单自由度动力学建模 ppt课件
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第1章 单自由度系统自由振动(b)PPT课件
振动解： x ( t) e 0 t( c 1 c* h t c 2 sh * t)
c1、c2：初始条件决定。
shx ex ex 2
2020/11/13 《振动力学》
chx ex ex
2
26
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
过阻尼 1
振动解： x ( t) e 0 t( c 1 c* h t c 2 sh * t)
响应图形
位置
0
Td
A Ae0t
t
时间
ξ=0 ξ<1
欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动。
– 指数衰减规律, 振幅包络线方程为：Ae-t
2020/11/13
– 自由振动衰减速率，阻尼起决定性作用.
19
《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
不同阻尼大小下的欠阻尼振动衰减情况： 不同阻尼，振动衰减的快慢不同； 阻尼大，则振动衰减快； 阻尼小，则衰减慢。
6
《振动力学》
复习：单自由度系统自由振动－能量法
解：
若选择平衡位置为零势能点，计算系统势 能时可以不考虑重力。设摆杆AO做自由
振动时，其摆角的变化规律为
Φ si(n 0t)
则系统振动时，摆杆的最大角速度
max0Φ
因此系统的最大动能为
2020/11/13 《振动力学》
Tmax
1 2
J02Φ2
l d Ae0t
得： 1 ln i
j i j
当 较小时（ 0.2）
0 0
2 1 2
2 1 2
2
2
i e0Td
2020/11/13 i1
《振动力学》
lni i1
ln
0Td
第一章单自由度机械系统动力学建模
0
P Fi vi M j j
1
2
j 1
1．2 系统的等效力学模型
一、等效动力学模型
等效转化的原则：等效构件的等效质量 具有的动能等于原机械系统的总动能；等效 构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率 等于原机械系统所有外力产生的瞬时功率之 和。 把具有等效质量或等效转动惯量，其上 作用有等效力或等效力矩的等效构件称为机 械系统的等效动力学模型。
2 2 2 2 v2 1 1 1 2 F3 )v3 J1 J 2 m2 m3 v3 (M1 2 v3 v3 v3 v3
(1-9)
当广义力为力矩M时，广义坐标为转角的形 式 2
d dJ e M Je dt 2 d
(1-10) 当广义力为力F时，广义坐标为位移 u的形式
dv v 2 dJ e F Je dt 2 du
(1-11)
1．3 单自由度系统动力学建模统一方程 不失一般性，把系统外力F和力矩M统一记 ) 为 Fi (i 1, 2 n， 记广义坐标为 q ，把质量m和转动惯量 J ui 统一记为 ，对应的位移和转角统一记为 。则 mi 广义力式（1-7）和广义惯量式（1-8）表为： n ui (1-12) Q Fi [T ]T [ F ]
1
S3
等效力矩 Me
等效转动惯
量 Je 1 1 1 1 2 2 2 2 ( J11 J 22 m2 v2 m3v3 ) ( M 11 F3v3 ) 2 2 2 2
2 2 2 2 v2 v3 2 v3 1 J J m m ( M F )1 1 2 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1
第三章_单自由度机械系统动力学
为一等效力矩Me，它可按下式计算：
m j Fk vk cos k F Me ( ) ( M j ) q q k 1 j 1 m
、vk / q 是由机构的尺度和位置决定的， Me表示式中的广义传动比 j / q 的变化无关。 Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q
基本概念
1、等效构件 具有与原机械系统等效的质量或等效转动惯量、其上 作用有等效力或等效力矩，而且其运动与原机械系统相应 构件的运动保持相同的构件。 2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。 3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
