｉ （ 并 Ｉ 川 ｌ 川 １≤ Ｐ≤ ｏ）， 别 地 ，ｌ ｏ 特 ｌ 川 ＝ ｌ Ｌ 记 是 通 常 的 Ｒ 上 的 Ｉ ２；
Ｓｂｌ 空间， ｏｏｖ ｅ 具有范数 Ｉ Ｉ ｕ
１ 预 备 知 识
＝ ｌ １＋Ｉ１ ａｌ 宙 表示其相应的齐次空间， ｌ（ 。 ） ｌ， 具有半范数 ｌ ｌ ＝ “Ｉ 加
（ ６ ）
（） ７ （） ８
注意 到
Ｉ １＋ ） （ ｃ ｓ ｔ ｌ≤ ｌ ｌ ， ｌ（ ÷ ） ｏ （ ）ｌ ｌ ｌ
ｌ１ ）去 （ ｓ（ ｌ ｔ ｌ ， ｌ ＋ ÷ ｉ ｌ ｌ （ ｃ ）ｎ ） ≤ ｌ ｌ
ｌ １＋ ｌ（ （ ）ｉ（ ｔ 扣 ｓ ｎ ）ｌ ≤ Ｊ
Ｊｌ （ ） ｗ ｌ ≤Ｊｌ（ 一 （ ） ｄ≤ ２ ）。 ｌ ｌ ， （ ） ｌ 埘 一 ｚ ｌ一 Ｊ ｌ ） ｏ ：＿ ｒ Ｃ Ｔ １ ０ － ） ｄ ｒ ０ｏ ｒ ｒ ｌ （ …ｘ ｍ ａ ７
高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性
第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有 序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微 分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要 实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一 性.其中A 'A 是 单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文 研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是 的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数， 并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可 见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零 元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合 算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下 的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明 首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩 伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文 献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单 减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一 个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # '$ 1(，"d r ( a ) ( a _ ：)V $ # (0$ 1)有c (1+ b *「一 _2(1—*)"、* )1 +d r (a )(a _:)证明e($')1—a八() 7 0$ # '$ 1(.d r a ) a —:)因为e # P $ $ # [0$ 1(,所以有e ( $ )=(】+ 打 一21、*)"、* $—1 +d r (a )(a —:)=!$ ) +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ u !s ))d s —0=!$) +=!$) .对V u $ : # P j $$ $ # '$ 1(需考虑以下算子,$ ,A (u $ :"($"=G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+:(s "d s —=($"$B !u $ :)!$) =*0G !$$ s )g !s $ u !s )$ :!s ))d s —=!$)D 0+A !u $ :)!$) =D 0+G ($$s )f (s $ u (s )$ D 00+:(s ))d s —D 0+=($)$第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性11D0+B(u,:)!)=*D0+Gt$$s)g(s$u(s)$:(s))ds_D0+e().