偏最小二乘法基本知识
偏最小二乘法
偏最小二乘法 ( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法 , 已被广泛应用 于近红外 、 红外 、拉曼 、核磁和质谱等波谱定量模型的建立 , 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法 〔1, 2〕 。
近年来 , 随着 PLS 方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外 、 红外和拉曼中应用 的深入开展 , PLS 方法还被用来解决模式识别 、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题 。
由于 PLS 方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分 , 克服主成分分析 ( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点 , 可有效降维 , 并消除光谱间可能存在的复共线关系 , 因此取得令人非常满意的定性分析结果 〔3 ～ 5〕 。
本文主要介绍PLS 方法在光谱定性分析方面的原理及应用 实例 。
偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。
该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。
如美国Tripos 公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS 。
在PLS 方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。
替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS 特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。
在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。
§§ 6.3.1 基本原理6.3 偏最小二乘（PLS ）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。
一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。
偏最小二乘法基本知识
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------偏最小二乘法基本知识偏最小二乘法（PLS）简介-数理统计偏最小二乘法 partial least square method 是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。
近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。
而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。
这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵 X 中的相关信息，然后用于预测变量 Y 的值。
这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。
1 / 9但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。
偏最小二乘回归可以解决这个问题。
它采用对变量 X 和 Y 都进行分解的方法，从变量 X 和 Y中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。
现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量 Y 与预测变量组 X 之间的关系: Y= b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp 在方程中， b0 是截距， bi 的值是数据点 1 到 p 的回归系数。
偏最小二乘法算法[最新]
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偏最小二乘法 1.1 基本原理偏最小二乘法（PLS ）是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。
但它相对于主成分回归（PCR ）更进了一步，两者的区别在于PLS 法将浓度矩阵Y 和相应的量测响应矩阵X 同时进行主成分分解：X=TP+EY=UQ+F式中T 和U 分别为X 和Y 的得分矩阵，而P 和Q 分别为X 和Y 的载荷矩阵，E 和F 分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X 和Y 时所引进的误差。
偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y 中因子的同时也用于描述变量X 。
为了实现这一点，数学中是以矩阵Y 的列去计算矩阵X 的因子。
同时，矩阵Y 的因子则由矩阵X 的列去预测。
分解得到的T 和U 矩阵分别是除去了大部分测量误差的响应和浓度的信息。
偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T 和特征浓度矩阵U 进行回归：U=TB得到回归系数矩阵，又称关联矩阵B ：B=(T T T -1)T TU因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y 和矩阵X 的主成分分解以及对关联矩阵B 的计算。
