1.2+空间向量基本定理(教学设计)-人教A版高中数学选择性必修第一册(wd无答案)
人教A版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理
B.2个
C.3个
D.4个
解析:如图所示,令 a=,b=1 ,c=,
则 x=1 ,y=1 ,
z=,a+b+c=1 .
由于 A,B1,C,D1 四点不共面,可知向量 x,y,z 也不共面,
同理 b,c,z 和 x,y,a+b+c 也不共面,故选 C.
讲
课
人
：
邢
启
强
9
做一做
3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3
1
2
2
2
解析:因为 = + = + ( + 1 )= + + 1 ,
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
2
2
所以 m= ,n=- .
15
达标练习
3.下列说法正确的是( C )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
2
2
2
2
2
2
1
1
1
42 42 cos 60 4 5 cos 60
2
2
2
1
1
1
42 cos 60 42 4 5 cos 60 =0
2
2
2
所以MN AC1.
13
典型讲评
例3如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为
1.2-空间向量基本定理-教案-2023学年高二年级数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.2 空间向量基本定理1. 教学内容空间向量基本定理及其相关概念（基底、基向量、单位正交基、正交分解）和定理的简单应用.2. 教学目标（1）通思考现实情境问题，学生能借助实物图形进行联想，感受引入空间向量基本定理的必要性，发展学生的数学抽象和直观想像素养.（2）通过学生对教师提出的问题的思考、讨论等活动，能提高学生解决问题的能力和数学表达、交流的能力，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.（3）通过实例，能加深学生对空间向量基本定理的理解，发展学生的数学运算素养.3. 教学重点与难点教学重点：空间向量基本定理的理解及简单应用.教学难点：空间向量基本定理的证明思路的发现，基底的恰当选择.4. 教学过程设计：引导语：同学们好！前面我们学习了空间向量的概念及其表示（可以用一条有向线段来表示），空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算.知道任意两个共线的空间向量a →，b →(b →≠0→)的充要条件是a →=λb →;也知道，如选任意两个不共线的向量a→，b→作为基底(我们常常选择两个互相垂直的单位向量作为基底)，则可以利用平面向量的基本定理，所有与之共面的任意一个向量p →都可以用这个基底唯一地示出来：p→=x a →+y b→.这为向量的运算化归为数的运算奠定了基础，这也是平面向量最数学化的表示方法.同时我们也知道任意两个空间向量是共面的，任意三个向量空间向量不一定是不共面的.例如，在我们的教室中，我们若选定地面上的任意两个位置A ，B ，可以得到从墙角处为起点，以A,B 为终点的两个向量，它们可以表示地面上的任意一个位置，但是，它们还可以表示天花板上某盏灯的位置（也就是从墙角出发到等处的向量）吗？平面内的任意一个向量p →都可以用两个不共线的向量a →,b→表示（平面向量基本定理），这样，同一平面上所有的向量的位置关系和数量关系的研究就可以转化为对有限的两个不共线的向量的关系的研究。
类似地，前面我们学习了空间向量，知道任意一个空间向量可以用一条有向线段来表示，但是这并不是空间向量最数学化的表示方式，为了研究空间中的所有向量的位置关系和数量关系，能否把它们也转化成有限的少数几个向量的关系来研究呢？由此，你想要提出什么问题来进行研究？我们能否利用类比的思想，也用较少的几个向量去表示空间中的所有向量呢？这节课我们就来研究一下这个问题.问题1 在平面向量的学习中，我们知道利用平面向量基本定理可以确定空间中一个点的位置.那么在空间向量的学习中，如何确定空间中一个点的位置呢？例如，在我军近期在台海的军演中出动了很多战机，你如何确定空中一架战机的位置呢？师生活动：学生分组讨论后自由发表意见，教师追问：如果在地面上选定三个地点，以其中一个地点为起点，另两个地点和战机所处的位置为终点，得到三个向量，战机所处的位置对应的向量能用地面的两个向量表示吗？设计意图：让学生引起认知冲突，感受引入空间向量基本定理的必要性.同时，也让学生熟悉在空间中利用空间向量的自由性如何做出一个向量等于一个已知向量.问题2 空间中的任意一个非零向量a→可以表示空间中的所有向量吗？任意两个不共线的向量呢？师生活动：学生独立思考后自由发表意见，教师就学生的意见点评纠错.教师可以在此穿插复习共线向量的充要条件和向量加法的三角形法则、共面向量以及平行四边形法则和平面向量基本定理.