2013考研数二真题及解析

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2013考研数二真题答案

2013考研数二真题答案本文为2013年考研数学二真题的答案解析。

首先，我们来看第一道选择题。

1. 题目内容：已知椭圆C的长轴与坐标轴的夹角是π/6，短轴所对的顶点为(3,0)，则椭圆的标准方程为（）。

解析：根据题目所给信息，我们可以知道椭圆的短轴所对的顶点为(3,0)，这个点在椭圆的短轴上。

由于题目已经告诉我们短轴的夹角为π/6，我们可以得出短轴的斜率为tan(π/6) = 1/√3。

因此，我们可以知道椭圆的短轴方程为y = x/√3。

由于这个点属于椭圆，所以我们可以得到椭圆的标准方程为(x^2)/a^2 + (y^2)/(a^2 - b^2) = 1。

代入已知条件，我们可以解得椭圆的标准方程为(x^2)/3 + (y^2)/2 = 1。

接下来，我们来看第二道选择题。

2. 题目内容：设f(x) = 2x + 1, g(x) = 3^x - 1，则满足f(g(x)) = g(f(x))的x的取值范围是（）。

解析：首先我们根据题目给出的函数表达式可以得到f(g(x)) = f(3^x - 1) = 2(3^x - 1) + 1 = 2*3^x - 1。

同样地，我们可以得到g(f(x)) = g(2x + 1) = 3^(2x + 1) - 1。

要使f(g(x)) = g(f(x))成立，我们需要解方程2*3^x - 1 = 3^(2x + 1) - 1。

化简后得到2*3^x = 3^(2x + 1)，继续化简可得x = 0或x = -1。

因此，满足f(g(x)) = g(f(x))的x的取值范围为{x ∈ R | x = 0 或 x = -1}。

最后，我们来看第三道选择题。

3. 题目内容：求曲线y = (lnx)/√x在点x = e处的切线方程。

解析：要求曲线在点x = e处的切线方程，我们需要求该点处的斜率和过该点的直线方程。

首先，我们求斜率。

曲线的导数为(dy/dx) = [(1/√x - ln x/2√x)]/x = (1 - ln x)/2x√x。

2013考研数二真题答案完整版

x→0 axn
axn
axn
1 x2 + o(x2 ) 1 (2x)2 + o(x2 ) 1 (3x)2 + o(x2 )
= lim( 2
+2
+2
)
x→0
axn
axn
axn
所以 n = 2 且 1 + 4 + 9 = 1 ⇒ a = 7 2a 2a 2a
（16）解析：由题意可得：
∫ Vx = π
a
1
(x3 )2
即 lim 1− cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos 3x = lim 1− cos x + cos x(1− cos 2x) + cos x ⋅ cos 2x(1− cos 3x)
x→0
axn
x→0
axn
= lim(1− cos x + cos x(1− cos 2x) + cos x ⋅ cos 2x(1− cos 3x))
又由于 f (x) 为奇函数，故 f '(x) 为偶函数，可知 G(−ξ ) = 0 ,
则 ∃η ∈(−ξ ,ξ ) ⊂ (−1,1) 使 G '(ξ ) = 0,
即 eη[ f '(η) −1] + eη f ''(η) = 0 ，即 f ''(η) + f '(η) = 1
2
2
全国统一服务热线：400—668—2155
（16）（本题满分 10 分）
2
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鲤鱼网（）
1
设 D 是由曲线 y = x3 ，直线 x = a(a > 0) 及 x 轴所围成的平面图形，Vx ,Vy 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转一

