五年级奥数题数的整除

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五年级上册数学试题-奥数：数论之数的整除性(解析版)全国通用

第三讲数论之数的整除性卷Ⅰ 1. 熟练掌握整除性质及特殊数的整除特征； 2. 巧妙运用整除性质及特殊数的整除特征解决数的整除问题；答案：因为432165a a a a a a 能被5整除，所以4a 是5；由于165432a a a a a a 、321654a a a a a a 和543216a a a a a a 分别能被2、4、6整除，因此1a 、3a 、5a 是偶数，取值为2、4、6，进而知道2a 、6a 是1和3；上述能被4整除的那个六位数的末两位32a a 应是4的倍数，而2a 是奇数，所以3a 只能为2和6．根据上面的分析，为使原六位数最大，1a 可取最大的数字6，2a 取1、3中的大数3，这样其余各数分别是3a =2，4a =5，5a =4，6a =1，所以最大值为632541．教学目标专题精讲想挑战吗？用数字1、2、3、4、5、6排列成一个六位数654321a a a a a a ，将1a 移到最后，所得的六位数165432a a a a a a 能被2整除；再将2a 移到最后，所得的六位数216543a a a a a a 能被3整除；……；最后把5a 移到最后，所得的六位数543216a a a a a a 能被6整除，那么654321a a a a a a 的最大可能值是多少？数的整除性质： [性质1] 如果a 能被b 整除，b 能被c 整除，那么a 一定能被c 整除．例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除． [性质2] 如果a 、b 都能被c 整除，那么(a ±b ) 也一定能被c 整除．例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除． [性质3] 如果c 能分别被两个互质的自然数a 、b 整除，那么c 一定能被ab 整除．例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除．①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能被9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.⑤部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；10101=3×7×13×37；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73.（一）整除的性质【例1】某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？分析：可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除，因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495．注意：本题易错答案为990，提醒同学们注意.（拓展）一个各位数字均不为零的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字、个位数字分别划去后可以得到3个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个能被5整除，另一个能被6整除，还有一个能被7整除．那么原来的三位数是多少？分析：那个能被5整除的两位数的个位数字是0或5，且应是原三位数的十位数字或个位数字．注意到各位数字均不为零且本身是偶数，故必须有原三位数的是十位数字是5．三位数能被8整除意味着末两位数应能被4整除．在51~59之间只有52、56是4的倍数，但52不是5、6、7中任何一个数的倍数，故题设中的三位数个位数字一定是6．由上述分析可知，百位数字和6组成的两位数是6的倍数，可能为36、66、96，则得到三个三位数：356、656、956，经检验只有656是8的倍数．【例2】1）从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1～3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？分析：（1）第一问比较简单，3998÷4=999…6所以1～3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：（0000，1000，2000，3000），（0001，1001，2001，3001），（0002，1002，2002，3002），…(0999，1999，2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去．所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数．【例3】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除？分析：如果2008+a 能被2007-a 整除，那么2008+a 2007-a 为自然数，2008+a 2008200712007-a 2007a++=-也是自然数， 4015能被（2007-a ）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、365、803，所以当a 取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a 能被2007-a 整除.【例4】已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，证明：六位数abcdef 也能被37整除．分析：abcdef =abc ×1000+def =abc ×999+（abc +def ），因为999能被37整除，所以abc ×999能被37整除，而（abc +def ）也能被37整除，所以其和叶能被37整除.（前铺）已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？分析：因为□△□△□△=□△10101⨯，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101．作质因数分解得37137310101⨯⨯⨯=，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有371321⨯⨯．注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．（前铺）证明：形如abcabc 的六位数一定能被7，11，13整除．分析：1001,100171113abcabc abc =⨯=⨯⨯，所以得证.（拓展）若4b+2c+d=32.试问abcd 能否被8整除?请说明理由．分析：由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可.10010bcd b c d =++，有(42)9688(12)bcd b c d b c b c -++=+=+，所以abcd 能被8整除.（拓展）已知a ，b 是整数，求证a+b,ab 、a-b 这三个数之中，至少有一个是3的倍数．分析：若a,b 之一是3的倍数，则ab 是3的倍数；若a,b 都不是3的倍数：1)a=b=3k+1或3k-1 （都余1或都余2），则a-b 是3的倍数；2)a,b 一个是3k+1 一个是3k-1 （一个余1，一个余2），则a+b 是3的倍数；所以a+b,ab,a-b 这三个数之中,至少有一个是3的倍数.