1 G1 2 r 2 i g 1 20 (0.00715 0.15 2 0.00252 )kg.m 2 40 9.18 0.007256 kg.m 2 J e J1 J 2
加载后，还应加上重物的等效转动惯量
GR2 1 Je Je g r2 4000 0.12 1 (0.007256 2 )kg.m 2 9.81 40 0.009804 kg.m 2
2 M e ( )d 0 J e ( ) J e ( )
2 0
J e0
= （）
( )
变换后积分
d t0 dt 0 ( )
t
d dt
t t0
d 0 ( )
= （t）
3、驱动力是速度的函数，例如一般的电动机，机械特性均表示为输
出力矩随角速度变化的曲线。
二、三相异步电动机的机械特性
如图所示，三相异步电动机的输出力矩随角速度变化的曲线，称 为机械特性。AC段的运转是稳定的，当外载荷加大而导致机械减速 时，输出力矩将增加，并与外载荷达到新的平衡。而AD段的运转是 不稳定的，而外载荷增加导致转速下降时，输出力矩也下降，更无法 与外载荷平衡，造成转速进一步下降，直至停车。因此三相异步电动 机应在AC段工作。点B是电动机的额定工作点。
m j Fk vk cos k F Me ( ) ( M j ) q q k 1 j 1 m
、vk / q 是由机构的尺度和位置决定的， Me表示式中的广义传动比 j / q 的变化无关。 Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q
基本概念
1、等效构件 具有与原机械系统等效的质量或等效转动惯量、其上 作用有等效力或等效力矩，而且其运动与原机械系统相应 构件的运动保持相同的构件。 2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。 3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
1 G1 2 r 2 i g 1 20 (0.00715 0.15 2 0.00252 )kg.m 2 40 9.18 0.007256 kg.m 2 J e J1 J 2
加载后，还应加上重物的等效转动惯量
GR2 1 Je Je g r2 4000 0.12 1 (0.007256 2 )kg.m 2 9.81 40 0.009804 kg.m 2
2 M e ( )d 0 J e ( ) J e ( )
2 0
J e0
= （）
( )
变换后积分
d t0 dt 0 ( )
t
d dt
t t0
d 0 ( )
= （t）
3、驱动力是速度的函数，例如一般的电动机，机械特性均表示为输
出力矩随角速度变化的曲线。
二、三相异步电动机的机械特性
如图所示，三相异步电动机的输出力矩随角速度变化的曲线，称 为机械特性。AC段的运转是稳定的，当外载荷加大而导致机械减速 时，输出力矩将增加，并与外载荷达到新的平衡。而AD段的运转是 不稳定的，而外载荷增加导致转速下降时，输出力矩也下降，更无法 与外载荷平衡，造成转速进一步下降，直至停车。因此三相异步电动 机应在AC段工作。点B是电动机的额定工作点。
第二讲单自由度系统ppt课件
49
动力学方程： 特征方程： 特征根： 第二种情况：过阻尼 特征根：
振动解：
两个不相等的负实数根
50
振动解： 给定初始条件： 那么：
响应图
结论：一种按照指数规律衰减的非周期蠕动，没有振 动发生。（蠕动）
51
动力学方程： 特征方程： 特征根： 第三种情况：临界阻尼 特征根：
振动解：
两个重实数根
52
三种阻尼情况总结： 欠阻尼
过阻尼 临界阻尼
响应图
•欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动；
•过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没
•
有振动
•临界阻尼也是只衰减不振动，衰减稍快。
53
小结论
•简谐振动及其三要素 •单自由度无阻尼振动 •单自由度阻尼振动
54
例如： m xcxkx0
非线性振动系统：描述其运动的方程为非线性 微分方程。对于非线性系统，线性叠加原理 不成立。
11
2) 按自由度分
单自由度系统振动：用一个独立坐标就能确定 的系统的振动。
多自由度系统振动：用多个独立坐标才能确定 的系统的振动。
无限自由度系统振动：即弹性体的振动，需要 用无限多个独立坐标才能确定系统的振动
27
解方程
mxkx0
求解方程 令
n
k m
方程可写为 xnx 0
方程通解： xc1cosntc2sinnt
28
其中
c
、
1
c2
为任意常数。也可把通解写为
xAsin(nt)
这里
A、