2013年数学二试题分析

2013年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1～8小题, 每小题4分, 共32分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.(1) 设 cos x -1= x sin α (x ) , 其中| α (x ) |<2π, 则当x →0时, α (x )是 (A) 比x 高阶的无穷小 . (B) 比x 低阶的无穷小.(C) 与x 同阶但不等价的无穷小. (D) 与x 等价无穷小 . 【】【答案】 (C).【详解】由cos x -1= x sin α (x ) , 有 1=1cos )(sin lim-→x x x x α2021)(sin limx x x x -=→αx x x )(sin lim 20α→-=，即 21)(sin lim 0-=→x x x α, 因此sin α (x ) 是与x 同阶但不等价无穷小, 又sin α (x )与α (x )是等价无穷小, 所以, α (x )是与x 同阶但不等价的无穷小. 选 (C) .(2) 设函数y =f (x )由方程 cos(xy ) +ln y -x =1确定, 则=-∞→]1)2([lim nf n n(A) 2. (B) 1. (C) -1. (D) -2 . 【】【答案】 (A) .【分析】利用隐函数求导方法与导数定义.【详解】在方程cos(xy ) +ln y -x =1 中, 令x =0, 得y =1, 等式两端对x 求导得- sin(xy ) ⋅(y + x y ' ) +y1⋅ y ' -1 =0 . 将x =0, y =1代入上式, 得 y ' (0)= 1. 于是]1)2([lim -∞→nf n n =nf n f n 2)0()2(lim 2-∞→= 2 f '(0)= 2. 选 (A) .(3) 设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=,2,2,0,sin )(πππx x x x f ⎰=x t t f x F 0d )()(, 则(A) x =π是函数F (x )的跳跃间断点. (B) x =π是函数F (x )的可去间断点.(C) F (x )在x =π 处连续但不可导. (D) F (x )在x =π 处可导. 【】【答案】 (C).【详解】当0≤ x <π 时, ⎰=xt t f x F 0d )()(⎰=xt t 0d sin =1-cos x ,当π≤ x ≤2π 时, ⎰=xt t f x F 0d )()(⎰=π0d sin t t ⎰+xt πd 2=2(1-π + x ) ,)cos 1(lim )(lim x x f x x -=--→→ππ=2, )1(2lim )(lim x x f x x +-=++→→πππ=2,于是 )(l i m x f x π→=2= f (π), 所以F (x )在x =π 处连续.易得 F '- (π)=0，()2F +'π=，即F (x )在x =π 处的左、右导数存在但不相等，故不可导. 选 (C).(4) 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-,,ln 1,1,)1(1)(11e x xx e x x x f α 若反常积分⎰∞+1d )(x x f 收敛, 则(A) α <-2 . (B) α > 2. (C) -2<α < 0 . (D) 0 <α < 2 . 【】【分析】此题考查定积分的基本性质和换元积分. 【答案】 (D). 【详解】⎰∞+1d )(x x f ⎰--=ex x 11d )1(1α⎰∞+++e x x x d ln 11，因为反常积分⎰∞+1d )(x x f 收敛, 当且仅当上式右边两个反常积分（一个无界，一个无穷限）都收敛，所以11,α-< 且11α+>，即0 <α < 2. 选 (D).(5) 设函数z =)(y x f x y , 其中函数f 可微, 则=∂∂+∂∂yzx z y x (A) 2yf ' (x y ) . (B) -2yf ' (x y ) . (C) x 2f (x y ) . (D) -x2f (x y ) . 【】【答案】(A). 【详解】由z =)(xy f xy, 可得 )(2xy f x y x z -=∂∂y xy f x y ⋅'+)()()(22xy f x y xy f x y '+-=,),(1y x f xy z =∂∂x xy f x y ⋅'+)()()(1xy f y xy f x '+=,=∂∂+∂∂yzx z y x )()(1xy f y xy f x '+-)()(1xy f y xy f x '++=2yf ' (xy ). 选 (A).(6) 设D k 是圆域D ={(x , y ) | x 2+y 2≤1}位于第k 象限的部分, 记y x x y I kD k d d )(⎰⎰-=(k =1, 2, 3, 4), 则(A) I 1> 0 . (B) I 2 > 0. (C) I 3 > 0. (D) I 4 > 0. 【】【答案】(B).【分析】利用重积分的性质即可得出答案.【详解】因为第1，3象限区域有关于x, y 的轮换对称性，故d d kD y x y ⎰⎰=d d kD x x y ⎰⎰，于是 ()d d 0kkD Iy x x y =-=⎰⎰ （k =1, 3）.在第2象限区域D 2上，0y x -≥，第4象限区域D 4上0y x -≤，故由重积分的性质得20I >，40I <. 选 (B).(7)设A , B , C 均为n 阶矩阵. 若A B = C , 且B 可逆 , 则(A) 矩阵C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价. (B) 矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价. (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价.(D) 矩阵C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价. 【】【答案】选(B).