1.2主成分分析主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。
他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。
同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。
新变量是一组正交的，即互不相关的变量。
这种新变量又称为主成分。
如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。
下面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。
假设有n 个样本包含p 个组分，在m 个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有：A n×m =C n×pB p×m如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而大小不同。
换句话说，光谱A 表示在由p 个波长构成的p 维变量空间的一组点（n 个），而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。
偏最小二乘课件
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2019/3/13
算法流程
每次舍去第 i 个观测数据（ i 1,2, ，对余下 , n）
的 n 1个观测数据用偏最小二乘回归方法建模，并考 虑抽取 h （ h r ）个成分后拟合的回归式，然后把舍 去的自变量组第 i 个观测数据代入所拟合的回归方程 式，得到 y j ( j 1,2, ˆ ( h) 。 b
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2019/3/13
简介
偏最小二乘回归分析在建模过程中集成了主成分分 析、典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在 分析结果中， 除了可以提供一个更为合理的回归模型外， 还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析 的研究内容，提供一些更丰富、深入的信息。
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2019/3/13
简介
（6）
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2019/3/13
算法流程
（3）用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤。 ˆ u ˆ， ˆ u ˆ1 (1)T ， B ˆ1 (1)T ，则残差阵 E1 A A 记A ˆ 。如果残差阵 B 中元素的绝对值近似为 0， B1 B B 1 则认为用第一个成分建立的回归式精度已满足需要 了， 可以停止抽取成分。 否则用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤即得
4. 否则继续对第二成分的提取，直到能达到满意的精度 为止。 5. 若最终对自变量集提取 r 个成分 u1 , u2 , 二乘回归将建立 y1 , 6. 最后表示为 y1 ,
, ur ，偏最小
, y p 与 u1 , u2 ,
, ur 的回归方程。
, y p 与原自变量的回归方程，即偏
最小二乘回归方程式。
分别为 X ,Y 的第二对成分的负荷量。这时有 (1)T ( 2)T ˆ ˆ A u u A2 , 1 2 (1)T ( 2)T ˆ ˆ B u u B2 . 1 2
多重共线性问题的偏最小二乘估计
多重共线性问题的偏最小二乘估计1. 引言1.1 背景介绍多重共线性问题是回归分析中常见的一个问题，指的是自变量之间存在高度相关性或线性关系，导致回归系数估计不准确甚至不可靠的情况。
在实际应用中，多重共线性问题可能会导致回归系数估计出现偏差，增加了模型的不确定性，降低了模型的预测能力。
传统的最小二乘估计方法在存在多重共线性问题时表现不佳，容易导致过拟合或欠拟合的情况。
为了解决多重共线性问题，偏最小二乘估计方法被提出并得到广泛应用。
偏最小二乘估计方法通过降低自变量之间的相关性，提高回归系数的稳定性和准确性，从而改善模型的性能。
偏最小二乘估计方法在多元回归分析、主成分回归、岭回归等领域都有重要的应用价值。
本文旨在探讨多重共线性问题对回归分析的影响，分析传统最小二乘估计方法存在的问题，介绍偏最小二乘估计方法的原理和应用，并探讨偏最小二乘估计方法相对于传统方法的优势和未来研究展望。
通过本文的阐述，读者将更加深入地了解多重共线性问题以及对应的解决方法，为实际应用中的数据分析提供参考依据。
1.2 研究意义多重共线性问题的偏最小二乘估计方法在回归分析领域具有重要的研究意义。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性或线性关系，导致回归模型失真或不准确的问题。
在实际数据分析中，多重共线性现象时常存在，特别是在变量较多或样本量较小的情况下。
解决多重共线性问题可以提高回归模型的精确度和解释力，对实际问题的预测和分析具有重要意义。
偏最小二乘估计方法正是针对多重共线性问题而提出的一种有效技术。
与传统的最小二乘法相比，偏最小二乘法能够有效地降低自变量之间的相关性，减少共线性带来的影响，提高模型的稳定性和准确性。
研究偏最小二乘估计方法不仅可以帮助我们更好地理解多重共线性问题的本质，还可以为实际数据分析提供更有效的工具和方法。
研究偏最小二乘估计方法对于解决多重共线性问题具有重要意义，可以提高回归模型的质量和可靠性，为相关领域的研究和应用带来更多的启发和帮助。
最小二乘法标准偏差(se)和相关系数
最小二乘法标准偏差(se)和相关系数随着数据分析的不断深入和发展，最小二乘法标准偏差和相关系数作为两种重要的统计量，在许多领域的应用逐渐受到重视。
