第6章 互感与变压器电路分析-2
电路分析基础(第二版) 曾令琴 人民邮电出版社 课后答案 指导与解答6 课后答案【khdaw_lxywyl】
解析：理想变压器必须满足三个条件：①无损耗；②耦合系数 K=1；③线圈的电感量和
解析：理想变压器是一个线性非记忆元件，它既不耗能，也不能储能，但它在能量传递
课
aw
40Ω ＋ u i /2 － ·
后
答
案
网
件，表征理想变压器的电路参数只有它的初、次级之间的匝数比n。如果一个空心变压器的L 1 、
课
后
致，其磁场相互增强；而图 6.2 中互感电压u M2 的表达式前面之所以取“－”号，是因为两电
互感电路的分析方法
当两互感线圈的一对异名端相联，另一对异名端与电路其它部分相接时，构成的联接方
aw
答
案
＋ u2 － ＋ u1 － 图 6.1 具有互感的两个线圈
.c o
i1 i2 － u2 ＋ ＋ u1 － 图 6.2 两线圈的磁场相互削弱
ww
式称为互感线圈的顺向串联；若互感线圈的一对同名端相联，另一对同名端与二端网络相连， 所构成的连接方式称为它们的反向串联。 实际工程应用中，为了在小电流情况下获得强磁场，互感线圈一般为顺串，顺串后的等
79
w. kh d
6． 2
1、学习指导 （1）互感线圈的串联
（2）K=1 和 K=0 各表示两个线圈之间怎样的关系？ 解析：K=1 说明两个线圈之间达到了全耦合；K=0 表示两个线圈之间无耦合作用。 （3）两个有互感的线圈，一个线圈两端接电压表，当另一线圈输入电流的瞬间，电压表 解析：电压表向正值方向摆动，说明线圈两端的互感电压极性与电压表极性相同；线圈
ww
图 6.11 例 6.3 题电路图与等效电路图
（3）在图 6.11 电路图中，若 n=4，则接多大的负载电阻可获得最大功率？ R 40 2 2.5 时可获得最大功率。 解析：若n=4，则R L 11 2 4 n
第6章-耦合电感和理想变压器
i
L1 u
R1
i1
M L2
R2 i2
(a) 同侧并联
i i1 i2
u
R1i1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u
R2i2
L2
di2 dt
M
di1 dt
(6 10)
整顿方程，得出u旳体现式
i M
L1 M L2 M
u
R1
R2
i1
i2
i
L1 u
R1
i1
M L2
R2 i2
(b) 异侧并联
i M
L1 M
反接时
Le L1 L2 2M 1 4 21 3H
Z Re jLe 3000 j314 3 3144.418 17.432
I U 220 30
69.965 12.568 mA
Z 3144.418 17.432
i 69.965 2 cos(314t 12.568) mA
2.并联 (分为同侧并联和异侧并联)
u23
R2i2
L2
di2 dt
M
di1 dt
整顿方程得
u13
R1i1
(L1
M
)
di1 dt
M
di dt
u23
R2i2
(L2
M
)
di1 dt
M
di dt
(6 16)
1 i1 R1
u13
L1
M
)
di1 dt
M
di dt
u
R2i2
(L2
M)
di1 dt
M
di dt
(6 13)
耦合电感并联旳去耦等效电路与各电压电流旳 参照方向无关，只与其同侧或异侧连接有关。
第6章-磁路和变压器
(a)无外场，磁畴排列杂乱无章。
(b)在外场作用下，磁畴排列逐 渐进入有序化。
磁性物质的磁化示意图
2. 磁饱和性
磁性物质因磁化产生的磁场是不会无限制增加的，当外磁场(或激 励磁场的电流)增大到一定程度时，全部磁畴都会转向与外场方向 一致。这时的磁感应强度将达到饱和值。
IN lx
I
其中N 为线圈的匝数；Hx 是半径为 x 处的磁场强度 。
乘积 I N 是产生磁通的原因，称为磁动势，用F 表示。
F IN 单位是安培
4. 磁导率
磁导率μ是表示磁场空间 媒质 磁性质的物理量，是物质导磁能力 的标志量。
前面已导出环形线圈的磁场强度 H ，可得磁感应强度 B 为
Bx
磁导率的单位
0.39
A
可见由于所用铁心材料不同，要得到相同的磁感应强度，则所需要的磁动势或励
磁电流是不同的。因此，采用高磁导率的铁心材料可使线圈的用铜量大为降低。
6.2 交流铁心线圈电路
铁心线圈分为两种：
1．直流铁心线圈电路
2．交流铁心线圈电路
