直线方程归纳
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳1. 直线的定义和性质直线是平面上两个不同点之间的所有点的集合。
直线具有以下性质： - 直线没有宽度和长度，只有方向 - 直线上的任意两点可以确定一条直线 - 直线可以延伸无限远2. 直线的方程直线可以用方程来表示。
常见的直线方程有三种形式：点斜式、斜截式和截距式。
2.1 点斜式点斜式方程的形式为：y - y1 = m(x - x1)其中(x1, y1)是直线上的一点，m是直线的斜率。
2.2 斜截式斜截式方程的形式为：y = mx + b其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
2.3 截距式截距式方程的形式为：Ax + By = C其中A、B和C是常数，且A和B不同时为0。
3. 直线的斜率直线的斜率描述了直线的倾斜程度。
斜率可以通过两点之间的坐标计算得到，公式如下：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
直线的斜率还可以根据直线的方程得到。
对于点斜式和斜截式方程，斜率即为方程中的m值。
对于截距式方程，斜率可以通过以下公式计算：m = -A / B4. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点。
直线的截距可以通过直线的方程得到。
对于斜截式方程，直线与 x 轴的截距为(b, 0)；直线与 y 轴的截距为(0, b)。
对于截距式方程，直线与 x 轴的截距为(C/A, 0)；直线与 y 轴的截距为(0,C/B)。
5. 直线的平行和垂直关系两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
如果直线的斜率为m1，另一条直线的斜率为m2，则两条直线平行的条件为m1 = m2。
两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为 -1。
如果直线的斜率为m1，另一条直线的斜率为m2，则两条直线垂直的条件为m1 * m2 = -1。
6. 直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与 x 轴的夹角。
直线的倾斜角可以通过直线的斜率计算得到。
倾斜角的计算公式为：θ = arctan(m)其中m是直线的斜率。
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。
x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。
当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
直线方程(直线方程完美总结-归纳)(汇编)
直线方程考点一 斜率与倾斜角例1. 已知直线l ）. A . 60° B . 30° C . 60°或120° D . 30°或150°例2.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.考点二 三点共线例1.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．考点三 斜率范围例1.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.例2. 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求yx的最大值与最小值。
二、直线方程考点四 直线的位置关系例1.已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.例2.已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。
例3. ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.例4.已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点.（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.考点五定点问题例1.已知直线31=++.（1）求直线恒经过的定点；y kx k（2）当33-≤≤时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.x考点六周长及面积例1.已知直线l过点(2,3)-，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．考点七反射例1.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.考点八 点到直线距离例1.已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（ ）.A B C 1 D 1例2. 求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.考点九 平行线的距离例1.若两平行直线3210x y --=和60x ay c ++=，求2c a+的值.考点十 对称问题例1 .①与直线2360x y +-=关于点（1，-1）对称的直线方程 ②求点A （2，2）关于直线2490x y -+=的对称点坐标例2. 在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.例3.在直线:310--=上求一点P，使得：l x y（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。
(完整版)高一数学直线方程知识点归纳及典型例题
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同样形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0 ，这个方程 (其中 A 、B 不全为零 )叫做直线方程的一般式．要点讲解：1．A 、 B 不全为零才能表示一条直线，若 A 、 B 全为零则不能够表示一条直线 .当 B ≠0时，方程可变形为 yA x C ，它表示过点 0,C，斜率为A的直线．B BBB当 B=0 ， A ≠0时，方程可变形为Ax+C=0 ，即 xCx 轴垂直的直线．，它表示一条与A由上可知，关于 x 、 y 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 x 、y 的一次方程 （如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程能够是 2x ―y+1=0 ，也能够是 x 1 y 1 0 ，还可以够是 4x ― 2y+2=0等．）