第四讲 中点模型

中点模型的构造和应用
知识点分析和思路：
遇到以下情况考虑中点模型
●任意三角形或四边形中点和与中点有关的线段
●出现两个或三个中点考虑三角形中线定理
●已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
●已知等边等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
●有些题目不直接给出中点但我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角
形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径的中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型
●三角形中中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2：1
方法：倍长中线、类中线构造8字形全等。

典型例题：
1、如图1-5所示，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上的中线AD的取值范围。

2、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于点F, AF=EF,求证:AC=BE.
3、如图,在△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,连接CD.求证:CD=2 CE.
下列辅助线的作法中,能证明CD=2CE的是( )
①延长CE到点F,使EF=CE,连接AF.
②延长CB到点F,使BF=BC,连接DF.
③延长CB到点F,使BF=BC,连接AF.
④延长CE到点F,使EF=CE,连接BF.
n
5、如下图所示，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为△ABC的角平分线，求证：BG＝CF.
6、如图1-9所示，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、A C上的点，且ED上FD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？
7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长。

8、如图1-18所示，在△ABC中，D是BC延长线上一点，CD=BC，E是CA延长线上一点，AE =2AC,若AD=BE,求证：△ABC是直角三角形。

9、如图,在△ABC中,AC＞AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,联结GD,判断△AGD的形状并证明.
10、如图1-10所示，已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF．
求证：BE+CF>EF．
11、如图所示,∠BAC=∠DAE=90°,M是BE的中点,AB=AC,AD=AE,求证:AM⊥CD.
12、如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AC与BD交于点0,∠AOB=60°,P、Q、R 分别是OA、BC、OD的中点.求证:△PQR是正三角形.
13、如图1一22所示，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边的中点，求证：AB=2 DE．
14、如图1-23所示，分别以△ABC的边AB，AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，
(1)求证：AM⊥EG; (2)求证：EG=2AM．
15、如图，在△ABC的两边AB,AC向外作正方形ABDE和ACFG,取BE,BC,CG的中点M,Q,N,判断△MNQ的形状并证明.
17、如图,在△ABC中,BE、CF分别为边AC、AB上的高,D为BC的中点,DM⊥EF于M.求证:FM =EM.
18、如图，在五边形ABCDE 中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD=α，点F 为CD 的中点，求证：①BF=EF.②求∠BPE 的度数
19、如图①，已知点D 在AB 上，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∠ABC=∠ADE=90°，且M 为EC 的中点．
（1）求证：△BMD 为等腰直角三角形．（思路点拨：考虑M 为EC 的中点的作用，可以延长DM 交BC 于N ，构造△CMN ≌△EMD ，于是ED=CN=DA ，即可以证明△BND 也是等腰直角三角形，且BM 是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程：
（2）将△ADE 绕点A 再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD 为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
20、在矩形ABCD 中,点F 在AD 延长线上,且DF=DC,M 为AB 边上一点,N 为MD 的中点,点E 在直线CF 上(点E 、C 不重合).
(1)如图1,若AB=BC,点M 、A 重合,E 为CF 的中点,试探究BN 与NE 的位置关系及BM
CE
的值,并证明你的结论;
(2)如图2,若AB=BC,点M 、A 不重合,BN=NE,你在(1)中得到的两个结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若点M 、A 不重合,BN=NE,你在(1)中得到的结论两个是否成立,请直接写出你的结论.
21、已知:△ABD 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°.如图甲,连接DE,设M 为DE 的中点. (1)说明:MB=MC;
(2)设∠BAD=∠CAE=90°,固定△ABD,让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置,试问:MB=MC 是否还能成立?并证明其结论.
22、在矩形ABCD 中,点P 在AD 上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P 处,直角尺的两边分别交AB,BC 于点E,F,连接EF(如图）
③直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长。

23、已知:△AOB 中,AB=OB=2,△COD 中,CD=CO=3,∠ABO=∠DCO.连接AD 、BC,点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
(1)如图1,若A 、O 、C 三点在同一直线上,且∠ABO=60°,则△PMN 的形状是——--,此时BC
AD
——
(2)如图2,若A 、O 、C 三点在同一直线上,且∠ABO=2α,证明△PMN △BAO,并计算
BC
AD
的值(用含α的式子表示);
(3)在图2中,固定△AOB,将△COD绕点O旋转,直接写出PM的最大值.
24、如图,D是△ABC中AB边的中点,△BCE和△ACF都是等边三角形,M、N分别是CE、CF的中点.
(1)求证:△DMN是等边三角形;
(2)连接EF,Q是EF中点,CP⊥EF于点P.求证:DP=DQ.
同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考:
小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造三角形的中位线,添加出了一些辅助线;小慧同学想到要证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角形呢?她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置.
25、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，联结E C，取EC的中点M，联结BＭ和DM.
(1)如图①，如果点D、Ｅ分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是____.
(2)将图①中的△ADE绕点Ａ旋转到图②的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.
26、探究问题：
已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O . (1)△ABC 为等边三角形，如图1，则AO :OD =___；
(2)当小明做完(1)问后继续探究发现,若△ABC 为一般三角形(如图2),(1)中的结论仍成立，请你给予证明。

