大学物理课件功和能概要
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大学物理第3节 功与能 动能定理
结论：
r21
dr21
r1 r1
r21
r2
r21
r2
0 0
1）一对力的功与参考系无关。可以选择其中一个物体为 参考系。
2）若两个质点间没有相对运动或相对运动方向与作用力 方向垂直，则一对力的功为零。
§4-2 动能定理
本节内容：
4-2-1 质点的动能定理 4-2-2 质点系的动能定理
4-2-1 质点动能定理
只有一个质点时,合力的功等于各分力功的代数和。
5）在直角坐标系下功的计算：
dA (Fxi Fy j Fzk) (dxi dyj dzk)
dA Fxdx Fydy Fzdz
功率
P
dA
F dr
F v
dt dt
例：质量为0.1kg的r 质(5点/ ，3)t由3i静 2止j开始沿曲线
r
(5
/
3)t
3i
2
j
(SI)运动，在t=0到t=2s时间内，计算作用在该质 点上的合外力所做的功。
解：
方法2: 计算合外力的功可以用质点的 动能定理：
5t 2i
A
1 2
mb2
1 2
ma2
20J
4-2-2 质点系动能定理
两质 点系统m1, m2，外力 F1, F2
F1
F2
f12 , f21内力(一对力)
★功和动能与参考系的选择有关，但动能定理的形式都 相同。
S1，S2
路径
对质点1：
F1
dr1
f12
dr1
Ek1
f12 m1
s11
f21
m2
s2
对质点2： F2 dr2 f21 dr2 Ek2
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
功和能知识点总结PPT
功和能知识点总结PPT一、功的概念及公式1.1 功的概念功是描述力对物体作用的效果的物理量，是衡量力的作用效果的大小。
当力使物体发生位移时，我们就说力对物体做了功。
1.2 功的公式在恒力作用下，物体在沿着力方向位移s的过程中所做的功W可以用下面的公式表示：\[ W = F \cdot s \cdot \cos\theta \]其中，F为作用力的大小，s为物体的位移，\(\theta\)为作用力与位移方向夹角的余弦值。
二、能的概念及分类2.1 能的概念能是物体由于自身的性质或者受到外力的作用而具有的做功能力，是物体的一种属性，是描写物体在某一过程中所具有的状态的物理量。
2.2 能的分类根据能量的形式和来源，能可以分为以下两类：（1）动能：物体由于运动而具有的能量。
（2）势能：物体由于位置关系而具有的能量。
三、能的转化和守恒3.1 能的转化在自然界和人类社会中，能的形式经常发生转化。
动能可以转化为势能，势能也可以转化为动能，而且能够相互转化。
3.2 能的守恒能量守恒定律是自然界中最基本的规律之一。
它表明在一个封闭系统中，系统内所有能量的代数和始终保持不变。
四、功率概念及计算4.1 功率的概念功率是描述力的作用速度的物理量，是衡量单位时间内所做功的大小。
公式如下：\[ P = \frac{W}{t} \]其中，P为功率，W为作用力在时间t内所做的功。
4.2 功率的计算在恒力作用下，力F对物体做功的功率可以用下面的公式表示：\[ P = F \cdot \cos\theta \cdot v \]其中，F为作用力的大小，v为物体的速度，\(\theta\)为作用力与速度方向夹角的余弦值。
五、应用实例5.1 计算功的应用在机械工程中，我们经常需要计算物体在受力作用下做的功，以便评估机械的性能。
5.2 能的转化应用在能源领域，我们需要掌握能量的转化原理，以便合理利用能源资源，减少能源消耗。
5.3 功率的应用在电气工程中，我们需要计算电路中的功率，以便设计安全可靠的电器设备。
大学物理课件 功和能
第三章
重点:
功和能
变力做功(重点掌握ppt第3、7、21、 23页中的题型) 保守力既保守力做功
动能定理 功能原理 机械能守恒
3.1 功
1 恒力的功
设F表示作用于某一物体上的恒力,s表示物体的位移,θ 为力与位移之间的夹角。则恒力对物体的功为
W=F s cosθ
或
F θ
s
W FS
外力功 内力功
m1
m2
i Fi
e Fi
mi
对质点系，有
i
Wie
i
Wii
E E
ki i i
ki 0
Ek Ek 0
质点系动能定理 注意
W e W i Ek Ek 0
内力可以改变质点系的动能
3、质点系的功能原理
质点系动能定理
W e W i Ek Ek 0
2
变力做功
ds
P
dr
F
微元分析法：
B
取微元过程
r
A
r
o
以直代曲
以恒代变
再求和
元功：
dW F dr F dr cos
F cosds
直角坐标系：
dr dxi dyj dzk dW F dr Fx dx Fy dy Fz dz
m' m F G 2 r
3） 万有引力作功
m 由 A 点移动到 B点时 F 作功为 W F dr F dr cos
A m r (t) dr m' r (t dt )
O
B
F dr F dr cos F dr ( cos( ))
重点:
功和能