直流铁心线圈通直流来励磁（如直流电机的励磁线圈、电磁吸盘 及各种直流电器的线圈）。因为励磁是直流，则产生的磁通是恒定的， 在线圈和铁心中不会感应出电动势来，在一定的电压U下，线圈电流I 只与线圈的R有关，P也只与I2R有关，所以分析直流铁心线圈比较简 单。本课不讨论。
t
qv
Fmax
F
I
B
B
l
B
l
I
S
N
同理，
vB F
三个矢量也构成右旋系关系。
如洛仑兹力公式所表示
F q v B
电路基础(第3版_王慧玲)电子教案 电路基础第3版电子教案 3第6章 互感耦合电路
本章教学内容
互感耦合电路的概念，同名端，互感线圈的 串联、并联，互感电路的应用。
6-1 互感耦合的概念
重点内容: 互感、耦合系数、互感电压的概念。
教学要求: 1.深刻理解互感的概念，了解互感现象及
耦合系数的意义 。 2.掌握互感电压与电流关系。
6-1 互感耦合的概念
一、互感耦合
1.互感耦合：如果两个线圈的磁场存在相互作 用，这两个线圈就称为磁耦合或具有互感。
例如:
i1 1
+ uM1 Ⅰ 1'
i2 2 1 i1
M
i2 2
+
*
Ⅱ uM1 +
-
uM1
2' _
*
+ uM2 _
1'
2'
图6-4 互感线圈的同名端及互感的电路符号
2.同名端的判定
直接判定 需知各线圈的实际绕向。
例6-1 电路如图，试判断同名端。
解: 根据同名端的定义，图（a）中，2、4、5为
同名端或1、3、6为同名端。图（b）中，1、3为
▪若U24 约等于U12和U34之差， 则1、3为同名端；
▪若U24 约等于U12和U34之和， 则1、3为异名端。
小结:
同名端即同极性端，对耦合电路的分析极 为重要。同名端与两线圈绕向和它们的相对位 置有关。工程实际常用实验方法判别同名端， 有直流判别法和交流判别法。
6-3 互感的线圈串联、并联
一、空心变压器
空心变压器等效电路如图
M
+ uS -
i1
**
L1
L2
i2
+
ZL uL
R1
R2
第6章变压器-
第6章变压器** 三相组式和芯式变压器** 三相组式变压器三相组式变压器由3台容量、变比等基本参数完全相同的单相变压器按三相连接方式连接组成。
其示意图如图6.1.1，此图的原、副边均接成星形，也可接成其它接法。
三相组式变压器的特点是具有3个独立铁心；三相磁路互不关联；三相电压对称时，三相励磁电流和磁通也对称。
** 三相芯式变压器三相芯式变压器的磁路系统是由组式变压器演变过来的，其演变过程如图6.1.2所示。
当我们把三台单相变压器的一个边（即铁心柱）贴合在一起，各相磁路就主要通过未贴合的一个柱体，如图6.1.2（a）所示。
这时，在中央公共铁心柱内的磁通为三相磁通之和，即ΦΣ=ΦA+ΦB+ΦC。
当三相变压器正常运行（即三相对称）时，合成磁通ΦΣ=0，这样公共铁心柱内的磁通也就为零。
因此中央公共铁心柱可以省去，则三相变压器的磁路系统如图6.1.2（b）所示。
为了工艺制造方便起见，我们把3相铁心柱排在一个平面上，于是就得到了目前广泛采用的如图6.1.2（c）所示的三相芯式变压器的磁路系统。
图6.1.2 三相芯式变压器的铁心演变过程（a）3个铁心柱贴合（b）中央公共铁心柱取消（c）三相芯式铁心三相芯式变压器的磁路系统是不对称的，中间一相的磁路比两边要短些。
因此，在对称情况下（即ΦA=ΦB=ΦC时），中间相的励磁电流就比另外两相的小，但由于励磁电流在变压器负载运行时所占比重较小，故这对变压器实际运行不会带来多大影响。
比较芯式和组式三相变压器可以知道，在相同的额定容量下，三相芯式变压器具有省材料、效率高、经济等优点；但组式变压器中每一台单相变压器却比一台三相芯式变压器体积小，重量轻，便于运输。
对于一些超高电压、特大容量的三相变压器，当制造及运输发生困难时，一般采用三相组式变压器。
** 三相变压器的联结组三相变压器的原边和副边都分别有A，B，C 三相绕组，它们之间到底如何联法，对变压器图6.1.1 三相组式变压器的运行性能有很大的影响。
电路基础3第6章 互感耦合电路
5.如果选择电流i2的参考方向以及uM1的参考方向与 Ψ12的参考方向都符合右螺旋定则时
uM2
M
di1 dt
2020/4/29
6-2 互感线圈的同名端
重点内容: ·同名端的概念 ·实验法判断同名端
教学要求: ·会确定互感线圈的同名端
2020/4/29
6-2 互感线圈的同名端
1.同名端的定义 互感线圈中，无论某一线圈的电流如何变化，
产生了变化的互感磁通Ψ21，而Ψ21的变化将在线
圈Ⅱ中产生互感电压uM2。
如果选择电流i1的参考方向以及uM2的参考方向