(1) 空间向量共线:对于任意两个空间向量a →，b →(b →≠0→),a →//b→⟺ 存在实数λ ，使 a →=λb→ (2) 平面向量基本定理：如果两个向量a →，b →不共线，那么向量p →与向量a →，b→共面⟺ 存在唯一的有序数对(x,y ) ，使 p →=x a →+y b→.师生明确：任意一个空间向量不能用两个不共线的向量来表示.任意两个不共线的向量只能表示与之共面得得向量（空间两个不共线向量的充要条件或反证法）.教师随后增加以下追问： baa b N p A CB O AM B追问1：在长方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇中，我们可以选定底面矩形ABCD 中两个互相垂直的向量DA,→ DC → 作为基底来表示向量ＤB ＇→ 吗？为什么？ 追问2：空间中至少需要多少个向量才能用来表示空间中的所有向量呢？你有什么猜想？追问3 :共面的任意三个向量可以表示空间中的所有向量吗？为什么？追问4： 既然共面的任意三个向量不可以表示空间中的所有向量，那么任意三个不共面的向量可以表示空间中的所有向量吗？我们研究一个未知的问题，往往是从特殊的情形着手开始研究，你认为三个不共面的向量最特殊的情形是什么？师生活动：学生独立思考后自由发表意见，教师就学生的意见点评纠错.对于追问1，由学生观察向量DB′→ 与底面不在同一个平面内，不能利用共面定理,反之，如能用底面的两个不共线的向量表示，则共面.由追问2，学生可以猜测应该要三个向量才可能表示空间中所有的向量.通过追问3,学生观察图2，共同明确：共面的任意三个向量（即使两两不共线）也只能表示与之共面的向量，不可以表示与之不共面的任意一个空间向量..设计意图：通过层层递进的几个追问，使学生体验到空间向量与平面向量的联系与区别，“为什么在空间中必须要有三个向量才可能表示空间所有的向量”，使学生积累基本的活动经验，由追问4，引出空间向量基本定理的特殊情形,并引出下一个问题.问题3 任意三个互相垂直的向量可以表示空间中的所有向量吗？为什么？师生活动：学生分小组讨论交流，自由发表意见.然后教师利用以下追问引导学生思考：追问1：假设空间向量ＤB ＇→ 是作用于点D 的一个力，从力的作用效果的角度我们可以将它进行力的正交分解，分解为水平和竖直两个方向上的分力，也就是向量ＤB → 和ＤD ＇→ 的方向.由此可以启发你怎样将向量ＤB ＇→ 分解吗？ 图2图1A B A'B'D'C'DC追问2 ：我们知道向量的投影可以把空间向量的问题转化为平面向量的问题，怎样才能把不与底面平行的向量ＤB ＇→ 转化为与底面平行的向量呢？转化的关键是什么？你有什么猜想？追问3：你可以选择三个两两垂直的向量来表示空间向量ＤB ＇→ 吗？如果我们选用DA → ,DC → ,ＤD ＇→ ,你能用它们来表示空间向量ＤB ＇→ ，更进一步地去表示空间中的任意一个向量吗？追问4 如果我们选用DA → ,DC → ,ＤD ＇→ 来表示空间中的任意一个向量时，你是如何让思考的？任意一个空间宪向量如何表示？它与已知的三个向量会存在哪几种位置关系？可以转化为已知的问题吗？可以用平面向量基本定理吗？学生有困难时，教师引导学生观察，注意到ＤB ＇与ＤD ＇是共面的，故可以用平面向量基本定理，而ＤB ＇与ＤD ＇所确定的平面与另两向量DA → ,DC→ 所确定的平面由于有一个交点D,从而有一条过该点D 的直线，这条直线同时在两个平面内，所以非常关键，它是联系ＤD ＇与DA → ,DC→ 的纽带，然学生思考，如何转化才能用到旧知：平面向量基本定理。
数学人教A版选择性必修第一册1.2空间向量基本定理课件
A．a－21b＋12c
B．－a＋12b＋21c
C．12a－b＋12c
D．－12a＋b＋12c
解析 B→E＝12(B→C＋B→D)＝21B→C＋12B→D＝12(A→C－A→B)＋12(A→D－A→B)＝－a
＋12b＋12c.
用基底表示向量(分解向量)的步骤： 定基底→找目标→下结论
例 1.如图 ，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中 ，AB 4 ，AD 4 ，AA1 5 ，
A．a 与 b 共线
B．a 与 b 同向
C．a 与 b 反向
D．a 与 b 共面
(2)设 a，b，c 是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c 中选出一个
② 使其与 a，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．
例1 如图1.2-2，M是四面体 OABC的棱BC 的中点，点 N 在线段
间向量进行正交分解.
新知
思考
(1)构成空间的基底是唯一的吗？答案：不唯一 (2)基底选定后，空间中向量用基底表示，表示情势唯一吗？
答案：唯一 (3)基向量可以为零向量吗？
答案：不可以.因为零向量与任意一个非零向量共线,与任 意两个不共线的非零向量共面.
A (1)如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( )
（2）解：因为 CE CC CE 1 j k ，AG AD DG i 1 k ，
所以 cos CE ，AG
2 CE AG
1 2
j
k
i
1 2
k
2
.
2
| CE | | AG | 所以CE与AG所成角的余弦值为
2
.
