第4章 自由曲线与曲面建模
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曲线曲面 29
CAD/CAM
在曲线曲面设计中，通常是用一组离散的型值点或特
征点来定义和构造几何形状，并且所构造的曲线曲面应满 足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼 近。
（1）插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函 数，使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺的要 求。
（2）逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个 函数，使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些 点。
CAD/CAM
CAD/CAM技术基础 —第4章 自由曲线与自由曲面建模
天津大学机械工程学院 产品设计与制造技术研究所
陈永亮
曲线曲面 1
CAD/CAM 典型机械零件
曲线曲面 2
CAD/CAM
典型机构
CAD/CAM
圆柱齿轮
曲线曲面 3
曲线曲面 4
CAD/CAM
蜗轮蜗杆
CAD/CAM
锥齿轮
弧齿锥齿轮
摆线锥齿轮
Seat Toledo Successor
(Toledo, coupe, station wagon, and convertible)
曲线曲面 21
CAD/CAM
波音飞机
曲线曲面 22
CAD/CAM
Airbus（空客）飞机
空中客车四个飞机系列： • 单通道A320系列飞机
(A318/A319/A320/A321) • 宽体A300/A310系列飞机 • 远程A330/340系列飞机 • A380双层超大型客机
（4）可以处理多值曲线。
（5）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。 由 于参数限制在0到1的闭区间之内，因而所表示的曲线总 是有界的，不需另设其他数据来定义其边界。
（6）对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次
曲线的显式表示为：
曲线曲面 34
CAD/CAM
y = ax3 + bx2 + cx + d
曲线曲面 33
CAD/CAM
用参数表示曲线曲面的优点：
（1）具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换 而变化的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标 系的选取无关。
（2）可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
（3) 参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化 对各因变量的影响可以明显地表示出来。
曲线曲面 13
基于反求测 CAD/CAM 和Pro/e的混合网格曲面
建模过程
曲线曲面 14
CAD/CAM 以马鞍形为例：
• （马鞍型曲面z = ( - x4 + y4 -x2 - y2 - 2xy) /30来进行说 明。设定x = - 4 ∶015∶4; y = x）
• 利用MATLAB得到公式曲面 数据。利用Matlab 取得生 成曲面需要的数据,将结果 存储于. ibl 中，利用ProE 边界混成曲面命令可以直接 从. ibl 文件曲线，进而生成 曲面即可.
曲线曲面 15
CAD/CAM
M文件
• clc
• clear
• [th,r]=meshgrid((0:5:360)*pi/180,0:. 05:1); %在极坐标系下设置一个 73×21的网格矩阵，
• [X,Y]=pol2cart(th,r); %转化为笛卡儿 坐标系%
• Z=X+i.*Y;
• F=abs((Z.^4-1).^(1/4)); • surf(X,Y,F); %显示曲面的立体图形
曲线曲面 27
曲线曲面 28
CAD/CAM 4.1.1 曲线曲面描述的基本原理
自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成，自 由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此，曲 线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼 合方法。
1. 几何设计的基本概念 在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点： （1）特征点（控制顶点）：用来确定曲线曲面的 形状位置，但曲线或曲面不一定经过该点。 （2） 型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状 并且经过该点。
Skoda Octavia
(Octavia sedan, and station wagon)
• VW plans for 19 vehicles based on A-platform
• VW estimates development and investment cost savings of $1.5 billion/yr using platforms
%
曲线曲面 16
CAD/CAPMro/e数据格式
曲线曲面 17
CAD/CAM
参考书
• Pro/ENGINEER Wildfire 3.0曲面建模实例精解 曹 岩主编 2007-4-7
• SolidWorks 2008曲面建模实例精解 曹岩主编 2009-3-18
• UG NX4曲面建模实例精解 北京立科公司编著 2007-6-6