它们能够帮助我们对数据进行更深入的分析和推断，从而更好地理解数据之间的关系和趋势。
本文将分别从最小二乘法标准偏差和相关系数两个方面进行介绍和讨论。
最小二乘法标准偏差(se)1. 最小二乘法的基本概念最小二乘法是一种常见的参数估计方法，其基本思想是通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定参数的估计值。
上线性回归分析中，我们常常通过最小二乘法来拟合一条直线，使得残差最小。
而最小二乘法标准偏差(se)则是衡量残差的离散程度，它是残差的标准差的估计值。
2. 计算公式最小二乘法标准偏差的计算公式如下：se = √(Σ(yi - ŷi)² / (n - 2))其中，se代表最小二乘法标准偏差，yi代表观测值，ŷi代表拟合值，n代表样本量。
通过该公式，我们可以得到最小二乘法标准偏差的估计值，进而对数据的拟合程度有一个直观的认识。
3. 应用范围最小二乘法标准偏差主要用于评估最小二乘法拟合的准确度，当se较小时，说明残差较小，拟合效果较好；反之，se较大时，说明残差较大，拟合效果较差。
最小二乘法标准偏差可以帮助我们评价拟合模型的表现，并据此进行进一步的分析和推断。
相关系数1. 相关系数的概念相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系密切程度的统计量，它能够帮助我们判断两个变量之间的相关性强弱。
在实际应用中，我们通常使用皮尔逊积差相关系数来进行相关性的分析，其取值范围为-1到1，分别表示负相关、无相关和正相关。
2. 计算公式皮尔逊积差相关系数的计算公式如下：r = Σ((xi - x̄) * (yi - ȳ)) / √(Σ(xi - x̄)²* Σ(yi - ȳ)²)其中，r代表相关系数，xi和yi分别代表两个变量的观测值，x̄和ȳ分别代表两个变量的平均值。
偏最小二乘回归原理
偏最小二乘回归原理
偏最小二乘回归（partial least squares regression，PLSR）是一种线性回归算法。
它是一种基于主成分分析（principal component analysis，PCA）的多元统计分析方法，可以用于处理高维数据集中的多个自变量和一个或多个因变量之间的线性关系。
PLSR算法通过将自变量和因变量投影到一个新的低维空间，从而降低数据集的维度，并且可以解决自变量之间存在多重共线性的问题。
PLSR算法的目标是最小化
预测误差的平方和，从而找到最佳的预测模型。
PLSR算法的原理比较复杂，但是可以用简单的数学公式来表示。
PLSR算法中的核心公式是：y = b0 + b1*t1 + b2*t2 + ... + bm*tm，其中y表示因变量，t1、
t2、...、tm表示投影后的自变量，b0、b1、b2、...、bm表示回归系数。
PLSR算法
的主要步骤包括：1）选择投影方向；2）计算投影系数；3）对投影后的变量进行
回归分析；4）对回归分析结果进行交叉验证；5）选择最佳预测模型。
PLSR算法可以应用于很多领域，比如化学、生物、医学、工程等。
在化学领域，PLSR算法可以用于分析光谱数据；在生物领域，PLSR算法可以用于分析基
因数据；在医学领域，PLSR算法可以用于分析疾病诊断数据。
总之，PLSR算法
是一种非常有用的统计分析方法，可以帮助人们更好地理解和解释数据。
偏最小二乘法(PLS)简介(Partialleastsquares(PLS))
偏最小二乘法（PLS)简介(Partial least squares (PLS)）Introduction to least squares （PLS)｜ research report | software | training ｜ knowledge sharing ｜ customer directory ｜ BBSIntroduction to least squares （PLS)Number of reading: 14122 release date: 2004—12-30Jane interfaceThe least squares method is a new multivariate statistical analysis method, which was first proposed in 1983 by s。
w。
old and c。
a。
lbano. In recent decades, it has developed rapidly in theory, method and application.Partial least squaresFor a long time， the boundaries between model and cognitive methods are well understood. And partial least squares rule them organic combine， under an algorithm， can realize regression modeling (multiple linear regression）at the same time, simplify data structure (principal component analysis （pca） and correlation analysis between the two groups of variables （canonical correlation analysis）。
偏最小二乘法
偏最小二乘法( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法, 已被广泛应用于近红外、红外、拉曼、核磁和质谱等波谱定量模型的建立, 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法〔1, 2〕。