（拓展）五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值是_______．分析：1）若a、b、c、d、e不同的字母代表相同的数值时，abcde=abcd×10+e=(abcd+e)+ abcd ×9，因为abcde是9的倍数，所以(abcd+e)是9的倍数，要abcde最小，我们希望abcd和e都能取最小，这样和也就最小．abcd是4的倍数，所以最小是1000，要让(abcd+e)是9的倍数，e最小是8，所以abcde最小值是10008.2）若a、b、c、d、e不同的字母代表不同的数值时，abcd是4的倍数，所以最小是1024，但e为2，矛盾，所以abcd最小是1028，即abcde最小值是10287.（二）整除的特征【例5】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．5，15=5×3，20=5×4，25=5×5，30=5×6，35=5×7，40=5×8，45=5×9，50=5×5×2，55=5×11，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个5，写到55时共出现11＋1＋1=13个因数5，所以至少应当写到55，最多可以写到59．[前铺] 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？分析：首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的数字5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有++147=+个0．124[巩固] 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？343=，则可知，在11个连续的两位数种，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一分析：因为37个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．[拓展] 975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？分析：积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少4个2和4个5．975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243，共有3个5，2个2，方框内至少是2×2×5=20 答：在方框内最小应填20．卷Ⅱ【例6】已知四十一位数55…55□99…99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？分析：因为555555和999999都是7的倍数，如果原数是能被7整除，那么由5个205555□ 9个209999=5个205555□99999910999969个14+⨯知 5个205555□ 9个149999也能被7整除；又 5个205555□ 9个149999可以表示成 5555552910⨯＋ 5个145555□ 9个149999，说明 5个145555□9个149999也能被7整除，相当于将原数的前后分别去掉555555和999999后整除性不变，依次下去，得到55□99．因此□44是7的倍数，□3是7的倍数，所以得□=6．[前铺1] 已知10□8971能被13整除，求□中的数．分析：10□8-971=1008-971+□0=37+□0．上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8．[前铺2] 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？分析：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除.[巩固1] 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使得这个六位数能够被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？分析：（法1）这个六位数能够被17和19整除，那么也应当能被17×19=323整除，因为119911减去某个数□□00就可能是323的倍数.119911=323×371＋78，说明119911应当减去的四（三）位数满足□□00除以323也余78，也就是满足□□22除以323应当能够除尽.说明□□22是4522，那么□□00是4600，因此所求的六位数是119911－4600=115300.[巩固2] 应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)666...66?555 (55)分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.222...22□□77 (777)分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.【例7】（★★全国小学数学奥林匹克）200820082008200808n 个能被99整除，那么，n 的最小值为多少？分析：由于99=9×11，所以200820082008200808n 个能被11和9整除，200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6. 200820082008200808n 个各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被9整除，所以n 的最小值为28.[前铺] 如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例8】已知多位数55…5599…99□□（其中5和9各n 个）能被7整除，那么当n 取值为什么时，方格内的数字的不同的情况数为定值，并求出这个定值？分析：由例题1知当n=6k （k 为自然数），100÷7=14…2，所以共有15种不同的情况；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．[前铺1] 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？分析：199300÷105余10，199300-10=199290，即它的最后两位数是90.[前铺2] 已知200520052005□□是72的倍数，求末两位数是多少？分析：72=8×9，因为被9整除，所以末两位数字和是被9除余6的，因为被8整除，注意到百位是奇数，所以末两位被8除余4，满足这2个条件的2位数就只有60.[拓展] 已知多位数□□55…5599…99（其中5和9各n 个）能被77整除，那么方格内的数字是多少？分析：由例题知当n=6k （k 为自然数），100÷77=1…23，方格内的数字是77；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．【例9】已知四十一位数55…55□7□99…99（其中5和9各19个）能被77整除，那么方格内的数字分别是多少？