与Ψ21的参考方向都符合右螺旋定则时，则
uM2
d21Md1i
dt
dt
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互感线圈的电压与电流
Ⅰ
Ⅱ
12
22
N1 i2 N2
+ uM1 -
同理，当线圈 Ⅱ中的电流i2变动时，在线圈Ⅰ中
2020/4/29
2.同名端的判定
直接判定 需知各线圈的实际绕向。
例6-1 电路如图，试判断同名端。
解: 根据同名端的定义，图（a）中，2、4、5为
同名端或1、3、6为同名端。图（b）中，1、3为
同名端或2、4为同名端。
i*
**
1 23
45
（a）
1 i1
+* u-M1
6
2
例6-1题图
（b）
i2 3 *+
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二、互感系数M与耦合系数k
1.互感系数M
在非磁性介质中，磁链与电流大小成正比，若磁 通与电流的参考方向符合右手螺旋定则时，可得
Ψ 21=M21i1 或 Ψ 12=M12i1
第6章有互感的电路-3受控源等效电路和空心变压器
Ia R2
Ib
+
_U0
（1）加压求流：列回路电流方程
( R1 R2 jL1 ) Ia R2 Ib jM Ib 0
( R2 jL2 ) Ib R2 Ia jM Ia U0
I0
Ib
3
U0 j7.5
,
Zi
U0 I0
3
j7.5
8.0868.2
法3：去耦等效：
M
I1 R1 • L1
L2 • I2
R222
X
2 22
R22
例1. L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 ,
•
I 1 R1
j M
R2
+
•
US –
**
1 j L1
j L2 2
RL=42 , 314rad/s,
•
I 2 U 1150o V
RL
求 : I1 , I2 .
法一：回路法。
有互感的电路
第三讲 （总第二十九讲）
受控源等效电路 空心变压器
受控源等效电路、空心变压器
一、受控源等效电路
•
I1
+
j M **
•
I2
+
•
U1
j L1
j
L2
•
U
2
–
–
•
•
•
U 1 jωL1 I 1 jωM I 2
•
•
•
U 2 jωL2 I 2 jωM I 1
•
I1
+
j L1
•
U1
+
•
jω M I 2
《电路与电子技术基础》答案
《电路与电子技术基础》作业答案第1章电路分析的基本概念---作业题1-1题1-3题1-6第2章电路分析定理和基本方法---作业一、第3章时域电路分析---作业第4章正弦稳态电路分析---作业第5章互感与理想变压器---作业第6章半导体器件---作业1、6.5（a）D1导通，U AB= -0.7V(b) D2导通，U AB= -5.3V2、6.9 D Z1导通，U o=0.7V3、6.12 U BE>0，I B>0；U CE>04、6.13 电流放大作用，i C=βi B，i E= i B+i C=i B(β+1)=( i C/β)*( β+1)5、6.16 （1）在截止区（2）U ce= 3.5V 工作在放大区（3）U ce= -1.5V 工作在反偏状态，在饱和区第7章半导体三极管放大电路---作业书上习题：1、7.22、7.3 （1） R B =565 K Ω ，R C =3 K Ω（2） A u == -120 ，U o =0.3V3、7.4 Q 点:Ω≈≈≈k r m A I A μ I be CQ BQ 3.176.122Ω==-≈Ω≈-≈≈k R R A k R A V U c o usi uCEQ 5933.13082.6 空载时：471153.25-≈-≈≈Ω=usuCEQ L A A V U k R 时：Ω==Ω≈k R R k R c o i 53.1第8章集成运算放大电路---作业1、 书上习题8.3 u O = u O1-0.6= -(R f /R 1)u i -0.6 V2、 书上习题8.5 u O =-1VI L =-100μAI O =110μA3补充：)()(200112t u t t u u O i O +-=－4补充：o f f I R R R R I ∙∙++≈414o f f f I R R R R R R I V ∙∙∙++≈=41411电流串联负反馈电路5补充：电压串联负反馈电路6补充:o f f I R R R I ∙∙+≈55 电流并联负反馈电路第9章波形发生电路---作业1 改错：2、3、书上习题9.2习题图9.2（a）习题图9.2（b）第10章直流稳压电源---作业书上习题1、 10.8 （1）U o =ZD U ＝10V I o ＝10 mAI =14 mAZ D I =4 mA（2）I ＝ I o ＝16 mAU o =10VD 没反向工作， Z D I =0 mA2、 10.123、补充：A 5.4)1( 'O 12L 'O 12C =⋅+≈⋅≈I R R I I R R I。