为任意常数。它们与
c
、
1
c2
的关系为
A c12 c22
tg 1 c1 c2
动力学方程： 特征方程： 特征根： 第二种情况：过阻尼 特征根：
振动解：
两个不相等的负实数根
50
振动解： 给定初始条件： 那么：
响应图
结论：一种按照指数规律衰减的非周期蠕动，没有振 动发生。（蠕动）
51
动力学方程： 特征方程： 特征根： 第三种情况：临界阻尼 特征根：
振动解：
两个重实数根
52
三种阻尼情况总结： 欠阻尼
过阻尼 临界阻尼
响应图
•欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动；
•过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没
•
有振动
•临界阻尼也是只衰减不振动，衰减稍快。
53
小结论
•简谐振动及其三要素 •单自由度无阻尼振动 •单自由度阻尼振动
54
例如： m xcxkx0
非线性振动系统：描述其运动的方程为非线性 微分方程。对于非线性系统，线性叠加原理 不成立。
11
2) 按自由度分
单自由度系统振动：用一个独立坐标就能确定 的系统的振动。
多自由度系统振动：用多个独立坐标才能确定 的系统的振动。
无限自由度系统振动：即弹性体的振动，需要 用无限多个独立坐标才能确定系统的振动
27
解方程
mxkx0
求解方程 令
n
k m
方程可写为 xnx 0
方程通解： xc1cosntc2sinnt
28
其中
c
、
1
c2
为任意常数。也可把通解写为
xAsin(nt)
这里
A、
为任意常数。它们与
c
、
1
c2
的关系为
A c12 c22
tg 1 c1 c2
单自由度刚性动力学
运动方程的求解方法
已知机构的受力及运动的初始状态，则可 通过求解运动方程得到等效构件的运动规律。 大多情况下，等效力矩又是位移、速度或者时 间的函数；对于非定比传动机构，等效转动惯 量及导数也大多是角位移的函数，因此，很难 得到学模型
运动方程的求解方法
2 1 1 2 2 I e 22 I e11 M e d 1 2 2
若等效构件为作直线运动的构件，则相应有
s2 1 1 2 2 me 2 v2 me1v1 Fe ds s1 2 2
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
等效构件的运动方程
力矩形式的运动方程：
d E 由 E = W 得：dE dW ，则： P dt d 1 2 即： I e M e
2 2 2 2 c b b 4 ac 2 c b b 4ac 0 I e a b c 2b 0 ln ln 2 2 2 2 2c a b0 c0 b 4 ac 2 c b b 4 ac 2 c b b 4ac 0
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
等效构件的运动方程
原理：功能原理 能量形式的运动方程： 根据功能原理，等效力矩所作的功W 等于等效构件 动能的变化量 E，得 E = W 即
1 I e 2 M e d 2
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
等效构件的运动方程
由右图可得能量形式的运动方程：
0
第二节 驱动力和工作阻力
工作阻力：完成有用功时，作用于机械系
统上的阻力，此力做负功。 工作阻力分类： 1）工作阻力是常数。 2）工作阻力随位移而变化。 3）工作阻力随速度而变化。 4）工作阻力随时间而变化。
已知机构的受力及运动的初始状态，则可 通过求解运动方程得到等效构件的运动规律。 大多情况下，等效力矩又是位移、速度或者时 间的函数；对于非定比传动机构，等效转动惯 量及导数也大多是角位移的函数，因此，很难 得到学模型
运动方程的求解方法
2 1 1 2 2 I e 22 I e11 M e d 1 2 2
若等效构件为作直线运动的构件，则相应有
s2 1 1 2 2 me 2 v2 me1v1 Fe ds s1 2 2
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
等效构件的运动方程
力矩形式的运动方程：
d E 由 E = W 得：dE dW ，则： P dt d 1 2 即： I e M e
2 2 2 2 c b b 4 ac 2 c b b 4ac 0 I e a b c 2b 0 ln ln 2 2 2 2 2c a b0 c0 b 4 ac 2 c b b 4 ac 2 c b b 4ac 0