5
5 5 22
【新教材教案】1.2 空间向量基本定理(教学设计)-人教A版高中数学选择性必修第一册
1.2 空间向量基本定理本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量基本定理。
空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．1.教学重点：理解空间向量基本定理及其证明.2.教学难点：运用空间向量基本定理解决有关问题.多媒体如图1.2-1，设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量i,j所确定的平面上的投影向量，⃗⃗⃗⃗⃗线，因此存在唯一实数z，使得QP所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，（1）用向量，，表示和．（2）若四面体OABC的所有棱长都等于1，求•的值．解：（1）＝，＝，∴＝++＝++＝+（）+（）＝﹣++，∴＝＝+＝﹣++＝++．＝＝+＝﹣++＝++．（2）＝（++）•（++）＝2+•+++2+ +++2＝++++++++＝(1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA ′―→)＝12(2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD ―→′)＝12例2.在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是DD 1,BD 的中点,点G 在棱CD 上,且CG =13CD (1)证明:EF ⊥B 1C ;(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值.思路分析选择一个空间基底,将EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用基向量表示.(1)证明EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可;(2)求EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值即可. (1)证明:设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k , 则{i ,j ,k }构成空间的一个正交基底.所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12k +12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12i +12j -12k ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-i -k , 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12i +12j -12k)·(-i -k )=-12|i |2+12|k |2=0,所以EF ⊥B 1C. (2)解:EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12j -12k ,C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k -13j , |EF⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(12i +12j -12k)2=14|i |2+14|j |2+14|k |2=3, |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,|C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-k -13j)2=|k |2+19|j |2=4+49=409,|C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√103,∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1G⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(12i+12j -12k)·(-k -13j)√3×2√103=432√303=√3015. 延伸探究：设这个正方体中线段A 1B 的中点为M ,证明:MF ∥B 1C.解:设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k , 则B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-i -k ,MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12j -12i)−(12j +12k)=-12i -12k =12(-i -k )=12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MF ∥B 1C.D 项中因为基底不唯一,所以D 错.故选C.4.在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,E 为PD 中点,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:12a -32b +12c解析: BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-b +BA⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12b +12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12b +12(a +c -2b )=12a -32b +12c . 5.若{a ,b ,c }是空间的一个基底,试判断{a +b ,b +c ,c +a }能否作为空间的一个基底.解:假设a +b ,b +c ,c +a 共面,则存在实数λ,μ,使得a +b =λ(b +c )+μ(c +a ),即a +b =μa +λb +(λ+μ)c .∵{a ,b ,c }是空间的一个基底,∴a ,b ,c 不共面.∴{1=μ,1=λ,0=λ+μ,此方程组无解. 即不存在实数λ,μ,使得a +b =λ(b +c )+μ(c +a ),∴a +b ,b +c ,c +a 不共面.故{a +b ,b +c ,c +a }能作为空间的一个基底.6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．cosa b=2=，()222212222BC a c b a c b a c a b c b=+-=++-+-=．()222123AB a b a b a b=+=++=，()(BC a b a=++1111111,623AB BCAB BCAB BC<>===⨯．异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。
空间向量基本定理(第1课时)-高中数学获奖教案
1.2.2空间向量基本定理（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行的关系.2.掌握利用空间向量基本定理中的基底法证明两直线的垂直和平行，求异面直线成角的三角函数值以及空间两点间距离.3.让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．二、教学重难点1.应用空间向量基本定理证明异面直线的垂直、两直线平行，求异面直线成角以及空间两点间距离是本节课的重点内容.2.向量的夹角运算、异面直线所成的角，以及相关向量之间的运算是本节课的难点三、教学过程1.1精简提问，温故知新问题1：上节课我们学习了空间向量基本定理，大家还记得它的内容吗？【预设的答案】如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x,y,z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b ，c都叫做基向量.问题2：在空间中如何选择基底？【预设的答案】（1）三个不共面的非零向量；（2）尽量选择已知夹角和模长的向量.【设计意图】本节课以空间向量基本定理为出发点，准确地回顾有利于课程的顺利展开.【教师总结】选定基底之后，利用空间向量基本定理可以将空间向量之间的运算转化为基向量之间的运算.问题3：我们学习过的向量之间的运算有哪些？【预设的答案】加法、减法、数量积追问：数量积的定义是什么？