分析：由上题知可化为5□7□9能被7整除，50709÷77=658…43，所以□0□0+43=7 k （k 为自然数），即□0□0+1=7 k （k 为自然数），又21+□+□=11 k （k 为自然数），所以□+□=10，设第一个□为x ，则第二个□为（10-x ），有1000x+10（10-x ）+1=7 k （k 为自然数），，所以x=6，即第一个□为6，所以第二个□为4，即所求的数为56749.[前铺1] 五位数329A B 能被72整除，问：A 与B 各代表什么数字？分析：已知329A B 能被72整除.因为72＝8×9，8和9是互质数，所以329A B 既能被8整除，又能被9整除．根据能被8整除的数的特征，要求29B 能被8整除，由此可确定B ＝6.再根据能被9整除的数的特征，329A B 的各位数字之和为A ＋3＋2＋9＋B ＝A ＋3－f －2＋9＋6＝A ＋20，因为l ≤A ≤9，所以21≤A ＋20≤29.在这个范围内只有27能被9整除，所以A ＝7.[前铺2] 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除.分析：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数．因为9，25，8两两互质，由整除的性质知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4.这个七位数是4735800.[拓展1] 买28支价格相同的钢笔共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？分析：∵9□.2□元=9□2□分，28＝4×7，∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□．4｜2□可知□处能填0或4或8．因为79020，79424，所以□处不能填0和4；因为7｜9828，所叫□处应该填8．又∵9828分=98.28元，98.28÷28＝3.51（元），即每支钢笔3.51元．[拓展２] 仓库有两个箱子，其中一个装了74个大杯子，另一个装了75个小杯子．地上有两个价格牌，一个写着总价“132.××元”，另一个写着“总价123.××元”．已知这两个价格牌原来贴在箱子上，但现在已经弄不清楚哪个价格牌贴在哪个箱子上了，唯一知道的是大杯子的单价比小杯子的贵，那么小杯子的单价是多少元？分析：设大杯子和小杯子的价格分别为S和s．如果s×75=132.××，S×74=123.××，因为S>s，所以s>132.××－123.×× > 8元．可是如此小杯子的总价格大于8×75=300元，不符合题目要求．所以123.××是小杯子的总价钱．由此可得出123××是75=3×25的倍数，则××可以为00、25、50、75，经实验12300和12375是75的倍数．相应的s分别为：12300÷75=1.64元、12375÷75=1.65元．【例10】求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以a应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺] 求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.专题展望数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.练习三1. （例1）有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和，例如：30满足上述要求，因为30=9＋10＋11；30=6＋7＋8＋9；30=4＋5＋6＋7＋8．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．分析：3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，也即除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除．3、4、5的最小公倍数是60．60以内满足上述三个条件的数是30，所以60的整数倍加上30就可以满足条件．700=60×11＋40，所以第一个符合题意的数是750=60×12＋30，最大的一个数是990=60×16＋30，共计16－12＋1=5个数，分别为750、810、870、930、960．关键是让学生把该问题转化到整除问题，也可简单复习连续自然数求和与项数的关系．2. （例3）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a 来：（1995+a ）能整除1995×a.分析：1995a 1995+a ⨯是自然数，所以1995a 199519951995-=1995+a 1995+a⨯⨯也是自然数，即1995+a 是1995×1995的约数.因为：1995×1995=32×52×72×192，，它在1995与2×1995之间的约数有32×192=3249，7×192=2527，3×72×19=2793，52×7×19=3325，32×5×72=2205，3×52×72=3675，于是a 的值有6个，即3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798，3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.3. （例4）已知p 、q 都是大于1的整数，并且qp 12-和p q 12-都是整数，那么p ＋q 的值是多少？分析：根据对称性，不妨设p q ≥，于是21q p-为大于0、小于2的整数，只能等于1.由于21q p -=，可将21p q -化为34q-，这样3q =，5p =，所以8p q +=.4. （例5）把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：1到10的乘积里会出现2×5和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是49个0，还要扩大至220时加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．5. （例6）二百零一位数11…1□22…2（其中1和2各有100个）能被13整除，那么中间方格内应填什么数？分析：由111111被13整除，而100=6×16+4，故原来被13整除的算式即变为13｜1111□2222；还可变为13｜333-1□2，即可知方格应填1．6. （例7）已知数022983298329832983个 n 能被18整除，那么n 的最小值是多少？分析：13n+2=9k ，所以k=6 时，n=4位最小值.人生要学会遗忘人生在世，忧虑与烦恼有时也会伴随着欢笑与快乐的．正如失败伴随着成功，如果一个人的脑子里整天胡思乱想，把没有价值的东西也记存在头脑中，那他或她总会感到前途渺茫，人生有很多的不如意．所以，我们很有必要对头脑中储存的东西，给予及时清理，把该保留的保留下来，把不该保留的予以抛弃．那些给人带来诸方面不利的因素，实在没有必要过了若干年还值得回味或耿耿于怀．这样，人才能过得快乐洒脱一点．众所周知，在社会这个大家庭里，你要想赢得别人的尊重，你首先必须尊重别人，多记住别人的优点，而学会遗忘别人的过失．其次，一个人要学会遗忘自己的成绩，有些人稍微做了一点成绩就骄傲起来，沾沾自喜，这显然是造成失败的一个原因．成绩只是过去，要一切从零开始，那样才能跨越人生新的境界．同时，一个人自己对他人的帮助，应该看作是一件微不足道小事，以至于遗忘．这样，你的处事之道方能获得他人的赞许．人生需要反思，需要不断总结教训，发扬优点，克服缺点．要学会遗忘，用理智过滤去自己思想上的杂质，保留真诚的情感，它会教你陶冶情操．只有善于遗忘，才能更好地保留人生最美好的回忆．成长故事。