近年来, 随着PLS方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外、红外和拉曼中应用的深入开展, PLS 方法还被用来解决模式识别、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题。
由于PLS方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分, 克服主成分分析( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点, 可有效降维, 并消除光谱间可能存在的复共线关系, 因此取得令人非常满意的定性分析结果〔3 ～5〕。
本文主要介绍PLS方法在光谱定性分析方面的原理及应用实例。
偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。
该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。
如美国Tripos公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS。
在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。
替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。
在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。
§§ 6.3.1 基本原理6.3 偏最小二乘（PLS）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。
一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。
在主成分回归中，第一步，在矩阵X的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。
偏最小二乘法
u1 v11 y1 v12 y2 v1q yq v1T Y
（1）第1个成分 t1 的提取
由这两组变量集 X 、Y 分别构成观测矩阵 X α 、Yα ，可以分别计算出第1对成分的得分
向量 tˆ1 、 uˆ1 :
6.119 6.9293 6.934 6.1524 7.4984 7.35 7.1299 7.8258 8.9597 8.1966 8.5688 8.5383 9.3404 9.2511 9.4694 9.9961 10.5853 10.616 10.0119 10.0782 11.2238 11.4733 11.3371 11.4427 12.7513 12.3517 12.1622 12.1067 13.2551 13.8308 13.7943 13.9619
for i=1:n %以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
matrix=e0'*f0*f0'*e0; [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量 val=diag(val); %提出对角线元素
[val,ind]=sort(val,'descend'); w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量 w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值 t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分 alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵 e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
偏最小二乘方法
75 152 102 91
X2
63 96
132 218
82 176
36 74
69 157 124 51
2 7 5
Y
4
3
3
9 12 3
6
8
2
由此得到的B矩阵为：
0.71 0.18 0.42
B2
0.42 0.24
0.19 0.20
0.20 0.03
0.12 0.03
0.01
对于此模型，Err=0.07。它比前者为小，这就意味着对于矩 阵Y，第二个数学模型比第个要更有效，这是一种假象。由 于X中引入最后一列，使得B2中上部3*3部分与前边所提B不 相等（B为真实模型）。由B2计算所得Y尽管误差要小，但其 数学模型所描述的自变量与因变量间的关系并不真实。其原 因主要为多元线性回归方法是采用整个X矩阵来建立数学模 型，而并不顾及在X中的信息与真实模型相关与否。很显然 ，若所得结果偏离了其实际数学模型，则对于未知试样的预 测也是错误的。
事实上，完全满足上述条件比较困难。当噪声较强，或干 扰较严重时，有可能导致所得数学模型失真，如下例：
75 152 102
X
63
132
82
96 218 176
69
157
124
2 7 5
Y
4
3
3
9 12 3
6
8
2
运用式(6.3)则可得B矩阵：
0.71 0.55 0.48 B 0.42 0.41 0.24
为了克服多元线性回归的不足，在数学方法上引进了主 成分回归方法（PCR）。
§ 6.2 主成分回归
主成分回归可分为两步： 测定主成分数，并由主成分分 析将X矩阵降维； 对于降维的X矩阵再进行线性回归分析。
偏最小二乘(PPT课件)
§11.1 偏最小二乘回归分析
在PLS过程中称α1=(α11,…,α1m)′为模型效应负 荷量(Model Effect Loadings).
18
§11.1 偏最小二乘回归分析
(3) 用残差阵E1和F1代替X0和Y0重复以上步骤.
如果残差阵F1中元素的绝对值近似为0， 则认为用第一个成分建立的回归式精度已 满足需要了，可以停止抽取成分.否则用残 差阵E1和F1代替X0和Y0重复以上步骤即得：
以及
X0 ' Y0Y0'X0w1 12w1, Y0 ' X0X0 ' Y0v1 12v1.