所以ut$)是问题(1)的解当且仅当u=A(_u$u)+ B(u,u)+e.首先，需要证明算子A,B：P h,e X P h,&E是一个混合单调算子，取u,:#P j,e(=1,2),u] %u2,：17：2.由条件②及G($,s)30可得A u1,:1)$)=*G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—e$)7 1G$,s)f s,u2s),D0)+:2s))d s—e$)=J0A u2,:2)$),D0)+A u1,:1)$)=1D0)+G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—D0)+e$)7 1D0)+G$,s)f s,u2s),:2s))d s—D0)+e$)= J0D0)+A u2,:2)$),因此A(u1,：1))$)>A(u2,：2))$),同理B(u1,：1)($)>B(u2,：2)($).其次，由条件③，V##(0,1)和$#(0,1) 9,(t)#($,1)使得u,:#P je就可得A(+(#一1)e,厂1:+(#一1一1)e)($)= *G($,s)f(s,#u(s)+(#一1)e,A_1D0+:(s)+(厂1一1)e)ds—e($)7,$*)G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)=,$*)1G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)+,$)e$)—,$)e$)=G$,s)f s u s),D0)+:s))d s—e$))+ ,$)—1)e$)接下来证明A(u,u)#P j,,B(u,u)# P j,e.只需证A(u,u)+e#P j,B(u,u)+e#Pj.即可根据引理3和条件①，③得A J,J)$)+e$)=*1G$,s)f s,J s),D0)+J s))d s=「G($,ssf(s,Hs a—1,HD0+s—)ds%J01$a—11—1)a—*—1L$d—s f(s,?5=越：(1—s)-1f(s?,0)d"=丿口1(、)(1_s)"—T f(s,H,0)ds・H"= dH r a0丿口1(、)(1—s)"—1—1f(s,H,0)ds・J($).dH r a)0A J,J)$)+e$)=[G($,s')f(s,J(s),D0+J(s))ds7茁0(1-—)・f(s,0,H)ds・$i=h"*?1-—)・f s,0,H)d s・H$a—""—s)a—*—""—"—s)*)f(s,0,H)ds・J($).根据条件②，④和a30,"(a)〉0可得f(s,H,0)7f(s,0,H)7-g(s,0,H),s#',1(.设L1=H W0(_s)"i—1f(s,H,0)s,L=?1())0(1-s)"、、1(1-(1-s)*)X$)A u,:)$)+,$)—1)e$),B(#u+(#一1)e,#1:+(#1一1)e)($) [G($,ssg(s,#u(s)+(#_1)e,#t：(s)+ J0(#—1一1)e)ds—e($)7#G($s')g(s，-(s)(s))ds_e($)=J o#G($,)g(s，-(s)(s))ds_e($)+J0f(s,0,H)ds.又因为0<(1_s)*<1,那么0<1_(1—s)*< 1,0<b<1则显然1dH r(a)1Hr(a)f s,0,e($)_#e($)=#G$,s)g s,u s),:s))d s/H)%f(s?0、可推出L17L230,所以LJ($)%A(J,J)($)+e($)%L1J($),$#',1(.B J,J)$)+e$)="G$,s)g s,J s),J s))d s%e($))+(#_1)($)=\B(u：($)+(#_1)($).$i(1—s)"、、1d r a)g s,Hs a—"Hs a—")d s12华中师范大学学报（自然科学版）第55卷d"*—$0)s ・t "-1 =萌"*(1—s )-"H ，0)d ・H a>h"( )) ( — s)c —l —1g(s$ H $ 0)ds ・h ().A (h $ h )(t ) +e (t ) =* G(t $ s)g (s $ h (s), h(s))ds 7 ~1)1(1 — s )"-'—1(1 — (1 —s )"). "a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。
含小参数的波动方程初边值问题的渐近解
含小参数的波动方程初边值问题的渐近解
马乐;刘树德
【期刊名称】《合肥学院学报（综合版）》
【年(卷),期】2024(41)2
【摘要】研究一类含小参数的波动方程的初边值问题,应用多尺度法构造它的一个近似解。
通过在摄动展开式中引进不同的时间尺度,逐次消去出现在各阶展开式中的长期项,从而得出被认为是一致有效的渐近展开式。
