上海民办新复兴初级中学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ；
②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；
③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.
④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 2．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6
π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．
A ．3∶2
B ．3∶1
C ．2∶1
D ．4∶3
3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22
； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④ 4．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，且//l α，则下列选项正确的是（ ）
A ．若//l m ，则//m α
B ．若//m α，则//l m
C ．若l m ⊥，则m α⊥
D ．若m α⊥，则l m ⊥
5．直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（ ）
A ．1694π
B ．169π
C ．288π
D ．676π
6．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（ ）
A ．27600mm
B ．28400mm
C ．29200mm
D ．210000mm 7．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）
A ．17,5]
B ．[4,5]
C ．[3,5]
D ．17] 9．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥
B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥
C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥
D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 10．下列命题中正确的个数有（ ）个
①不共面的四点中，其中任意三点不共线
②依次首位相接的四条线段必共面
③若点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则点,,,,A B C D E 共面
④若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：
①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；
②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为
23π； ④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +62+. 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A ．13cm
B ．261cm
C ．61cm
D ．234cm 13．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（ ）
A ．103
B ．123
C ．76或123
D ．96或103 14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（ ）
A ．9cm
B ．10cm
C ．12cm
D ．15cm
二、解答题
15．如图1，在等腰梯形ABCD 中，CE 、DF 是梯形的高，2AF BE ==，22CD =，现将ADF 、BCE 分别沿DF 、CE 折起，得一简单组合体
11A B CDEF ，如图所示，点A 、B 分别折起到1A 、1B ，11//A B EF ，11=2A B EF ，已知点P 为11A B 的中点．
（1）求证：PE ⊥平面1B CE ；
（2）若1CE =，求二面角1D B C E --的正弦值．
16．如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π
∠=∠=，
BM MD DC ==，且ACD 为正三角形.
（1）证明：CM AD ⊥；
（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.
17．如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF ⊥平面ABCD ，BAD ∠=α.
（1）求证：//BF 平面CDE ；
（2）若60α=︒，12
AF AD DE ==，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值. 18．如图甲，平面四边形ABCD 中，已知45A ︒∠=，90︒∠=C ，105ADC ︒∠=，2AB BD ==，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BDC (如图乙)，设点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点.
（1）求证：DC ⊥平面ABC ；
（2）求三棱锥A BEF -的体积.
19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，23AB =
，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.
（1）证明：//EF 平面ABC ；
（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE ．
（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（2）当BED 面积的最小值是6时，求此时点E 到底面ABCD 的距离．
21．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．
（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．
（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 22．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．
（1）求证：//DM 平面PBC ；
（2）求点
C 到平面 AP
D 的距离． 23．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //F
E ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，A
F ＝AB ＝BC ＝FE ＝12
AD .
（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；
（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB PA ⊥，PB PA =，90DAB ABC ∠=∠=，435AB BC CD ===，，，M 是PA 的中点.
（1）求证：BM //平面PCD ；
（2）求三棱锥B CDM -的体积.
25．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .
（1）证明：GH ∥EF ；
（2）若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.
26．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．
（1）求证：PA BC ⊥．
（2）求二面角D PA C --的余弦值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明.
【详解】
对①，根据垂直于两个平行平面中一个平面的直线与另一个平面也垂直，
以及垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；
对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，
显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.
对③，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故③错误.
对④，∵
////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故④正确.
故选：D.
【点睛】
该题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题目
. 2．C
解析：C
【分析】
结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果
【详解】
在Rt ABB '∆中，cos
42AB AB AB π'=⋅= 在Rt ABA '∆中，1sin
62AA AB AB π'=⋅=,
在Rt AA B ''∆中，12A B AB ''=
=
, 所以:2:1AB A B ''=
故选C
【点睛】
本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础 3．B
解析：B
【分析】
利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为
11
3226
⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.
【详解】
①90,BAD AD AB ︒∠==，
45ADB ABD ︒∴∠=∠=，
//,45AD BC BCD ︒∠=，
BD DC ∴⊥，
平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，
A D '⊂平面A BD '，
CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立， 故A D BC '⊥不成立，故①错误；
②棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；
④由①知CD ⊥平面A BD '，
又
A B '⊂平面A BD '，
CD A B '∴⊥， 又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，
A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，
∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.
故选：B .
【点睛】
本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.
4．D
解析：D
【分析】
根据空间中直线与平面平行与垂直的相关性质依次判断各个选项可得结果.