可知w1是 X0 ' Y0Y0'X0 的最大特征值 12 ,
对应的特征向量。
v1是 Y0 ' X0X0'Y0 的最大特征值 12 ,
对应的特征向量。
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§11.1 偏最小二乘回归分析
问题的求解只须通过计算m×m矩阵
第一对成分T1和U1的协方差Cov(T1,U1)可 用第一对成分的得分向量t1和u1的内积来 计算。故而以上两个要求可化为数学上的 条件极值问题：
11
§11.1 偏最小二乘回归分析
同时最大化方差Var(T1)、Var(U1)和ρ(T1,U1):
Max
w1 ,v1
Var(T1)Var(U1)(T1, U1)
§11.1 偏最小二乘回归分析
n
PRESS j (k) ( yij yˆ j(i) (k))2 ( j 1,, p) i 1 Y=(Y1,…,Yp)′ 的预测残差平方和为
对抽取成分的个数k从1个至r个逐个计算Y的预 测残差平方和PRESS(k),然后选取使Y的预测残 差平方和达最小值的k,让l=k.
偏最小二乘法(PLS)简介
Ah+1=LS的T由公式T=XW计算出，B由公式B=WQ'计算。
相关文献
许禄，《化学计量学方法》，科学出版社，北京，1995。
王惠文，《偏最小二乘回归方法及应用》，国防科技出版社，北京，1996。
Chin, W. W., and Newsted, P. R. (1999). Structural Equation
Akron, Ohio: The University of Akron Press.
Fornell, C. (Ed.) (1982). A Second Generation Of Multivariate
Analysis, Volume 1: Methods. New York: Praeger.
Principal Components Analysis Is To Common Factor Analysis.
Technology Studies. volume 2, issue 2, 315-319.
Falk, R. F. and N. Miller (1992). A Primer For Soft Modeling.
偏最小二乘方法优秀课件
b12 ...
b1m
由此得到
b21
b22
...
b2
m
e11 e21
E (e1
e2
)
e12
...
e
22
...
e1n
e
2
n
Y = XB + E
对于2-P 个因变量的图形表示为： 2-p n 2-p 2-p
Y=X B+E
m 最小二乘的解为：
n
mn
B(XX)1XY
(6.3)
多元线性回归应用很广泛，因为在许多情况下该种方法具有 良好的性能。但是，此种方法也有固有的缺点。假若体系的响 应（即因变量）呈现线性，无干扰，无溶液间的相互作用，低 噪声无共线性，则多元线性回归是一种非常好的方法。
§ 6.1 多元线性回归（MLR）
若自变量为m个，xj (j=1,2,…,m)，因变量为y，在y与xj间， 我们可以建立一线性模型，即
y b 1 x 1 b 2 x 2 . .b .m x m e (6.1a)
m
y bj xj e
(6.1b)
j1
yxbe
(6.1c)
在式中，bj为回归系数。 在式（6.1）中仅有一个试样，若有n个试样，即
为yi (i=1,2,…,n)，它的列向量形式为y ，b与原来相同， 矢量xj’为矩阵X的行，则： y = Xb + e
若用图形表示，则为：
1
m1
1
y= X B+ e
n
nm n
在此情况下，n为试样数，m为自变量数。有如下三种情况：
(1) m>n，即变量数多于试样数，对于b来说，则有无穷多个解。
(2) m=n，变量数与试样数相等，若矩阵X满秩时，则矢量b有 唯一解。但是，在实际工作中，这种情况是极少能碰到的。 此时我们有：
《偏最小二乘方法》课件
首先对数据进行预处理和特征选择，然后利用偏最小二乘方法提取 主成分，最后建立预测模型并进行模型评估。
预测建模效果
通过偏最小二乘方法建立的预测模型具有较好的稳定性和泛化能力 ，能够为实际应用提供可靠的预测结果。
04
偏最小二乘方法在机器学习中的 应用
分类问题
偏最小二乘方法在分类问题中可以用于特征提取和模型训练。通过提取数据中的潜在特征，偏最小二 乘方法能够降低数据维度，同时保留分类信息，提高分类准确率。
提高可解释性 为了更好地理解模型的内在机制 ，未来研究可以进一步探索如何 提高偏最小二乘方法的结果可解 释性。