2 2要点二：直线方程的不同样形式间的关系 直线方程的五种形式的比较以下表：名称方程的形式 常数的几何意义适用范围 点斜式y ―y（ x 1， y 1）是直线上必然点， k 是斜率 不垂直于 x 轴1=k(x ―x 1)斜截式y=kx+bk 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距不垂直于 x 轴 两点式y y 1 x x 1 （ x 1， y 1 ），（x 2 ，y 2）是直线上两定点不垂直于 x 轴和 y 轴y 2 y 1x 2x 1截距式x y a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直不垂直于 x 轴和 y 轴，a1线在 y 轴上的非零截距b且但是原点 一般式Ax+By+C=0 （ A 2+B 2≠0） A 、B 、 C 为系数任何地址的直线要点讲解：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求 直 线 存 在 斜 率 ， 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 ， 其 限 制 条 件 更 多 （ x 1≠x 2， y 1 ≠y 2）， 应 用 时 若 采 用 (y 2―y 1)(x ―x 1) ― (x 2―x 1)(y ―y 1)=0 的形式，即可除掉限制性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，第一要判断可否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同样，获取的 方程也不同样．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．依照题目所给条件，选择合适的直线方程的形式，求出直线方程．关于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同样，考虑的方向也不同样．（ 1）从斜截式考虑已知直线 l 1 : y k 1 x b 1 , l 2: y k 2 x b 2 ,l 1 // l 2 1 2k 1 k 2 (b 1 b 2 ) ；l 1 l 2tancot1 k 1k 211212k 12k 2于是与直线 y kx b 平行的直线能够设为 ykx b 1 ；垂直的直线能够设为y1 x b2 ． （ 2）从一般式考虑：kl 1 : A 1x B 1 y C 1 0, l 2 : A 2 x B 2 y C 2l 1 l 2 A 1 A 2 B 1B 2l 1 // l 2A 1B 2 A 2B 1 0且 A 1C 2 A 2C 1 0 或 B 1C 2 B 2C 1 0 ，记忆式（ A 1 B 1C1 ）A 2B 2C 2l 1 与 l 2 重合， A 1B 2 A 2 B 1 0 ， A 1C 2 A 2C 1 0 ， B 1C 2 B 2C 1 0于 是 与 直 线 Ax By C 0 平 行 的 直 线 可 以 设 为 AxBy D 0 ； 垂 直 的 直 线 可 以 设 为Bx Ay D0 .【典型例题】种类一：直线的一般式方程例 1．依照以下条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．1 （1）斜率是，经过点 A （ 8， ―2）；2（2）经过点 B （ 4， 2），平行于 x 轴；（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，―3；2（4）经过两点 P 1（ 3，―2）， P 2（ 5， ―4）．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 （ 2） y ―2=0 （ 3） 2x ―y ―3=0 （ 4） x y 1 0【剖析】（ 1）由点斜式方程得 y( 2)1( x 8) ，化成一般式得 x+2y ― 4=0．2（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y ―2=0 ．（3）由截距式得xy1 ，化成一般式得 2x ―y ―3=0 ．3 32（4）由两点式得y 2x3，化成一般式方程为x y 1 0 ．4 ( 2)5 3【总结升华】本题主若是让学生领悟直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转变，关于直线方程的一般式，一般作以下约定： x 的系数为正， x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、 y 项、常数项序次排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 经过点 B(3, 1) ，且倾斜角是 30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】 y 13(x3) 3x 3y3 3 3 03【剖析】由于直线倾斜角是30 ，所以直线的斜率 ktantan 303 ，所以直线的点斜式方程3为： y 13(x 3) ，化成一般式方程为：3x 3 y 3 3 30 .3例 2． ABC 的一个极点为 A( 1, 4) ， B 、 C 的均分线在直线y 1 0和 x y 10 上，求直线 BC 的方程 .【答案】 x 2 y3 0【剖析】由角均分线的性质知，角均分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得 A 点关于B 的均分线的对称点 A ' 在 BC 上， B 点关于C 的均分线的对称点 B ' 也在 BC 上．写出直线 A ' B ' 的方程，即为直线 BC 的方程 .例 3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（ 1， 2）的直线 l 的方程．【答案】 3x+4y ―11=0 【剖析】解法一：设直线l 的斜率为 k ，∵ l 与直线 3x+4y+1=0 平行，∴ k3 ．4又∵ l 经过点（ 1， 2），可得所求直线方程为 y 23(x 1) ，即 3x+4y ― 11=0．4解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0 ，∵ l 经过点（ 1， 2），∴ 3×1+4×2+m=0 ，解得 m=―11 ．∴所求直线方程为 3x+4y ―11=0 ．【总结升华】（ 1）一般地， 直线 Ax+By+C=0 中系数 A 、B 确定直线的斜率， 所以，与直线 Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+m=0 ，这是常采用的解题技巧．我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程．参数m 能够取 m ≠C 的任意实数，这样就获取无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时， Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合．（2）一般地，经过点 A （x 0 ，y 0），且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x ―x )+B(y ―y )=0 ．（3）近似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx ―Ay+m=0 （ A ， B 不同样时为零） ．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 1 ： 3mx+8y+3m-10=0 和 l 2 ：x+6my-4=0 . 问 m 为何值时 :（1） l 1 与 l 2 平行（ 2） l 1 与 l 2 垂直 . 【答案】（ 1） m2 （ 2） m3【剖析】当 m0 时， l 1 ： 8y-10=0 ； l 2 ： x-4=0 ， l 1 l 2当 m 0 时， l 1 ： y3m 10 3m： y 1x4x 8 ； l 2 6m86m由 3m1 ，得 m2 ，由 10 3m 4 得 m 2 或 886m38 6m 3 3 而 (3m ) ( 1 ) 1无解8 6m2综上所述（ 1） m， l 1 与 l 2 平行．