江苏省泰州市高一数学下学期期末考试试卷(含解析)

江苏省泰州市2015-2016学年高一下学期期末考试数学
一、填空题：共14题
1．已知，，则直线的斜率为．
2．在公差为的等差数列中，若，则= ．
3．若Δ满足：，，，则边的长度为．
4．已知，且，则的值是．
5．如图，在直三棱柱中，，，，，则四棱锥的体积为.
6．在平面直角坐标系中，直线和直线互相垂直，则实数的值是．
7．已知正实数满足，则的最大值是．
8．在平面直角坐标系中，，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是．
9．已知实数满足：，，则的最小值是．
10．如图，对于正方体，给出下列四个结论：
①直线平面②直线直线
③直线平面④直线直线
其中正确结论的序号为.
11．在Δ中，角，，的对边分别为，，，已知，则角的值是．
12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若过点
的直线与圆交于两点(其中点在第二象限)，且，则点的横坐标为．
13．已知各项均为正数的数列满足，且，则的最大值是．
14．如图，边长为)的正方形被剖分为个矩形，这些矩形的面积如图所示，则的最小值是．
二、解答题：共6题
15．在平面直角坐标系中，直线.
(1)若直线与直线平行，求实数的值；
(2)若，，点在直线上，已知的中点在轴上，求点的坐标.
16．在中，角、、的对边分别为、、)，已知
．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的面积．
17．如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，分别为，的中点．
求证：(1)直线平面；
(2)平面平面．
18．如图，某隧道的截面图由矩形和抛物线型拱顶组成(为拱顶的最高点)，以所在直线为轴，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，已知拱顶的方程为．
(1)求的值；
(2)现欲在拱顶上某点处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点对隧道底的张角最大，求此时点到的距离．
19．在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于，两点，设直线的方程为．
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)已知直线与圆相交于，两点．
(ⅰ)若，求实数的取值范围；
(ⅱ)直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，
，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．已知数列的首项，前项和为.数列是公差为的等差数列.
(1)求的值；
(2)数列满足：，其中.
(ⅰ)若，求数列的前项的和，；
(ⅱ)当时，对所有的正整数，都有，证明：.
参考答案
1.1
【解析】本题考查直线的斜率.由题意得直线的斜率.
【备注】.
2.7
【解析】本题考查等差数列.由题意得==1+6=7.
【备注】等差数列中.
3.
【解析】本题考查正弦定理.由题意得;由正弦定理得,又,解得.
【备注】正弦定理：.
4.
【解析】本题考查差角公式.===.
5.24
【解析】本题考查空间几何体的体积.因为,所以;而
为直三棱柱,所以平面;即为四棱锥的高,所以四棱锥的体积.
6.
【解析】本题考查两直线的位置关系.由题意得,解得.
7.2
【解析】本题考查基本不等式.由题意得,即(当且仅当时等号成立).即的最大值是2.
8.
【解析】本题考查一元二次不等式.由题意得两点在直线两侧,即
,即,解得或;即实数的取值范围是.
9.-2
【解析】本题考查不等关系与不等式.由题意得,;而=+,所以,即,即的最小值是-2.
10.①③④
【解析】本题考查线面平行与垂直.直线,所以直线平面,即①正确;直线平面,所以,,即②错误,④正
确;,,所以直线平面,即③正确;所以正确结论的序号为①③④.
11.
【解析】本题考查正弦定理,诱导公式,和角公式.由正弦定理得,即==,所以
,所以,即,所以角.
12.1
【解析】本题考查直线与圆的位置关系.画出图形,,半径;因为
,所以,即,所以三角形为等边三角形,则垂直平分,所以的横坐标为.
【备注】体会数形结合思想.
13.
【解析】本题考查数列.因为,所以或;而,且各项均为正数,所以;
14.2
【解析】本题考查基本不等式.由题意得=;当时,原式=(当且仅当时等号成立);当时,原式=,而=,即,所以原式;即
恒成立,即的最小值是2. 【备注】体会分类讨论思想.
15.(1)∵直线与直线平行，∴，
∴，经检验知，满足题意.
(2)由题意可知：，
设，则的中点为，
∵的中点在轴上，∴，
∴.
【解析】本题考查两直线的位置关系.(1)直线与直线平行，∴
，∴.(2)设，而的中点在轴上，∴，∴.
16.(1)∵,
由正弦定理：,
∴,
∵,由正弦定理：，∴，
∴.
(2)由得：，
∵，∴或.
当时，∵，∴，此时，舍去，∴，
由(1)可知：，又∵，∴，
∴，∴或(舍)
所以.
【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式.(1),由正弦定理得,∵,由正弦定理，∴，∴.(2)由得，即,由余弦定理得,所以
.
17.(1)证明：∵点，分别为，的中点，∴;
又∵平面，平面，
∴直线平面.
(2)证明：∵，点为中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面,
∵平面，∴，
由(1)可知：，∵，∴，
∵，，，在平面内，∴平面, ∵平面，∴平面平面.
【解析】本题考查线面平行与垂直.(1),∴直线平面
.(2),，∴平面,∴平面平面.
18.(1)由题意：，，∴，
∴.
(2)(法1)设，，过作于，
设，则，
∴
,
∵，∴当且仅当时最大，即最大．
答：位置对隧道底的张角最大时到的距离为米.
(法2)设，，∴，
∴，∴,
∵，∴,
∴, ∵，∴当且仅当时最大，即最大.
答：位置对隧道底的张角最大时到的距离为米.
【解析】本题考查二倍角公式,解三角形的应用,基本不等式. (1)由题意得
，∴.(2)求得
，∴,当时到的距离为米.
19.(1)由题意，，∴圆心到直线的距离，
∵直线与圆相切，∴，∴，
∴直线.
(2)解：由题意得：，∴,
由(1)可知：，∴，
∴.
(3)证明：，与圆联立，
得：，∴，，∴，同理可得：，
∵，∴，即，∵，∴，设，
∴,∴，∴，即，
∴,∴，
∴存在常数，使得恒成立．
【解析】本题考查直线的方程,直线与圆的位置关系.(1)∵直线与圆相切，∴
，求得，∴直线.(2)由题意得
，解得.(3)联立方程得:存在常数，使得恒成立．
20.(1)由题意，，∴，
当时，，
当时，上式也成立，∴，，
∵,∴.
(2)(ⅰ)由题意：，
当时，，，
，
∴，
，
∴，
∴前项的和
++⋯+=
=.
(ⅱ)证明：由题意得：，
令，，∴，
∴
，
∴，
∵,，
∴
，
∴，，
①当为偶数时，，
∵，，∴，②当为奇数时，，
∵，，∴，
综上：，即.
【解析】本题考查等差数列,数列的通项与求和.(1)由题意得，∴
.(2)(ⅰ)++⋯+
==.(ⅱ)令，，∴，
，∵，∴，分类讨论得，即.。