然后运用渐近展开理论给出上述一致有效性的严密性分析。
所得结果表明:用一阶的一致有效展开式作为该问题的近似解,这与它的精确解相一致到O(ε^(2))阶。
【总页数】5页(P32-36)
【作者】马乐;刘树德
【作者单位】安徽信息工程学院通识教育与外国语学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.奇异摄动抛物方程初边值问题角层解的高阶渐近近似
2.一类非线性波动方程初边值问题整体弱解的存在性和渐近性
3.具有非凸条件的阻尼波动方程的一般初边值问题解的渐近性态
4.两参数奇摄动非线性非局部高阶椭圆型方程边值问题的渐近解
5.拟抛物方程初边值问题的整体解与渐近性态
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一类非线性热弹性耦合系统的解的局部存在性
ｂ ｈ ｒ ｅａ ｔ ｉ ｙ ｔ ｍ ｔ ｍｏ ｙ ｔｐ ｎ ｏ ｅ ｐ ｒ ，ａ ｄ ｂ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｎ ｔ ｅ ｏｈ ｒ ａｔ ｙ ｔ ｅ ｍｏ ｌ ｓ ｃｔ ｓ ｓ ｉ ｙ ｅ ｗｉ ｍｅ ｒ ｅ ｉ ｎ ａｔ ｎ ｙ ｗ ｖ ｑ ａｉ ｓｉ ｈ ｔ ｅ ｒ．Ｍｏ ｅ ｖ ｒ ｈ ｈ ｙ ｏ ｐ ｒ ｏ ｅ ，ｔ ｅ
ｌｃ ｌｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ａ ｏ ｕ ｉｎ ｓ ｐ ｏ ｅ ｙ Ｇａｅ ｋｎ Ｓ ｍｅｈｏ ｏ ａ ｘｓｅ ｃ ｆｗｅ ｋ ｓ ｌ ｔ ｓ ｉ ｒ ｖ ｄ ｂ ｌｒ ｉ ｔ ｄ，ｅ ｅ ｇ ｔ ｏ ｓ ａ ｄ ｌｎ ａ ｓｉ ｔ ｓ ｏ ｎ ｒｙ ｍｅ ｈ ｄ ｎ ｉ ｅ ｒｅ ｔ ｍａｅ ．
摘
要 ： 中讨论 了一类非线性热弹性系统的解的局部存在性 ， 文 该系统一 部分 由带记忆类 型的热弹性 方程描述 ， 另一部 分
由波动方程描述． 主要利用伽辽金方法 、 能量积分法 和线性估计证 明了弱解 的局部存在性．
关键词 ： 非线性耦合 系统 ；热弹性 ； 伽辽金方法 ； 能量积分法 中图分类号 ： ７ ．４ Ｏ１５ １ 文献标志码 ：Ａ 文章 编号 ： ６３—４０ （０ １ ０ ０ １ ０ １７ ８ ７ ２ １ ） ６— ６ ６— ４
弹性 物质 ， 另一 部 分是热 弹性 物 质 ，但 是没 有 记忆 影 响． 献 ［ ８ 研 究 了记 忆 影 响 ， 文 ６— ］ 但是 仅 仅 是线 性 的． 中是 在 文 献 ［ ］ 文 ６ 的基 础 上 ， 察 下 面 的带 考 记 忆类 型 的非线性 热 弹性耦 合系统
型有两个缺点 ： ①不能充分考虑某些物质的记忆特 性， 特别是在低温的条件下 ； 系统 的抛物部分暗 ②
Ｌｏ ａ ｘ ｓｅ ｃ ｆｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｃ ｕ ｌｄ ｓ ｓｅ ｏ ｈ ｒ ｅａ ｔ ｉｙ ｃ ｌｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｏ ｕ ｉ ｓｔ ｏ ｌ ａ ｏ ｐ ｅ ｙ ｔ ｍ ｆｔ ｅ ｍｏ ｌ ｓｉ ｔ ｏ ｎ ｃ
一类非线性四阶波动方程的初边值问题
（ ）且 ｕ ｘ０ ， （ ， ）＝／ （ Ｚ ）于 （ ）ｎ （ ， ｏ 力） ｕ（ ０ ， ）＝ ｕ （ ）于 ￡ （ ． 力） 定 理 １ 设 “ ）满 足 （ ，。∈ ／ （２ Ｈ） ｔ ／）ｎ ２ ｏ
而 ｐ＋２≤
＜
， ＞４ ２ ＜ｐ＋２ ＜ ∞ ， ｎ ；
第２ ６卷 第 ４期
哈 尔 滨 师 范 大 学 自然 科 学 学 报
ＮＡＴ ＵＲＡ ＣＥＮＣ ＳＪ ＬＳ Ｉ Ｅ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲ Ｎ ＮＯ ＢＩ ＲＭＡＬ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｙ Ｉ ＲＳＴ
Ｖ １２ ， ｏ４２ １ ｏ． ６ Ｎ ． ０ ０
一
类 非 线 性 四 阶 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
△“ Ｊｎ＝０ 其 中 ∈Ｒ 为有界 域． ， 利用 Ｇ ｌｒｉ 方 法证 明 了如 果厂 （ ）≤ Ｃ 且 存在 ａｅｋｎ Ｓ ｏ
Ａ
常数 Ａ、 Ｂ使 得 Ｉ ≤ Ａｌ ＋Ｂ， 中 ０ ＜Ｐ≤ 厂 （ ）Ｉ ５ Ｉ 其
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收稿 日期 ：０ ９—０ ２０ ５—１ ２