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
等效构件的运动方程
原理：功能原理 能量形式的运动方程： 根据功能原理，等效力矩所作的功W 等于等效构件 动能的变化量 E，得 E = W 即
1 I e 2 M e d 2
第三节 单自由度机械系统的等效力学模型
等效构件的运动方程
由右图可得能量形式的运动方程：
0
第二节 驱动力和工作阻力
工作阻力：完成有用功时，作用于机械系
统上的阻力，此力做负功。 工作阻力分类： 1）工作阻力是常数。 2）工作阻力随位移而变化。 3）工作阻力随速度而变化。 4）工作阻力随时间而变化。
第1章 单自由度系统振动PPT课件
在质量块上施加力 P
两弹簧变形量相等：
受力不等：P1 k1 P2 k2
k1
m
k2
k1
k2
P
m
由力平衡： P P 1 P 2 (k 1 k2)
根据定义： Ke Pk1k2
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度
振动着，以及如何进行振动的方式都毫
无关系
不是系统的固有属性的数字特征，与系 A,：统过去所受到过的激励和考察开始时刻
系统所处的状态有关
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ
m h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
解：
取平衡位置 以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系
静变形
由材料力学 ： mgl 3
48 EJ
m h
l/2
0
l/2
x
自由振动频率为 ： 0
g
48 EJ ml 3
静平衡位置
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0
x0 2gh
m h
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
A
x02
x0
0
2
2 2h
x
梁的最大扰度： maxA
x(t)
x0
欠阻尼 1
振动解：
x(t )
e 0t ( x0
cos d t
x0
0 x0 d
sin
dt)
e0t A sin( d t
)
x(t)
两弹簧变形量相等：
受力不等：P1 k1 P2 k2
k1
m
k2
k1
k2
P
m
由力平衡： P P 1 P 2 (k 1 k2)
根据定义： Ke Pk1k2
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度
振动着，以及如何进行振动的方式都毫
无关系
不是系统的固有属性的数字特征，与系 A,：统过去所受到过的激励和考察开始时刻
系统所处的状态有关
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ
m h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
解：
取平衡位置 以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系
静变形
由材料力学 ： mgl 3
48 EJ
m h
l/2
0
l/2
x
自由振动频率为 ： 0
g
48 EJ ml 3
静平衡位置
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0
x0 2gh
m h
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
A
x02
x0
0
2
2 2h
x
梁的最大扰度： maxA
x(t)
x0
欠阻尼 1
振动解：
x(t )
e 0t ( x0
cos d t
x0
0 x0 d
sin
dt)
e0t A sin( d t
)
x(t)
惯性技术课件4--单自由度陀螺 (哈工大版,1-16全)ppt课件
同时，内框架也以角速度
绕 y-轴转动
ppt课件
8
3.1 建模: 坐标系
xb X x xb
yb
Y y
HG z
zb Z
坐标系：
固定坐标系 -- XYZ
基座坐标系 -（输入轴 xb ）
xb
yb
zb
内框架坐标系 -- xyz
转子坐标系 -- x' y' z'
ppt课件
9
3.2 建模: 任务和方法
xb x
xb
c k
M c c(阻尼) M k k (扭转弹簧) M B -- 控制力矩 M f -- 干扰力矩
yb
y
HG z zb