小学五年级奥数整除练习题

小学五年级奥数整除练习题1.能被2整除的书的特征：个位上的数字是0.2.4.6.8的整数，“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数，包括0的整数，必能被2整除；另一方面：能被2整除的数，其个位上的数字只能是偶数。

2.能被5整除的数的特征是：个位是0或53.能被3或9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3或9整除4.能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除例：1864=1800+64 因为100是4与25的倍数，所以1800是4和25的倍数。

又因为64能被4整除，数以1864能被4整除。

但因为64不能被25整除，所以1864不能被25整除。

5.能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8整除。

例：29375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8和125的倍数。

又因为375能被125整除，所以29375能被125整除。

但因为375不能被8整除，所以8不能被29375整除。

6.能被11整除的数的特征是：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差（大减小）是11的倍数例：判断123456789这九位数能否被11整除解：这个数的奇数位上的数字之和三个是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。

因为25-20=5，有因为11不能被5整除，所以123456789不能被11整除再例如：判断13574能否是11的倍数？解：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字和的差是：（4+5+1）—(7+3)=0因为0是任何整数的倍数，所以11能被0整除。

因此13574是11的倍数。

7.能被7（11或13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，由777能被7整除，所以1059282能被7整除，因此1059282是7的倍数再例如：判断3546725能否被3整除？解：把3546725分乘3456和725两个数。

小学五年级奥数题数的整除问题

小学五年级奥数题数的整除问题
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奥数题数的整除问题
从左向右编号为1至_91号的_91名同学排成一行，从左向右1至_报数，报数为_的同学原地不动，其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至_报数，报数为_的留下，其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至_报数，报到_的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是()号。

分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是_的倍数;这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是___=_1的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号.
解：第一次报数后留下的同学最初编号都是_倍数;
第二次报数后留下的同学最初编号都是_1的倍数;
第三次报数后留下的同学最初编号都是_31的倍数;
所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是_31;
答：从左边数第一个人的最初编号是_31号.
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五年级奥数数的整除

1、数的整除1、既能被30整除，又能被20整除的自然数能被60整除；既能被 6 整除，又能被 9 整除的自然数能被36整除；既能被 5 整除，又能被 4 整除，还能被9整除的自然数能被30整除。

（填：一定、不一定或一定不）2、从0、2、3、7、9这五个数字中选出三个数字组成三位数。

在所有这样的三位数中，能被3整除的数多，还是能被9整除的数多？多。

多个。

3、有一类自然数：111┅┅1，它的各位数字都是1,并且它们都是7的倍数，也是37的倍数，还是11的倍数。

这样的自然数中最小的一个是。

4、有一类三位数，它能被11整除，如果去掉末位数字，所得的两位数就能被18整除，这样的三位数有哪些？。

5、一个六位数，六个数字各不相同，且是17的倍数。

符合条件的最大六位数是。

6、已知834B A 是一个小于40000的五位数，而且834B A 是72的倍数，则这个五位数是。

7、已知六位数12□□21能被3整除，并且是41的倍数。

那么符合题意的六位数是。

8、从1、3、5、7、9中的任意取一个数与2、4、6、8中的任意一个数相乘，在所有不同的乘积中有个能被6整除。

9、有一类四位数，能同时被5、6、7整除。

如果把这样的四位数按从小到大的顺序排成一列，位于最中间的四位数是。

10、庆祝“六一”国际儿童节，学校买来了7箱水果。

其中一箱是香蕉，其余是苹果和桔子，7箱水果分别重：4千克、7千克、8千克、10千克、11千克、13千克、14千克。

已知桔子的总重量是苹果的4倍，那么这箱香蕉的重量是千克。

11、若干个小朋友排成一排，从左边第一个小朋友开始，每隔一个小朋友发一个苹果，从右边第一个小朋友开始，每隔二个小朋友发一个桔子，最后有8个小朋友同时拿到了苹果和桔子，这一排小朋友最少可以是人。

12、四个小朋友计算一题两个加数是四位数并且互为倒序数的加法。

(如：1537+7351、6124+4216等)甲的答案是：14221；乙的答案是：14222；丙的答案是14223；丁的答案是14224。

小学五年级奥数数的整除问题知识点及练习题

【导语】奥数是奥林匹克数学竞赛的简称。

1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第xx届国际数学奥林匹克竞赛。

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1.⼩学五年级奥数数的整除问题知识点⼀、基本概念和符号： 1、整除：如果⼀个整数a，除以⼀个⾃然数b，得到⼀个整数商c，⽽且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常⽤符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；⼆、整除判断⽅法：1、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2、能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3、能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4、能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5、能被7整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后⼀位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6、能被11整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后⼀位数字并减去末位数字后能被11整除。