Ｅ［，） ０Ｔ 成立（； ＋ｌ △ ， ）ｒ （ ｕ ） （ △ ｄ ＋ ，） ，
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ｆ（ ） ） ＋（１ ， ｄ Ⅱ， （ｏ‘ ， ∈ ）＋ ，） Ｖ Ｐ
第 ４期
一类非线性四阶波动方程 的初边值问题
８ ３
一
时 ， Ｐ ＜ ∞ ， Ｉ ｌ ≤ ＣＩ １≤ 且 ｌ ｌ ＵＩ ｌ ｌ 引 理 ２。 对 ∈ （ ） ｌ ｕｌ 为 ，Ｉ △ ｌ ｌ ｌ 的等价模 ． ｌ ｌ ． 文中 ， 对 ｕ ）作如 下假 设 ：
估计 和 时空估 计 ， 利用 这 些估 计 研究 了 并
非线性波动非线性波动现象的描述和分析方法
非線性波動非線性波動現象的描述和分析方法非线性波动现象的描述和分析方法非线性波动现象是指在自然界中广泛存在的一类波动现象，其特点在于波动的幅度不仅取决于外界激励力的大小，还取决于波动本身的振幅。
非线性波动现象具有很多独特的特征和行为，并且在多个领域都有着重要的应用。
本文将对非线性波动现象的描述和分析方法进行探讨。
一、非线性波动现象的描述非线性波动现象的描述主要涉及到非线性波动方程的建立和求解。
非线性波动方程可以从经典的波动方程中推导而来，其形式如下：∂²u/∂t² - c²∂²u/∂x² + αu² = 0其中，u(x,t)是波的振幅，t代表时间，x代表空间位置，c是波速，α是非线性系数。
非线性波动方程描述了波动的传播和它们之间的相互作用。
为了求解非线性波动方程，可以采用数值方法，如有限差分法、有限元法等。
二、非线性波动现象的分析方法1. 平稳解的存在性和稳定性分析对于非线性波动方程，首先需要分析其平稳解的存在性和稳定性。
平稳解是指非线性波动方程中满足∂u/∂t = 0的解。
通过线性稳定性理论可以对平稳解的存在性和稳定性进行分析。
2. 波浪解的分析非线性波动方程的波浪解是指在一定的边界和初始条件下，非线性波动方程的解。
波浪解是非线性波动现象的重要特征，通过对波浪解的分析可以获得波动的幅度和形状等信息。
3. 谱方法谱方法是一种基于频域分析的非线性波动现象分析方法。
通过对非线性波动方程进行傅里叶变换，可以获得频率域内的线性方程，然后通过反变换得到非线性波动方程的解。
4. 脉冲解的分析非线性波动方程中的脉冲解是指具有高峰值和快速衰减特征的解。
通过对脉冲解的分析可以了解非线性波动方程中波动的局部特性和衰减规律。
5. 奇异解的研究奇异解是非线性波动方程中的特殊解，其在某些情况下具有极限行为和不连续性。
通过对奇异解的研究可以深入了解非线性波动现象的特殊性质和行为。
一类具阻尼非线性波动方程的初值问题
一类具阻尼非线性波动方程的初值问题本文研究下列非线性波动方程的初值问题utt-△utt-△u-△ut=f(u)-△g(u),x∈Rn,t>0,(1) u(x,0)=uo(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Rn,(2)和方程utt-△utt-△u-△ut=△f(u),(3) u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x).(4)的小初值问题.其中u(x,t)表示未知函数,f(s),g(s)是已经给定的非线性函数,u0(x)和u1(x)为定义在Rn上的已知初始函数,下标x和t分别表示对x和t的偏导数,△表示Rn中Laplace算子.本文分四章：第一章为引言.第二章研究初值问题(1)(2)在W2,p(Rn)∩L∞(Rn)中局部广义解的存在性和唯一性,并给出解的延拓定理,通过积分估计得到在W2,p(Rn)∩L∞(Rn)中整体解的存在性和唯一性.第三章研究初值问题(1)(2)在Hs(Rn)中局部广义解的存在性与唯一性,并得到解的延拓定理,通过积分估计得到在Hs(Rn)中整体解的存在唯一性.第四章研究小初值问题(3)(4)整体解的衰减性质.主要结果如下：定理1若u0,u1∈W2,p(Rn)∩L∞(Rn),f(s),f(s)∈C’3(R)和f(0)=0,则问题(1),(2)有唯一局部广义解u(x,t)∈C’3([0,T0)；W2,p(Rn)∩L∞(Rn)),其中[0,T0)为解的最大存在区间.若则T0=∞.定理2若u0,u1∈W2,p(Rn)∩L∞(Rn),f(s),g(s)∈C’3(R),f(0)=g(0)=0且对于任意s∈R,g’(s)≤A0,|f’(s)-g’(s)|≤A0,则问题(1),(2)有唯一广义解u(x,t)∈C’3([0,∞]；W2,p(Rn)∩L∞(Rn)).定理3设s>号和v0,v1∈Hs,f,g ∈C|s|+1且f(0)=g(0)=0时,则初值问题(1),(2)存在唯一局部广义解v(x,t)∈C2([0,T0)；Hs),其中[0,T0)为解的最大存在时间区间.若则T0=∞.定理4假定v0,v1∈Hs(s>n/2),f,g∈C[s]+1(R),f(0)=g(0)=0且对于任意s∈R,g’(s)≤A1,|f’(s)-g’(s)|≤A1,则问题(1),(2)存在唯一整体广义解v(x,t)∈C’2([0,∞)；Hs).定理5令q,γ,s为正数且q∈[1,2],γ≥0,n/q+n/2-1≤k,α≥2,则存在一个正数δ,使得对任何u0∈Hq-2γ,u1∈Hg-2γ-1满足问题(3),(4)有唯一整体解u∈C([0,∞)；H8)且其中非常小的正数ρ仅依赖于f和δ.。