忽略 M f , 得到
J y HGxb c k MB
故 J y c k HGxb MB
J y Jzxb M y
或 J y HGxb M y
其中
yb y
My Mc Mk MB M f
xb
xb
HG z
zb
ppt课件
16
3.5*模型: 力矩
其中
J y HGxb M y
My Mc Mk MB M f
dt dt
其中
xb
i
j
yb y
HG z
zb
ppt课件
14
3.4*建模: 动量矩
dH d~H H M
dt dt
故有
H
J x xb
i
J y
j
Jz k
绕 y-轴转动
ppt课件
8
3.1 建模: 坐标系
xb X x xb
yb
Y y
HG z
zb Z
坐标系：
固定坐标系 -- XYZ
基座坐标系 -（输入轴 xb ）
xb
yb
zb
内框架坐标系 -- xyz
转子坐标系 -- x' y' z'
ppt课件
9
3.2 建模: 任务和方法
xb x
xb
c k
M c c(阻尼) M k k (扭转弹簧) M B -- 控制力矩 M f -- 干扰力矩
yb
y
HG z zb
忽略 M f , 得到
J y HGxb c k MB
故 J y c k HGxb MB
J y Jzxb M y
或 J y HGxb M y
其中
yb y
My Mc Mk MB M f
xb
xb
HG z
zb
ppt课件
16
3.5*模型: 力矩
其中
J y HGxb M y
My Mc Mk MB M f
dt dt
其中
xb
i
j
yb y
HG z
zb
ppt课件
14
3.4*建模: 动量矩
dH d~H H M
dt dt
故有
H
J x xb
i
J y
j
Jz k
2-1结构动力学(单自由度)
c 2 m
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
高等结构动力学(云大土木系)02-单自由度系统r
P=1/2
m EI EI EI m L EI
L/2
L/2
EI
EI
2
L
M图
解2 是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于 结构对称，可取半刚架计算。
1 L L 1 2 L L 1 2 L L3 ( L ) 2 EI 2 2 2 3 2 2 2 3 2 4 EI
L/2
L
L/2
P=1
EI k
L L/2 k
M1 图
3/2
解1 画M1图；由M1图求得 ；由 求得 。 ： 1 L L 3 L L L 1 3 L 3 3
( L ) EI 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2k L3 9 8EI 4k 1 L3 9 m( ) 8EI 4k
C
N
e
4a
3a
虚位移：
7 Z Z Z Z e e1 e2 Z Z 12 a 3a 4a
7 NZ 轴向力所做虚功： WN N e Z 12 a
1 4 1 1 9 W am am m2 Z (t ) c1 c2 Z (t ) k1 k 2 Z (t ) 3 9 9 16 16 16 7 NZ pa (t ) Z 3 12 a
d 1 f D1 c1 ( DD' ) c1Z (t ) dt 4
fS2
1 k1 (GG' ) k 2 Z (t ) 3
也可以按力与虚位 移均呈三角形分布 而图乘计算虚功
(t ) f D 2 c2 Z
1 1 (t ) f I1 m1 Z (t ) m 4a Z (t ) 2am Z 2 2
单自由度动力学建模
i
v
1 不知道机构真实运动的情况下，可以求出等效量（Fe、Me、 me、Je） 2 等效量（Fe、Me、me、Je）均为为机构位置的函数。 3 等效量（Fe、Me、me、Je）均为假想的量，不是机构真实的
合力、合力矩、总质量和总转动惯量。
4 如果考虑惯性力和惯性力矩时，等效力和等效力矩与动态静
力法中求出的平衡力和平衡力矩大小相等，方向相反。
故有： J e
J 1
z2 z1
2
J2
m3
2
2
l
2
m4
2l sin
2
2
2
9J1 J 2 m3l 2 m4l 2 sin2 2
则：
Me
M
1
1 2
2
F4
cos180
v4 2
M1
Z2 Z1
F42l sin 22源自3M1F4
L
sin
2
写为：
Qq&
1 2
d dt
(Je
q&2 )
(6a)
把具有等效质量或等效转动惯量，其上 作用有等效力或等效力矩的等效构件称为机 械系统的等效动力学模型。
等效力 Fe 等效质量 me
等效力矩 Me 等效转动惯量 Je
二、等效参数的确定