【预设的答案】a∙b=|a||b|cos⟨a,b⟩【教师总结】在数量积的运算中有两个经常用到的式子，a ∙a =|a |2和a ∙b =0⇔a ⊥ b .【设计意图】为本节课求空间两点间的距离，异面直线的夹角及证异面直线相互垂直做铺垫.1.2探究典例，掌握方法活动：如图，在平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝2， AA 1＝3，∠DAB ＝60°，∠BAA 1＝60 ° ，∠DAA 1＝60 ° ，M ，N 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点．（1）求证 MN ⊥AC 1 ．【活动预设】在学习立体几何的时候，如何证明两条异面直线相互垂直？【设计意图】利用几何法解答有时候比较困难，引入向量法来解决几何问题，通过具体实例，让学生体会利用“基底法”解决异面垂直的证明方法.【师生活动】教师分析解题思路，讲解如何找到合适的基底，提示相关的计算方法.学生动笔进行求解.然后教师给出规范解答过程.【活动预设】根据第一问的解题过程，能否总结出用向量法解决立体几何问题的思路？【设计意图】通过让学生自己思考，回顾解题过程，探寻用向量法解决立体几何问题的关键，使学生真正理解解答中每一步的具体含义和作用.活动：（2）求A C 1和B 1C 的长.【活动预设】如何将求A C 1和B 1C 的长转化为向量问题？【设计意图】通过具体实例，让学生体会空间向量法求解空间两点间的距离的方法，加深对用向量法解立体几何问题的理解.【师生活动】学生分析解题过程，教师根据学生的解答进行补充和评价.问题4：在立体几何的学习中，如何求两条异面直线所成角的余弦值？异面直线所成角的范围是多少？【预设的答案】利用等角定理，通过平移做出与异面直线所成角相等或互补的角，放在三角形中求解,(0,π].2【设计意图】回忆异面直线所成角的范围，为接下来用向量法求异面直线所成角的余弦值消除障碍.活动：（3）求A C1和B1C所成角的余弦值.【活动预设】（1）如何用向量表示A C1和B1C所成角的余弦值？（2）计算两向量所成角的余弦值的公式是什么？【设计意图】理解两直线所成的角与直线方向向量所成角的大小关系，以及相应的余弦值之间的关系。
高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.2空间向量基本定理教学设计
第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理1.2.1 空间向量基本定理一、教学目标1、了解掌握空间向量基本定理；2、通过类比的方式快速掌握空间向量基本定理及其应用.二、教学重点、难点重点：空间向量基本定理的理解与掌握.难点：空间向量基本定理的应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【引入问题】平面向量中，学习了平面向量基本定理？在空间向量中，是否存在相对应的定理？【复习回顾】1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+.12,e e 不共线，则称1e ,2e 为表示这一平面内所有向量的一个ABC ∆中，M 是边BC 的中点，则1()2AM AB AC =+ 布置学生阅读课本1112P P -，类比阅读中获得的结论.（二）阅读精要，研讨新知【类比转化】类比平面向量基本定理，获取空间向量基本定理.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使得p xa yb zc =++. 【基底】 若三个向量,,a b c 不共面，则{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.单位正交基底{,,}i j k 中的三个基向量两两垂直且为单位向量.a xi y j zk =++称为空间向量的正交分解.【例题研讨】阅读领悟课本12P 例1（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）例1如图1.2-2, M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上, 点P 在线段AN 上,且13,24MN ON AP AN ==，用向量,,OA OB OC 表示OP . 解：34OP OA AP OA AN =+=+3()4OA ON OA =+- 131321111()444432444OA ON OA OB OC OA OB OC =+=+⨯⨯+=++【小组互动】完成课本12P 练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1. 在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为平行四边形, AC 与BD 交于点O ,点G 为BD 上一点, 2BG GD =, ,,,PA a PB b PC c ===用基底{,,}a b c 表示向量PG =________.解：23PG PB BG PB BD =+=+2()3PB BA BC =++ 2212212()3333333PB PA PB PC PB PA PB PC a b c =+-+-=-+=-+ 答案：212333a b c -+2. （多选）如图，在四面体P ABC -中，下列说法正确的是（ ）A ．若,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，则AC PB ⊥B ．若四面体各棱长均为4，,M N 分别是,PA BC 的中点，则||2MN =C ．若在平面ABC 上存在一点D ，使1233CB CD CA =+，则2BD AB = D ．若该四面体为正四面体，则二面角PAB C 的大小为060 解：因为,,PA PB PB PC PA PC P ⊥⊥=，所以PB ⊥平面PAC ， 因为AC ⊂平面PAC ，所以PB AC ⊥，A 正确；连接,PN AN ，因为四面体各棱长均为4，,M N 分别是,PA BC 的中点， 则224223PN AN ==-=PAN ∆是等腰三角形，所以MN AP ⊥， 从而22||12422MN PN PM =-=-=，B 错误；1233CB CD CA =+，即12()()33CB CD CA CB -=-， 所以2DB BA =，所以2BD AB =，C 正确；取AB 中点G ，连接,PG CG ，因为该四面体为正四面体，所以,PG AB CG AB ⊥⊥，则PGC ∠为二面角PAB C 的平面角，设正四面体棱长为2a ，则3PG CG a == 则22223341cos 233a a a PGC a +-∠==⨯，所以二面角P AB C 的大小不是060，D 错误.故选AC（四）归纳小结，回顾重点空间向量基本定理a b c不共面，那么对任意一个空间向量p，,,=++.存在唯一的有序实数组(,x y p xa yb zca b c不共面，则{,,},,a b c都叫做基向量a b c叫做空间的一个基底，,,i j k中的三个基向量两两垂直且为单位向量.单位正交基底{,,}=++称为空间向量的正交分解.a xi y j zk（五）作业布置，精炼双基P习题1.2 1-41.完成课本152.预习1.3 空间向量及其运算的坐标表示五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
高中选修第一册《1.2 空间向量基本定理》优质课教案教学设计
专题11 空间向量基本定理★★★★学习目标★★★★1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．★★★★问题导学★★★★知识点一空间向量基本定理思考平面向量基本定量的内容是什么？答案如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理(1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点．知识点二空间向量的坐标表示思考平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．设OA＝x i＋y j，则向量OA的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．梳理(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则OP的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.★★★★题型探究★★★★类型一空间向量的基底例1若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？