关于nZ的理想及商环

第 ３期
张 隆辉 ， ： 于 ｎ 等 关 Ｚ的 理 想及 商环
５ １
① 如 ｐ为合数 ： —Ｐ Ｐ ，＜ ｐ ＜ （一１ ２ ， 取 ａ ｐ ， 一ｎ 有 ａ ｂ Ｚ 但 ａ ｂ ｎ Ｚ， ｂ １ ２ｌ ，）则 —ｎ １ ６ ｐ ， ， ∈ｎ ． ， ｐ ａ
—ｎ ｐ ＝ｎ ｎ ） ｎ Ｚ， 以 ｎ Ｚ不 是 ｎ 的 素 理 想 ， 盾 ． 以 Ｐ必 为 素 数 ． ｐ ｎ ｚ＝ （ｐ ∈ ｐ 所 ＝ ｐ Ｚ 矛 所
［ 图 分 类 号］ Ｏ ５ ． 中 １３３ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 章编号］ 文
若环 Ｒ关 于其加 法作 成 的加 群 （ ＋） ～个 循环 群 ， 称 Ｒ 是一个 循 环环 ． 。是循 环环 Ｒ 的加 Ｒ， 是 则 若
群 的一个生 成元 ， 也称 ａ是循 环环 Ｒ 的一 个生 成元 ， 记 Ｒ一 （ ＞ 循 环环 Ｒ一＜ ＞ 则 并 口． 口 的元 素 个数 叫做 Ｒ 的阶， 记为 １ ， Ｒｌ也就是 生成 元 ａ关 于 Ｒ 的加 法 的阶 （ 称 ｎ的加 法 阶） 简 ． 整数环 Ｚ是无 限循 环环且 是 欧 氏环 ， 它 的研 究 在代 数 学 中具 有 十 分 重要 的意 义 ． 环 环 的子 加 对 循 群 、 环 、 想三者 是一 致 的． 子 理 Ｚ的子环 即 由整 数 生成 的主理 想 ， 为 ｎ 记 Ｚ或 （ ． ＞ Ｚ关 于模 的 剩余 类 环 即 Ｚ 的商环 ， 记为 或 Ｚ ｎ ． ［ ］ 出 了 ｚ ／ Ｚ 文 １给 ／ ｚ的全 部 理想 、 大理 想 和素 理想 及 其 具 体求 法 ， 极 文
（ｉ ｉ ）设 Ｈ 是 ｎ 的 任一 素理 想 ， Ｈ —ｎ Ｚ， ≥ ０ 若 Ｈ 一 ｛ ） 则 Ｐ—Ｏ 若 Ｈ—ｎ 则 户一１ 若 Ｚ 则 ｐ Ｐ ． ０， ． Ｚ， ．
Ｈ≠ ｛ ｝ Ｈ≠ ｎ 则 声 １ ０且 Ｚ， ＞ ．
［ 稿 日期 ］ ２ ０ — ７２ ； ［ 改 日期 ］ ２ ０ — ２２ 收 ０ ８ ０ — １ 修 ０ ８１—３
定理 ３ ｎ Ｚ的全部 素理想 为 ｎ Ｚ， 中 Ｐ ｐ 其 一０或 Ｐ一１ Ｐ为 素数且 ｐ ． 或
证 （ ｉ ）当 Ｐ ０或 Ｐ＝ １时 ， ｐ 是 ｎ 的 平 凡 素 理 想 ． Ｐ 为 素 数 且 ＰＴ 时 ， ， ∈ ｎ 且 一 ｎＺ Ｚ 当 ｎ Ｖ＆ ｂ Ｚ， ａ ｅｎ Ｚ， ｎ ６ ｎ ， 。 一 ｎ ｑ ｎｒ ： ｎｔ Ｐ 。 由 Ｐ 为 素 数 且 ｐ ｎ ｐｌ 或 Ｐ Ｉ ｂ ｐ 令 —ｎ ，一 ｔ则 ６ ｐ — ｓｔ￣ ｓ— ｑ 又 ｌ： Ｔ￣ Ｓ ｎ ＝ 。 ｎ Ｚ或 ｂ ｐ ￣ ｎ Ｚ为 ｎ 的 素 理 想 ． ｐ１ ＞ ∈ ｐ ６ ∈ｎ Ｚ ｐ Ｚ ｝ ａ或