电机学第6章特殊变压器讲义教材
此时两个分裂绕组之间的短路阻抗（折算到高压侧）称为分裂阻抗 Z f 。
4．分裂系数
kf
Zf Zs
3~4
是分裂变压器的基本参数，既用来定性分析分裂变压器的特性，又作为设计指标。
第6章 特殊变压器
三、等效电路
第6章 特殊变压器
6.2 自耦变压器
一、结构特点与用途
结构特点: 低压绕组是高压绕组的一部 分，一、二次绕组之间既有 磁耦合，又有电联系。
U1U2为一次绕组，匝数为 N1 ； u1u2为二次绕组，匝数为 N2，又称为公共绕组； U1u1称为串联绕组，匝数为 N1-N2 。 用途：用来连接两个电压等级相近的电力网，作为两电网的联络变压器；
第6章 特殊变压器
6.3 分裂变压器
一、结构特点与用途
1．结构特点（以单相双分裂绕组变压器为例）
高压绕组由两条支路并联组成（并非分裂绕组）。
电路上彼此分离
低压绕组是
两个分裂绕组。
磁路上松散耦合
低压两个分裂绕组的特点: 结构相同、容量相等，两个绕组容量之和等于
高压绕组的额定容量，即分裂变压器的额定容量。
如绕组3发生短路 U3 0 I2 I3 忽略 I2
残余电压
U2 U0 Z1Z3Z3U1
1.75Zs (0.1251.75)Zs
U1
0.93U1
即使分裂系数取较小值 k f 3 U2 0.8U 61
通常发电厂要求残余电压不低于65％额定电压， 因此，分裂变压器可以大大提高厂用电的可靠性。
双分裂绕组变压器实质上是三绕组变压器，二者等效电路及参数公式相同。
Z1
变压器的基本理论
第6章变压器的基本理论1. 分析变压器内部的电磁过程。
2. 分析电压、电流、磁势、磁通、感应电势、功率、损耗等物理量之间的关系3. 建立变压器的等效电路模型和相量图。
4. 利用等效电路计算分析变压器的各种性能。
6-1变压器的空载运行一. 空载运行物理分析•一次侧接额定电压U N,二次侧开路的运行状态称为空载运行（i2=0）。
•空载时一次侧绕组中的电流i 0为空载（或叫激磁）电流，磁势F0=I 0N1叫励磁磁势。
•F o产生的磁通分为两部分，大部分以铁心为磁路（主磁路），同时与一次绕组N i和二次绕组N匝链，并在两个绕组中产生电势e i和e2,是传递能量的主要媒介，属于工作磁通，称为主磁通①。
•另一部分磁通仅与原方绕组匝链，通过油或空气形成闭路，属于非工作磁通，称为原方的漏磁通①i。
•铁心由高导磁硅钢片制成，导磁系数卩为空气的导磁系数的2000倍以上，所以大部分磁通都在铁心中流动，主磁通约占总磁通的99%以上，而漏磁通占总磁通的1%以下。
•问题6-1 :主磁通和漏磁通的性质和作用是什么？•规定正方向：电压U与电流10同方向，磁通①正方向与电流I 0正方向符合右手螺旋定则。
电势E 与I 0电流的正方向相同。
•由于磁通在交变，根据电磁感应定律：e1= -N 1 d ① /dte2= -N 2 d ① /dte1 尸-N 1 d ① 1 ./dt二. 电势公式及电势平衡方程式推导1 k=E i/E 2=(4.44fN i ① j/(4.44fN 2① m)=N i/N 22 变比k等于匝数比。
3 一次绕组的匝数必须符合一定条件：Ui ~ 4.44 f N i ① m ~ 4.44 f N i B m SNi ~U i/4.44fB m S三. 变压器的变比k和电压比Ka)变比k：指变压器i、2次绕组的电势之比4. B m的取值与变压器性能有密切相关。
B m~热轧硅钢片1.11〜1.5T ;冷轧硅钢片1.5~1.7Tb）电压比K:指三相变压器的线电压之比5. 在做三相变压器联结绕组试验时用到电压比K进行计算。
第6章 互感耦合电路与变压器
US
－
Z 22 = ( R2 + R) + j ( X L2 + X )
1'
2'
称为空芯变压器初、次级 回路的自阻抗 自阻抗；把
Z12 = Z 21 = jωM 称为空芯变压器回路的互阻抗 互阻抗。
6.1.3 耦合系数和同名端 1、耦合系数