(3)运用上述探究的结果，解决下列问题：
如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BE 于点F ，若AD =BE =4.求：△ABC 的周长。

27、如图，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点，点M 是AE 的中点，四边形BCGF 和CDHN 都是正方形，求证：△FMH 是等腰直角三角形．
28、如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE ＝DF.过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P.求证：∠PAE ＝∠PBF.
29、如图,任意五边形ABCDE,M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点,K 、L 分别为MN 、P Q 的中点, 求证:KL ∥AE 且KL=
4
1
AE.
30、在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP = ∠ACP.过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.
(1)如图①，当AB = AC时，判断DE与DF的数量关系，直接写出你的结论.
(2)如图②，当AB≠AC，其他条件不变时，(1)中的结论是否发生改变？请说明理由.
31、已知:△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°.如图甲,连接DE,设M为DE 的中点.
(1)说明:MB=MC;
(2)设∠BAD=∠CAE,固定△ABD,让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置,试问:MB=M C是否还能成立?并证明其结论.
32、如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于M、N，则∠BME＝∠CNE(不需证明).问题一：如图②，在四边形A CBD中，AB与CD相交于O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB 于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图③，在△ABC中，AC＞AB，D
点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明.
33、探究：问题1：如图1，在三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF.若DE＝kDF，则k的值为____.
拓展：问题2：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边上的中点，点M在三角形ABC 的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF.求证：DE＝DF.
推广：问题3：如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.
34、某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是_____（填序号即可）。

①AF=AG=1/2AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB。

⑤MD⊥ME.（2分）
数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程。

（7分）
类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状。

答：_____ 。

（1分）(i)在三边互不相等的△ABC中(见备用图),仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中点,连接MD和ME,要使(2)中的结论此时仍然成立,你认为需增加一个什么样的条件?(限用题中字母表示)并说明理由。

35、如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的
中点,连接AM,DM.
(1)在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形;
(2)求证:AM⊥DM;
(3)当α=_____,AM=DM.
36、（2012海淀区一模）在平行四边形ABCD中，∠A=∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．
（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．
37、在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,tan∠BAC=12.点D在边AC上(不与A,C重合)，连接BD，F 为BD中点。

(1)若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1. 设CF=kEF，则k=___；
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D. E. B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示。

求证：BE−DE=2CF；
(3)若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值。

39、已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与
作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点。

(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___，QE与QF的数量关系式___；
(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明。

40、已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F.
(1)求证：BF∥AC；
(2)若AC边的中点为M，求证：DF=2EM；
(3)当AB=BC时(如图2)，在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论。

41、已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E.
(1)如图1,当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为___；
(2)如图2,当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
(3)如图3,在(2)的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG 关于直线DG对称(点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H.若BH=10，求CE的长。

42、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM.
(1)如图1，如果点D. E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是___；
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由。

43、【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF.则DE，DF的数量关系为___.
【拓展】如图2，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF.求证：DE=DF；
【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论。

44、在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME
(1)如图1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是___
(2)如图2所示，若AB≠AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程；
(3)在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC 的中点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断△MED的形状。

45、在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP.过点P作PE ⊥AC于点E，PF⊥AB于点F.
(1)如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；
(2)如图2,当AB≠AC,其它条件不变时,(1)中的结论是否发生改变?请说明理由。

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
(1)如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为___；
(2)如图②,点D 不在AB 上,(1)中的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。

46、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG .
(1)求证：EG =CG ；
(2)将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG .问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
47、在△ABC 内侧作射线AP ，自B ，C 分别向射线AP 引垂线，垂足分别为D ，E ，M 为BC 边中点，连接MD ，ME .
(1)依题意补全图1；
(2)求证：MD =ME ；
(3)如图2,若射线AP 平分∠BAC ,且AC >AB ,求证：MD =2
1(AC −AB ).
48、已知,点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点(不与A. B 重合)，分别过A. B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E. F. Q 为斜边AB 的中点。