（ 2） m 0 ， l 1 与 l 2 垂直．3【变式 2】 求经过点 A （ 2， 1），且与直线 2x+y ―10=0 垂直的直线 l 的方程． 【答案】 x － 2y=0【剖析】由于直线 l 与直线 2x+y ―10=0 垂直，可设直线 l 的方程为 x 2y m 0 ，把点 A （2，1）代入直线 l 的方程得： m0 ，所以直线 l 的方程为： x －2y=0 ．种类二：直线与坐标轴形成三角形问题例 4．已知直线 l 的倾斜角的正弦值为3，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线 l 的方程．5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数—— 直线在 y 轴上的截距 b ，再依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，即可求出 b ．也能够依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，进而得出1| ab | 6 ，再依照它的斜率已知，进而获取关于a ，b 的方程组，解之即可．3 x23 x【答案】 y3 或 y 344【剖析】解法一：设 l 的倾斜角为，由 sin33，得 tan．3544设 l 的方程为yx b ，令 y=0，得 x4 b ．3∴直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 4 ，（ 0，b ）．b,03∴ S1 4b | b | 2b 2 6 ，即 b 2=9，∴ b=±3．23 3故所求的直线方程分别为y 3 x 3 或 y3 x 3 ．44解法二：设直线l 的方程为xy 1，倾斜角为，由 sin3 ，得 tan3 ．a b541| a | | b |6a 4∴2b3 ，解得．b 3a4故所求的直线方程为x y 1或 xy 1．4 3 4 3【总结升华】（ 1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关） ，所以可选择斜截式直线方程，也可采用截距式直线方程，故有“题目决定解法 ”之说．（2）在求直线方程时，要合适地选择方程的形式，每种形式都拥有特定的结论，所以依照已知条件恰 当地选择方程的种类经常有助于问题的解决．比方：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，平时采用点 斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的种类后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特别情况的谈论，省得遗漏．贯穿交融：【变式 1】（ 2015 春 启东市期中）已知直线m ： 2x ― y ―3=0 ， n ：x+y ―3=0 ．（ 1）求过两直线 m ，n 交点且与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程； （2）求过两直线 m ， n 交点且与两坐标轴围成面积为4 的直线方程．【思路点拨】（ 1）求过两直线 m ， n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ： x+2y ―1=0平行的直线方程；（ 2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 ；（ 2）2x y 3 0 x 2 【剖析】（ 1）由y3 ，解得y，x 01即两直线 m ， n 交点坐标为（ 2， 1），设与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0 ，则 2+2×1+c=0，解得 c=―4， 则对应的直线方程为 x+2y ―4=0 ；（2）设过（ 2， 1）的直线斜率为 k ，（ k ≠0），则对应的直线方程为 y ―1= k(x ―2) ，令 x=0， y=1―2k ，即与 y 轴的交点坐标为 A （ 0， 1―2k ） 令 y=0，则 x2 1 2k 1 ，即与 x 轴的交点坐标为 B(2k 1,0) ，k kk 则△AOB 的面积 S1 | 2k 1||1 2k | 4 ，2 k即 (2k 1)2 8 k ，即 4k 24k 8 k1 0 ，若 k ＞ 0，则方程等价为 4k 212k1 0 ，解得 k3 2 2或 k 3 2 2 ，22若 k ＜ 0，则方程等价为 4k 24k1 0 ，解得 k1 ．2综上直线的方程为y 11( x 2) ，或 y 13 2 2 ( x 2) ，或 y 13 2 2( x 2)222即 y1 x2 ，或 y3 2 23 2 2x 2 2 22 x 2 2 2 ，或 y22种类三：直线方程的本质应用例 6．（ 2015 春 湖北期末）光辉从点 A （ 2，3）射出，若镜面的地址在直线 l ： x+y+1=0 上，反射光辉经过 B （ 1， 1），求入射光辉和反射光辉所在直线的方程，并求光辉从 A 到 B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光辉的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光辉方程，可求光辉从A 到B 所走过的路线长．【答案】 41【剖析】设点 A 关于 l 的对称点 A ＇（ x 0， y 0），x 0 2 y 0 3 1 0 x 04∵AA ＇被 l 垂直均分，∴2 2 ，解得y 0 3y 03x 0 12∵点 A ＇（―4， ―3）， B （1， 1）在反射光辉所在直线上， ∴反射光辉的方程为y 3 x4，即 4x ―5y+1=0，1 3 1 44x 5y 1 0( 2 ,1) ． 解方程组x y 10 得入射点的坐标为3 3y 1x 2由入射点及点 A 的坐标得入射光辉方程为3 3，即 5x ―4y+2=0 ，31 2 233光辉从 A 到 B 所走过的路线长为 | A' B |( 4 1)2 ( 3 1)241 ．【总结升华】本题要点观察点关于直线的对称问题，观察入射光辉和反射光辉，解题的要点是利用对称点的连结被对称轴垂直均分．线 贯穿交融：【变式 1】（ 2016 春 福建厦门期中）一条光辉从点 A （－ 4，－ 2）射出，到直线y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光辉恰好过点 D （－ 1，6）．求 【答案】 10x － 3y+8=0【剖析】如图， A （－ 4，－ 2）， D （－ 1，6），y=x 上的 B 点后被直BC 所在直线的方程．由对称性求得 A （－ 4，－ 2）关于直线 y=x 的对称点 A ＇（－ 2，－ 4）， D 关于 y 轴的对称点 D ＇（ 1， 6），则由入射光辉和反射光辉的性质可得：过 A ＇ D ＇的直线方程即为 BC 所在直线的方程．由直线方程的两点式得： y 4 x 2 ． 整理得： 10x － 3y+8=0 ．64 1 2例 7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建筑一幢8 层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到 1 m 2）【答案】 6017【剖析】建立坐标系，则 B （ 30， 0）， A （ 0， 20）．∴由直线的截距方程获取线段AB 的方程为x y 1 （0≤ x ≤ ）30．30 202x ． 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则有 y203∴公寓的占地面积为S (100 x) (80y) (100 x) (80 20 2x)2 x 2 20 x 6000 （0≤ x ≤ ）30．3 3 3 ∴当 x=5 ， y50 时， S 取最大值，最大值为 S2 52 20 5 6000 6017(m 2 ) ．333即当点 P 的坐标为 (5,50) 时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．3P 的地址由两个条件确定，一是 A 、 P 、 B 三点共线，【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点 二是矩形的面积最大．借三点共线追求x 与 y 的关系，利用二次函数知识研究最大值是办理这类问题常用的方法．。