【详解】
对于A ，若//l m ，此时//m α或m α⊂，A 错误；
对于B ，若//m α，此时l 与m 可能平行、相交或异面，B 错误；
对于C ，若l m ⊥，此时m 与平面α可能平行或相交，C 错误；
对于D ，若m α⊥，则m 垂直于α内任意直线，必垂直于l 的平行线，则l m ⊥，D 正确. 故选：D .
【点睛】
本题考查空间中线线关系、线面关系相关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关性质和定理掌握的熟练程度，属于基础题.
5．B
解析：B
【分析】
由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱
111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.
【详解】
解：将直三棱柱补形为长方体1111ABEC A B E C -，则球O 是长方体1111ABEC A B E C -的外接球.所以体对角线1BC 的长为球O 的直径.因此球O 的外接圆直径为2222341213R =++=，故球O 的表面积24169R ππ=.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.
6．B
解析：B
【分析】
由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.
【详解】
由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，
其表面积为：
()210020220202100204010210202840m 0m S =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.
故选：B.
【点睛】
本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
7．D
解析：D
【分析】
本题先通过平移确定异面直线1A B 与1AD 所成角11A BC ∠，再在11A BC 中通过余弦定理求该角的余弦值即可.
【详解】
解：连接11A C 、1BC （如图），设12=2AA AB k =（0k >），则11=5A B C
B k
=，112AC k
=， 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，
∵11//BC AD ，
∴ 异面直线1A B 与1AD 所成角可以表示为11A BC ∠，
在11A BC 中，
222222*********cos 25255A B BC AC A BC A B BC k k
+-∠===⋅⋅⨯⨯， 故选：D.
【点睛】
本题考查了异面直线所成的角，余弦定理，是中档题.
8．A
解析：A
【分析】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，证明平面//CMN 平面1C EF 后即可得P ∈线段EF ，找到取最值的情况求解即可得解.
【详解】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，
由//EF MN ，1//C E CM ，1EF C E E =可得平面//CMN 平面1C EF ，
P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，
∴P ∈线段EF ，
∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值1C O ，
当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值1C E 或1C F ，
在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，
点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点， ∴221max 11345C P C E C F ===+=，42EF =，
2221min 1125(22)17C P C O C E EO ==-=-=.
∴线段1C P 长度的取值范围是[17,5].
故选：A.
【点睛】
本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题. 9．C
解析：C
【分析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；
对于B ，设l α
β=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；
对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l α
β=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.
故选：C .
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
10．A
解析：A
【分析】
假设存在三点共线，则四个点必共面，可判断①；借助空间四边形可判断②；当A ，B ，C 共线时，可判断③；由共面不具有传递性可判断④
【详解】
①正确，可以用反证法证明，假设存在三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；
②不正确，例如空间四边形的四个顶点就不共面；
③不正确，A ，B ，C 共线时，这两平面有三个公共点A ，B ，C ；
④不正确，共面不具有传递性，若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 可能异面. 故选：A
【点睛】
本题考查了空间中点线面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于中档题
11．C
解析：C
【分析】
作出三棱锥P ABC -的图象，逐一判断各命题，即可求解．
【详解】
作出三棱锥P ABC -的图象，如图所示：．
对于①，根据题意可知，PD ⊥平面ABC ，且1DP DC ==，所以
2PA PB PC ===①正确；
对于②，在PAB △中，2PA PB ==02AB <<，所以
2cos 222AB PAB PA ⎛∠== ⎝⎭
， 即PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，②正确； 对于③，因为DP DA DB DC ===，
所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D ，
半径为1，其体积为43
π，③不正确；
对于④，当AB BC =时，BD AC ⊥，所以2BC =， 将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上，
则DE BE +的最小值为线段BD 的长，
在展开后的DCB 中，6045105DCB ∠=+=， 根据余弦定理可得6221221cos1052
BD +=
+-⨯⨯⨯=， ④正确．
故选：C ．
【点睛】 本题主要考查棱锥的结构特征，三棱锥外接球的体积求法，以及通过展开图求线段和的最小值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．
12．A
解析：A
【分析】
如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.
【详解】
如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，
则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.
故选：A .
【点睛】
本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 13．B
解析：B
【分析】
设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可.
【详解】
解：如图：h 为底面ABC 上的高，
设,SA m BC n ==，则1114sin 304332
S ABC ABC V S h n h -=
=⨯⨯⨯⨯︒⨯=， 得12nh =， ,12m h mn ≥∴≥，
又22242m n mn =+≥，得12mn ≤，
所以12mn =，故12m n h ===，
SA ∴⊥面ABC ，
在ABC 中22341224124AB =+-⨯=，则2AB =， 在Rt ABS 中22124SB =+=，
在Rt ACS 中121628SC =+=
所以在SBC 中，222SC SB BC =+，则SBC 为直角三角形，
三棱锥S ABC -的表面积
11111=223+423+423+423=12322222
S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：B.