两互感线圈之间电磁感应现象的强弱程度不仅与它们之 间的互感系数有关，还与它们各自的自感系数有关，并且 取决于两线圈之间磁链耦合的松紧程度。 我们把表征两线圈之间磁链耦合的松紧程度用耦合系数 耦合系数 “k” 来表示： M
k=
L1 L2
通常一个线圈产生的磁通不能全部穿过另一个线圈，所 以一般情况下耦合系数k<1，若漏磁通很小且可忽略不计 时：k=1；若两线圈之间无互感，则M=0，k=0。因此，耦 合系数的变化范围：0 ≤ k ≤ 1。 0
应用举例
1
uS i1 L1 R1 M i2 L2 R2
2
u20 ZL
**
左图所示为空芯变压器的电路模 型。其中左端称为空芯变压器的初 回路，右端为空芯变压器的次级回 路。图中uS为信号源电压，u20为次 级回路的开路电压。
• • S
2' 1' ( R 1 + jω L1 ) I 1 = U • • 由图可得空芯变压器电压方程为： j ω M I 1 = U 20 若次级回路接上负载ZL，则回路方程为：
= jω ( L1 + L2 + 2 M ) I = jωL顺 I
• •
即两线圈顺串时等效电感量为： L 顺 = L1 + L 2 + 2 M 2、 两线圈反串时，电流同时由 M L2 异名端流入（或流出)，因此它们 i * L1 * 的磁场相互消弱，自感电压和互 uM2 uL1 uM1 uL2 感电压反方向，总电压为：
电路分析-第6章
计算电流：
U an U A U IA ψ φ I a Z Z |Z|
U bn U B U IB ψ 120o φ 2 I a Z Z |Z|
IC
U cn U C U ψ 120o φ I a Z Z |Z|
U总 UB UC
想多讲一点
为此，当将一组三相电源连成三角形 时，应先不完全闭合，留下一个开口，在 开口处接上一个交流电压表，测量回路中 总的电压是否为零。如果电压为零，说明 连接正确，然后再把开口处接在一起。
V
V型接法的电源：若将接的三相电源去掉一相，则线电压 仍为对称三相电源。
UA A Z l
+
A'
Ia
Z
N'
U B B Zl –
+ –
B' I b Z C' I c Z
S
分析图示三相电路 的各个电流：
章节内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 三相电路的基本概念 三相电路的连接 对称三相电路的计算 不对称三相电路 三相电路的功率及测量
6.6
应用
6.1
三相电路的基本概念
三相系统－－概述
由三相电源构成的系统，称为三相系统。 三相系统主要由三相电源、三相负载和三相导线3个部分 构成，也称为三相电路。 三相电路是一种特殊形式的正弦稳态电路，目前世界上 的电能生产、传输供应大多采用三相电路形式，应用非常广 泛！
2. 电源的连接分析与负载的连接分析情况类似。
电路基础-B第6章耦合电感电路的分析
第6章
耦合电感电路的分析
无论何时，在同一个变化磁通的作用下，耦合线圈同名端 产生的感应电压的极性总是相同的，即同名端有同极性，因 此同名端也称为同极性端。 2. 互感电压
如果每个线圈的电压、电流为关联参考方向，且每个线圈 的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，则有每个线 圈两端的电压为
正弦稳态情况下，含有耦合电感（简称互感）电路的计算，
仍可采用前面介绍的相量法进行分析计算，但应注意耦合电
感上的互感电压。
本节主要介绍耦合电感的电路模型和去耦等效法在含有耦
合电感电路分析中的应用，讨论如何将耦合电感用无耦合的
电路来等效替代。
6(10)
第6章
耦合电感电路的分析
6.2.1 应用耦合电感电路模型的分析计算 耦合电感可用电感元件和电流控制电压源CCVS来模拟，注
对位置和媒介质。当媒介质是非铁磁性物质时，M为常数。
6(6)
第6章
耦合电感电路的分析
2. 耦合因数 耦合因数k定量描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，即
k M L1 L2
0≤k≤1。 当k =1时，说明两个线圈耦合得最紧，没有漏磁通，因此产 生的互感最大，这种情况又称为全耦合，如图（a）。 当k = 0时，说明线圈产生的磁通互不交链，因此不存在互感 如图（b）。
A
5 1
A j
则互感为
U oc
[ R2
j ( L2
M
)]I1
(2
j4 )
5 1
j
V
5
1018.43V