解假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa ＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴1,1,0,μλμλ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．反思与感悟空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．类型二用基底表示向量例2如图，已知正方体OABCO′A′B′C′，且OA＝a ，OC＝b，OO'＝c.(1)用a ，b ，c 表示向量,OB AC ''；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH .【答案】（1）详见解析；（2）()12c b - 【解析】 (1)OB '＝OB ＋BB '＝OA ＋OC ＋OO '＝＋＋a b c .AC '＝AC ＋CC '＝AB ＋AO ＋AA '＝OC ＋OO '－OA ＝＋－b c a .(2)GG ＝GO OH +＝OG OH -+＝－12 (OB ＋OC ')＋12 (OB '＋OO ')＝－12(＋＋＋a b c b )＋12 (＋＋a b c ＋c )＝12 (c －b )． 反思与感悟 求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义．跟踪训练2在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，G 为BD 上一点，BG ，2GD ，PA ，a ，PB ，b ，PC ，c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG .【答案】23a －13b ＋23c . 【解析】2BG GD =，23BG BD ∴= 又2BD BA BC PA PB PC PB a c b =+=-+-=+-()221223333PG PB BG b a c b a b c ∴=+=++-=-+ 故答案为212333a b c -+ 类型三 应用空间向量坐标表示解题例3（2020·黑龙江高二期末（理））{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，p 在基底{},,a b c 下的坐标为(2,1,5)，则p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为（ ）A ．(1,2,3)-B ．(1,2,3)-C ．(1,2,3)-D ．(3,2,1)-【答案】A【解析】由题意向量25p a b c =++，设向量p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为{},,x y z ()()()p x a b y b c z a c ∴=+++++，()()()25a b c x a b y b c z a c ∴++=+++++ 211253x z x x y y y z z +==-⎧⎧⎪⎪∴+=∴=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩，所以向量p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为{}1,2,3-，故选A ． 反思与感悟 (1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e 1，e 2，e 3}，a ＝λe 1＋μe 2＋k e 3，则a 的坐标为(λ，μ，k )．(2)AB →的坐标等于终点B 的坐标减去起点A 的坐标．跟踪训练3 已知点A 在基底{,,}a b c 下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，b j k =+，c k i =+，则点A 在基底{,,}i j k 下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)【答案】A【解析】∵点A 在基底{,,}a b c 下的坐标为(8,6,4)，∴OA =864a b c ++8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++，∴点A 在基底{,,}i j k 下的坐标是(12,14,10)。
1.2空间向量的基本定理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
而在i, j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对
( x, y )，使得OQ xi yj
从而OP OQ zk xi yj zk
因此，如果i, j , k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量P, 存在
M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，
用基底{a，b，c}表示以下向量.
→
(1)AP；
解 连接 AC，AD′
→ 1 → —→ 1 → → —→
AP＝ (AC＋AA′)＝ (AB＋AD＋AA′)
2
2
→
(2)AM；
→ 1 →
—→ 1
解 AM＝2(AC＋AD′)＝2(a＋2b＋c)
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量．
2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？
3．空间向量加法满足 交换律
、 结合律
．
4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？
5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的
定理吗？
1．共线向量与共面向量
共线(平行)向量
→
(3)AN；
→ 1 —→ —→
解 AN＝ (AC′＋AD′)
2
→ —→
1 → → —→
＝ [(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)]
2
1
＝ a＋b＋c.
2
用任意三个不共面的向量a, b, c来表示呢？
如图所示，设i, j , k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段
高中数学1-2空间向量基本定理新人教A版选择性必修第一册
＝
66.
|BD1||AC|
所以
AC
与
BD1
所成角的余弦值为
6 6.
课堂检测•固双基
1．下列说法正确的是( C ) A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等 [解析] A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项， 空间基底有无数个；D项中因为基底不唯一，所以D错．故选C.
5，所以 cos
〈A→D1，D→B1〉＝a＋b＋2c·5－a＋c＝－2a2＋5 c2＝2
2
＝ 5
5 5.
即异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 55.
利用图形寻找待求向 量与a，b，c的关系
→
利用向量运 算进行拆分
→
直至向量用 a，b，c表示
[解析] 连接 BO，则B→F＝12B→P＝12(B→O＋O→P)＝12(c－b－a)＝－12a－12b ＋12c.
B→E＝B→C＋C→E＝B→C＋12C→P＝B→C＋12(C→O＋O→P)＝－a－12b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C) ＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. E→F＝12C→B＝12O→A＝12a.
c·a)
＝
1
＋
1
＋
1
＋
2×12＋12＋12＝6，
所以|A→C1|＝ 6，即 AC1 的长为 6.
(2)B→D1＝b＋c－a，A→C＝a＋b，
所以|B→D1|＝ 2，|A→C|＝ 3，
B→D1·A→C＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
1.2空间向量基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
D1
M
N
B1
2
∴ ∙ 1 = ( Ԧ − ) ∙ (Ԧ + + )
Ԧ
1
2
1
2
1
2
1
42 +
2
1
2
1
2
1
2
= Ԧ ∙ Ԧ + Ԧ ∙ + Ԧ ∙ Ԧ − ∙ Ԧ − ∙ − ∙ Ԧ
= ×
1
2
× 42 × 60° + × 4 × 5 × 60°
则这3组对棱两两垂直.