扩展应用领域
随着大数据和人工智能技术的不 断发展，偏最小二乘方法可以进 一步扩展到更多领域，如自然语 言处理、图像处理等。
结合其他算法
未来研究可以将偏最小二乘方法 与其他算法结合，如深度学习、 强化学习等，以获得更好的性能 和更广泛的应用。
金融数据分析
总结词
偏最小二乘方法在金融数据分析中广 泛应用于预测股票价格、评估投资组 合风险和回报等方面。
详细描述
通过分析历史股票数据和市场信息， 偏最小二乘方法能够建立有效的预测 模型，帮助投资者做出更明智的决策 。
市场细分分析
总结词
偏最小二乘方法在市场细分分析中用于识别不同消费者群体的特征和行为模式，从而制定更有针对性的营销策略 。
线性回归（Linear Regression）
PLS和线性回归都是预测模型，但PLS更适合处理具有复杂相关性和非线性的数据集， 而线性回归假设数据服从正态分布且变量独立。
支持向量机（SVM）
PLS和SVM都是监督学习算法，但PLS更适用于高维度和多因多果的问题，而SVM主要 应用于分类问题。
偏最小二乘方法 ppt课件
偏最小二乘方法
10
设矩阵X的阶为I*J，若T的阶与J相等，则主成分回归与 多元线性回归所得结果相同，并不能显示出主成分回归的优 越之处。选取的主成分数一般应该比J 小，而删去那些不重 要的主成分，因为这些主成分所包含的信息主要是噪声，由 此所得的回归方程稳定性较好。
b(XX)1Xy
(6.2)
x(bb)1by
在上边的叙述中，因变量为1个，而事实上可以有多个因 变量。如有两个因变量y1和y2，我们可以简单地写成两个线性 方程：
y1=Xb1+ e ; y2=Xb2+ e
偏最小二乘方法
4
若用矩阵标表示，则：
x11 x12 .. x1n
y11 y12
X
x
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为了克服多元线性回归的不足，在数学方法上引进了主 成分回归方法（PCR）。
偏最小二乘方法
9
§ 6.2 主成分回归
主成分回归可分为两步： 测定主成分数，并由主成分分 析将X矩阵降维； 对于降维的X矩阵再进行线性回归分析。
主成分分析的概念在前一章已经作了介绍。所谓主成分， 它为一新的变量，而该新变量是原变量xij的线性组合。第一 个主成分所能解释原变量的方差量最大，第二个次之，第三 个再次之，等等。也就是说，主成分是一种线性组合，用它 来表征原来变量时所产生的平方误差最小。运用主成分分析， 原变量矩阵X可以表达为得分（即主成分）矩阵T，而T由X在 本征矢量P上的投影所得。主成分与矩阵X的本征矢量一一对 应，即T = XP。
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对于此模型，Err=0.07。它比前者为小，这就意味着对于矩 阵Y，第二个数学模型比第个要更有效，这是一种假象。由 于X中引入最后一列，使得B2中上部3*3部分与前边所提B不 相等（B为真实模型）。由B2计算所得Y尽管误差要小，但其 数学模型所描述的自变量与因变量间的关系并不真实。其原 因主要为多元线性回归方法是采用整个X矩阵来建立数学模 型，而并不顾及在X中的信息与真实模型相关与否。很显然 ，若所得结果偏离了其实际数学模型，则对于未知试样的预 测也是错误的。
偏最小二乘 自变量
偏最小二乘自变量
偏最小二乘回归（Partial Least Squares，PLS）是一种用于建立预测模型的统计技术，尤其适用于解决自变量和因变量之间存在复杂关系的预测问题。
在偏最小二乘回归中，自变量指的是那些用于预测因变量的变量。
这些自变量可以是定量变量（连续变量）或定性变量（分类变量），也可以是两者的组合。
在选择自变量时，通常需要考虑以下几个因素：
1、相关性和预测性：选择的自变量应与因变量高度相关，并能有效地预测因变量的变化。
2、代表性和多样性：自变量应能够代表多个方面的影响因素，避免过于集中在某一方面的信息。
3、数据的可用性和可靠性：选择的自变量应具有足够的数据可用性和可靠性，以确保模型的稳定性和准确性。
4、避免多重共线性：自变量之间应避免存在多重共线性问题，即不应高度相关或相互依赖。
5、样本大小和数据分布：在选择自变量时，还需要考虑样本大小和数据分布的情况，以确保模型的有效性和泛化能力。
总之，在偏最小二乘回归中，自变量的选择是一个关键步骤，需要综合考虑多种因素，以确保所选的自变量能够有效地用于预测模型的建立。