变力做功(重点掌握ppt第3、7、21、 23页中的题型) 保守力既保守力做功
动能定理 功能原理 机械能守恒
3.1 功
1 恒力的功
设F表示作用于某一物体上的恒力,s表示物体的位移,θ 为力与位移之间的夹角。则恒力对物体的功为
W=F s cosθ
或
F θ
s
W FS
外力功 内力功
m1
m2
i Fi
e Fi
mi
对质点系，有
i
Wie
i
Wii
E E
ki i i
ki 0
Ek Ek 0
质点系动能定理 注意
W e W i Ek Ek 0
内力可以改变质点系的动能
3、质点系的功能原理
质点系动能定理
W e W i Ek Ek 0
2
变力做功
ds
P
dr
F
微元分析法：
B
取微元过程
r
A
r
o
以直代曲
以恒代变
再求和
元功：
dW F dr F dr cos
F cosds
直角坐标系：
dr dxi dyj dzk dW F dr Fx dx Fy dy Fz dz
m' m F G 2 r
3） 万有引力作功
m 由 A 点移动到 B点时 F 作功为 W F dr F dr cos
A m r (t) dr m' r (t dt )
O
B
F dr F dr cos F dr ( cos( ))
大学物理功和能课件讲义
解: 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
Af E2 E1
E2 E1 mgh
Af mg cos s' mgs mg(s's)
mg(s's) mgh
代入已知数据有 s h s' 500m
例4.5 一半径为 R的四分之一圆弧垂直固定于地面上，
止，距离为a. 在万有引力作用下,
两者距离变为b. 在此过程中,万有引
力做的功A=.
解： A Epa Epb
( Gm2 ) ( Gm2 )
a
b
Gm2 (a b)
ab
[思考]两者距离为b时的速率？
[例4-8] 质量为m的质点在指向圆心的力
F=k/r2 的作用下，作半径为r的
圆周运动，若取Ep=0，则系统的机
2. 力学中常见的势能函数
(1) 万有引力势能
由
Aab
(
Gm1m2 ra
) (
Gm1m2 rb
)
=
EPa－EPb
以r→∞时为万有引力势能零点，即令 EPy 0
由任一状态势能值的定义,可得 两物体相距r时的万有引力势能
EP引
EP引
Gm1m2 dr Gm1m2
r
r2
r
O
r
E
P引
G m1m 2 r
一、保守力的定义
1.万有引力的功 —与路径无关 rb
dr
dA以MF处G Md为rm原点rG，Mr2m
r0
dr
r2
dr r
M
r
ra m
(r0
r） r
GMm
r 2 dr
rb
A
rb
ra
大学物理-力学中的功和能1
1.5 功和能（Work and Energy)
§1 功 Work
一、功的概念
功的两要素
力 在力的方向上的位移
二、恒力的功
v
W W
= F ∆rv cosθ
= Fv ⋅ ∆rv
=
Fr
∆rv
讨论： 功是标量，但有正负
Fn
F
θ
∆rv
Fr
0≤θ
<
π 2
,W
>0
π 2
<
θ
≤
π,
W
<0
θ
=
π 2
,W
=0
三、变力的功
元功
dW
=
v F
⋅ drv
b
质点从 a → b 的功 A
W=
b
∫
Fv
⋅
drv
=
b
∫
F
drv
cosθ
b
= ∫ F cosθ ds
a( L)
a( L)
a( L)
drv θ
v F
a (L)
直角坐标系中
v F
=
v Fxi
+
F
y
v j
+
v Fz k
drv = dxiv + dyvj + dzkv
∫ ( ) ∫ W =
Fydy)
=
2 x2 ydx +
x1
y24dy
y1
∫ ∫ =
3 −2
1 2
(
x
+
6)d
x
+
9 4 4dy
1
＝ 21.25 J
§1 功 Work
一、功的概念
功的两要素
力 在力的方向上的位移
二、恒力的功
v
W W
= F ∆rv cosθ
= Fv ⋅ ∆rv
=
Fr
∆rv
讨论： 功是标量，但有正负
Fn
F
θ
∆rv
Fr
0≤θ
<
π 2
,W
>0
π 2
<
θ
≤
π,
W
<0
θ
=
π 2
,W
=0
三、变力的功
元功
dW
=
v F
⋅ drv
b
质点从 a → b 的功 A
W=
b
∫
Fv
⋅
drv
=
b
∫
F
drv
cosθ
b
= ∫ F cosθ ds
a( L)
a( L)
a( L)
drv θ
v F
a (L)
直角坐标系中
v F
=
v Fxi
+
F
y
v j
+
v Fz k
drv = dxiv + dyvj + dzkv
∫ ( ) ∫ W =
Fydy)
=
2 x2 ydx +
x1
y24dy
y1
∫ ∫ =
3 −2
1 2
(
x
+
6)d
x
+
9 4 4dy
1
＝ 21.25 J
功和能课件pptx
能源运输安全
02
能源的运输需要安全的运输路线和运输方式，如果运输过程中
出现意外或被中断，就会对国家的能源供应造成影响。
能源使用安全
03
能源的使用需要安全的使用方式和安全的使用设施，如果使用
不当或设施老化，就会导致能源事故的发生。
THANK YOU.