a (b c) 0 ．又因为 a 0 ， b c 0 ，
展开得 a b a c b c ，所以
G
所以 SA BC ．同理可证 SB AC ， SC AB ．
H
N
C
F
B
知识小结
思
空间向量基本定理的应用
首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直
已知：在四面体中，、、、、、分别是棱、、、
、、的中点，且 = = ，求证： ⊥ ， ⊥ ， ⊥
解：如图，设 SA a ， SB b ， SC c ，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
则 EF a b c ， GH a b c ， MN a b c ．
·人教A版选择性必修第一册·
第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
思
复习回顾
1.平面向量的基本定理
{e1，e2} 基底
不共线
如果1 ，2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内
1.2空间向量基本定理第1课时教学设计选择性必修第一册
空间向量基本定理教案执教老师周财生班级高一（12）班科目数学授课课题 1.2空间向量基本定理单元课时共 2 课时本节课时第 1 课时项目内容二次备课教学目标教材分析教材分析：空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量。
因此可以通过类比思想，引导学生学习空间向量基本定理，实现从二维推广到三维，使得空间中任意向量都可以用三个不共面的基向量表示。
教学目标：1、类比平面向量基本定理，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解，感悟类比的方法；2、掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量为基底表示其他向量的方法3、能根据实际问题恰当选择基底表示相关向量，能运用空间向量基本定理解决一些立体几何问题。
此环节预设时长：1min课堂导入环节一：类比旧知，引入课题请同学们回忆平面向量基本定理的内容：平面内的任意一个向量a⃗都可以用两个不共线的向量e1⃗⃗⃗⃗,e2⃗⃗⃗⃗来表示，且存在唯一一对实数λ1,λ2，使a⃗=λ1e1⃗⃗⃗⃗+λ2e2⃗⃗⃗⃗(强调两个向量一定共面，三个向量可能共面，可能异面)思考1：类比平面向量基本定理，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量e1⃗⃗⃗⃗,e2⃗⃗⃗⃗,e3⃗⃗⃗⃗来表示呢？师：我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。
此环节预设时长：2min学生活动学生思考环节二：观察分析，感知概念探究：设i⃗,j⃗,k⃗⃗是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个向量P⃗⃗=OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗问题1：你能用向量OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示出向量OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗吗？用的是什么知识？追问1：QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗与k⃗⃗的关系是？问题1中的式子变成怎样的呢？用的是什么知识？追问2：OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗与OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的关系是？你用i⃗,j⃗表示出OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗吗？则追问1中的式子变成怎样的呢？用的是什么知识？结论：i⃗,j⃗,k⃗⃗在空间中三个两两垂直，则对任意一个空间向量存在唯一的有序实数组（x，y，z），使P⃗⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗⃗问题2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a⃗⃗,b⃗⃗,c⃗代替两两垂直的向量i⃗,j⃗,k⃗⃗，你能得出类似结论吗？空间向量基本定理：如果三个向量a⃗⃗,b⃗⃗,c⃗不共面，那么对任意一个空间向量P⃗⃗，存在唯一的有序实数组，（x，y，z），使得P⃗⃗=xa⃗⃗+yb⃗⃗+zc⃗问题3：我们知道，对于空间任意向量P⃗⃗在i⃗,j⃗,k⃗⃗方向上的分解方法不仅相同，但是对于都可以用形如P⃗⃗=xa⃗+yb⃗⃗+zc⃗的向量表示，那么形式是唯一的吗？学 生 活 动此环节预设时长：6min出示评价量表学生 讨论问题1写出：OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ...........1分答出：向量加法中的三角形法则 ...........1分共2分追问1 答出：QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与k⃗⃗是共线的关系 ...........1分 写出：OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+zk⃗⃗ ...........1分 答出：平面向量基本定理 ...........1分共3分追问2 答出：OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在i ⃗,j ⃗所在平面上的投影向量 .....1分 写出：OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xi ⃗+yj ⃗ .........1分写出：OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xi ⃗+yj ⃗+zk⃗⃗ ...........1分 答出：平面向量基本定理 ...........1分 共4分问题2 ①主动上台画出图形...........3分②借助老师的图形基础上表示出向量...........1分共4分空间向量基本定理 ①把定义中三个挖空的地方填出来...........3分②通过阅读教材，填写表格...........4分共7分合计：20分此环节预设时长：2min学生展示练习：教材P12{,,},,,1.,,?a b c a b cp a b q a b=+=-是空间的一个基底从中选哪一个向量一定可以与向量构成空间的另一知个基底已2.,,,,,,?,,,,OCOO A B C OB CAAOB为空间的四个点且向量不构成空间的一个基底那么是知否共面已,, ,,.(1){,,}?(2){,,},,,,.3.,OABC O A B C G BB C COA a OC b OO c a b ca b cOB BA CA OG''''''-'===''已知平行六面体点是侧面的中心且是否构成空间的一个基底如果构成空间的一个基底那么用它表示下列图向量：如'此环节预设时长：12min教师依据评价量表点评讲解练习第1、2题学生：独立思考，课堂上随机提问学生1、解：......5分2、解：......3分......5分1.22,,,13,,,4, 12,.M OABC BC N OMP AN MN ON AP AN OOA CB OPO-==如图是四面体的棱的中点点在线段上点在线段上且用向量表示例分析：关键是教会学生怎么找基底：根据题目给的条件选择基底3、解：......2分...... 2分.......2分.......2分.......1分.......1分.......2分此环节预设时长：10min课堂检测,,,,, ,,3,,..OABC M N OA BC OA a OB bOC c a b c MN== =已知分别是棱的中点且用表示向四面体量解：.......3分.......2分此环节预设时长：5min课堂小结1、空间向量基本定理的定义是？2、本节课研究的路径是什么？3、在解决问题时，用到了哪些数学思想？4、用基底表示所求向量时，关键是什么？此环节预设时长：2min课后作业教材P15习题1.2：1、2、4板书设计1.2空间向量基本定理1.定义：如果三个向量a⃗,b⃗⃗,c⃗不共面，那么对任意一个空间向量P⃗⃗，存在唯一的有序实数组，（x，y，z），使得P⃗⃗=xa⃗+yb⃗⃗+zc⃗2.注：①空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；②基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示；③不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同；3.用基底表示所求向量时，关键是根据题目条件找到恰当的基底教学反思。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(人教A版)教学课件第一章-1.2空间向量基本定理
－3λ＋μ＝1，
∴λ＋μ＝2， 2λ－μ＝－1
此方程组无解， ∴O→A，O→B，O→C不共面，
∴{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
反思感悟 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面， 就可以作为一个基底. (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同 一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
三、证明平行、共面问题
例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点. 求证：BF∥ED′. 证明 B→F＝B→C＋C→F＝B→C＋12—C—C′→＝A→D＋12—DD—′→，
—ED—′→＝—E—A′→＋—A′——D′→＝21—A—A′→＋A→D＝12—D—D′→＋A→D， ∴B→F＝—ED—′→，∴B→F∥—ED—′→，∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？ 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.