一类非线性积分偏微分方程的初值问题
一类非线性积分偏微分方程的初值问题
非线性积分偏微分方程（Nonlinear Integral Partial Differential Equations）又称”迭代偏微分方程”，是一类重要的偏微分方程，其解可以用（iterative）迭代法来求解。
与传统的积分偏微分方程相比，非线性积分偏微分方程总体上更加复杂，常见的包括椭圆型偏微分方程、变分不等式、偏微分积分方程、多项式偏微分方程及种类繁多的球面偏微分方程等，其解的唯一性、存在性、无穷数性和稳定性等问题也被深入研究。
非线性积分偏微分方程的初值问题是指，解的定义域为起点小于等于末点的某区间，需要在起点给出具体的数值解或给出预定的边界条件。
研究者们一般采用数值分析上的方法来求解非线性积分偏微分方程的初值问题，如网格方法、积分方法、线性缩减方法等。
而在线性缩减方法中，可以通过解析解的存在性的方法来求解初值问题，其可以有效地提高初值问题求解的效率。
同时，还可以利用数学方法和软件分析方法，以该类非线性积分偏微分方程为模型，研究解的结构和性质等。
此外，需要考虑到计算代价和可靠性等因素，以优化迭代求解方法，比如利用程序自动搜索近似解，从而为此类偏微分方程求解提供新的角度。
总之，非线性积分偏微分方程的初值问题是一类重要的偏微分方程，学术界对其带来的理论及实际应用均有深入的研究，希望未来能有更多的研究发现，以解决这类问题所带来的难题。
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性
偏微分方程中的非线性方程与解的存在性在偏微分方程中，非线性方程是一类在研究中经常遇到的重要方程。
与线性方程不同，非线性方程的解的存在性通常更加复杂且难以确定。
本文将探讨偏微分方程中的非线性方程及其解的存在性问题。
一、非线性方程非线性方程是指未知函数及其导数之间具有非线性关系的方程。
在偏微分方程中，非线性方程往往包含高阶导数项，例如常见的非线性偏微分方程中的非线性项可以是未知函数的高阶导数、函数本身的幂次项以及乘积项。
非线性方程的存在性问题是研究非线性偏微分方程解的一个重要问题。
一般来说，要判断非线性方程的解是否存在，需要借助数学分析和函数空间理论的工具，采用适当的方法和技巧进行分析。
二、解的存在性解的存在性是指非线性偏微分方程是否存在满足特定条件的解。
对于非线性方程，解的存在性问题往往比线性方程更加困难，需要借助更加深入的数学理论和分析技巧。
解的存在性问题可以通过两种主要的方法来研究：一是通过构造解的方法，即通过适当的变换和假设，构造满足方程条件的解；二是通过存在性定理，即通过数学推导和证明来判断解的存在性。
在构造解的方法中，常常使用变量替换、特解法以及变分法等技巧。
通过巧妙地选取变换和假设，可以将原方程转化为更加容易求解的方程，从而得到解的存在性的结论。
在存在性定理中，常用的方法包括分离变量法、最大值原理、奇点理论等。
这些定理给出了解存在的充分条件，从而简化了解的存在性问题的研究。
三、例子与应用非线性偏微分方程的解的存在性问题在实际应用中具有重要的意义。
例如，许多物理学领域的问题可以建模为非线性偏微分方程，解的存在性问题对于理解和解释物理现象具有重要作用。
以非线性波动方程为例，这是描述波动现象的重要方程之一，其包含非线性项，解的存在性问题是研究波动现象稳定性和非线性行为的关键。
通过研究非线性波动方程的解的存在性，可以得到波动现象的定性和定量结果，从而有效地预测和控制波动过程。
此外，非线性偏微分方程的解的存在性问题在数学分析、控制论、最优化等领域也有着广泛的应用。
一类抽象非线性发展方程高能初值问题解的爆破
一类抽象非线性发展方程高能初值问题解的爆破
阳志锋;曾红梅;宫兆刚
【期刊名称】《衡阳师范学院学报》
【年(卷),期】2009(030)003
【摘要】在整个Rn(n≥1)上讨论如下一类抽象非线性发展方程的初值问题:ua-
△u+u=f(u),(t,x)∈[0,T)×Rn.u(0,x)=u0(x),ut(0,x)=u1(x),x∈Rn.在高初始能量状态下,运用改进的凸性分析方法,在一定条件下证明了该问题的解在有限时刻爆破的结论,推广了相关文献的结果.