证 由引理 １ ｍｎ ， Ｚ是 ｎ 的理 想． Ｈ 是 ｎ 的 任一 理想 ． Ｚ 设 Ｚ 由于 ｎ Ｚ＝（ 是 以 为生 成元 的循 环 ＞ 环 ， Ｈ 也为 循环 环． 故 设其 生成 元 为 ｍｎ ｍ≥ Ｏ ， Ｈ：（ ｎ 一ｍｎ ． （ ）则 ａ ｒ ） Ｚ
定 理 ２ ｎ 的 全 部 极 大 理 想 为、ｐ 其 中 Ｐ为 素 数 ． Ｚ ｎ Ｚ，
（ ）设 』 ｎ ｉ ｉ ｖ是 Ｚ的一 个极 大理想 ， Ｎ＝ｎ Ｚ（ ≥Ｏ ． 则 ｐ ｐ ） 显然 ≠０且 Ｐ ， ≠１ 故 ＞ １ 如果 为 合 数 ： ．
Ｐ—Ｐ Ｐ ，＜户 ＜ （一１ ２ ｎ １２１ ， ） 户一（ ｐ ） ，ｐ ｎ １ｎ 】 ｎ１ ２ ｎ ￣ ｐ ，ｐ 户 ｎ 】 ｎ 矛盾 ． Ｐ为素数 ． Ｚ ｐＺ Ｚ， 故 显然 ｎ Ｚ总有两 个素 理想 ｛ ｝ ｎ 这两个 素理想 称 为 ｎ ０ 和 Ｚ， Ｚ的平凡 素理 想．
Ｅ］ ２ 研究 了 ｚ 的子环 ． 本文 研究 ｚ的理 想 、 商环 以及 ｚ 的子域 的存 在和个 数 问题．
以下 均假 设 ≥ １ 若 Ｎ 是环 Ｒ 的理 想 ， 记 Ｎ Ｒ； Ｎ＜Ｒ， Ｎ≠Ｒ， 记 Ｎ＜Ｒ ． 则 若 １ 且 则 １ ．
１
Ｚ 的 理 想
引 理 １１ 设 Ｚ是 整 数 环 ， ｒ ］ ｍＺ 是 Ｚ 的 理 想 ， Ｚ 中理 想 Ｚ ｍＺ ｎ ｍ． 则 ｌ 定 理 ｌ ｎ 的全 部 理 想 为 ｍｎ 其 中 ｍ≥ Ｏ Ｚ Ｚ， ．
② 如 Ｐ为素数 但 ＰＩ 取 ｎ 一ｎ ｐ ． 一６ （ ＋１ ∈ｎ 令 ， ） Ｚ， ｚ 是 则 一声 ，
ｎ６一 。 夕＋ １ 一 ｎ （ ） ｐｋ（ 夕＋ １ 。 ｎ ） ∈ ｐＺ．
但 ｎ ｎ Ｚ（ ＝ｂ ｐ 否则 １ （ ＋１ ｎ ）
证 （） 户为 素数 ， ｎ Ｚ＜ｎ ． ｎ Ｚ＜ Ｈ ｎ 则 Ｈ—ｎ Ｚ（≥ Ｏ ￣ｎ ｝ ｉ设 则 ｐ ￣Ｚ若 ｐ ￣ Ｚ， ｋ ｋ ） ｋ
＝ ＝ ＞ ＝ １或 ｋ ｐ Ｈ — ｎ 或 Ｈ —ｎ Ｚ ｎ Ｚ 为 ｎ 的 极 大 理 想 ． ＝ — Ｚ ｐ ￣ ｐ Ｚ
忌 ． ｛ 而 是 素数
［ 摘
要 ］ 给 出 了 ｎ 的全 部 理想 、 大 理想 和 素 理想 ， 研 究 了 ｎ 的商 环 的构 造 以及 为域 的 条 件 ， 决 Ｚ 极 并 Ｚ 解
了 ｚ 的 子 域 的 存 在 和 个 数 问 百度文库 ．
［ 关键词］理 想； 极大理 想 ； 素理想 商环； ； 域 子域 ； 单素因子
第 ２ ７卷 第 ３期
２１ ０ １年 ６月
大 学 数 学
Ｃｏ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ１ ２ № ． ． ７， ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．０ １
关 于 ｎ 的 理 想 及 商 环 Ｚ
张 隆辉 ， 石 化 国 ， 赵 凤 鸣
（ 川职业技术学院 数学系 ， 四 四川 遂 宁 ６ ９ ０ ） ２ ０ ０