1、等效质量和等效转动惯量
等效质量和等效转动惯量可以根据
等效原则：等效构件所具有的动能等于 原机械系统的总动能来确定。
机构动力学分析的发展与现状 机构动力学模型主要有两种形式: 一类是不含运动副约束反力的纯微分型动力学方
程,其维数等于机构的自由度数目; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型
方程,其维数大于机构的自由度数目。
P04机械转子陀螺仪单自由度ppt课件
➢结论：单自由度陀螺能敏感基 座在其缺少转动自由度的方向 （敏感轴 x 方向）上的转动 1
单自由度陀螺 运动方程：坐标系
➢运动分析：
转子绕 z’ 轴旋转；当载体以 ωxb旋转，强迫内框架一同旋 转，内框架同时绕 y 轴旋转。
➢坐标系选取： 固定坐标系 X Y Z 载 体 坐 标 系 xb yb zb （输入轴 xb ） 内框架坐标系 x y z 转子坐标系 x’ y’ z’
传递函数
(s)
2 n
H
G
/
k
xb (s)
s2
2 n s
2 n
其中
n
k Jy
c
2 Jyk
系统输入
xb
(s)
xb
s
系统输出
(s)
2 n
H
G
/
k
xb
s2
2 n速率陀螺 阶跃响应：曲线
(t)
HG xb
k
1
1
'
e
nt
sin(n
't
)
以 H G xb 为稳定位置的衰减振荡，其中
cos
i
j
xb
sin
k
➢转子相对惯性空间 的转动
'
k xb cos
i
j
( xb
sin
) k
3
单自由度陀螺 运动方程：矢量表示2
➢转子的动量矩
H J x xb cos
i
J
y
j
J z (xb sin ) k
➢H实际J中xβx非b 常i小 ，J yH可 简j 化J成z
k
Hxi Hy j Hzk
➢根据动量矩定理
单自由度陀螺 运动方程：坐标系
➢运动分析：
转子绕 z’ 轴旋转；当载体以 ωxb旋转，强迫内框架一同旋 转，内框架同时绕 y 轴旋转。
➢坐标系选取： 固定坐标系 X Y Z 载 体 坐 标 系 xb yb zb （输入轴 xb ） 内框架坐标系 x y z 转子坐标系 x’ y’ z’
传递函数
(s)
2 n
H
G
/
k
xb (s)
s2
2 n s
2 n
其中
n
k Jy
c
2 Jyk
系统输入
xb
(s)
xb
s
系统输出
(s)
2 n
H
G
/
k
xb
s2
2 n速率陀螺 阶跃响应：曲线
(t)
HG xb
k
1
1
'
e
nt
sin(n
't
)
以 H G xb 为稳定位置的衰减振荡，其中
cos
i
j
xb
sin
k
➢转子相对惯性空间 的转动
'
k xb cos
i
j
( xb
sin
) k
3
单自由度陀螺 运动方程：矢量表示2
➢转子的动量矩
H J x xb cos
i
J
y
j
J z (xb sin ) k
➢H实际J中xβx非b 常i小 ，J yH可 简j 化J成z
k
Hxi Hy j Hzk
➢根据动量矩定理
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机械动力学：
1动力学分析——研究机械在力作用下的运 动和机械在运动中产生的力。
2动力学综合（动力学设计）——从力与运 动的相互作用角度对机械进行设计改进，使 之达到运动学和动力学要求。
机械动力学四种分析方法：
静力分析（static） 动态静力分析(kinetio-static) 动力分析(dynamic) 弹性动力分析(elastodynamic)
故有： JeJ1 z z1 2 2J2 m 3 22 l 2 m 4 2 ls2i2 n 2
9J1J2m 3l2m 4l2s2 in 2
则：
MeM1 122F4co1s80v42
M 1Z Z1 2F42l s2i2 n3M 1F4Lsi2 n
写为：
Qq12ddt(Jeq2)
机构动力学分析的发展与现状 机构动力学模型主要有两种形式: 一类是不含运动副约束反力的纯微分型动力学方
程,其维数等于机构的自由度数目; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型
方程,其维数大于机构的自由度数目。
机构动力学分析的发展与现状
建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有: * 牛顿-欧拉(Newton-Euler)法 * 拉格朗日(Lagrange)法 * 虚功原理法 * 凯恩(Kane)法 * 旋量法和R-W法等。