再求等效阻抗Zeq。将独立电源置零，得图c，有
(2 j4)(j2)
Zeq
3 j6
(2 j4) j2
电路基础第6章 耦合电感电路的分析
6.1.3 耦合线圈的同名端和互感电压 实际应用中，有时需要知道耦合线圈产生的互感电压的极
性，为方便分析，引入同名端的概念。 1．同名端
两个具有磁耦合的线圈，当电流分别从两个线圈的对应端 钮同时流入或流出时，若产生的磁通相互增强，则这两个对 应端钮称为两互感线圈的同名端，用小圆点“·”或星号“*” 等符号作标记。
Ψ1＝L1i1±Mi2
Ψ2＝L2i2±Mi1
互感系数M的数值取决于两个耦合线圈的几何尺寸、匝数、相
对位置和媒介质。当媒介质是非铁磁性物质时，M为常数。
2. 耦合因数 耦合因数k定量描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，即
k M L1 L2
0≤k≤1。 当k =1时，说明两个线圈耦合得最紧，没有漏磁通，因此产 生的互感最大，这种情况又称为全耦合，如图（a）。 当k = 0时，说明线圈产生的磁通互不交链，因此不存在互感 如图（b）。
无论何时，在同一个变化磁通的作用下，耦合线圈同名端 产生的感应电压的极性总是相同的，即同名端有同极性，因 此同名端也称为同极性端。 2. 互感电压
如果每个线圈的电压、电流为关联参考方向，且每个线圈 的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，则有每个线 圈两端的电压为
u1
d 1
dt
L1
di1 dt
仍可采用前面介绍的相量法进行分析计算，但应注意耦合电
感上的互感电压。
本节主要介绍耦合电感的电路模型和去耦等效法在含有耦
合电感电路分析中的应用，讨论如何将耦合电感用无耦合的
电路来等效替代。
6.2.1 应用耦合电感电路模型的分析计算 耦合电感可用电感元件和电流控制电压源CCVS来模拟，注
意受控电压源的极性。图（b）中，电感L1和L2之间已经没有 耦合关系，称为去耦，则可利用前面介绍的各种电路分析法 进行计算。
第6章互感电路及磁路
法，后面的互感消去法及互感电路在工程上的应用其关键也源于此。
电路基础与实践
第6章互感电路及磁路时域分析
例6-2 如图6-6所示的正弦交流互感电路中，已
知交：流X电L1 源 1电0压，U• SXL220200V，，RXLC
求得。这样一来，只要遇到符合特殊联接的互感电路就可以用现成的不含
互感的等效电感电路来替代，其等效电感值也有现成公式计算。这就是所 谓的耦合电感的去耦等效电路分析法。
电路基础与实践
第6章互感电路及磁路时域分析
两互感线圈的联接基本有三种，分别是：两互感线圈的串联联接、两互 感线圈的并联联接和两互感线圈有一个公共端的联接。
u21
d (N2 21)
dt
（6-1）
（a）
（b）
图6-1具有互感的两个线圈
（a）线圈1通电流的情况
（b） 线圈2通电流的情况
电路基础与实践
第6章互感电路及磁路时域分析
同理，如图6-1（b）所示，如果线圈2通以电流时，在线圈2中将产
生自感磁通Φ22（Φ22为电流i2在线圈2中产生的磁通），Φ22的一部分或 全部将交链另一线圈1，用Φ12（Φ12为电流i2在线圈1中产生的磁通）表 示，当线圈2中的电流i2变动时，自感磁通Φ22随电流而变动，除了在线 圈2中产生自感电压外，还将通过耦合磁通在线圈1中也产生互感电压。如
由KCL列出A节点的电流方程
为• •
•
I1 I2 I3
与上两式联立求
得
•
I2
245 A
电路基础与实践
第6章互感电路及磁路时域分析
chapter06 三绕组变压器
3、第三绕组接成 ，提供i3回路。
5
一、结构特点及容量配合
1、三绕组同心排列在铁心柱上； Y Y 1 2 3 3 2 1
1
3 2
2
3
1
升压
1 高压 2 中压 3 低压
降压
每相的高中低压绕组均套于同一铁心柱上。为了绝缘使用合理， 通常把高压绕组放在最外层，中压和低压绕组放在内层。 6
2、三绕组容量可以不同，此时变压器的额定容量指三绕组 最大的一个。 •额定容量是指容量最大的那个绕组的容量，一般容量的百 分比按高中低压绕组有三种形式100/100/50、100/50/100、 100/100/100。 •三相三绕组变压器的联结组有YN、yn0，d11（
U12 U1 (U 2 ) I1[r1 j ( L1 M 12 M 13 M 23 )] I2 [r2 j ( L2 M 12 M 23 M 13 )]