7、能被13整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后⼀位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质： 1、如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2、如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3、如果a能被b整除，b⼜能被c整除，那么a也能被c整除。

4、如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最⼩公倍数整除。

2.⼩学五年级奥数数的整除问题练习题 1．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从⼩到⼤排列起来，第五个数的末位数字是多少？ 2．如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 3．从左向右编号的1991名同学排成⼀⾏，从左向右1⾄11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列，然后留下的同学再报数，第三次报数后，最后留下的同学中，从左边数第⼀个⼈的最初编号是多少？ 4．173□是四位数字，⽼师在这个□中先后添⼊3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除，⽼师添⼊的3个数字的和是多少？ 5．在1992后⾯补上三个数字，组成⼀个七位数，使他们能被2、3、5、11整除，这个七位数最⼩值是多少？3.⼩学五年级奥数数的整除问题练习题 1．能同时被2、5、7整除的五位数的多少？ 2．下⾯⼀个19983位数33…3（991个3）□44…4（991个4）中间漏写了⼀个数字（⽅框），已知，这个多位数被7整除，那么，中间⽅框内的数字是多少？ 3．有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，⽽且⽐这个两位数⼤1的数，它的两个数字之和也能被4组成，所以这样的两位数的和是多少？ 4．⼀个⼩于200的⾃然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么这个⾃然数是多少？ 5．任取⼀个四位数乘3456，⽤A表⽰其积的个位数字之和，⽤B表⽰A的个位数字之和，C表⽰B是个位数字之和，那么C是多少？4.⼩学五年级奥数数的整除问题练习题试问，能否将由1⾄100这100个⾃然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都⾄少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出⼀种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明。

01.被30以下质数整除的数

小学五年级奥数题——数的整除问题（一）小学五年级奥数题——数的整除问题（二）一、1到200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？二、两位小数□.□1，每个数位上的数字都不同，其中能被24除尽的共有多少个？三、两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和30，那么在1，2，3……,16这十六个数中，有好数多少对？四、把一个能被6整除的两位数的十位和个位上的数字互换，得到的一个新的两位数仍然还能被6整除，这样的两位数共有（）个，按照从大到小的顺序排列，中间一个是（）。

五、在724左边添上一个数字a，右边添上一个数字b,组成一个五位数，如果这个五位数是12的倍数，那么a×b的最大值是多少？六、用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。

在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有（）个。

七、老师报出一个四位数，将这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新四位数，将这两个四位数相加，甲的答数是9898；乙的答数是9998；丙的答数是9988；丁的答数是9888。

其中有一个同学的结果是正确的，那么做对的同学是（）。

八、一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数，已知这两个4位数的和是以下5个数中的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869。

这两个4位数的和是（）。

九、六位数3ABABAB是6的倍数，这样的六位数共有多少个？十、一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997，那么这个六位数是多少？1.任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除.2.证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.3.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

小学五年奥数-数的整除

数的整除【知能大展台】1．整除的概念对于整数a和不为零的整数b，如果数a除以数b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a,记作b|a;a叫做b的倍数，b叫做a 的约数。

2．数的整除性质①如果数a能被数c整除，数b也能被数c 整除，那么它们的和（a+b）或差(a-b)也能被c整除c|a,c|b，则c|a±b。

②几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。

③数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b,c互质，那么数a能被b与c的积整除。

3．数的整除特征①一个整数的末一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除②一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除③一个整数的末三位数能被8或125整除，那么这个是就能被8或125整除④一个整数的各数位上数字的和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除⑤一个整数的奇数位（指个位，百位，万位……）上的数字之和与偶数位（指十位，千位，十万位……）上的数字之和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除⑥一个整数的末三位数与末三位数以前的数字组成的数的差能被7，11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除【试金石】例1.小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数；3□6□5，其中十位数字和千位数字看不清楚了，但是已知这个数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个是多少？【分析】因为五位数3□6□5能被75整除，而75=3×25，3与25互质。

所以3□6□5能同时被3和25整除。

3□6□5能被25整除，由于末尾是5，所以十位数字只能是2或7，即末两位数只能是25或75。

当末两位数是25时，3□625呢功能被3整除，起各位数字之和必须能被3整除，则千位数字只能是2，5，8，而这些五位数中最大的一个是38625，且无重复数字。

同理当末两数是75时，能被3整除的最大五位数是39675，且无重复数字。

小学五年级数学奥数数的整除(附练习及详解)