(1)如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___，QE 与QF 的数量关系是___；
(2)如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；
(3)如图3,当点P 在线段BA (或AB )的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明。

49、四边形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF 的中点，连接EG，CG，EC.
(1)如图1,若点E在CB边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及ECGC的值；
(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置,请问(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°),若BE=1,AB=2，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值。

50、在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上(点E. C不重合).
(1)如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点,试探究BN与NE的位置关系及CEBM的值，并证明你的结论；
(2)如图2,且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的两个结论是否成立?若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3,若点M、A不重合,BN=NE,你在(1)中得到的结论两个是否成立，请直接写出你的结论。

51、已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC
（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是 ___ ，MN与EC的数量关系是 ___
（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．
52、阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围。

小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题。

他的做法是：如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决。

请回答：AD的取值范围是___.
参考小军思考问题的方法，解决问题：
如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D. 求证：PA⋅CD=PC⋅BD.
53、我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1.请你用此性质解决下面的问题。

已知：如图,点O为等腰直角三角形ABC的重心,∠CAB=90°，直线m过点O，过A. B. C 三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D. E. F.
(1)当直线m与BC平行时(如图1)，请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；
(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系?请写出你的结论，不需证明。

54、如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF 的中点。

(1)求证：△DMN是等边三角形；
(2)连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P.求证：DP=DQ.
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢?她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置。

55、△ABC中，AB=AC，取BC的中点D，做DE⊥AC与点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.
(1)如图1,如果∠BAC=90°,那么∠AHB=___°,AFBE=___；
(2)如图2,如果∠BAC=60°,猜想∠AHB的度数和AFBE的值，并证明你的结论；
(3)如果∠BAC=α,那么AF：BE=___.(用含α表达式表示)
56、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E. F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE(不需证明).
(温馨提示：在图1中,连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.)
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E. F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E. F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明。

57、在△ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =90°,BD 为斜边AC 上的中线,将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F. BE 与FC 相交于点H .
(1)如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：___；
(2)如图2,M 、N 分别为EF 、BC 的中点。

求证：MN =2
2FC ； (3)连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系：___.
58、已知△ABC 是锐角三角形，BA =BC ，点E 为AC 边的中点，点D 为AB 边上一点，且∠ABC =∠AED =α.
(1)如图1,当α=40°时,∠ADE =___°；
(2)如图2,取BC 边的中点F ,联结FD ,将∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN ，EM 与BA 的延长线交于点M ，EN 与FD 的延长线交于点N .
①依题意补全图形；
②猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论。

59、(1)如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点。

直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；
(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD
所在直线交于点E.
①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；
②当0°<∠A<___°时,上述结论成立;当___⩽∠A<180°时，上述结论不成立。

60、探究问题：
已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O.
(1)△ABC为等边三角形，如图1，则AO:OD=___；
(2)当小明做完(1)问后继续探究发现,若△ABC为一般三角形(如图2),(1)中的结论仍成立，请你给予证明。

(3)运用上述探究的结果，解决下列问题：
如图3，在△ABC中，点E是边AC的中点，AD平分∠BAC，AD⊥BE于点F，若AD=BE=4.求：△ABC的周长。

61、已知：如图,△OAB与△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°
.
(1)如图1,点C. D分别在边OA、OB上,连接AD,BC,点M为线段BC的中点,连接OM,请你猜想OM与AD的数量关系：___(直接写出答案,不必证明)；
(2)如图2,在图1的基础上,将△OCD绕点O逆时针旋转一个角度α(0°<α<90°).
①OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；
②求证：OM⊥AD.
62、问题：如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D是边CB上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点E在∠ACB的内部，连接BE.探究线段BE与DE之间的数量关系，请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

(1)当点D与点C重合时(如图2)，请你补全图形。

由∠BAC的度数为___，点E落在___，容易得出BE与DE之间的数量关系为___；
(2)当点D是BC上任意一点(不与点B,C重合)时,结合图1,研究(1)中线段BE与DE之间的数量关系是否与成立，并证明你的结论；
(3)如图3，在直线BC上有一点P，使△PAB为等腰三角形，请找出这样的点P，并直接写出∠APB的度数。

63.已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F.
(1)求证：BF∥AC；
(2)若AC边的中点为M，求证：DF=2EM；
(3)当AB=BC时(如图2)，在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论。

64.如图在△ABC中，D. E分别为AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点。

过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?
65.已知：如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G.
求证：GF=GC.
68.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 延长线上一点，BD ＝AB ，E 是
AB 的中点.求证：CE =2
1CD .。