【总页数】3页(P23-25)
【作者】阳志锋;曾红梅;宫兆刚
【作者单位】衡阳师范学院,数学与计算科学系,湖南,衡阳,421008;衡阳市实验中学,湖南,衡阳,421001;衡阳师范学院,数学与计算科学系,湖南,衡阳,421008
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.一类非线性双曲方程组初值问题解的爆破 [J], 罗党
2.非线性发展方程混合问题解的爆破性质 [J], 查中伟; 向以华
3.一类半线性抛物方程初值问题解的爆破性质 [J], 吴金钗
4.一类非线性四阶波动方程初边值问题解的高能爆破 [J], 张哲;李德生
5.非线性发展方程非局部初值问题解的存在性 [J], 王远弟
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第２ ５卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎ ｔａＳｉ ｃ｝ ＯＺ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
作者简 介： 侯长顺（ ９０ ） 男， １８ 一 ， 河南省平顶山市人 ， 南工业 大学讲 师 ， 河 主要研 究方向为非线性发展方程．
・
１２・ ２
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２１ ０ ０证
问题 “ ａ Ｕ ａ ｕ ＋ ３４＝ 一 ｌ黜＋ ２ 口 ｕ ４ ） ∈Ｒ， ＞ ， ｔ０
Ｔｈ ｘｓｅ ｃ ｆｔ ｅ ｌ ｃ ｌ ｏｕ ｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｅ ｃ ｕ ｈ ｒ ｂ ｅ ｏ ｌｓ ｆ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｈ ｏ ａ ｌ ｔ ｏ ｈ ａ ｃ ｙ ｐ ｏ ｌｍ ｆａ ｃａ ｓｏ ｓ ｏ
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Ｋｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉ ｅ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｆ ｈ ｇ ｅ ｒ ｅ ； ａ ｃ ｙ ｐ ｂ ｅ ； ｏ ａ ｅ ｅ ａｉｅ ｏｕ ｉ ｎ；ｏ ａ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｌ ａ ｗ ｖ ｑ ａｉ ｓ ｏ ｉｈ ｒ ｏ ｒ ｃ ｕ ｈ ｒ ｌｍ ｌｃ ｇ ｎ ｒ ｚ ｄ ｓ ｌｔ ｎｒ ｏ ｄ ｏ ｌ ｌ ｏ ｌｃ ｌ ｃａ ｓ ａ ｏｕ ｉ ｎ ｌｓ ｉ ｌｓ ｌ ｔ ． ｃ ｏ
延拓定理证明了该方程的初边值问题 的整体古典解的存在唯一性 ， 并给出了古典解爆破 的充分条件． 现有
的文献 中 ， 还没 见到有 学 者研究 该方 程 的初 值 问题 ． 文 将 利用 变 换 和 压缩 映射 原 理来 研 究 该 方程 的初 值 本
收稿 日期 ：０９— ５—３ ２０ ０ １ 基金项 目： 南省教育厅 自然科学研究基￣ （ ０９ １００ ） 河南工业大学校基金 （ ７（ｃ ４ ） 河 ２ ０ Ｂ １０ ７ ； ｏ） ０５ Ｊ
①
②
ｕ ｘ ０ （ ， ０ ） ∈Ｒ （ ， ）＝ ） ｕ（ ）＝ｊ（ ， ，
其中， ， 戈 是已知的初始函数 ， （ ） （ ） 下标 和 ｔ 分别表示对 和 ｔ 的导数． 本文采用 以下记号和概念 ， 记