一、基本概念和知识1.整除例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

④能被5整除的数的特征：个位是0或5。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

练习及详解例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。

（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。

练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____。

五年级奥数第2讲-整除问题进阶

知识精讲
二、阶段做差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7、11或13整除。
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间，拼成一个五位数59 89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是多少？分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和，能被99整除。
例题一：
六位数 2008 ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是什么？
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了吗？
练习四：

五年级奥数题：数的整除性

数的整除性一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除, B=0或5.当B=0时,6910因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。

五年级奥数数的整除全国通用

6和、可在能那算是式么91的a1b1倍cda或ebX2c倍3d，=ea即b=c和de是11中90或不01同08。0的0字母+表x示，不同ab的c数d字e，l1相=同1字0母x表+示1相，同的可数字得，求到abc方de。程:
2、有一个四位数7A2B能被2、3、5整除，这个四位数是多少?
五位数A691B能被55整除，符合要求的五位数有哪些? ( 100000 +x) x3=10x+ 1
答:符合要求的五位数是96910和46915。
1、四位数3AA1能被9整除，求A的值。
四位数3AA1要是9的倍数，它的各个数位之和就必须是9的倍数，3 +A+A+1的和可能是9或18 当3 +A+A+1 =9时，A=2.5，2.5不是自然数，不符合题目要求。当3+A+A+1=18时，A=7，符合题目要求
300000 +3x= 10x + 1
( 100000 +x) x3=10x+ 1
=abc x1001 性质1:如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被 c整除。 5不是自然数，不符合题目要求。本讲内容较为抽象，同学们可以通过型例题的学习和练习的变式训练提高数感，做到有条理、有根据地思考。性质3:如果b、c都能整除a,且b与c互质，那么b与c的积也能整除a。 1、四位数3AA1能被9整除，求A的值。解题时应掌握以下整除的性质和特征
这个五位数是46915。
1047、1074、1407、1470、1700. 这样的四位数有7020、7320、7620、7920。
7x = 299999
7x = 299999 用逐步推理的方法，利用末位数字的特点得出结论。

小学五年级数学奥数题五篇

小学五年级数学奥数题五篇1.小学五年级数学奥数题1、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数是多少?答案：∵要求的数去除30、60、75都能整除，要求的数是30、60、75的公约数。

又∵要求符合条件的的数，就是求30、60、75的公约数。

解：∵(30，60，75)=53=15这个数是15。

2、以除代乘①48×25②568×125③3.44×0.05分析与解①48×25=48×（25×4）÷4=4800÷4=1200②568×125=568×（125×8）÷8=568000÷8=71000③344×0.05=344×5×0.0001=344×10÷2×0.001=0.0172一分数分别与5、25、125相乘，可以先把这个数分别扩大10倍、100倍、1000倍，然后再分别除以2、除以4、除以8，这种方法叫做以除代乘法。

2.小学五年级数学奥数题1、一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。

在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。

问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？答案与解析：顺风时速度=90÷10=9（米/秒），逆风时速度=70÷10=7（米/秒）无风时速度=（9+7）×1/2=8（米/秒），无风时跑100米需要100÷8=12.5（秒）2、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛。

事先规定。

兄妹二人不许搭伴。

第一盘，李明和小华对张虎和小红；第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。

请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。

解答：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。

五年级下册数学试题- 奥数第02讲：整除人教版(含答案)

第2讲：数的整除内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。

通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。

典型问题：兴趣篇1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。

在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？【分析】(1)能被2整除的数末位应是2的倍数，有：14，80，152，650，434，9064,；能被4整除的末两位应为4的倍数，有：80,152,9064；能被8整除的末三位应为8的倍数，有：80,152,9064；（2）能被5整除的末位应为5的倍数，有35,80,650,4375,24125；能被25整除的末两位应为25的倍数，有：650,4375,24125；能被125整除的末三位应为125的倍数，有：4375,24125；2.有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？【分析】能被3整除的应为数字和为3的倍数，有：387,228,975,525,882,837；能被9整除的数字和应为9的倍数，有：387，882，837；能同时被2和3整除的数有：228、882。

3.一个三位数64的十位数字未知。

请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“”可能等于多少？【分析】（1）数字和保证是3的倍数，则可填写2,5,8；（2）能被4整除，则末两位能被4整除，则可填写0、2、4、6、8；（3）既能被3又能被4整除，则两者均需符合，应填2或者84.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。

五年级下册奥数试题-数的整除 (无答案)全国通用

数的整除姓名1(例)、判断：354796能不能被4整除？能否被8整除？2、（1）写一个六位数，使它能被4整除。

（2）写一个六位数，使它能被8整除。

3(例)、在□里填上适当的数，使47587□能被25整除。

4、在□里填上适当的数，使47587□能被9整除。

5(例)、923□□后面填上什么数字，使它能被60整除？6、97247□□后面填上什么数字，使它能被45整除？7(例)、在□里填上适当的数字，使七位数□2002□□能同时被8、9、25整除。