【点睛】
本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.
14．A
解析：A
【分析】
计算得到12:1:4r r =，根据相似得到
3134
l =+，计算得到答案. 【详解】
圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =.
设圆台母线长为l ，根据相似得到：3134l =+，故9l =. 故选：A .
【点睛】 本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
二、解答题
15．（1）证明见解析（2）
306
【分析】
（1）利用22211EP EB PB +=可得1PE EB ⊥，又根据CE ⊥平面1PEB 可得CE PE ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可证PE ⊥平面1B CE ；
（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，可得1CB PG ⊥，可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，在直角三角形PEG 中计算可得结果.
【详解】
（1）因为点P 为11A B 的中点，11=2A B EF ，11//A B EF ，
所以EF 与1A P 平行且相等，所以四边形1FEPA 为平行四边形，所以
12EP A F AF ===，
又12EB EB ==，1111222
PB A B EF CD ====， 所以22211EP EB PB +=，所以1PE EB ⊥， 因为1,CE EF CE EB ⊥⊥，1EF
EB E =， 所以CE ⊥平面1PEB ，所以CE PE ⊥，
因为1CE EB E =，所以PE ⊥平面1B CE ，
（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，
因为PE ⊥平面1B CE ，所以1PE CB ⊥，又PE
EG E =，
所以1CB ⊥平面PEG ，所以1CB PG ⊥，
所以PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，
因为1CE =，12EB =，所以2211145CB CE CB =+=+=
所以1
1
CE EB
EG
CB
⋅
===
，所以PG===，
所以sin
EP
PGE
PG
∠=
=
5
=
6
=.
【点睛】
关键点点睛：利用定义法求二面角的关键是作出二面角的一个平面角，本题利用PE⊥平面1B CE，过垂足点E作棱1
CB的垂线EG，连PG，则可得PEG
∠为二面角1
D B C E
--的平面角.
16．（1）证明见解析；（2
）
3
.
【分析】
（1）取AD中点P，连结MP，CP，推导出CP AD
⊥，MP AD
⊥，从而AD⊥面CMP，由此能证明CM AD
⊥．
（2）过M作MH CP
⊥于点H，则MH⊥面ACD，MCP
∠即为直线CM与面ACD 所成的角，由此能求出直线CM与平面ACD所成角的正弦值．
【详解】
（1）取AD中点P，连结,
MP CP，
由ACD为正三角形可得CP AD
⊥，
又由,//
2
BAD MP AB
π
∠=得MP AD MP CP P
⊥⋂=
，，
∴AD⊥面CMP，
又∵CM⊂面MPC，
∴CM AD
⊥；
（2）过M作MH CP
⊥于点H，由（1）可知，,
AD MH CP AD P
⊥⋂=，
∴MH⊥面ACD，
∴MCP
∠即为直线CM与面ACD所成的角，
不妨设1
CD=
，则CM MP CP
===，
∴cos
3
MCP
∠==
∴sin MCP
∠=
所以直线CM与平面ACD
【点睛】
求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
17．（1）证明见解析；（2）15. 【分析】
（1）根据四边形ABCD 是菱形得到//AB CD ，再由//AF DE ，证得平面//ABF 平面CDE 即可.
（2）当60α=︒，即60BAD ∠=︒，过A 作AM CD ⊥，交CD 延长线于M ，连结AM ，EM ，易知AM ⊥平面CDE ，则AEM ∠为AE 与平面CDE 所成的角，然后由sin AM AEM AE ∠=
求解. 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴//AB CD ，又//AF DE ，AB
AF A =，CD DE D =，
∴平面//ABF 平面CDE ，
又BF ⊂平面ABF ，
∴//BF 平面CDE .
（2）当60α=︒，即60BAD ∠=︒，如图所示：
过A 作AM CD ⊥，交CD 延长线于M ，连结AM ，EM ，
而AF ⊥平面ABCD ，又AF DE ∥，
∴DE ⊥平面ABCD ，
∴DE AM ⊥，又AM CD ⊥，CD
DE D =，
∴AM ⊥平面CDE ，
∴AEM ∠为AE 与平面CDE 所成的角，
∴cos30sin AM AD AEM AED AE AE =︒∠==∠=.