a·b
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝ |a||b| . (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔ a·b＝0 .
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？ 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.
又M→N＝12A→C＝ 25， —BC→1 ＝ 2，
所以
cos〈M→N，—BC→1 〉＝
→ —→ M→N·—BC→1 ＝
人教A版选择性必修第一册高中数学1.2空间向量基本定理精品课件
例题解析
例 5．在空间四点 O，A，B，C 中，若{O→A，O→B，O→C}是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( B ) A．O，A，B，C 四点不共线 B．O，A，B，C 四点共面，但不共线 C．O，A，B，C 四点不共面 D．O，A，B，C 四点中任意三点不共线 选项 A 对应的说法是正确的，若四点共线，则向量O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 B 对应的说法是 错误的，若四点共面，则O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 C 对应的说法是正确的，若四点共面，则O→A， O→B，O→C构不成基底；选项 D 对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量O→A，O→B， O→C构不成基底．
D.M→A＝2M→B－M→C
A
111 中，因为3＋3＋3＝1，所以
M，A，B，C
四点共面；B
中，M→A≠M→B＋M→C，但可能M→A＝λM→B＋μM→C，
所以 M，A，B，C 四点可能共面；D 中，因为M→A＝2M→B－M→C，所以 M，A，B，C 四点共面． 故选 C.
例题解析
例 4．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是( D )
例题解析
例 3．若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 与终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O 是空间
任一点)，则能使向量M→A，M→B，M→C构成空间的一个基底的关系是( C )
A.O→M＝13O→A＋13O→B＋13O→C
B.M→A≠M→B＋M→C
C.O→M＝O→A＋O→B＋O→C
xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝
新教材高中数学第1章空间向量基本定理教案新人教A版选择性必修第一册
新教材高中数学教案新人教A 版选择性必修第一册：1.2 空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.(1)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(2)共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得MP →＝xMA →＋yMB →，或对于空间任意一定点O ，有OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)．今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x ，y ，z )是否唯一？[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 2．正交分解 (1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{OA →，OB →，OC →}不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面． ( ) (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量． ( ) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)×2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c[答案] D3．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A ．AB →，AC →，AD → B ．AB →，AA 1→，AB 1→ C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→ C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]4．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [由m 与n 共线，得1x ＝－1y ＝11，∴x ＝1，y ＝－1.]基底的判断x a b y b c z c a a b c 列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．(1)C [如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C.](2)[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立，∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)， 即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．[跟进训练]1．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则一定可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a 或bC [由题意和空间向量的共面定理，结合p ＋q ＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ， 得a 与p ，q 是共面向量， 同理b 与p ，q 是共面向量，所以a 与b 不能与p ，q 构成空间的一个基底； 又c 与a 和b 不共面，所以c 与p ，q 构成空间的一个基底．]用基底表示向量【例2】 如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.[思路探究]利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利利用向量运算进行分拆→直至向量用a ，b ，c 表示[解] 连接BO (图略)，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．[跟进训练]2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )A ．－23，16，16B ．23，－16，16 C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16D [如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM→－PE →)＝12CD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D.]正交分解在立体几何中的应用[探究问题]1．取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？[提示] 若取单位正交基底{i ，j ，k }，那么|i |＝|j |＝|k |＝1.且i ·j ＝j ·k ＝i ·k ＝0，这是其他一般基底所没有的．2．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，如何表示向量AC ′.[提示] AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→＝12(AB →＋AD →)＋12(AD →＋AA ′→)＋12(AB →＋AA ′→)＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→.【例3】 如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，求异面直线BD 1和AC 所成角的余弦值．