直线方程几种形式
2.直线的斜截式方程：
练习: 已知直线l的斜率是k，与 y 轴的交点
是 P(0 , b) ，求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l 的直线方程： (0,b)
y b k(x 0) 即 y kx b (2)
O
x
直线l 与 y 轴交点 (0 , b) 的纵坐标 b 叫做直线
l在 y轴上的截距。
方程(2)是由直线的斜率 k与它在 y轴上的截距 b确
P0（x0,y0)
O
x
可化为y y0 kx x0
• 可以验证: 直线l上的每个点（包括点P0）的坐标 都是这个方程的解;反过来，以这个方程的解为 坐标的点都在直线l上
• 由此，这个方程 y y0 kx x0 就是过点P0，
斜率为k的直线l的方程
(1)当直线 l与 x轴平行或重合时
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， (x1 x2 ,y1 y2),如何求出这两个点的直线方程 呢？
经过一点, 且已知斜率的直线, 可以写出它 的点斜式方程.
可以先求出斜率, 再选择一点, 得到点斜式 方程.
根据两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
斜率 k y2 y1
x a
y b
1
y lB
说明:（1）直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距,
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的
截距确定,所以叫做直线方程的截距 式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例5. 说出下列直线的方程，并画出图形. ⑴倾斜角为450，在轴上的截距为0； ⑵在x轴上的截距为－5， 在y轴上的截距为6； ⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行； ⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.
知识归纳：直线方程的几种形式
直线方程的几种形式1 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.5. 经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是00y y -=，或0y y =.6. 经过点),(000y x P且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是00x x -=，或0x x =.7. 已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，直线l 的方程为b kx y +=8. 截距”与“距离”不同，截距可正、可负、可为零，而距离不可能为负值.2 直线的两点式方程1.已知两点),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠，通过这两点的直线方程为)(112121x x x x y y y y ---=-.当21y y ≠时，方程可以写),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--由于这个直线方程由两点确定，所以把它叫直线的两点式方程，简称两点式.2. 已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，则直线l 的方程可写成1=+b y a x ，次方程是由直线l 在x 、y 轴上的截距a ，b 确定的，叫做直线方程的截距式.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++.3 直线的一般式方程1. 关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2. 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式.3.与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.4.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=；5.经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.6.直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程是A C y xB B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.。
直线方程形式
P
x
又 P ( 0 ,1) 为线段 AB 的中点 7 3k 1 7 k 2 2 0，得 k 1 4 1 4 x 1，即 x 4 y 4 0
O
B
l2
直线 l 的方程为 y
解法二、设直线
l 与 l1 , l 2 分别交于 A , B ，设 A ( x 0 , y 0 ) x0 x B 0 2 y yB 0 1 2
又由 A , B 两点关于 P ( 0 ,1)中心对称可知
B ( x 0 , 2 y 0 ), 又 A , B 在 l1， l 2 上 x 0 3 y 0 10 0 得 A ( 4 , 2 ), B ( 4 , 0 ) 2( x0 ) (2 y0 ) 8 0 从而由两点式得 l 的方程为： x 4y 4 0
2 k 0时，即 k 1时成立
y ( x 2 ) 1, 即 x y 3 0
直线方程归纳（重要） 名 称
点方向式 点法向式
点斜式 斜截式 一般式 截距式
已知条件
点P(x0,y0)和 方向向量(u,v) 点P(x0,y0)和 法向量(a,b)
标准方程
x x0 u y y0 v
且经过点 P0 ( x 0 , y 0 ) 直线 l 上任一点 P ( x , y ) 则， 0 P // v , P 故得直线方向式方程 （ x x 0 , y y 0） ( a , b ) t 当 ab 0时， 也可写为 x x0 a y y0 b t R
4.行列式：
于是得直线的点法式方 A( x x0 ) B ( y y0 ) 0 ( 其中 A , B 不同为零 )
直线方程知识点归纳总结
直线方程知识点归纳总结一、直线的倾斜角与斜率。
1. 倾斜角。
- 定义：直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α，叫做直线l的倾斜角。
- 范围：0^∘≤slantα < 180^∘。
2. 斜率。