I1 (r1 jx1 ) I 2 (r2 jx2 ) I1 z1 I 2 z 2
U 13 U 1 (U 3 ) I1[r1 j ( L1 M 12 M 13 M 23 )] I3 [r3 j ( L3 M 13 M 23 M 12 )]
I1 (r1 jx1 ) I 3 (r3 jx3 ) I1 z1 I 3 z3
(1)
14
将绕组2、3均折算至绕组1
U 2 ' k12 U 2
I 2' I 2
U 3 ' k13 U 3
M12 N 1 N 2 21 , M12 ' N 1 N 2 ' 12 M12 ' k12 M12 M 21'
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K i(t)
+
i2 (t)
2V
-
**
1H
4
其中 n L1 1 1 ，将理想变压器次级搬移到初级， 得等效电路L2，利4用一2 阶电路的三要素法求解。
i(t) 1
i1 (t )
L 2s
K
R
+
iL (0 ) 0A iL (0 )
2V
-
1H
1 i(0 ) 1A
iL
i() 2A
1t
1t
i(t) 2 [1 2]e 2 2 e 2 t 0
解：将次级折合到初级，RL与ZS 3 j4 不可能达到共扼
匹配。
I3 j4
+
I
2000 (3 500n2 )
j4
200 0V
-
500n2 RL
(3
2000 RL)
j4
这时，可变化的只是变比 n，这就是“模匹配”的情况。
RL ' n2RL 500n2 ZS 32 42 5
n 0.1
1 n
US
Z1 n2
I2
应该指出：阻抗的 n2 倍与元件的 n2 倍是不一样的。 电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反:
n2 R (n2 R)
n2 ( jL) j (n2 L)
n2 1
1
jC
j
(
1 n2
C)
利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。
例如：
a Z1
c Z3
+
US
* Z2
N
-
*
+*
U1
-
•
•
I2 I2' c
+•
*
U2
-
I2"
Z2
N
•
•
a I1 I1'
+
*
U1 n2 Z2
-
•
I2' c
+ *
U2 N
-
b
n:1
d
b
n:1 d
(a)
(b)
由图(a)：
得图(b)。其中：
U1 nU2
I1
1 n
I2
1 n
(I2" I2 ' )
I1
1 n
I2
1 n
(U2 Z2
I2 ' )
U1 n2Z2
I1
+
nU2
-
nI1
+ **
U2
-
n:1
若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效阻抗为
Zi n2ZL
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广： 1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级； 2. 串联阻抗可以从初级搬移到次级。 阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级；
•
a I1
i1
i2
+ **
+
u1
-
u2
-
i1
n:1
ni1
+ **
+
nu 2
u2
-
-
n:1
i1
+
u1
-
i1
+
nu2
-
* *
i2 -
u2
n:1
+
ni1 -
*
*
u2
n:1
+
p. 356 例 6-4-1
6-4-2 理想变压器的阻抗变换
由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以 n 倍的关系变换 电压、电流外，还可以以 n2 倍的关系变换阻抗。
-
u1 u2
n
i1 1
i2 n
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两 种VCR仅差一个符号。
6 -4 -1 理想变压器伏安关系推导
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理 想变压器的VCR：当线圈的电压、电流参考方向关联时只有 这两种情况，由耦合线圈的VCR：
u1
6-5-1 全耦合变压器的电路模型