∴直线AE 与平面CDE . 【点睛】 方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)
利用线面平行的判定定理(a ⊄
α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．
18．（1）证明见解析；（2. 【分析】
（1）在图甲中先证AB BD ⊥，在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥，由条件可得DC BC ⊥，进而可判定DC ⊥平面AB C ；
（2）利用等体积法进行转化计算即可.
【详解】
（1）图甲中，∵AB BD =且45A ︒∠=，45ADB ︒∴∠=， ()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=，即AB BD ⊥， 图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，
∴AB ⊥平面BDC ，又CD ⊂平面BDC ，∴AB CD ⊥，
又90DCB ︒∠=，∴DC BC ⊥，且AB BC B ⋂=，
又AB ，BC ⊂平面AB C ，∴DC ⊥平面AB C ；
（2）因为点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点，
所以//EF DC ，且12
EF DC =，所以EF ⊥平面ABC ， 由（1）知，AB ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，所以AB BC ⊥，
105ADC ︒∠=，45ADB ︒∠=，1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=， 90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，
cos302BC BD ︒∴=⋅==1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=，
所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122
EF DC ==，
所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△
【点睛】
方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：①换顶点，换底面；②换顶点，不换底面；③不换顶点，换底面. 19．（1）证明见解析；（2）33
. 【分析】
（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，易得四边形AEFG 是平行四边形，从而
//EF AG ，然后利用线面平行的判定定理证明.
（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得1BC 的坐标和平面BDE 的一个法向量(),,n a b c =，再由111
sin cos ,n BC n BC n BC θ⋅=<>=⋅求解.
【详解】
（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .
在1BCC 中，因为F 为1C B 的中点， 所以1//FG C C ，11
2
FG C C =
. 在三棱柱111ABC A B C -中，11//A A C C ，11A A C C =，且E 为1A A 的中点， 所以//FG EA ，FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形. 所以//EF AG .
因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC .
（2）以D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，
因为23
AB =
1BD =, 所以()0,0,0D ，()0,1,0B ，13C ⎫⎪⎝⎭，3E ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 所以131,2BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,0DB =，3DE ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
， 设平面BDE 的一个法向量为(),,n a b c =，
则00DB n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0
3
03
b a
c =⎧⎪
⎨-+=⎪
⎩, 取3a =
，则1c =，
所以(3,0,1)n =， 所以
11133
12cos ,||||
16
43
n BC n BC n BC ⋅+<>=
=
=⋅，
直线1C B 与平面BDE 所成角为θ，则θ与1,n BC <>或它的补角互余， 所以1
1133sin cos ,n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅. 【点睛】
方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 20．（1）证明见解析；（233 【分析】
（1）根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得
证．
（2）由（1）知BD ⊥平面PAC ，根据三角形的面积公式求得()min 3
2
OE =
，作//EH PA 交AC 于H ，可得EH ⊥平面ABCD ，从而求得点E 到底面ABCD 的距离． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．
PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．
又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面
PAC ．
（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ．
BD OE ∴⊥．∵8BD =，由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△，得()min 3
2
OE =，
∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值32，此时2
22233332CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
． 作//EH PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ， 如图（2），由33
4
OE CE EH OC ⋅=
=
，得点E 到底面ABCD 的距离334．
【点睛】
本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题. 21．（1）答案见解析；（2）33
11
. 【分析】
（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ； （2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案； 【详解】
解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA .
∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥， 又二面角E GH B --的大小为90°， ∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD ， ∴EO BD ⊥，
又AB BC =，∴AO BD ⊥，
AO EO O =，
∴BD ⊥平面EOA .
（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =， 设CO x =，23OM x =-，22224316OB OM MB x x =+=-+，
222224316EB EO OB x x =+=-+，
当3x =
，min 10EB =，
连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ， 由（1）知BD ⊥平面EOA ， ∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ， ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角， 在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM =，30AE =，
由()
222222(2)22
QB AE AB BE QB +=+⇒=
， 62
QF =
， ∴33sin QF QBF QB ∠=
=
，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为33
.
【点睛】
求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.
22．（1）证明见解析；（22． 【分析】
（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定
理即可证明//DM 平面PBC ；
（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得
1
3
P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d .
【详解】
（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ， 又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ， 因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，
,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，
所以平面//AMD 平面PBC ，
又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ； （2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴
AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，
AM AB A =，
∴AD ⊥平面ABPM ， ∴AD ⊥
AP
又AP =
设点C 到平面APD 的距离为d
∵11142223323
P ACD ACD V PB S -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵1
3
P ACD C APD APD V V d S --==⋅△
1
22
APD S =⨯⨯=△
∴
1433
⨯=; ∴
d =
即点C 到平面APD 【点睛】
方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.