- 定义：直线的倾斜角α≠90^∘时，k = tanα叫做直线的斜率。
- 经过两点P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)(x_1≠ x_2)的直线的斜率k=(y_2 -y_1)/(x_2 - x_1)。
二、直线方程的几种形式。
1. 点斜式。
- 方程：y - y_0=k(x - x_0)，其中(x_0,y_0)是直线上一点，k是直线的斜率。
- 适用范围：斜率存在的直线。
2. 斜截式。
- 方程：y = kx + b，其中k是斜率，b是直线在y轴上的截距。
- 适用范围：斜率存在的直线。
3. 两点式。
- 方程：(y - y_1)/(y_2 - y_1)=(x - x_1)/(x_2 - x_1)(x_1≠ x_2,y_1≠ y_2)，其中(x_1,y_1)，(x_2,y_2)是直线上两点。
- 适用范围：不垂直于坐标轴的直线。
4. 截距式。
- 方程：(x)/(a)+(y)/(b)=1(a≠0,b≠0)，其中a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距。
- 适用范围：不垂直于坐标轴且不过原点的直线。
5. 一般式。
- 方程：Ax + By+C = 0(A,B不同时为0)。
- 可以表示平面内任意一条直线。
三、直线的平行与垂直。
1. 平行。
- 设直线l_1:y = k_1x + b_1，l_2:y = k_2x + b_2。
- 当k_1 = k_2且b_1≠ b_2时，l_1∥ l_2；对于直线l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0，l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0，当(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)≠(C_1)/(C_2)时，l_1∥l_2。
2. 垂直。
- 设直线l_1:y = k_1x + b_1，l_2:y = k_2x + b_2。
直线方程知识点归纳总结高中
直线方程知识点归纳总结高中直线方程是高中数学学科中重要的知识点之一，它在解析几何和代数中起着重要的作用。
本文将对高中直线方程的相关内容进行归纳总结，包括直线的一般方程、点斜式方程、两点式方程和截距式方程等几种常见形式。
同时，还将对直线的斜率和截距的概念进行解释，并提供相关的例题进行说明。
一、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这种形式的直线方程比较通用，可以表示任意一条直线。
在求解问题时，可以通过已知条件将直线方程转化为一般方程的形式，然后进一步进行计算。
例如，已知直线过点P(2, 3)且斜率为2，我们可以先利用斜率公式求得直线的斜率k=2。
然后，代入点斜式方程y - y₁ = k(x - x₁)中的点P的坐标，得到直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
最后，将该点斜式方程转化为一般方程的形式，得到2x - y - 1 = 0。
二、直线的点斜式方程点斜式方程形式为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。
点斜式方程主要用于确定直线上一点和直线的斜率，通过已知条件和该点斜率可以确定直线方程。
例如，已知直线过点A(-1, 4)且斜率为-3，我们可以直接利用点斜式方程得到直线的方程为y - 4 = -3(x - (-1))，简化后为y = -3x + 1。
三、直线的两点式方程两点式方程形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。
两点式方程可以直接得到直线的方程，适用于已知直线上两个点的坐标的情况。
例如，已知直线上两点A(-2, 1)和B(3, 4)，我们可以通过两点式方程求得直线的方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (4 - 1)/(3 - (-2))，简化后为3x - y+ 5 = 0。
高考直线方程题型归纳(最新整理)
高考直线方程题型归纳知识点梳理1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y－y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为，这112121y y x x y y x x --=--种形式的方程叫做直线的两点式方程.注意（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式表示112121y y x x y y x x --=--它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程的112121y y x x y y x x --=--区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳直线是平面几何中的一种基本图形，它具有很多特殊的性质和重要的应用。
直线与方程相关的知识点主要包括直线的方程的表示形式、直线的斜率和截距、直线的点斜式和一般式等。
一、直线的方程的表示形式1.一般式：直线的一般式方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C都是实数，且A和B不能同时为零。
2.点斜式：直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率，(x1,y1)是直线上的一点。
3. 斜截式：直线的斜截式方程形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线的截距。
二、直线的斜率和截距1.斜率：直线的斜率表示线的倾斜程度，可以用k表示。
斜率等于直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差。
如果直线过两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。
2.截距：直线的截距表示直线与y轴的交点在y轴上的纵坐标，可以用b表示。
一条直线的斜率和截距唯一决定着这条直线。
斜截式方程中的b就是直线的截距。
三、直线的点斜式直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率，(x1,y1)是直线上的一点。
点斜式可以通过直线上的一点和斜率来表示直线的方程，方便求解和分析。
四、直线的一般式1.一般式方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C都是实数，且A和B 不能同时为零。
2.一般式方程可以用来表示任意一条直线，但表达方式较为复杂，一般在特定情况下使用，如直线的方程已知时。
五、直线的性质和应用1.平行和垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-12.交点：两条直线交于一点时，此点的横坐标和纵坐标同时满足两条直线的方程，可以通过解方程组求解。
3.切线和法线：切线是与曲线仅有一个公共点且在这一点处与曲线相切的直线；法线是与曲线仅有一个公共点且垂直于曲线的直线。
4.直线的应用：直线作为数学工具经常应用在几何中的图形分析、计算和证明中，也广泛用于物理、工程、经济等实际问题的解决中。
直线与方程归纳汇总