生态破坏
大规模的能源开发和利用，特别是核能和水电，会对生 态环境造成破坏和影响。
发展可再生能源的必要性
可持续发展
可再生能源如太阳能、风能、水能等，具有清洁、可再生的特点 ，能够减少对环境的污染和破坏，是实现可持续发展的重要途径 之一。
能源安全
发展可再生能源可以减少对进口能源的依赖，提高国家的能源安 全性。
03
能的概念和分类
能的概念
能是物体做功的能力，是物体 由于运动或受到压力而具有的 能量。
能是标量，只有大小没有方向 。
能是一个相对量，其大小与参 考系的选择有关。
能的分类
1 2
动能
物体由于运动而具有的能。与物体的质量和速 度的平方成正比。
势能
物体由于相对位置或状态而具有的能。例如重 力势能、弹性势能等。
常见的能量转化形式
例如机械能转化为热能、电能转化为机械能、化学能转化为热能等。
能量转化的特点
能量转化是有方向性的，只能从一种形式转化为另一种形式，而不能凭空产生或消失。
能量守恒定律
定义
能量守恒定律是指在一个封闭系 统中，系统的总能量保持不变。
能量守恒定律的表述
能量既不能凭空产生，也不能凭 空消失，它只能从一种形式转化 为另一种形式，或者从一个物体 传递给另一个物体，在转化和转 移的过程中其总量不变。
05
大学物理上功与能pptx
1
单摆运动
单摆运动过程中，重力势能转化为动能，动能又 转化为重力势能，但总的机械能保持不变。
2 3
弹簧振子
弹簧振子在振动过程中，弹性势能转化为动能， 动能又转化为弹性势能，但总的机械能保持不变 。
自由落体运动
自由落体运动中，物体只受重力作用，重力势能 转化为动能，但总的机械能保持不变。
2024/1/25
2024/1/25
11
机械能守恒定律表述及条件
01
机械能守恒定律的表述：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能 与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
02
机械能守恒的条件
03
系统只受重力或弹力作用；
2024/1/25
04
物体间只有动能和势能的相互转化，无其他形式的能量转化。
12
机械能守恒定律在简单系统中的应用
VS
内能变化原因
在绝热过程中，如果气体膨胀对外做功， 则内能减小；如果气体被压缩外界对气体 做功，则内能增加。
2024/1/25
18
05 热力学第二定律 与熵增加原理
2024/1/25
19
热力学第二定律表述及意义
克劳修斯表述
热量不能自发地从低温物体传到高温物体。
开尔文表述
不可能从单一热源吸热，使之完全变为有用 功而不产生其他影响。
22
卡诺循环与热机效率分析
2024/1/25
01 02 03 04
热机效率分析
热机效率定义为输出的有用功与输入的热量的比值。
对于卡诺热机，其效率只与高温热源和低温热源的温度有关，而与工 作物质无关。
提高热机效率的途径包括提高高温热源的温度和降低低温热源的温度 。
第3章功和能ppt课件-精品文档
Ad F d r F c o sd r A
b b a a
r
r dr
O
a
直角坐标系： d A F d r F d x F d y F d z x y z
A d x d y d z x y z F F F
x a y a z a x b y b z b
P 1 z 1
P 2
z 2
重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重 力作正功，质点上升时重力作负功。
3 万有引力的功。 m1 在m2的引力场沿其椭圆轨道由ra移到r b 。求 m 1 dr e 引力对m1 所作的功。 a F r m m 1 2 解： F G e dr d 0 r r r d r 2 c a r m 2 rb b m m
第3章 功和能
§3.1 功 保守力
一、功（work） 1、外力对质点的功 恒力的功 力对空间的积累
？
Fn
AF F cos r tr
F r
F Ft
r
元功：
d A F d rF d r c o s
M
b 所作的功∶ 由 a
M
d r
L
b
F
1 1 AG ( ) 0Mm r r b a
2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。
证明： F d r F d r F d r L ACB BDA C F d r F d r