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偏最小二乘法（PLS）简介-数理统计偏最小二乘法partial least square method是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。
近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。
而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。
这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。
这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。
但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。
偏最小二乘回归可以解决这个问题。
它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y 中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。
现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:Y= b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。
例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。
对许多的数据分析方法来说，最大的问题莫过于准确的描述观测数据并且对新的观测数据作出合理的预测。
多元线性回归模型为了处理更复杂的数据分析问题，扩展了一些其他算法，象判别式分析，主成分回归，相关性分析等等，都是以多元线性回归模型为基础的多元统计方法。
这些多元统计方法有两点重要特点，即对数据的约束性：1.变量X和变量Y的因子都必须分别从X'X和Y'Y矩阵中提取，这些因子就无法同时表示变量X和Y的相关性。
2.预测方程的数量永远不能多于变量Y跟变量X的数量。
偏最小二乘回归从多元线性回归扩展而来时却不需要这些对数据的约束。
在偏最小二乘回归中，预测方程将由从矩阵Y'XX'Y中提取出来的因子来描述；为了更具有代表性，提取出来的预测方程的数量可能大于变量X与Y的最大数。
简而言之，偏最小二乘回归可能是所有多元校正方法里对变量约束最少的方法，这种灵活性让它适用于传统的多元校正方法所不适用的许多场合，例如一些观测数据少于预测变量数时。
并且，偏最小二乘回归可以作为一种探索性的分析工具，在使用传统的线性回归模型之前，先对所需的合适的变量数进行预测并去除噪音干扰。
因此，偏最小二乘回归被广泛用于许多领域来进行建模，象化学，经济学，医药，心理学和制药科学等等，尤其是它可以根据需要而任意设置变量这个优点更加突出。
在化学计量学上，偏最小二乘回归已作为一种标准的多元建模工具。
计算过程基本模型作为一个多元线性回归方法，偏最小二乘回归的主要目的是要建立一个线性模型：Y=XB+E，其中Y是具有m个变量、n个样本点的响应矩阵，X是具有p个变量、n个样本点的预测矩阵，B是回归系数矩阵，E为噪音校正模型，与Y具有相同的维数。
在通常情况下，变量X 和Y被标准化后再用于计算，即减去它们的平均值并除以标准偏差。
偏最小二乘回归和主成分回归一样，都采用得分因子作为原始预测变量线性组合的依据，所以用于建立预测模型的得分因子之间必须线性无关。
例如：假如我们现在有一组响应变量Y(矩阵形式)和大量的预测变量X(矩阵形式)，其中有些变量严重线性相关，我们使用提取因子的方法从这组数据中提取因子，用于计算得分因子矩阵：T=XW，最后再求出合适的权重矩阵W，并建立线性回归模型：Y=TQ+E，其中Q是矩阵T的回归系数矩阵，E为误差矩阵。
一旦Q计算出来后，前面的方程就等价于Y=XB+E，其中B=WQ，它可直接作为预测回归模型。
偏最小二乘回归与主成分回归的不同之处在于得分因子的提取方法不同，简而言之，主成分回归产生的权重矩阵W反映的是预测变量X之间的协方差，偏最小二乘回归产生的权重矩阵W反映的是预测变量X与响应变量Y之间的协方差。
在建模当中，偏最小二乘回归产生了pxc的权重矩阵W，矩阵W的列向量用于计算变量X 的列向量的nxc的得分矩阵T。
不断的计算这些权重使得响应与其相应的得分因子之间的协方差达到最大。