直线与方程1．解析几何是通过建立坐标系，用坐标法来研究几何问题的学科，是数形结合的典范，因此学习本章要深刻体会数形结合的思想，明确二元一次方程和直线的关系，熟悉各种常见代数式的几何意义．(1)坐标平面内，任意一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程；每一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线．特别注意x ＝a 也是一条直线，此直线垂直于x 轴，直线上任意一点的横坐标都是a . (2)常见表达式的几何意义①x 2＋y 2表示动点P (x ，y )到原点(0,0)的距离．(x －1)2＋(y ＋2)2表示动点P (x ，y )到定点(1，－2)的距离的平方． ②yx表示动点P (x ，y )与原点连线的斜率． y ＋2x －3表示动点P (x ，y )与定点(3，－2)连线的斜率． ③|x ＋2y －1|表示动点P (x ，y )到直线x ＋2y －1＝0的距离的5倍等等． 2．斜率计算：(1)倾斜角为α的直线斜率k ＝tan α α∈[0°，90°)∪(90°，180°)，倾斜角为锐角时，k >0；直线平行于x 轴或与x 轴重合(即垂直于y 轴)时，α＝0°，k ＝0；倾斜角为钝角时，k <0，α＝90°时，k 不存在．(2)过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，x 1＝x 2时，斜率不存在．(3)直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的斜率k ＝－AB ，B ＝0时，斜率不存在．3．两条直线的平行与垂直 (1)两条直线垂直的条件注意：两条直线互相垂直，一条斜率为0，则另一条斜率不存在． (2)两条直线平行的条件 4．直线的方程求直线方程时，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法求解．其基本步骤是：①设所求直线方程的某种形式 ②由条件建立所求参数的方程(组) ③解方程(组)求出参数 ④将参数的值代入所设方程 5．直线方程的设法(1)过定点P (x 0，y 0)的直线方程可设为y －y 0＝k (x －x 0)，莫忘检验x ＝x 0是否满足题设条件．(2)已知斜率为k 的直线方程可设为y ＝kx ＋b .(3)已知倾斜角为α(α≠90°)的直线方程可设为y ＝(tan α)x ＋b . (4)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0. (5)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 1＝0. (6)与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程可设为y ＝kx ＋b 1. (7)与y ＝kx ＋b (k ≠0)垂直的直线方程可设为y ＝－1kx ＋b 1.(8)过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点(A 1B 2－A 2B 1≠0)的直线方程可设为(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ(A 2y ＋B 2y ＋C 2)＝0.7．距离问题(1)两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (2)点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(4)斜率为k 的直线上两点A 、B 横坐标分别为x 1、x 2，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|. 8．对称问题(1)点P (x ，y )关于点Q (a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．曲线F (x ，y )＝0关于点(a ，b )的对称曲线方程为F (2a －x,2b －y )＝0. (2)点P (x ，y )关于直线x ＝m 的对称点为(2m －x ，y )． 曲线F (x ，y )＝0关于x ＝m 的对称曲线为F (2m －x ，y )＝0. (3)点P (x ，y )关于直线y ＝n 的对称点为(x,2n －y )． 曲线F (x ，y )＝0关于直线y ＝n 的对称曲线F (x,2n －y )＝0.(4)点P (x ，y )关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点为P ′(x ′，y ′)，则由⎩⎪⎨⎪⎧k PP ′·k l ＝－1PP ′的中点在l 上求解．特别地，当|A |＝|B |＝1时，可直接由对称轴方程解出对称点坐标． (5)反射即对称，入射光线与反射光线关于法线对称，关于镜面直线对称． *9.直线系过定点问题含有一个待定系数(参数)的二元一次方程过定点问题的解法：(1)特殊值法，利用不论参数取何值，方程都有解，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x 、y 的两个方程，从中解出的x 、y 的值即为所求定点的坐标．(2)分离参数法：经过将方程整理为m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则该方程表示的直线一定过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点，而交点就是定点．将含有参数的直线方程写成点斜式y －y 0＝m (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)． 10．直线在坐标轴上的截距直线的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距离”，“截距”可取一切实数，而“距离”是一个非负数．如直线y ＝3x －6在y 轴上的截距是－6，在x 轴上的截距是2.在直线方程中，令x ＝0得纵截距b ，令y ＝0得横截距a ，则 ①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a |＋|b |＋a 2＋b 2； ②直线与坐标轴围成的三角形的面积为12|ab |.在题设条件中，涉及直线在两轴上“截距相等”“截距绝对值相等”、“截距互为相反数”、“截距相差m ”与“两轴围成三角形周长(或面积)”等时，常用截距式，要特别注意0截距的情形．。
数学三单元知识点归纳总结
数学三单元知识点归纳总结一、直线方程与图象1. 直线的方程(1) 点斜式：直线过点(x_1, y_1), 且斜率为k，方程为y-y_1 = k(x-x_1)(2) 斜截式：直线与y轴交点为b，斜率为k，方程为y=kx+b(3) 一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数且A与B不同时为零。
2. 直线图象的性质(1) 直线上两点的斜率相等(2) 两条垂直直线的斜率乘积为-1(3) 直线的斜率为0表示水平直线，斜率不存在表示垂直直线。
3. 直线的距离公式点P(x_0, y_0)到Ax+By+C=0的距离为|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B^2)4. 直线的倾角公式直线的倾角tanθ为-m，其中m为直线的斜率。
5. 直线的平行与垂直关系直线的斜率相等且不相等表示两条直线平行；直线的斜率之积为-1时表示两条直线垂直。
二、二次函数与图象1. 二次函数的标准式f(x) = ax^2+bx+c，其中a≠0。