ADB BDA
B
D
A
F d r F d r 0
v
L2
大学物理课件 第3章 功和能
B
sin tj
式中A、B 、ω都是正的常数。则力在t1=0到
t2=π/（2ω）这段时间内所作的功为
(A)
1 2
m
2
A2 B2
（B） m 2 A2 B 2
(C) (D)
1 m 2 A2 B2
2
1 m 2 B2 A2
2
4．如图所示，一质点在几个力的作用下，沿
半径为R的圆周运动，其中一个 力是恒力
mgmax
1 2
k2max
0
故
m a x
2
mg k
如果将重物缓慢放下，使物体达到静平衡，
这时所引起的弹簧压缩量设为 ，则st 有
kst mg
st
mg k
3.4 势能 机械能守恒定律
一、保守力 （做功只与物体的始末位置有关,与路径无关 ）
b
b
F dr F dr
a (L1)
a (L2 )
a
L1
第一部分 力学
第3章 功和能
第3章 功和能
3.1 功 3.2 几种常见力的功 3.3 动能定理 3.4 势能 机械能守恒定律
3.1 功
力的空 间累积： F 对 r 积累 A
一、功
1. 恒力作用下的功
F
A
F
cos
r
F
r
位移无限小时， dA
F
cos
dr
r
F dr
— 元功
2. 变力的功
Za
mg(za
zb
)
x
结论: 重力的功只与始、末位置有关,而与质
点路径无关。
二、万有引力的功
万有引力 A rb
F G
大学物理1.5-功与能-PPT文档资料
h1 h1
h2
h2
四. 合力的功
AAB A F dr F1 F2 ... FN dr B B B A F1 dr A F2 dr ... A F dr
B
A1 AB A2 AB ... ANAB
ri
mg i
解： dA F dr mg d r cos d r cos dh
b h2
h1
dA m gdh
A dA mgdh
b a
h2 h1
mg h1 h2
与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的 起﹑末位置，与中间过程无关。
0
由此式可见，弹力的功只与小球的初末位置有关，而 与移动的中间过程无关，例如若先将 m 从 x1 点向右拉 伸，然后再压缩至x2点，弹力的功仍为上式。
三﹑质点沿曲线运动时变力的功
元功
B
Ai Fi ri
Ai Fi ri cos i
AAB lim
r 0 i
解： F mg y ˆ ˆ dyy ˆ d r dxx
A F dr
r1 r2
h
a
ri
mg i b h2
h1
ˆ (dxx ˆ dyy ˆ) mg y
r1
r2
ˆ dyy ˆ mg dy mg ( h1 h2) mg y
F（xi） i
x x1 x1 ... x i ... x n
Ai F ( x i )x i cos i f x ( x i )x i
x1
h2
h2
四. 合力的功
AAB A F dr F1 F2 ... FN dr B B B A F1 dr A F2 dr ... A F dr
B
A1 AB A2 AB ... ANAB
ri
mg i
解： dA F dr mg d r cos d r cos dh
b h2
h1
dA m gdh
A dA mgdh
b a
h2 h1
mg h1 h2
与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的 起﹑末位置，与中间过程无关。
0
由此式可见，弹力的功只与小球的初末位置有关，而 与移动的中间过程无关，例如若先将 m 从 x1 点向右拉 伸，然后再压缩至x2点，弹力的功仍为上式。
三﹑质点沿曲线运动时变力的功
元功
B
Ai Fi ri
Ai Fi ri cos i
AAB lim
r 0 i
解： F mg y ˆ ˆ dyy ˆ d r dxx
A F dr
r1 r2
h
a
ri
mg i b h2
h1
ˆ (dxx ˆ dyy ˆ) mg y
r1
r2
ˆ dyy ˆ mg dy mg ( h1 h2) mg y
F（xi） i
x x1 x1 ... x i ... x n
Ai F ( x i )x i cos i f x ( x i )x i
x1
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x0