其中只有4个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示 为：
x = at3 + bt2 + ct + d y = et3 + ft 2 + gt + h
其中有8个系数可用来控制曲线的形状。
（7） 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计 算。
曲线曲面 35
CAD/CAM
4.1.2 Hermite曲线
Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以 及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一 条三次参数曲线可以表示为：
曲线曲面 9
CAD/CAM 渐开线的参数方程
• 例2：渐开线 • 1）采用直角坐标系 • db=100 • rb=db/2 • u =t* 45 • x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 • y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 • z=0
曲线曲面 10
x = a1 + b1t + c1t 2 + d1t 3 y = a2 + b2t + c2t 2 + d 2t 3 z = a3 + b3t + c3t 2 + d3t 3
该曲线的矢量表达式为：
p = p(t) = k 0 + k 1t + k 2t 2 + k 3t 3
应用端点P0和P1，以及端点切矢P0’和P1’, 可得：
• SolidWorks 2007曲面建模实例精解 曹岩主编 2007-7-12
• SolidWorks 2005曲面建模实例精解 曹岩, 陈桦主 编
• CATIA V5R15曲面建模实例精解 曹岩主编 • Pro/ENGINEER Wildfire 3.0曲面建模实例精解
曹岩主编 2008-7-15
CAD/CAM
渐开线的参数方程
rb-基圆半径 u=45t t-参数 ,[0,1]
CAD/CAM 渐开线的参数方程
曲线曲面 11
db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
（3）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线 或曲面具有至少一阶连续导数。
（4）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一
的标准。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相
关。但仍有一些客观标准及处理方法。
曲线曲面 30
5
CAD/CAM 2. 曲线曲面的数学描述方法
曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函 数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示 存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如y=mx+b）等问 题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲 面。
曲线曲面 5
面齿轮
曲线曲面 6
1
CAD/CAM
• 齿轮类零件 • 涡轮类零件 • 凸轮类零件 • 叶轮叶片类零件
CAD/CAM
离心压缩机叶轮 曲线曲面 7
曲线曲面 8
CAD/CAM 圆的参数方程
• 例1：圆 • 参数方程文件：Rel.ptd • /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 • /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z • /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 • /* 半径 = 50，参数方程将是: • db=100 • rb=db/2 • x = rb * cos ( t * 360 ) • y = rb* sin ( t * 360 ) • z=0
曲线曲面 36
6
CAD/CAM
k0 = p0 k 1 = p′0 k 2 = 3(p1 − p0 ) − 2p′0 − p′1 k 3 = 2(p1 − p0 ) + p′0 + p′1
于是，
( ) ( ) p = p(t) = p 0 (1 − 3t 2 + 2t 3 ) + p1 3t 2 − 2t 3 + p′0 (t − 2t 2 + t 3 ) + p′1 − t 2 + t 3
矩阵表达式为 ：
⎡ 1 0 0 0 ⎤⎡p0 ⎤
[ ] p = p(t) =
1t t2 t3
⎢ ⎢
0
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎢p
1
⎥ ⎥
⎢− 3
⎢ ⎣
2
3 −2
−2 1
− 1⎥
构造曲面的方法：首先通过一系列离散 点确定一组曲线（称为控制曲线），再由这 些曲线构造要求的曲面。
曲线曲面 26
CAD/CAM
第4章 自由曲线与自由曲面建模
4.1 自由曲线 4.2 自由曲面
CAD/CAM Hale Waihona Puke Baidu.1 自由曲线
4.1.1 曲线曲面描述的基本原理 4.1.2 Hermite曲线 4.1.3 Bezier曲线 4.1.4 B样条曲线 4.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线
CAD/CAM
上模
压边圈
www.airbus.com
下模
曲线曲面 23
模具主模块
模具型面
＋ ＋
＋
曲线曲面 24
4
CAD/CAM
思考题
• 1 其它需要采用复杂曲面的产 品有哪些,请举例说明?
• 2 如何构造这些复杂曲面?