实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三 个条件，即k = 1但 L 不为无限大，这就是全耦合变压器。两线 圈的电压关系同理想变压器，电流关系有**式，即
1
i1 L1
t
u1( )d
1 ni2
i
i1'
可见，全耦合变压器的初 级电流由两部分组成，其
中i 称为激磁电流或空载
dj1 dt
dj11±dj12 dt dt
uL1±uM1
L1
di1±M dt
di2 dt
u2
dj2 dt
d
j22±d
j 21
dt dt
uL2±uM
2
L2
di2±Mdi1 dt dt
这里仅讨论第一种(相加的)情况。当耦合系数 k=1 时：
电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈相交链，即：
若 初、次级 线圈的匝数分别为 N1 和 N2，则两线圈的总磁链
电流。其等效电路模型如 图所示。
i1 i1'
+
u1
i
*
L1
*
-
n:1
i2
+
u2
-
i1 i1'
负载中电阻吸收的功率：
P
I
2(
Z
L
cosL )
(Rs
Z
L
Us2
Z
L
cosL )2
cos
(Xs
Z
L
sin
L )2
要使P达到最大，必须
dP
d
(
Z
L
）
0,
即
Z
L
＝
Z
s
这时，负载获得最大功率。这种情况称为“模匹配”。模匹 配时负载中电阻吸收的功率一般比达到共扼匹配时的功率小。
作业：p. 374
6-15 6-19 (a)
u2
dj2
dt
N2
d
dt
故得： u1 N1 n u2 N2
由耦合电感VCR的第一式：
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
t
从 - 到 t 积分，有 u1( )d L1i1 Mi2
得： i1
1 L1
t
u1(
)d
M L1
i2
由自感、互感的定义： N111 L1i1 , N112 Mi2
Z1
-
由上题完全类似，可得：
•
Z2
V
•
Zi
n2Z2
(n 1)2 Z1
I
P.247. 例 8 -9就是实例：戴维南等效电路的 输出阻抗为：
Zo Ro 22 R1 (2 1)2 R2 10
开路电压由理想变压器的VCR直接得到：
i2 0i1 0
voc 2vS 2 (t)
6-5 一般变压器的电路模型
b
n:1 d
a
c Z3
简化为
+
US
-
*
1 n2 Z1
*
1 n2
Z2
N
b n:1
d
电源也可以“搬移”。不过，电源搬移与同名端有关。
a
c Z3
*
-
*
1 n
U+S
1 n2 Z1
1 n2 Z2
N
b n:1
d
c Z3
由理想变压器的
-1
VCR，简化成没 有变压器的电路。
1 n
U+S
n2 Z1
1 n2 Z2
N
d
入的功率全部通过次级线圈传递给负载。
理想变压器虽可看作耦合电感的极限情况，其电路符号 也与耦合电感相同，但它与耦合电感有本质的区别。
耦合电感
理想变压器
VCR 线性微分方程 元件性质 动态、记忆、储能元
件
表征参数 L1、 L2、 M
线性代数方程 静态、无记忆、既不 耗能也不储能
n
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的两种伏安关系合 并成一种，且不带负号。两线圈的电压（标同名端处假设为正 极）、电流（一侧流入另一侧流出）应如下图假设：
如：从初级看进去的等效电阻为
i1
Ri
u1 i1
i2
nu2
1 n
i2
n2
u2 i2
n2RL
+
+
u1 * * u2 RL
-
-
+ i1
u1
n2 RL
-
n:1
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无关。
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想 变压器伏安关系的相量形式为：
U1 nU2 I2 nI1
•
I1
•
I
1 1
2
2
•
•
•
I S I1 I
解上两式，得
I
1 3
Is
20
A
例8 -11：电路初始状态为零，t=0 开关闭合，试求t>0时的电 流 i(t)。
1 2H
解：由已知参数，
+
2V
-
K i(t)
1H*
*
4H
i2 (t) k M 1
4
L1 L2
此乃全耦合变压器，其
等效电路为：
1 i1(t) n:1
例4. 含理想变压器电路如图，试求I1 和U 。
I1 1
I2
+ **