2. 二次函数的图象(1) 抛物线开口方向与a的关系：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
(2) 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
(3) 抛物线与x轴的交点为实数解的零点。
3. 二次函数的性质(1) 判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时有两个不相等实数根；当Δ=0时有两个相等实数根；当Δ<0时没有实数根。
(2) 函数图象在顶点处对称轴上。
4. 二次函数的平移(1) 横向平移：f(x)移动到f(x-h)表示向右平移h个单位；f(x)移动到f(x+h)表示向左平移h 个单位。
(2) 纵向平移：f(x)移动到f(x)+k表示向上平移k个单位；f(x)移动到f(x)-k表示向下平移k个单位。
5. 二次函数的应用(1) 求最值：当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
(2) 求零点：利用二次方程求解，即ax^2+bx+c=0。
高二直线和圆的方程知识点归纳
高二直线和圆的方程知识点归纳直线和圆是数学中常见的几何图形，它们的方程是我们学习的重点内容。
在高二阶段，我们对直线和圆的方程有了更深入的学习和理解。
下面是对高二直线和圆的方程知识点的归纳总结。
1. 直线的方程直线的方程可以分为两种形式：一般式和点斜式。
一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
点斜式方程为y-y₁=m(x-x₁)，其中m为直线的斜率，(x₁,y₁)为直线上的一点。
2. 直线的斜率和倾斜角直线的斜率m定义为y轴上的增量与x轴上的增量的比值。
直线的倾斜角θ是它与x轴正方向的夹角。
两者满足关系式m=tanθ。
3. 直线的截距直线与x轴的截距为点(0,b)，与y轴的截距为点(a,0)。
直线的一般式方程中的常数C即为与y轴的截距。
4. 圆的方程圆的方程有两种形式：标准式和一般式。
标准式方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
一般式方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
5. 直线和圆的关系直线和圆的关系可以分为三种情况：相离、相切和相交。
判断方法是将直线的方程代入圆的方程，观察判别式的值。
6. 切线和法线在圆上的一点处，过该点的直线与圆相切，该直线称为切线。
切线与半径的夹角为直角，称为法线。
7. 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系有两种情况：相离和相交。
判断方法是将直线的方程代入圆的方程，观察判别式的值。
如果判别式大于0，则直线和圆相交；如果判别式小于0，则直线和圆相离；如果判别式等于0，则直线与圆相切。
8. 直线和圆的交点坐标如果直线与圆相交，交点坐标可通过解方程组得到。
将直线的方程和圆的方程联立，解得x和y的值，即为交点的坐标。
综上所述，高二直线和圆的方程知识点主要包括直线的方程、直线的斜率和倾斜角、直线的截距、圆的方程、直线和圆的关系、切线和法线、直线和圆的位置关系以及直线和圆的交点坐标。
直线方程知识点归纳总结高中
直线方程知识点归纳总结（高中）1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数，且A和B不同时为0。
例如，2x + 3y - 5 = 0就是一条直线的一般方程。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
例如，y = 2x + 3就是一条直线的斜截式方程，斜率为2，截距为3。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。
例如，y - 2 = 3(x - 4)就是一条直线的点斜式方程，斜率为3，通过点(4, 2)。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
例如，(y - 1)/(x - 2) = (3 - 1)/(5 - 2)就是一条直线的两点式方程，通过点(2, 1)和(5, 3)。
5. 直线的垂直平行关系如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行的。
如果两条直线的斜率互为倒数，那么它们是垂直的。
6. 直线的角平分线直线的角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线。
对于两条直线l₁和l₂，如果l₁和l₂的斜率之积为-1，那么l₁和l₂是互相垂直的。
7. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x₁, y₁)的距离可以用公式d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)来计算。
8. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过令y = 0来求解。
直线与y轴的交点可以通过令x = 0来求解。
这些交点可以作为直线的特殊点，用于确定直线的方程。
9. 直线的平移与旋转直线的平移可以通过改变直线的截距来实现。
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直线与方程知识点 一 、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k πα； 0,18090πππk ︒︒α （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠）③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
（3）直线的倾斜角与斜率关系(4)、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
Eg:比较图1的斜率大小练习1 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。
A. －6 B. －7 C. －8 D. －92. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有() A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 13已知两点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围 为 (A) A 443-≤≥k k 或 B -443≤≤k C 443≤≤k D -443≤≤k 二 、两条直线平行与垂直的判定直线如果是点斜式 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-g注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