[思路探究] 取基底{AB →，AD →，AA 1→}→用基底表示向量BD 1→和AC →→求|BD 1→|，|AC →|和BD 1→·AC →→求BD 1→与AC →的夹角余弦值→得异面直线所成角的余弦值[解] {AB →，AD →，AA 1→}可以作为空间的一个基底，且|AB →|＝a ，|AD →|＝a ，|AA 1→|＝b ，〈AB →，AD →〉＝90°，〈AA 1→，AB →〉＝120°，〈AA 1→，AD →〉＝120°. 又BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，∴|BD 1→|2＝|AD →|2＋|AA 1→|2＋|AB →|2＋2AD →·AA 1→－2AD →·AB →－2AA 1→·AB →＝a 2＋b 2＋a 2＋2ab cos 120°－0－2ab cos 120°＝2a 2＋b 2，|AC →|2＝|AB →|2＋2AB →·AD →＋|AD →|2＝2a 2， ∴|BD 1→|＝2a 2＋b 2，|AC →|＝2a .∴BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →－|AB →|2－AB →·AD →＝0＋a 2＋ab cos 120°＋ab cos 120°－a 2－0＝－ab .∴|cos〈BD 1→，AC →〉|＝|BD 1→·AC →||BD 1→||AC →|＝|－ab |2a 2＋b 2·2a ＝b4a 2＋2b 2. ∴异面直线BD 1和AC 所成角的余弦值为b4a 2＋2b2.1．[变结论]在本例条件不变的前提下，求|AC 1→|. [解] 由条件可知|AB →|＝|AD →|＝a ，|AA 1→|＝b ， 且〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝120°，AB →⊥AD →. ∴|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→ ＝a 2＋a 2＋b 2＋0＋4×a ×b ×cos 120° ＝2a 2＋b 2－2ab .∴|AC 1→|＝2a 2＋b 2－2ab .2．[变结论]在本例条件不变的前提下，证明BD ⊥面AA 1C 1C . [解] 由条件知，BD →＝AD →－AB →，∵BD →·AA 1→＝AA 1→·(AD →－AB →)＝AA 1→·AD →－AA 1→·AB → ＝a ×b ×cos 120°－a ×b ×cos 120°＝0. ∴BD ⊥AA 1.又因四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD .∴BD ⊥面AA 1C 1C .基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量．(2)用基向量表示出直线的方向向量．(3)用|a |＝a ·a 求长度，用a ·b ＝0⇔a ⊥b ，用cos θ＝a ·b|a ||b |求夹角． (4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向量组{a ，b ，c }可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一的．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －bD ．a ＋b ，a －b ，a ＋2bC [空间基底必须不共面．A 中a ＝12[]a ＋b＋a －b，不可为基底；B 中b ＝12[(a ＋b )－(a －b )]，不可为基底；D 中32(a ＋b )－12(a －b )＝a ＋2b ，不可为基底．]2．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．]3．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．x ＝y ＝z ＝0 [由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以当x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z＝0.]4．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取{AB →，AD →，AA 1→}为基底，若G 为面BCC 1B 1的中心，且AG →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.2 [如图，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BC 1→＝AB →＋12(BC →＋BB 1→)＝AB →＋12AD →＋12AA 1→.由条件知x ＝1，y ＝12，z ＝12.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.]5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．。
数学人教A版选择性必修第一册1.2空间向量基本定理
例题精讲
变式：已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，
＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否
作为空间的一个基底？
解析（2）假设，，共面，设=x+y
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)+y(e1＋e2－e3)
=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面
−3 + = 1
+ = 2 ，方程无解，
∴
2 − = −1
∴ ，，不共面，
故，，能作为空间的一的棱BC的中点，点N在
连接AO，求证AO⊥CD'.
解：设= a ， =b ，′ =c，则{a，b，c}可以构
成空间的一个基底；所以
= + = + + ′
= + + ′= a+b+ c
′=′ − = ′ − = −a+c
=− a∙a+ a∙c−a∙b+b∙c- a∙c+
所以 ∙ ′=( a+b+ c)∙(−a+c)
所以 ⊥ ′，所以AO⊥CD′
∙c=0
课堂小结
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理
1
空间
向量
表示向量是向量应用的基础．
人教A版选择性必修第一册1.2空间向量基本定理
2 2
cos CE , AG
5
5
5
CE AG
2
2
2
故CE 与AG所成角的余弦值为 .
5
D
A
C
E
F
G
B
D
A
C
B
课堂小结
空间向量基本定理及其应用
的中点.求证 ⊥ 1 .
D1
分析：要证MN AC1 , 只需证明 MN AC1 0.
M
A1
B1
由已知,{ AB , AD, AA1 }可构成空间的一个基底,
把 MN 和 AC1分别用基底表示 ,
然后计算 MN AC1即可 .
证明：设 AB a , AD b, AA1 c这三个向
别为 C D, AD, DD的中点.
(1)求证： ∥ ；
(2)求与所成角的余弦值.
1
(2) 解：因为CE CC' C'E j k ,
2
1
AG AD DG i k
2
1
1
j k i k
CE AG
量不共面,{a , b, c }构成空间的一个基底,
D
A
N
C
B
C1
典例分析
解 我们用它们表示 MN , AC1 , 则
：
1
1
MN MC1 C1 N a b, AC1 AB BC CC1 a b c .
2
2
1
1
MN AC1 a b (a b c )
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1.2+空间向量基本定理（教学设计）-人教A版高中数学选择性必修
第一册
一、单选题
(★) 1. 在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（）
A．B．
C．D．
(★) 2. 已知正方体 ABCD－ A 1 B 1 C 1 D 1中，若点 F是侧面 CD 1的中心，且
则 m， n的值分别为( )
A．，－B．－，－C．－，D．，
(★) 3. 下列说法正确的是（）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
二、填空题
(★★★) 4. 在四棱锥中，底面 ABCD是正方形， E为 PD中点，若 = ， = ， = ，则 = _____ ．
三、解答题
(★★) 5. 若是空间的一个基底，试判断能否作为空间的一个基底．
(★★★) 6. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．。