一类非线性高阶波动方程的初值问题局部解的存在性

作者简 介： 侯长顺（ ９０ ） 男， １８ 一 ， 河南省平顶山市人 ， 南工业 大学讲 师 ， 河 主要研 究方向为非线性发展方程．
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Байду номын сангаас
１２・ ２
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２１ ０ ０证
问题 “ ａ Ｕ ａ ｕ ＋ ３４＝ 一 ｌ黜＋ ２ 口 ｕ ４ ） ∈Ｒ， ＞ ， ｔ０
Ｋｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉ ｅ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｆ ｈ ｇ ｅ ｒ ｅ ； ａ ｃ ｙ ｐ ｂ ｅ ； ｏ ａ ｅ ｅ ａｉｅ ｏｕ ｉ ｎ；ｏ ａ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｌ ａ ｗ ｖ ｑ ａｉ ｓ ｏ ｉｈ ｒ ｏ ｒ ｃ ｕ ｈ ｒ ｌｍ ｌｃ ｇ ｎ ｒ ｚ ｄ ｓ ｌｔ ｎｒ ｏ ｄ ｏ ｌ ｌ ｏ ｌｃ ｌ ｃａ ｓ ａ ｏｕ ｉ ｎ ｌｓ ｉ ｌｓ ｌ ｔ ． ｃ ｏ
ｅ ｉｔｎ ｅ ａ ｄ ｕｎｑｕ ｎ ｓ ｆｔ ｅ ｌｃ ｌｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｌ ｉ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｌ ｃ ｌｓ ｉａ ｌ ｔ ｎ ａ ｅ ｐ ｏ ｅ ｙ ｘｓｅ ｃ ｎ ｉ ｅ ｅ ｓ ｏ ｈ ｏ ａ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｏｕｔ ｎ ｈ ｏ ａ ｃａ ｓｃ ｓ ｕ ｉ ｒ ｒ ｖ ｄ ｂ ｏ ｌ ｌ ｏ ｏ ｔ ｅ Ｆｏ ｒｅ ｒ ｎ ｆｒ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｎ ｒｃ ｉｅ ｐ ｎ ｉｌ ． ｈ ｕ ｒｔａ ｓｏ ｍ ｎ ｏ ｔａ ｔｖ ｒ ｃｐ ｅ ｉ ｈ ｉ
Ｔｈ ｘｓｅ ｃ ｆｔ ｅ ｌ ｃ ｌ ｏｕ ｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｅ ｃ ｕ ｈ ｒ ｂ ｅ ｏ ｌｓ ｆ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｈ ｏ ａ ｌ ｔ ｏ ｈ ａ ｃ ｙ ｐ ｏ ｌｍ ｆａ ｃａ ｓｏ ｓ ｏ
ｎｏ ｉ ａ ｖ ｑ ａ ｉ ｎ ｆｈ ｇ ｒ ｏ ｄ ｒ ｎｌ ｎｅ ｒ ｗａ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｏ ｉ ｈｅ ｒ ｅ
Ｖｏ ＿ ５ Ｎ ． Ｉ２ ｏ ２
Ａｐ ．２ １ ｒ ００
２１ ０ ０年 ４月
文章编号 ：０ ４—１７ （０ ０ ０ ０ ２ — ４ １０ ４ ８ ２ １ ）２— １ １ ０
一
类非线性高阶波动方程的 初值 问题 局部解 的存在性
侯 长顺 黄 士 国 ，
（ ． 南工 业 大学 理 学 院 ，河 南 郑 州 ４ ０ ５ ； １河 ５０ ２
①
②
ｕ ｘ ０ （ ， ０ ） ∈Ｒ （ ， ）＝ ） ｕ（ ）＝ｊ（ ， ，
其中， ， 戈 是已知的初始函数 ， （ ） （ ） 下标 和 ｔ 分别表示对 和 ｔ 的导数． 本文采用 以下记号和概念 ， 记