曲线曲面 25
CAD/CAM
工程设计中常遇到具有复杂形体的产品，如 汽车外壳、飞机的机身、电话机等，这些产 品由复合曲面构成，其曲面生成的过程是： 首先确定一系列的离散点，再由一组点来生 成一条曲线或一个曲面，通过多条曲线或多 个曲面之间的光滑连接，构造达到要求的复 杂形状。
VW Bora VW Beetle
(3+5 door, station (Bora sedan, coupe, (New Beetle,
wagon, convertible, convertible, and New Beetle
and Minivan)
station wagon) convertible)
举例：汽车车身、飞机机身、模具型面
曲线曲面 19
CAD/CAM 汽车车身三维曲面模型
曲线曲面 20
CAD/CAM 大众汽车
Source: Development Car Division
Audi A3 (3+ 5-door)
Audi TT coupe
Audi TT roadster
VW Golf IV
曲线曲面 18
3
CAD/CAM
CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲 线曲面称为规则曲线曲面，常用隐函数或二次 方程的显函数表示。
但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品 设计中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲 线曲面，这类曲线曲面称为自由曲线（Free Form Curves）和自由曲面（Free Form Surfaces），这是计算机辅助几何设计 （CAGD）研究的主要几何形状。
曲线曲面 31
CAD/CAM
曲线和曲面的参数表示
在解析几何中，空间曲线上一点P的每个 坐标被表示成参数化u的函数：
同样在三维空间内一张任意曲面可用带参 数u、v的参数方程表示为：
曲线曲面 32
CAD/CAM
如下图所示，曲面有两族参数曲线r (u,vj)和r (ui,v)，通常简称u线和v线，u线 与v线的交点是r(ui,vj)。
自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或 参数曲面。
空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹， 其矢量函数为：
P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的范围是 [0,1]
同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为：
P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ， (u,v) 的范围是 [0,1]×[0,1]
曲线曲面 12
2
CAD/CAM
外摆线
• 例3：外摆线 • 采用直角坐标系 • r1=100 • r2=50 • a=60 • u1 =t* 45 • u2=u1*r1/r2 • x=-a*sin(u1+u2)+(r1+r2)*sin(u1) • y=-a*cos(u1+u2)+(r1+r2)*cos(u1) • z=0
CAD/CAM
在曲线曲面设计中，通常是用一组离散的型值点或特
征点来定义和构造几何形状，并且所构造的曲线曲面应满 足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼 近。
（1）插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函 数，使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺的要 求。
（2）逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个 函数，使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些 点。
CAD/CAM
CAD/CAM技术基础 —第4章 自由曲线与自由曲面建模
天津大学机械工程学院 产品设计与制造技术研究所
陈永亮
曲线曲面 1
CAD/CAM 典型机械零件
曲线曲面 2
CAD/CAM
典型机构
CAD/CAM
圆柱齿轮
曲线曲面 3
曲线曲面 4
CAD/CAM
蜗轮蜗杆
CAD/CAM
锥齿轮
弧齿锥齿轮
摆线锥齿轮
Seat Toledo Successor
(Toledo, coupe, station wagon, and convertible)
曲线曲面 21
CAD/CAM
波音飞机
曲线曲面 22
CAD/CAM
Airbus（空客）飞机
空中客车四个飞机系列： • 单通道A320系列飞机
(A318/A319/A320/A321) • 宽体A300/A310系列飞机 • 远程A330/340系列飞机 • A380双层超大型客机
（4）可以处理多值曲线。
（5）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。 由 于参数限制在0到1的闭区间之内，因而所表示的曲线总 是有界的，不需另设其他数据来定义其边界。
（6）对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次
曲线的显式表示为：
曲线曲面 34
CAD/CAM
y = ax3 + bx2 + cx + d
曲线曲面 33
CAD/CAM
用参数表示曲线曲面的优点：
（1）具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换 而变化的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标 系的选取无关。
（2）可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
（3) 参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化 对各因变量的影响可以明显地表示出来。
曲线曲面 13
基于反求测 CAD/CAM 和Pro/e的混合网格曲面
建模过程
曲线曲面 14
CAD/CAM 以马鞍形为例：
• （马鞍型曲面z = ( - x4 + y4 -x2 - y2 - 2xy) /30来进行说 明。设定x = - 4 ∶015∶4; y = x）
• 利用MATLAB得到公式曲面 数据。利用Matlab 取得生 成曲面需要的数据,将结果 存储于. ibl 中，利用ProE 边界混成曲面命令可以直接 从. ibl 文件曲线，进而生成 曲面即可.
