MIMO信道容量计算

实验一：MIMO信道容量计算

实验学时：3

实验类型：（演示、验证、综合、设计、√研究）

实验要求：（√必修、选修）

一、实验目的

通过本实验的学习，理解和掌握信道容量的概念和物理意义；了解多天线系统信道容量的计算方法；采用计算机编程实现经典的注水算法。

二、实验内容

MIMO信道容量；

注水算法原理；

采用计算机编程实现注水算法。

三、实验组织运行要求

以学生自主训练为主的开放模式组织教学

四、实验条件

（1）微机

（2）MATLAB编程工具

五、实验原理、方法和手段

MIMO（MIMO，Multiple Input Multiple Output）技术利用多根天线实现多发多收，充分利用了空间资源，在有限的频谱资源上可以实现高速率和大容量，已成为4G通信系统以及未来无线通信系统的关键技术之一。

图1平坦衰弱MIMO信道模型

1．MIMO 信道模型

MIMO 指多输入多输出系统，当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的，即不考虑频率选择性衰落。平坦衰弱的MIMO 信道可以用一个R T n n ⨯的复数矩阵H 描述：

1112

12122

212

T T R T R R n n n n n n h h h h h h h h h ⎡⎤

⎢

⎥⎢⎥

=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

H （1）

其中T n 为发送端天线数，R n 为接收端天线数，H 的元素,j i h 表示从第i 根发射天线到第j 根接收天线之间的空间信道衰落系数。

窄带MIMO 信道模型（如图1所示）可以描述为：

=+y Hx n （2）

其中，x 为发送信号；y 为接收信号；n 为加性高斯白噪声。

2．MIMO 信道容量

假设n 服从均值为0，协方差为单位阵的复高斯分布。根据信道容量

()

max{(;)}p X C I X Y =的定义，可以证明当()p x 服从高斯分布时，达到MIMO 信道

容量。令x 的协方差矩阵为x R ，则MIMO 信道容量可表示为：

()()logdet H C +x x R I HR H （3）

其中上标‘H ’表示复共轭，I 为单位阵，det 表示取行列式。()C x R 表示单位带宽下的MIMO 信道传输速率，单位为Nat/sec 。

发射机的传输功率可以表示为：

{}

(){}{}()

()

2

H H

P

E E Tr Tr E Tr ===x x

xx xx R

其中，x 表示向量的模，Tr 表示取矩阵的迹，E 表示求期望。

假设发射机的最大传输功率为T P ，则功率约束下的MIMO 信道容量计算问题可以描述为：

()

()0

max log det ...

H T s t Tr P ≥+≤x x R x I HR H R （4）

即在功率约束下找到x 的最佳分布使得信道容量最大。此处0≥x R 表示x R 为半正定矩阵。

3．奇异值分解及问题转化

将信道矩阵进行奇异值分解，即H 可分解为H =H UDV ，其中U 和V 为酉矩阵满足

;;;H H H H ====UU I U U I V V I VV I ，

D 为R T n n ⨯的矩形对角矩阵。

利用恒等式()()det det +=+I AB I BA 和酉矩阵性质H =U U I ，得到

()()()

()

det det det det H H H H H H H

H H H

+=+=+=+x x x x

I UDV R VD U I U UDV R VD I DV R VD

I D DV R V

（5）

利用恒等式()()Tr Tr =AB BA 和酉矩阵性质H =V V I ，得到

()()()H H Tr Tr Tr ==x x x R VV R V R V

（6） 定义H ΛD D ，利用（5）和（6），问题（4）可写为：

()()0

max log det ...

H

H

H

T s t Tr P ≥+≤x x V R V x I ΛV R V V R V （7）

经过变量替换，令H x X V R V ，问题（7）（i.e., (4)）等价为

()

()0

max log det ...

T s t Tr P ≥+≤X I ΛX X （8）

根据Hadamard 不等式（参考《信息论基础》Thomas M. Cover ，定理16.8.2），问题（8）的最优解X 必为对角阵。因此问题（8）可简化为

{}01

1

max log 1...

i r

i x i i r

i

T i x s t

x

P α≥==⎛⎫+ ⎪⎝⎭

≤∑∑ （9）

其中，r 为H （或者Λ）的秩，i x 和

1

i

α分别为X 和Λ的对角元素。

4．注水（water-filling ）算法 求解问题（9）

对问题（9）使用拉格朗日乘子法，可知最优解必须满足：

1

1max ,0,

1,2...i i r

i

T

i x i r

v x

P α=⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭

=∑

其中μ为拉格朗日乘子。为求得i x ，需先确定1

v

，它满足

11max ,0r

i

T

i P v α=⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

∑ (10) 注意左边为1v 的递增函数，因此满足（10）的1

v

唯一。

找到满足（10）的1

v

的方法可形象地称为注水（warter-filling ）。这是因为，

我们可以将i α看做是第i 片区域的水平线，然后对整个区域注水，使其具有深度

1/v ，如图1所示。所需总水量为{}1max 0,1/n

i i v α=-∑，不断注水，直至总水量

为T P ,。第i 个区域的水位深度即为最优的*i x 。