为通常的尺上所有Ｐ 次可积函数组成的 空间， 并赋予范数 ｌ ｌ１（ ≤ ≤∞）特别地， ｌ ｌ； １ １ ｐ ＝／ ， ＝ 记 是通常的 Ｒ上的 Ｓｂｌ 空间， ｏｏｖ ｅ 具有范数 Ｉ ｌ ＝Ｉ１ Ｉｌ ＇ａ ，（， 是 ｕｘｔ关于 的 Ｆｕｅ变换． ｌ ｌ ｌ ｈ ｌ ｔ ｕ旷 （ ） Ｉ ｎ ） （， ） ｏｒｒ ｉ
延拓定理证明了该方程的初边值问题 的整体古典解的存在唯一性 ， 并给出了古典解爆破 的充分条件． 现有
的文献 中 ， 还没 见到有 学 者研究 该方 程 的初 值 问题 ． 文 将 利用 变 换 和 压缩 映射 原 理来 研 究 该 方程 的初 值 本
收稿 日期 ：０９— ５—３ ２０ ０ １ 基金项 目： 南省教育厅 自然科学研究基￣ （ ０９ １００ ） 河南工业大学校基金 （ ７（ｃ ４ ） 河 ２ ０ Ｂ １０ ７ ； ｏ） ０５ Ｊ
Ｏ 引 言
在文献［ ］ １ 研究稠密晶格动力学时 ， 研究了一维均匀格 的波的传播 ， 借助于连续性方法得到了描述均匀
格 的波的传播 的较 精确 的方程
Ｕ 一 ｌ ＋ ２ ＋口 ｕ 站 ａ ｕ 口 ｕ４ ３ ４＝ ）， ∈Ｒ， ＞ ｔ０
其 中 ｕ ｘｔ未 知 函数 ，。口 ，， （ ，） ａ ， ａ ＞０都是 常数 ｓ为 已知 的非线 性 函数 ． ） 文献 ［ ］ 用压 缩 映射 原理 和 解 的 ２利
ＨＯＵ ａ ｇ ｓ ｎ。 Ｃｈ ｎ —ｈｕ
，
ＨＵＡＮＧ ｈ — ｕ Ｓ ｉｇ ｏ
（． ｏｌ ｅｆＭａ ． ｎ ｈ． Ｈ ｎ ｎＵ ｗ ｏ Ｔｃ． Ｚ ｅｇｈ ｕ４０ ５ ，ｈｎ ； １Ｃ ｌｇ ｅ ｏ ｔ ａ ｄＰ ｙ ， ｅａ ｎ ． ｅ ，ｈｎｚｏ ５ ０ ２ Ｃ ｉ ｈ ｆ ｈ ａ ２ Ｄｐ． Ｍａｈ ａｄＩ ｏ． ｃ ， ｈｎｚｏ ｎ ． Ｌｇ ｔｎ ． Ｚ ｅｇｈｕ４０ ０ ， ｉａ） ． ｅｔｏ ｔ ．ｎ ｆｒＳｉ Ｚ ｅｇｈ ｕＵ ｉ ｏ ｉｈ ｆ ｎ ． ｖｆ Ｉ ，ｈｎｚｏ ５ ０ ２ Ｃ ｎ ｄ ｈ
２ 郑州轻 工 业学院 数 学与信 息科 学系 ，河 南 郑州 ４０ ０ ） ． ５０ ２
摘要 ： 讨论 了一类非 线性 高阶 波动 方程 初 值 问题 ， 用 Ｆ ｕ ｅ 变换 和 压 缩 映射原 理 证 明 了局 部 广 利 ｏｒ ｒ ｉ 义解和局 部 古典解 的存在 唯一 性． 关键 词 ： 非线性 高阶 波动 方程 ； 值 问题 ； 部 广义解 ； 初 局 局部 古典 解 中图分类号 ： １ ５ ２ ０ ７ ． 文献标 志码 ： Ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ Ｃ ｕ ｈ ｒｂ ｅ ｏ ｌｓ ｆｎ ｎ ｉｅ ｒｗ ｖ ｑ ａ ｉｎ ｆｈ ｇ ｅ ｒ ｅ ａ ｉｃ ｓｅ ． ｈ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ａ ｃ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｃ ａ ｓ ｏ ｏ ｌ ａ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒｗ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ Ｔ ｅ ａ ｎ ｏ
第２ ５卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎ ｔａＳｉ ｃ｝ ＯＺ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