（3）对于一般式直线平行与垂直问题已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l（2）;0,0-//1221122121≠-=⇔C A C A B A B A l l （3）;0,0-1221122121=-=⇔C A C A B A B A l l 重合与（4）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A（4）如果2220A B C ≠时，则：(1)1221121-=•⇔⊥B A B A l l (2)⇔21//l l ）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ≠=；(3)1l 与2l 重合⇔）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ==(4)1l 与2l 相交⇔）不为0,(222121B A B BA A ≠三 、直线的方程（1）直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。
（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；（1）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （2）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） （2)、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x(3). 过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.eg 、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程解 设所求直线方程为1=+b y a x 直线过点P(－5,－4) 即145=-+-ba 又由已知可得,521=b a 即10=ab 联立方程解方程组得⎩⎨⎧=-=+1054ab ab b a 解得,⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a 故所求直线方程为1425=+-yx 或125=+y x即,8x －5y+20=0或2x －5y －10=0四、与两坐标轴截距相等或相反问题（注意过原点的直线）eg. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是五 会画出y=|x| |x|+|y|=k 的图像eg ．若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0）有两个不同交点，则a 的取值范围是 （ ） A ．0＜a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ＞0且a ≠1 D ．a ＝1 六、直线的交点坐标与距离公式（1）.两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
（2）.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P -+-=特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=（2）点到直线的距离点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=点到几种特殊直线的距离（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。
（2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。
（4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-. （3）两条平行线间的距离两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212BA C C d +-=（注意：① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
） （1）．点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的距离是（A ）54（B ）45 （C ）254（D ）425（2）两平行线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313 ，则c ＋2a 的值是( A )A .±1 B. 1 C. -1 D . 2七 . 有关对称问题（1）中心对称①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1122y b y x a x②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程。
eg. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ）Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５ （2）曲线关于点对称曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. Eg ： （1）求（2，3）关于x 轴，y 轴，原点的对称点。
（3）求y=x 2分别关于（2，3），y=x+2的对称曲线 （3）轴对称 ①点关于直线的对称若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++++1)(0)2()2(12122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠） Eg ： （2，3）分别关于y=2x+3对称点（2）点关于直线对称技巧（3）技巧 当直线为y x b =±+（即斜率为±1. ），（a ，b ）关于y x b =±+对称，把x 代入得到y ，把y 代入得到xEg 求，关于y=x+2 y=-x+2 的对称点②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f ②直线关于点对称，曲线关于点对称曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f1．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0八 、直线过定点问题：① 含有一个未知参数，12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y （1）令202-=⇒=+x x ， 将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(-② 含有两个未知参数0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒7371y x从而该直线必过定点)73,71(-练习 (1)直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是_ _ (2)直线,31k y kx =+-当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） （A ）（0，0） （B ）（0，1）（C ）（3，1） （D ）（2，1）九、 与已知直线平行垂直的直线系有：（1）平行于直线)(00//C C C By Ax C By Ax ≠=++=++的直线可表示为（2）平行于直线)(//b b b kx y b kx y ≠+=+=的所有直线为（3）垂直于直线0=++C By Ax 的所有直线可表示为01=+-C Ay Bx十、 直线y=kx+b 不经过某象限y=kx+b 不经过第一象限 k ≤0， b ≤0。