江苏省泰州市高一数学下学期期末考试试卷(含解析)

江苏省泰州市2015-2016学年高一下学期期末考试数学

一、填空题：共14题

1．已知，，则直线的斜率为．

2．在公差为的等差数列中，若，则= ．

3．若Δ满足：，，，则边的长度为．

4．已知，且，则的值是．

5．如图，在直三棱柱中，，，，，则四棱锥的体积为.

6．在平面直角坐标系中，直线和直线互相垂直，则实数的值是．

7．已知正实数满足，则的最大值是．

8．在平面直角坐标系中，，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是．

9．已知实数满足：，，则的最小值是．

10．如图，对于正方体，给出下列四个结论：

①直线平面②直线直线

③直线平面④直线直线

其中正确结论的序号为.

11．在Δ中，角，，的对边分别为，，，已知，则角的值是．

12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若过点

的直线与圆交于两点(其中点在第二象限)，且，则点的横坐标为．

13．已知各项均为正数的数列满足，且，则的最大值是．

14．如图，边长为)的正方形被剖分为个矩形，这些矩形的面积如图所示，则的最小值是．

二、解答题：共6题

15．在平面直角坐标系中，直线.

(1)若直线与直线平行，求实数的值；

(2)若，，点在直线上，已知的中点在轴上，求点的坐标.

16．在中，角、、的对边分别为、、)，已知

．

(1)若，求的值；

(2)若，且，求的面积．

17．如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，分别为，的中点．

求证：(1)直线平面；

(2)平面平面．

18．如图，某隧道的截面图由矩形和抛物线型拱顶组成(为拱顶的最高点)，以所在直线为轴，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，已知拱顶的方程为．

(1)求的值；

(2)现欲在拱顶上某点处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点对隧道底的张角最大，求此时点到的距离．

19．在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于，两点，设直线的方程为．

(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；

(2)已知直线与圆相交于，两点．

(ⅰ)若，求实数的取值范围；

(ⅱ)直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，

，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20．已知数列的首项，前项和为.数列是公差为的等差数列.

(1)求的值；

(2)数列满足：，其中.

(ⅰ)若，求数列的前项的和，；

(ⅱ)当时，对所有的正整数，都有，证明：.

参考答案

1.1

【解析】本题考查直线的斜率.由题意得直线的斜率.

【备注】.

2.7

【解析】本题考查等差数列.由题意得==1+6=7.

【备注】等差数列中.

3.

【解析】本题考查正弦定理.由题意得;由正弦定理得,又,解得.

【备注】正弦定理：.

4.

【解析】本题考查差角公式.===.

5.24

【解析】本题考查空间几何体的体积.因为,所以;而

为直三棱柱,所以平面;即为四棱锥的高,所以四棱锥的体积.

6.

【解析】本题考查两直线的位置关系.由题意得,解得.

7.2

【解析】本题考查基本不等式.由题意得,即(当且仅当时等号成立).即的最大值是2.

8.

【解析】本题考查一元二次不等式.由题意得两点在直线两侧,即

,即,解得或;即实数的取值范围是.

9.-2

【解析】本题考查不等关系与不等式.由题意得,;而=+,所以,即,即的最小值是-2.

10.①③④

【解析】本题考查线面平行与垂直.直线,所以直线平面,即①正确;直线平面,所以,,即②错误,④正

确;,,所以直线平面,即③正确;所以正确结论的序号为①③④.

11.

【解析】本题考查正弦定理,诱导公式,和角公式.由正弦定理得,即==,所以

,所以,即,所以角.

12.1

【解析】本题考查直线与圆的位置关系.画出图形,,半径;因为

,所以,即,所以三角形为等边三角形,则垂直平分,所以的横坐标为.

【备注】体会数形结合思想.

13.

【解析】本题考查数列.因为,所以或;而,且各项均为正数,所以;

14.2

【解析】本题考查基本不等式.由题意得=;当时,原式=(当且仅当时等号成立);当时,原式=,而=,即,所以原式;即

恒成立,即的最小值是2. 【备注】体会分类讨论思想.

15.(1)∵直线与直线平行，∴，

∴，经检验知，满足题意.

(2)由题意可知：，

设，则的中点为，

∵的中点在轴上，∴，

∴.

【解析】本题考查两直线的位置关系.(1)直线与直线平行，∴

，∴.(2)设，而的中点在轴上，∴，∴.

16.(1)∵,

由正弦定理：,

∴,

∵,由正弦定理：，∴，

∴.

(2)由得：，

∵，∴或.

当时，∵，∴，此时，舍去，∴，

由(1)可知：，又∵，∴，

∴，∴或(舍)

所以.

【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式.(1),由正弦定理得,∵,由正弦定理，∴，∴.(2)由得，即,由余弦定理得,所以

.

17.(1)证明：∵点，分别为，的中点，∴;

又∵平面，平面，

∴直线平面.

(2)证明：∵，点为中点，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，，

∴平面,

∵平面，∴，