____________。
O
（2）以平衡位置O处为弹性势能和重力势能零点
x
，则在弹簧原长O'处的重力势能、弹性势能和总势
能各为____________、_____________、
____________
功能原理、动能定理、机械能守恒律举例
例1、一劲度为k的弹簧,一端与质量为M 的水平 板相连，另一端与地面上质量为m0 的物体相连， 质量为m的泥球自板上高H 处自由下落到板上。 要使弹簧在压缩后反弹时，恰能将地面上的物 体提起来。求：泥球下落的高度 H ？
能量守恒 （功和能）
求功举例
例1 到 rr
一质r点在r 力Frr 3i 4 j 5k
rr 7i 6 j
作用下由原点运动
。求：该力所做的功。
解：A (Fxdx Fydy Fzdz)
3
4
0 7dx 0 6dy 0 45J
例2 从10m深的井中提水,桶的质量为1kg，开始 时桶中装有10kg的水；由于水桶漏水，每升高 1m要漏去0.2kg的水。求：将桶匀速地提到井 口，人所做的功。
l
pdx
a
l mg xdx mg(l2 a2 )
al
2l
由质点的动能定理
Ap
Af
1 2
mv2
1 2
mv02
解得: v
g l
(l 2
a2)
(l
a)2
l-a a
或由质点系的功能原理
Af
mg
l
1
mv
2
a
mg
2 2 l
a
2
解：由于桶匀速运动，人所做的功即拉力克服 重力所做的功
A
r F
drr
10
(11 0.2h)gdh
0
100g 980J
例3质点在力
r F
2
r yi
3xrj作用下沿图示路径运动。
则：力
r F
在路径oa上的功Aoa=
，在路径ab上
的功Aab= ， 在路径ob上的功Aob=
= ∫mgdh+μmgdl= mgh0+μmgl0
势能举例
如图所示，一弹簧竖直悬挂在天花板上，下端系
一个质量为m的重物，在O点处平衡，设x0为重物 在平衡位置时弹簧的伸长量。
（1） 以弹簧原长O' 处为弹性势能和重力势能零
O'
点，则在平衡位置O处的重力势能、弹性势能和总
势能各为____________、_____________、
1 kx2 (m M )gx 2
联立解得：H
g 2m2k
M
m
M
m0
M
2m
m0
例2、一链条总长为l ，质量为m，放在桌面上， 并使其下垂，下垂一端的长度为a，设链条与桌
面之间的滑动摩擦系数为μ，令链条由静止开始
运动，求：（1）到链条离开桌面的过程中，摩 擦力对链条作了多少功？（2）链条离开桌面时 的速率是多少？
y
，c
b(3,2)
在路径ocbo上的功Aocbo= 。
o
ax
r rr r r
y c
b(3,2)
F 2yi 3xj Fxi Fy j
力 Fr 在路径oa上的功
o
a
x
Aoa
a
r F
drr
o
ar r 2xj dxi 0
o
在路径ab上的功
或：Aoa
b
a Fxdx Fydy 0
解得: v
g l
(l 2
a2
)
(l
a)2
Aocbo
c
r F
drr
o
c
r F
drr
b
o
r F
drr
3J
b
例4.用力F将物体匀速率拉上山坡,沿途各处力F
的方向均沿山坡切向.物体与地面间的摩擦系数
为μ.求将物体由山坡底部拉至顶部,力F做的功
N
F
mF
h0
f
ds dh
dl
l0
mg
A=∫Fds= ∫(mgsinα+μ mgcosα)ds
l-a
a
l-x
解：（1）设某一时刻垂在桌面
下的链条长度为x, 留在桌面上的
x 链条受到的摩擦力为
f mg (l x) l
作功为
Af
l
( f )dx
a
l mg (l x)dx mg (l a)2为对象，下落过程中重力也作功
Ap
m
M
k
m0
解：泥球自由下落到板上 v 2gH
m
泥球与板动量守恒 mv (m M )u
O x0
k
x
H
M
m0
取弹簧原长位置为零势能点,泥球、
板与弹簧组成的系统机械能守恒。
初状态时，弹簧被压缩
x0
Mg k
末状态弹簧伸长 x m0g
k
1 2
kx02
1 2
(m
M
)u
2
(m
M
)
gx0
b
2
Aab
a Fxdx Fydy 0
9dy 18J
0
y
在路径ob上的功 y / x 2 / 3
c
b(3,2)
b
Aob o Fxdx Fydy
b
b
o 2 ydx o 3xdy
o
ax
2 2 y 3 dy
32 3x dx
15J
02
03
在路径ocbo上的功