曲线曲面 15
CAD/CAM
M文件
• clc
• clear
• [th,r]=meshgrid((0:5:360)*pi/180,0:. 05:1); %在极坐标系下设置一个 73×21的网格矩阵，
• [X,Y]=pol2cart(th,r); %转化为笛卡儿 坐标系%
• Z=X+i.*Y;
• F=abs((Z.^4-1).^(1/4)); • surf(X,Y,F); %显示曲面的立体图形
曲线曲面 27
曲线曲面 28
CAD/CAM 4.1.1 曲线曲面描述的基本原理
自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成，自 由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此，曲 线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼 合方法。
1. 几何设计的基本概念 在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点： （1）特征点（控制顶点）：用来确定曲线曲面的 形状位置，但曲线或曲面不一定经过该点。 （2） 型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状 并且经过该点。
Skoda Octavia
(Octavia sedan, and station wagon)
• VW plans for 19 vehicles based on A-platform
• VW estimates development and investment cost savings of $1.5 billion/yr using platforms
%
曲线曲面 16
CAD/CAPMro/e数据格式
曲线曲面 17
CAD/CAM
参考书
• Pro/ENGINEER Wildfire 3.0曲面建模实例精解 曹 岩主编 2007-4-7
• SolidWorks 2008曲面建模实例精解 曹岩主编 2009-3-18
• UG NX4曲面建模实例精解 北京立科公司编著 2007-6-6
其中只有4个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示 为：
x = at3 + bt2 + ct + d y = et3 + ft 2 + gt + h
其中有8个系数可用来控制曲线的形状。
（7） 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计 算。
曲线曲面 35
CAD/CAM
4.1.2 Hermite曲线
Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以 及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一 条三次参数曲线可以表示为：
曲线曲面 9
CAD/CAM 渐开线的参数方程
• 例2：渐开线 • 1）采用直角坐标系 • db=100 • rb=db/2 • u =t* 45 • x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 • y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 • z=0
曲线曲面 10
x = a1 + b1t + c1t 2 + d1t 3 y = a2 + b2t + c2t 2 + d 2t 3 z = a3 + b3t + c3t 2 + d3t 3
该曲线的矢量表达式为：
p = p(t) = k 0 + k 1t + k 2t 2 + k 3t 3
应用端点P0和P1，以及端点切矢P0’和P1’, 可得：
• SolidWorks 2007曲面建模实例精解 曹岩主编 2007-7-12
• SolidWorks 2005曲面建模实例精解 曹岩, 陈桦主 编
• CATIA V5R15曲面建模实例精解 曹岩主编 • Pro/ENGINEER Wildfire 3.0曲面建模实例精解
曹岩主编 2008-7-15
CAD/CAM
渐开线的参数方程
rb-基圆半径 u=45t t-参数 ,[0,1]
CAD/CAM 渐开线的参数方程
曲线曲面 11
db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
（3）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线 或曲面具有至少一阶连续导数。
（4）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一
的标准。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相
关。但仍有一些客观标准及处理方法。
曲线曲面 30
5
CAD/CAM 2. 曲线曲面的数学描述方法
曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函 数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示 存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如y=mx+b）等问 题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲 面。
曲线曲面 5
面齿轮
曲线曲面 6
1
CAD/CAM
• 齿轮类零件 • 涡轮类零件 • 凸轮类零件 • 叶轮叶片类零件