23．(I)证明见解析； 【分析】
（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；
（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在
Rt EPQ △中求得其余弦值．
【详解】
（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EF AP =，
∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形， ∴//FA EP =，同理，//AB PC =.
又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，
而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥， 由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥， 设FA a =，则
2.EP PC PD a CD DE EC a ======，
所以△ECD 为正三角形.
∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥ PM ∩MD =M ，
而PM ，MD 在平面AMD 内 ， ∴CE ⊥平面AMD
而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE . （Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ， ∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥ ∵PC PD =，∴PQ CD ⊥
∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角. 由(Ⅰ)可得， 62
22
EP PQ EQ a PQ a =
=⊥，，．
于是在Rt EPQ △中，3
cos PQ EQP EQ ∠==．
∴二面角A CD E --的余弦值为33
. 【点睛】
方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，
一作：作出二面角的平面角；
二证：证明所作的角是二面角的平面角；
三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）． 24．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】
（1）取PD 中点N ，证明BMNC 为平行四边形，得到//BM NC ，从而得到//BM 平
面PCD ．
（2）对三棱锥B CDM -进行等体积转化，转化为求P BCD -的体积的一半．取AB 中点O ，连PO ，可证PO 为三棱锥P BCD -的高并求出其长度，求出BCD △的面积，得到三棱锥P BCD -的体积，即可求出三棱锥B CDM -的体积． 【详解】
证明：（1）取PD 中点N ，连接MN ，NC , MN 为PAD △的中位线，//MN AD ∴，且1
2
MN AD =
， 又
//BC AD ，且1
2
BC AD =
，//MN BC ∴，且MN BC =， 则BMNC 为平行四边形，//BM NC ∴，
又NC ⊂平面PCD ，MB ⊂/平面PCD ， //BM ∴平面PCD ．
（2）取AB 中点O ，连PO ，,PB PA PO AB =∴⊥，
又
平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，
PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABCD ． PO ∴为三棱锥P BCD -的高， PA PB =，4AB =，PB PA ⊥， PAB ∴为等腰直角三角形，2PO =， 90DAB ABC ，//AD BC ，
11
34622
BCD
S
BC AB =⨯⨯=⨯⨯=， M 是PA 的中点，∴三棱锥B CDM -的体积为：
11
1
62223
126
P B CDM M BCD BCD BCD
V V V S
PO ---==⨯=⨯=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题． 25．（1）证明见解析；（2）18. 【分析】
（1）利用线面直线与平面平行的性质定理，分别证得GH ∥BC 和EF ∥BC ，即可证得GH ∥EF .
（2）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK ，分别证得PO ⊥AC 和PO ⊥BD ，进而得到GK 是梯形GEFH 的高，结合梯形的面积，即可求解. 【详解】
（1）因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC ， 又因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面GEFH ＝EF ，所以EF ∥BC ， 所以GH ∥EF .
（2）如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD ，
又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD ，
又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH ， 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，
所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD .从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高， 由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1:4， 从而KB ＝
14
DB ＝1
2OB ，即K 为OB 的中点，
再由PO ∥GK ，得GK ＝
12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝1
2
BC ＝4， 由已知可得OB ＝42，PO ＝2268326PB OB -=-=，所以GK ＝3， 故四边形GEFH 的面积S ＝
2GH EF +·GK ＝48
2
+×3＝18.
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定与性质定理，以及正棱锥的结构特征和截面面积的计算，其中解答中熟记线面平行的判定定理和性质定理，以及正棱锥的结构特征，结合梯形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．（1）证明见解析；（2）34
. 【分析】
（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】
（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥． 又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，
PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．
（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．
因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12
BAC DAC CBA ∠=∠=∠，
13
+=+==9022
CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，
所以2AB =
，AC =
30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．
以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
()0,0,0C ，()1,0,0B
，()
A
，12D ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，()0,0,P a ，
平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,
()1,0,PB a =-
，()
1,AB =有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即00
x az x -=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，令z =
所以(
1=
3n a
a ,
，121cos60cos ,2
4n n ︒==
=，所以3
2a =，
平面PAC 法向量()21,0,0n =，
132
2PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
,32PA ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA
⎧⋅=⎪⎨
⋅
=⎪⎩，即111
11
1302230
2x y z z ⎧--
=⎪⎪-=，令12z =，所以()
3n =．
233
cos ,4
934n n =
=++，
所以二面角D PA C --的余弦值为
34
．
【点睛】
本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题.。