普通最小二乘回归在计算Y在T上的回归时产生矩阵Q，即矩阵Y的载荷因子(或称权重)，用于建立回归方程：Y=TQ+E。
一旦计算出Q，我们就可以得出方程：Y=XB+E，其中B=WQ，最终的预测模型也就建立起来了。
非线性迭代偏最小二乘法用于计算偏最小二乘回归的一种标准算法是非线性迭代偏最小二乘法(NIPALS)，在这种算法中有许多变量，有些被规范化了，有些却没有。
下面提到的算法被认为是非线性迭代偏最小二乘法中最有效的一种。
对h=1...c，且A0=X'Y,M0=X'X, C0=I，变量c已知。
计算qh，Ah'Ah的主特征向量。
wh=GhAhqh,wh=wh/||wh||，并将wh作为W的列向量。
ph=Mhwh,ch=wh'Mhwh, ph=ph/ch，并将ph作为P的列向量。
qh=Ah'wh/ch，并将qh作为Q的列向量。
Ah+1=Ah- chphqh'，Bh+1=Mh - chphph'Ch+1=Ch- whph'得分因子矩阵T可以计算出来：T=XW，偏最小二乘回归系数B也可由公式B=WQ计算出。
SIMPLS算法还有一种对偏最小二乘回归组分的估计方法，被称为SIMPLS算法。
对h=1...c，且A0=X'Y,M0=X'X, C0=I，变量c已知。
计算qh，Ah'Ah的主特征向量。
wh=Ahqh,ch=wh'Mhwh, wh=wh/sqrt(ch)，并将wh作为W的列向量。
ph=Mhwh，并将ph作为P的列向量。
qh=Ah'wh，并将qh作为Q的列向量。
vh=Chph，vh=vh/||vh||Ch+1=Ch- vhvh'，Mh+1=Mh - phph'Ah+1=ChAh与NIPALS相同，SIMPLS的T由公式T=XW计算出，B由公式B=WQ'计算。
其他的简介：偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首提示来的,偏最小二乘法有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。
这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。
这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。
但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。
偏最小二乘回归可以解决这个问题。
它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y 中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。
现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。
例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。
对许多的数据分析方法来说，最大的问题莫过于准确的描述观测数据并且对新的观测数据作出合理的预测。
多元线性回归模型为了处理更复杂的数据分析问题，扩展了一些其他算法，象判别式分析，主成分回归，相关性分析等等，都是以多元线性回归模型为基础的多元统计方法。
这些多元统计方法有两点重要特点，即对数据的约束性：变量X和变量Y的因子都必须分别从X\'X和Y\'Y矩阵中提取，这些因子就无法同时表示变量X和Y的相关性。
预测方程的数量永远不能多于变量Y跟变量X的数量。
偏最小二乘回归从多元线性回归扩展而来时却不需要这些对数据的约束。
在偏最小二乘回归中，预测方程将由从矩阵Y\'XX\'Y中提取出来的因子来描述；为了更具有代表性，提取出来的预测方程的数量可能大于变量X与Y的最大数。
简而言之，偏最小二乘回归可能是所有多元校正方法里对变量约束最少的方法，这种灵活性让它适用于传统的多元校正方法所不适用的许多场合，例如一些观测数据少于预测变量数时。
并且，偏最小二乘回归可以作为一种探索性的分析工具，在使用传统的线性回归模型之前，先对所需的合适的变量数进行预测并去除噪音干扰。
因此，偏最小二乘回归被广泛用于许多领域来进行建模，象化学，经济学，医药，心理学和制药科学等等，尤其是它可以根据需要而任意设置变量这个优点更加突出。
在化学计量学上，偏最小二乘回归已作为一种标准的多元建模工具。
如果在Eviews中消除异方差性用wls,就够了,如果不知道异方差的形式,就用HACsas可以实现，用proc pls;。