为通常的尺上所有Ｐ 次可积函数组成的 空间， 并赋予范数 ｌ ｌ１（ ≤ ≤∞）特别地， ｌ ｌ； １ １ ｐ ＝／ ， ＝ 记 是通常的 Ｒ上的 Ｓｂｌ 空间， ｏｏｖ ｅ 具有范数 Ｉ ｌ ＝Ｉ１ Ｉｌ ＇ａ ，（， 是 ｕｘｔ关于 的 Ｆｕｅ变换． ｌ ｌ ｌ ｈ ｌ ｔ ｕ旷 （ ） Ｉ ｎ ） （， ） ｏｒｒ ｉ
Ｖｏ ＿ ５ Ｎ ． Ｉ２ ｏ ２
Ａｐ ．２ １ ｒ ００
２１ ００年 ４月
文章编号 ：０ ４—１７ （０ ０ ０ ０ ２ — ４ １０ ４ ８ ２ １ ）２— １ １ ０
一
类非线性高阶波动方程的 初值 问题 局部解 的存在性
侯 长顺 黄 士 国 ，
（ ． 南工 业 大学 理 学 院 ，河 南 郑 州 ４ ０ ５ ； １河 ５０ ２
ｅ ｉｔｎ ｅ ａ ｄ ｕｎｑｕ ｎ ｓ ｆｔ ｅ ｌｃ ｌｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｌ ｉ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｌ ｃ ｌｓ ｉａ ｌ ｔ ｎ ａ ｅ ｐ ｏ ｅ ｙ ｘｓｅ ｃ ｎ ｉ ｅ ｅ ｓ ｏ ｈ ｏ ａ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｏｕｔ ｎ ｈ ｏ ａ ｃａ ｓｃ ｓ ｕ ｉ ｒ ｒ ｖ ｄ ｂ ｏ ｌ ｌ ｏ ｏ ｔ ｅ Ｆｏ ｒｅ ｒ ｎ ｆｒ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｎ ｒｃ ｉｅ ｐ ｎ ｉｌ ． ｈ ｕ ｒｔａ ｓｏ ｍ ｎ ｏ ｔａ ｔｖ ｒ ｃｐ ｅ ｉ ｈ ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ Ｃ ｕ ｈ ｒｂ ｅ ｏ ｌｓ ｆｎ ｎ ｉｅ ｒｗ ｖ ｑ ａ ｉｎ ｆｈ ｇ ｅ ｒ ｅ ａ ｉｃ ｓｅ ． ｈ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ａ ｃ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｃ ａ ｓ ｏ ｏ ｌ ａ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒｗ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ Ｔ ｅ ａ ｎ ｏ
Ｏ 引 言
在文献［ ］ １ 研究稠密晶格动力学时 ， 研究了一维均匀格 的波的传播 ， 借助于连续性方法得到了描述均匀
格 的波的传播 的较 精确 的方程
Ｕ 一 ｌ ＋ ２ ＋口 ｕ 站 ａ ｕ 口 ｕ４ ３ ４＝ ）， ∈Ｒ， ＞ ｔ０
其 中 ｕ ｘｔ未 知 函数 ，。口 ，， （ ，） ａ ， ａ ＞０都是 常数 ｓ为 已知 的非线 性 函数 ． ） 文献 ［ ］ 用压 缩 映射 原理 和 解 的 ２利
２ 郑州轻 工 业学院 数 学与信 息科 学系 ，河 南 郑州 ４０ ０ ） ． ５０ ２
摘要 ： 讨论 了一类非 线性 高阶 波动 方程 初 值 问题 ， 用 Ｆ ｕ ｅ 变换 和 压 缩 映射原 理 证 明 了局 部 广 利 ｏｒ ｒ ｉ 义解和局 部 古典解 的存在 唯一 性． 关键 词 ： 非线性 高阶 波动 方程 ； 值 问题 ； 部 广义解 ； 初 局 局部 古典 解 中图分类号 ： １ ５ ２ ０ ７ ． 文献标 志码 ： Ａ