8、已知一个五位数□392□能被55整除，所有符合条件的五位数有哪些？9(例)、小明妈妈去批发市场购了72条毛巾，回家后不小心把发票弄脏了，只能看到总计栏里金额为□54.9□元，请你算算这些毛巾共用了多少钱？10、一位马虎的采购员购买了72只热水瓶，洗衣服时把发票洗烂了，只能依稀看到：72只热水瓶共□63.5□元（□内数字看不清），请你帮他算一算，共用了多少钱？11(例)、右边这个17位数333……3□999……9(其中3和9各8个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？12、右边这个41位数777……7□444……4(其中7和4各20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？13（例）、商店里有6箱货物，分别重18、19、20、22、25、27千克，两位顾客买去了其中的5箱，已知一个顾客买走的重量是另一个顾客的2倍，问商店里剩下的一箱货物重多少千克？14、有一水果店进了6袋水果，分别装着苹果和橘子。

重量分别是18、20、30、31、38、46千克，当天下午卖出一袋苹果，在剩下的5袋水果中，橘子是苹果的3倍，问水果店进了多少千克橘子？练习题(A组)1、在62的右边补上三位数，组成一个五位数使它能被3、4、5整除，求这样的最小五位数。

2、一个五位数各个数位上的数各不相同，它能被3、5、7、13整除，这样的五位数最小是几？3、一个五位数能被11整除，首位是7，其余数位上的数各不相同，这五位数最小是几？4、有一个六位数□2002□能被88整除，求这个六位数。

小学五年级奥数题：数的整除性

二数的整除性(B)一、填空题1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3. 下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.7. 任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____.10. 所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是_____位数.100个二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13．500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1. 2620或2711一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或23 8 56 8又 23056088=262023856888=2711所以,本题的答案是2620或2711.2. 0因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.3. 633...3□44 (4)991个 991个=33…310993+3□410990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要 990个 990个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是 6.4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34.三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n ,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，)2()1(n n n 能被3整除.5. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.6． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且1515=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数1313=169不合要求,1315=195适合要求.所以,答案应是195.7. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=3849,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B 的各位数字之和C也总是9.8. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.9. 7410根据能被2、3、5、整除的数的特征，这个四位数的个位必须是0，而十位、百位、千位上数字的和是3的倍数。

小学五年级奥数-整除问题

五年级思维第二讲基础知识：1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除.性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a .性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a .性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除.2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾.3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除.4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5. 被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.6. 被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除.7. 整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题. 例题：例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为2012ab ，105=3×5×7，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85.例2、求所有的x ，y 满足32x5y 使得72∣32x5y .解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价.解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143∣a679b ，根据11∣a679b ，有a+b =8，再根据13∣a679b ，所以13∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60.例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.解：168=3⨯7⨯8，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数是768768.例6、要使六位数10abc6能够被63整除，那么商最小是多少？解：63=7⨯9. 考虑10abc6能被7整除，于是有7∣(100b+10c+6-100-a )，整理得 7∣(2b+3c-a +4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c =2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a =0. 此时，易验证b =0, b =1无解，而在b =2时，有解c =9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.例7、所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，180035252090000 =÷，24403252010000 =÷，所以共有36个.例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.例9、已知4ab4ab …4ab （重复99次）能够被91整除，求ab .解：根据7和13的整除判断方法7（13）∣4ab4ab …4ab （重复99次）有7（13）∣4ab4ab …4ab000（重复98次），因为（91,1000）=1，所以7（13）∣4ab4ab …4ab （重复98次），以此类推，就有7（13）∣4ab ，得到4ab =455，所以ab =55.例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？解：因为连续11个数是343的倍数，而33437=，但是11个数中之多有两个是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却是10000的倍数，所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5的倍数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.数学万花筒——趣题欣赏： 1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。

五年级下册数学试题-奥数——数的整除特性(全国通用)(无答案)