1 不知道机构真实运动的情况下，可以求出等效量（Fe、Me、 me、Je） 2 等效量（Fe、Me、me、Je）均为为机构位置的函数。 3 等效量（Fe、Me、me、Je）均为假想的量，不是机构真实的
合力、合力矩、总质量和总转动惯量。
4 如果考虑惯性力和惯性力矩时，等效力和等效力矩与动态静
力法中求出的平衡力和平衡力矩大小相等，方向相反。
把具有等效质量或等效转动惯量，其上 作用有等效力或等效力矩的等效构件称为机 械系统的等效动力学模型。
等效力 Fe 等效质量 me
等效力矩 Me 等效转动惯量 Je
二、等效参数的确定
1、等效质量和等效转动惯量
等效质量和等效转动惯量可以根据 等效原则：等效构件所具有的动能等于 原机械系统的总动能来确定。
对于具有n个活动构件的机械系统，构件i 上的质量为mi，相对质心Ci的转动惯量为JCi, 质心Ci的速度为 vC i,构件的角速度为 i ， 则系统所具有的动能为：
Ei n11 2mivC 2 i 1 2JCii2
当选取角速度为 的回转构件为等效
构件时，等效构件的动能为：
Ee
1 2
Je2
根据等效原则 ：
t
N t0 Pdt EE0
(1-3)
微分得 P d E
即
dt
(1-4) i r1F iv ijt 1M j j 1 2d d t(i r1m iv i2 1 2jt 1Jj j2 )
1．2 系统的等效力学模型
一、等效动力学模型
等效转化的原则：等效构件的等效质量 具有的动能等于原机械系统的总动能；等效 构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率 等于原机械系统所有外力产生的瞬时功率之 和。
第一篇 机械刚体动力学
第一章 单自由度机械系统动力学建模方法
1．1 机构系统的功能关系
系统动能： E12i r1mivi212jt1Jj
2 j
（1-1）
r
t
系统瞬时功率：P Fi vi i1
Mj j
j1
（1-2）
根据动能原理：在任一时间间隔(t0 t内) ，系统 上外力所做的功等于系统动能增量：
三体机械臂
可伸展卫星太阳能电池板
汽车
五轴并联机床
绪论
机械动力学研究内容 ： 机械原理由三部分组成： 机械结构学、机构运动学和机械动力学 机械结构学：机构组成原理、机构运动的可能
性和确定性。 机构运动学：1运动学分析——不考虑力的作
用，从几何观点研究机构各构件运动参数（位 移、速度、加速度） 2运动学综合——仅从运动学角度设计新机构 的方法。
1 2 J 1 v 3 1 2 J 2 v 3 2 2 m 2 v v 3 2 2 m 3 v 3 2 (M 1v 3 1 F 3 )v 3
mei n1mivvsi2等J效s质i量vi m2e
F ei n1F ivvsic 等效o力is FM e i vi
机构动力学分析的发展与现状
牛顿-欧拉(Newton-Euler) 的特点是以矢量描述运动和力，从而具有很 强的几何直观性，但列写各隔离体的动力学方程不可避免地出现理想 约束反力，从而使未知变量的数目明显增多，扩大了求解规模。 Lagrange法是以系统的动能和势能为基础建立动力学方程的, 可以避 免出现不做功铰的理想约束反力，使未知量的数目最少，但随着刚体 数目和自由度的增多，求导数的计算工作量十分庞大。 凯恩(Kane) 方法 特点是利用伪坐标代替广义坐标描述系统的运动，并 将矢量形式的力和力矩包括达朗伯惯性力和惯性力矩直接向偏速度和 偏角速度基矢量方向投影以消除理想约束反力，兼有矢量力学和分析 力学的特点。 罗伯森(Roberson)和维滕堡(Wittenburg) 应用图论的概念来描述多刚 体系统的结构特征，使各种不同结构体系的多体系统能用统一的数学 模型来描述.
(6a)
式中
Q—或—Q 广dq义12力d(J(e或1q-26)称) 为等效力(6b)
J—e —广义惯量或称为等效i jt1Mj qj
(1-7)
Jeir1mi(uqi)2jt1Jj(qj)2
(1-8)
式（1-6）可表为：
Q12ddq(Jeq2)122Jeqddqqq2ddJqe(1212-Je9ddq)tddqqq2ddJqeJeddqt12ddJqeq2
Ee
E
得等效转动惯量 ：
Je i n1mivCi2JCi i2
v 当选取移动速度为 的滑件为等效构
件时，等效构件的动能为：
E 1mv2
2 e
e
根据等效原则 ：
Ee E 得等效质量：
m e i n1m ivvCi 2JCi vi2
等效量的计算
1、等效力和等效质量
1
S3
等效力 Fe
等效质量
( 1 2 J 11 2 1 2 J 22 2 1 2 m 2 v 2 2 1 2 m 3 mv 3 2 e ) ( M 11 F 3 v 3 )