第九讲(边缘分布及随机变量的独立性)

fY ( y ) f X [h( y )] h( y )
2
1 3(1 y ) 3 [(1 y ) ]' 3 2 {1 [(1 y ) ] } [1 (1 y )6 ]
三 解：1）当 y 1 时
FY ( y) P{Y y} P{1 2 X 2 y} 0 fY ( y) 0
f X ( x)
1 2 1

e
1 e dt 2 1 e

t2 2

, x
同理
1 fY ( y ) e 2 2
( y 2 )2 2 2 2
, y
我们看到二维正态随机变量的两个边缘分布都是 一维正态分布，并且都不依赖于参数 ，即对给定的
dx
y 1 2 2
2
fY ( y ) F ( y )
' Y
1 2
e

y 1 1 e 2
'

1 2 ( y 1)
e
1 y 4

1 y 1 e 4 ,y1 fY ( y ) 2 ( y 1) 0, 其他
的边缘概率密度。
解
f X ( x ) f ( x , y )dy
由于
( y 1 )2 2 ( x 1 )( y 2 ) [ y 2 x 1 ]2 2 ( x 1 )

22
1 2
2
1
12
于是
f X ( x)
练习七
一
Y X2 解：
参考答案
所以可能的取值为0，1，4，9,且
P{Y 0} P{ X 2 0} P{ X 0} 0.20; P{Y 1} P{ X 2 1} P{ X 1} P{ X 1} 0.20 0.20 0.40; P{Y 4} P{ X 2 4} P{ X 2} P{ X 2} 0.10 0.15 0.25; P{Y 9} P{ X 2 9} P{ X 3} 0.10.
1 , 2 , 1 , 2 ，不同的 所对应的二维正态分布不同，它
们的边缘分布却都是一样的。这一事实表明，仅由关于
X和Y 的边缘分布是不能确定二维随机变量 X ,Y 的联
合分布的。
那么要问，在什么情况下，由边缘分布 可以唯一确定联合分布呢？
四、 随机变量的独立性
1、两个随机变量的相互独立性 定义 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
其中 1 , 2 , 1 , 2 , 都是常数，且 1 0, 2 0,1 1。 我们称( X ,Y ) 服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 , 的二维正态分布，
2 记为( X ,Y ) ～ N ( 1 , 2 , 12 , 2 , )。试求二维正态随机变量

1 3 P X xi 18 0 18 38 0 38 38 0 38 0 18 18 68 28
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
三、连续型随机变量的边缘概率密度 对连续型 r.v ( X,Y ) ， X 和Y 的联合概率密度为 f ( x, y ) 则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为
所以Y的分布律为 Y P 0 1 4 9
0.25 0.40 0.15 0.10
二 解：方法一
FY ( y ) P{Y y } P{1 X y } P{ X (1 y ) }
3 3



(1 y )3
1 f X ( x )dx 3 dx 2 (1 y ) (1 x )
F (x,y) =
求边缘概率密度与边缘分布函数
解： 当x<0时
FX ( x ) F ( x , ) 0
当 0 x1 时
FX ( x ) F ( x , ) 2 x x
2 4
当
x1
时
FX ( x ) F ( x , ) 1
0,
FX ( x ) =
x < 0，
4 y , 0 y 1 fY ( y ) F ( y ) 其他 0,
3 ' Y
例 3 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y)
1 2 1 2 1
2

1 ( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 exp{ [ 2 ]} 2 2 2 2(1 ) 1 1 2 2 x , y
3
0
1
u
fY ( y )


y 8uydu, 0 y 1 0 f ( x, y )dx 0, 其他
4 y 3 , 0 y 1 其他 v 0,
1 0
1 u v=u
或
4 x 4 x 3 , 0 x 1 ' f X ( x ) FX ( x ) 0, 其他
i 1 i 1



j 1,2,
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
3
2
P{X=0, Y=3} 1 2 1 8

f X ( x ) f ( x, y )dy x
事实上 , FX x F x , dx f x , y dy
x
x f x , y dy f X x FX
P( X x, Y y) P ( X x ) P (Y y)
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
k 0 k 0 3 3
X
0 1 2 3
Y
1 3 0 18 38 0 38 0
0 18
P X xi
18 38 38 18
P Y yj


68 28
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
联合分布与边缘分布的关系
X
Y
0 1 2
P Y yj

3
j 1



i 1, 2 ,
j 1
X xi X xi ,Y y j j 1
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
P Y y j P X xi ,Y y j pij p. j
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
P X xi P X xi ,Y y j pij p i.
X 3 1 1 P{X=1, Y=1} =3/8 0 1 2 2 2 1 3 1 1 P{X=2, Y=1} =3/8 2 2 2 2 3 3 P{X=3, Y=0} 1 2 1 8.

( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx

y
例2 设二维连续型随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
8 xy , 0 x y , 0 y 1, f ( x, y) 其他 0,
联合分布函数为 0, x<0或y< 04 , y 0 x < 1, 0 y < x ， 2x2y2–y4, 0 x < 1, x y < 1 ， 2x2–x4 , 0 x < 1, y 1 ， y4 , x 1, 0 y < x ， 1, x 1, y x ，
1 2 1 2 1
2
e
( x 1 ) 2 2 2 1




e
y 2 x 1 2 1 [ ] 1 2 ( 1 2 ) 2
dy
1 y 2 x 1 ( ), 则有 令t 2 2 1 1
( x 1 ) 2 2 2 1 ( x 1 ) 2 2 2 1
2)当y 0时，• Y ( y ) P(Y y ) P( X y ) 0, F 当y 0时, FY ( y ) P( X y ) P( y X y )
y y x2 2
1 e 2
y2 2
dx
y2 2
1 1 fY ( y ) FY ( y ) e ( y) e 2 2 y2 2 － e 2 ,y0 fY ( y ) 0, 其他
2 ( y ) e 2
y2 2
第九讲
边缘分布及 随机变量的独立性
5
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢? 这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函

1 3(1 y )2 fY ( y ) FY' ( y ) [(1 y )3 ]' {1 [(1 y )3 ]2 } [1 (1 y )6 ]