吉林省长春市普通高中2021届高三数学质量监测一模试题理

吉林省长春市普通高中 2021 届高三数学质量监测（一模）试题 理

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合2

{|||3,},{|20},A x x x B x x x =<∈=->Z 则集合A B 的元素个数有

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 2.函数sin 22y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

是 A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为π的偶函数 3.在ABC ∆中, A B >是sin sin A B >的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 4.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,

6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是

A. 10%

B. 50%

C. 60%

D. 90% 5.长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的 航行速度1v 的大小1||10km/h v =,水流的速度2v 的大小

2||4km/h v =,设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船

要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处,则cos θ等于

A. 5-

B. 25-

C. 35-

D. 4

5

-

6.已知函数()()()1sin ,f x x x π=-则函数在[]1,3-上的大致图象为

A B C D 7.

1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.

43π B. 83π C. 4π D. 323

π

1 / 2

8.已知抛物线()2

20y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，

河流两岸示意图

且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.

6π B. 4π C. 3π D. 23

π 9.对于函数()||1,f x x x x =++下列结论中正确的是

()A.f x 为奇函数 ()B.f x 在定义域上是单调递减函数 ()C.f x 的图象关于点()0,1对称 ()D.f x 在区间()0,+∞上存在零点

10.如图,在面积为1的正方形1111,A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =

1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再

做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为

1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a +++

+=

]4. [1995n

A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149n

B ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

]1. [1233n

C ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132n

D ⎛⎫- ⎪⎝⎭

11.双曲线()22

22:10,0x y E a b a b

-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离

心率为

A B . 2C D

12.已知偶函数()f x 满足()()2,f x f x =-当()0,1x ∈时(),31,x

f x =+则13

log 84f ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

的值为

165.

81A . 8184B 165. 84C . 84

81C 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= . 14.若复数z 满足3,z z ⋅=则||z = .

15.如图,一块边长10cm 的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,

把容器的容积V (单位:3

cm )表示为x (单位:cm )的函数 为 .

1

C 1

D 1

A 1

B 2

A 2

B 2

C 2

D 3

A 3

B 3

C 3

D

16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322

n S n n =+, 则n a = ;数列131

{

}2n

n n n a a ++⋅的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分

17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ;

.

18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1

cos 2

a b c B +=⋅. (I)求角C ;

(Ⅱ)若2,3a b ==,求()cos 2

A C -. 19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图),现从小区超市某天购买甲 类物资的居民户中任意选取5户.

(I)若将频率视为概率,求至少有两户 购买量在[)3,4(单位:kg )的概率;

(Ⅱ)若抽取的5户中购买量在[]3,6(单位:kg )的户数为2户,从这5户中选出3户进行生活情况调查,记3户中需求量在[]3,6(单位:kg )的户数为ξ,求ξ的分布列和期望. 20.(12分)

已知椭圆2

2

14

y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点. (I)若,AM NB =求直线l 的方程;

(Ⅱ)若点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值.