CAD/CAM
离心压缩机叶轮 曲线曲面 7
曲线曲面 8
CAD/CAM 圆的参数方程
• 例1：圆 • 参数方程文件：Rel.ptd • /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 • /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z • /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 • /* 半径 = 50，参数方程将是: • db=100 • rb=db/2 • x = rb * cos ( t * 360 ) • y = rb* sin ( t * 360 ) • z=0
曲线曲面 36
6
CAD/CAM
k0 = p0 k 1 = p′0 k 2 = 3(p1 − p0 ) − 2p′0 − p′1 k 3 = 2(p1 − p0 ) + p′0 + p′1
于是，
( ) ( ) p = p(t) = p 0 (1 − 3t 2 + 2t 3 ) + p1 3t 2 − 2t 3 + p′0 (t − 2t 2 + t 3 ) + p′1 − t 2 + t 3
矩阵表达式为 ：
⎡ 1 0 0 0 ⎤⎡p0 ⎤
[ ] p = p(t) =
1t t2 t3
⎢ ⎢
0
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎢p
1
⎥ ⎥
⎢− 3
⎢ ⎣
2
3 −2
−2 1
− 1⎥
构造曲面的方法：首先通过一系列离散 点确定一组曲线（称为控制曲线），再由这 些曲线构造要求的曲面。
曲线曲面 26
CAD/CAM
第4章 自由曲线与自由曲面建模
4.1 自由曲线 4.2 自由曲面
CAD/CAM Hale Waihona Puke Baidu.1 自由曲线
4.1.1 曲线曲面描述的基本原理 4.1.2 Hermite曲线 4.1.3 Bezier曲线 4.1.4 B样条曲线 4.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线
CAD/CAM
上模
压边圈
www.airbus.com
下模
曲线曲面 23
模具主模块
模具型面
＋ ＋
＋
曲线曲面 24
4
CAD/CAM
思考题
• 1 其它需要采用复杂曲面的产 品有哪些,请举例说明?
• 2 如何构造这些复杂曲面?
曲线曲面 25
CAD/CAM
工程设计中常遇到具有复杂形体的产品，如 汽车外壳、飞机的机身、电话机等，这些产 品由复合曲面构成，其曲面生成的过程是： 首先确定一系列的离散点，再由一组点来生 成一条曲线或一个曲面，通过多条曲线或多 个曲面之间的光滑连接，构造达到要求的复 杂形状。
VW Bora VW Beetle
(3+5 door, station (Bora sedan, coupe, (New Beetle,
wagon, convertible, convertible, and New Beetle
and Minivan)
station wagon) convertible)
举例：汽车车身、飞机机身、模具型面
曲线曲面 19
CAD/CAM 汽车车身三维曲面模型
曲线曲面 20
CAD/CAM 大众汽车
Source: Development Car Division
Audi A3 (3+ 5-door)
Audi TT coupe
Audi TT roadster
VW Golf IV
曲线曲面 18
3
CAD/CAM
CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲 线曲面称为规则曲线曲面，常用隐函数或二次 方程的显函数表示。
但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品 设计中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲 线曲面，这类曲线曲面称为自由曲线（Free Form Curves）和自由曲面（Free Form Surfaces），这是计算机辅助几何设计 （CAGD）研究的主要几何形状。
曲线曲面 31
CAD/CAM
曲线和曲面的参数表示
在解析几何中，空间曲线上一点P的每个 坐标被表示成参数化u的函数：
同样在三维空间内一张任意曲面可用带参 数u、v的参数方程表示为：
曲线曲面 32
CAD/CAM
如下图所示，曲面有两族参数曲线r (u,vj)和r (ui,v)，通常简称u线和v线，u线 与v线的交点是r(ui,vj)。
自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或 参数曲面。
空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹， 其矢量函数为：
P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的范围是 [0,1]
同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为：
P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ， (u,v) 的范围是 [0,1]×[0,1]
曲线曲面 12
2
CAD/CAM
外摆线
• 例3：外摆线 • 采用直角坐标系 • r1=100 • r2=50 • a=60 • u1 =t* 45 • u2=u1*r1/r2 • x=-a*sin(u1+u2)+(r1+r2)*sin(u1) • y=-a*cos(u1+u2)+(r1+r2)*cos(u1) • z=0