第5讲数的整除特性一、知识点1. 整除概念定义如果整数a 除以整数b ,商是整数且余数为0,则称a 能被b 整除或b 整除a ,记作a b ,其中a 叫做b 的倍数,b 叫做a 的约数（因数）.注（1）零是任何正整数的倍数；（2）1是任何正整数的约数；2. 数的整除性质（1）如果,,c b b a 则.c a（2）如果,,b c a c 则)(b a c .3. 数的整除特性（1）一个整数的个位上是0,2,4,6,8,这个数能被2整除；（2）一个整数的个位上是0,5,这个数能被5整除；（3）一个整数各位上数字的和能被3或9整除,那么这个整数也能被3或9整除；（4）一个整数的末两位数能被4或25整除,那么这个整数也能被4或25整除；（5）一个整数的末三位数能被8或125整除,那么这个整数也能被8或125整除；（6）一个整数既能被2整除,又能被3整除,那么这个数能被6整除；反之,一个整数能被6整除,那么这个数一定能被2或3整除；（7）能被11整除的数的特性：一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数,那么这个数是11的倍数；（8）能被7（11或13）整除的数的特性：一个整数的末三位数与末三位之前的数之差能被7（11或13）整除,那么这个数能被7（11或13）整除.二、典型例题例1 下列11个数：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.其中能被4整除的有_____________________；能被8整数的是__________________；能被25整除的有_____________________；能被125整除的有_____________________；能被3整除的有______________________；能被9整除的有______________________；能被11整除的有______________________.例2 173 是一个四位数,在方框内先后填入3个数字,得到3个四位数,依次能被9,11,8整除,则填入的3个数字之和是______________.例3 一个五位数y x 362能被55整除,则这个五位数是____________.例4 老师买了72本相同的书,当时没有记住每本书的价格,只记下了用掉的总钱数是13.7 元,回校后发现有两个数字看不清了.你能帮助补上这两个数字吗？例5 已知四位数abcd 是11的倍数,且有,a c b =+bc 为完全平方数,求该四位数.例6 六位数ABABA 3是6的倍数,这样的六位数有多少个？例7 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少？三、水平测试1.下列9个数：48、75、90、122、650、594、4305、7836、4100.其中能被4整除的有_______________；能被25整除的有_______________；能被9整除的有________________；能被11整除的有________________.x236能被63整除,则这个五位数是______________.2.一个五位数y3.125是一个四位数,在方框中先后填入3个数字,得到3个四位数,依次能被9,11,8整除,则填入的3个数字之和是_____________.4.在2、3、4、5、6这五个数字取四个不同的数字组成的四位数中,其中能被45整除的最大四位数是____________.568,能同时被3、4、5整除,这个六位数最小是___________.5.一个六位数abc6. 能被11整除,各位数字的和为14且小于1000的正整数有___________个.。

小学五年级奥数第1课数的整除问题试题附答案-精品

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第1课《数的整除问题》试题附答案例1己知45|函函方.求所有满足条件的六位数酒药。

例2李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口.2口元.已知口处数字相同，请问每支钢笔多少元？己知整数应为有就被11整除.求所有满足这〈/PGN0004.TXT/PGN>个条件的整数。

例4把三位数遍接连重复地写下去，共写1993个冰，所得的数%b3ab・・・3a?恰是91的倍数,试求正二？‘7 '1993个3ab例5在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除, 且使这个数值尽可能的小。

答案例1己知45|好呵求所有满足条件的六位数酒季解：：45=5X9,・•・根据整除“性质2”可知5|xl993y,9区1993%二.y可取。

或5。

当y=0时，根据9|近痢及数的整除特征③可知x=5,当y=5时，根据9|酒药及数的整除特征③可知x=9.・.・满足条件的六位数是519930或919935。

例2李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口.2□元.已知口处数字相同，请问每支钢笔多少元？解，・・・9口.2□元二9口2口分28=4X7,・•・根据整除“性质2”可知4和7均能整除9口2口。

4I2口可知口处能填。

或4或8。

因为7卜9020,7*9424,所以口处不能填0和4；因为7I9828,所叫口处应该填8。

又・・・9828分=98.28元98.28-28=3.51（元）答：每支钢笔3.51元。

例3已知整数1a2a3a4a5翕E被11整除.求所有满足这</PGN0004.TXT/PGN> 个条件的整数。

解：・.T1la2a3a4a5a,・・・根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5眈差应是11的倍数，即11I（15—5a）,或11I（5a-15）。

但是15—5a=5（3—a）,5a—15=5（a—3）,又（5,11）=1,因此111 （3—a）或11I（a—3）。

五年级奥数-数的整除问题

五年级奥数-数的整除问题介绍本文档将涵盖五年级奥数中与数的整除问题相关的内容。

数的整除是数学中的一项基本概念，它在解决实际问题和数学推理中起着重要的作用。

数的整除定义两个整数a和b，若存在整数c，使得c * b = a，则称a能被b 整除，记作b|a。

其中a称为被除数，b称为除数，c称为商。

整除的特性1. 如果a能被b整除，那么a的所有倍数也能被b整除。

2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。

3. 如果a能被b整除，b能被a整除，那么a和b相等。

判断一个数能否被另一个数整除的方法1. 试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。

如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。

试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。

如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。

2. 质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。

如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。

质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。