【详解】设A =(α 1, α 2 , ⋅⋅⋅ , α n ) , C =(γ 1, γ 2 , ⋅⋅⋅ , γ n ) , 由A B = C , 则有(α 1, α 2 , ⋅⋅⋅ , α n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n b b b b b b b b b 212122111211 =(γ 1, γ 2 , ⋅⋅⋅ , γ n ) ,可知 γ j = b 1 j α 1 b 2 j α 2 +⋅⋅⋅ + b n j α n , (j = 1, 2,⋅⋅⋅ , n )即矩阵C 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示, 又因B 为可逆矩阵 , 于是(α 1, α 2 , ⋅⋅⋅ , α n ) = (γ1, γ 2 , ⋅⋅⋅ , γ n ) 1212122111211-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n b b bb b b b b b ,矩阵A 的列向量组也可由矩阵C 的列向量组线性表示, 即矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价. 选 (B).(8) 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件为(A) a =0, b =2 . (B) a =0, b 为任意常数 . (C) a =2, b =0 . (D) a =0, b 为任意常数.【】【答案】选 (B)【分析】利用结论：两个可对角化的矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值.【详解】记矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，20000000B b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 显然，矩阵B 的特征值为2, b , 0，而矩阵A 与B 相似的充分必要条件是有相同的特征值, 所以| 2 E - A |=1212112---------aa b aa =020211aa b a a ------= -4 a 2 = 0 , 得a = 0.当a = 0时, 由 | 2 E - A |=11||00011E A bλλλλ---=-=--得矩阵A 特征值的为2, b , 0. 故当a = 0时，对任意常数b , 矩阵A 与B 相似，且反之亦成立. 选 (B) .二、填空题：9-14小题, 每小题4分, 共24分.(9) xx xx 10])1ln(2[lim +-→= _______.【答案】21e.【详解】属于1∞未定式.xx xx 10])1l n (2[l i m +-→= ])1ln(2ln[10lim x x x x e+-→=2)1ln(limx x x x e+-→=xx x e2111lim 0+-→)1(21limx x e+→==21e.【评注】若 lim f (x )=1, lim g (x )= ∞, 则)()(lim x g x f (1∞型) = )(ln )(lim x f x g e ]1)()[(lim -=x f x g e .(10) 设函数f (x )=⎰--x t t e 1d 1, 则y =f (x )的反函数x =f -1(y )在y =0处的导数0|d d =y yx= _____ . 【答案】111--e.【详解】等式f (x )=⎰--x t t e 1d 1两端对x 求导，得 f ' (x )=xyd d =xe -1. 令⎰--x t t e 1d 1=0, 得x = -1,0|d d =y y x=111-=-x xe 111--=e.(11) 设封闭曲线L 的极坐标方程为r = cos3θ (66πθπ≤≤-), 则L 所围平面图形的面积是_______ . 【答案】12π . 【分析】由极坐标下平面图形的面积公式直接计算即得.【详解】所求面积 θθππ⎰-=662d 3cos 21S θθππ⎰-+=66d )6cos 1(4112π=.(12)曲线arctan ,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩t =1 的点处的法线方程为 ____________ .【答案】 1ln 242x y π+=+. 【分析】考查极坐标下方程的求导和导数的几何意义. 【详解】将t =1代入⎩⎨⎧+==,1ln ,arctan 2t y t x 得4π=x , y =2ln 21, 又 t xt yx y d d d d d d =22111t t t ++== t , 所以1d d t y x== 1, 曲线上对应于t =1 的点处的法线的斜率为-1，所求法线方程为y -2ln 21= -( x -4π), 即 1l n 242x y π+=+. (13) 已知y 1 = e 3 x -xe 2 x , y 2 =e x -xe 2 x , y 3 = -xe 2 x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解, 则该方程满足条件 y | x =0 =0, y ' | x =0=1的解为y = ___________________. 【答案】应填e 3x - e x -xe 2 x .【详解】由已知条件有 y 1 - y 3 = e 3x , y 2 - y 3 = e x , 显然y 1 - y 3 , y 2 - y 3 线性无关, 所以该二阶常系数非齐次线性微分方程方程的通解为y = C 1 e 3x + C 2 e x -xe 2 x , C 1 , C 2 为任意常数.由 y | x =0 =0, 有 C 1 + C 2 = 0, 由 y ' | x =0 =1, 有 3C 1 + C 2 -1= 1,解得C 1 =1, C 2 = -1, 故该方程满足条件 y | x =0 =0, y ' | x =0=1的解为y = e 3x - e x -xe 2 x .(14) 设A =(a i j )是三阶非零矩阵 , |A |为A 的行列式, A i j 为a i j 的代数余子式. 若 a i j +A i j =0 (i , j =1, 2, 3), 则 |A | = ___________ . 【答案】 -1 .【分析】根据已知条件易联想到利用重要公式AA * = | A | E .【详解】由 a i j +A i j =0 有, A i j = -a i j , (i , j =1, 2, 3), 得 A * = -A T , 于是AA * = -A A T =| A | E ,两边取行列式得 - | A | 2= | A | 3 , 解得 | A | = - 1 或 | A |=0.当| A |=0时, 由 A A T =| A | E = 0, 有A = 0, 与已知矛盾, 所以 | A | = - 1 .【评注】也可以如下证明||0A ≠：由A 为非零矩阵，不妨设110a ≠. 于是，根据行列式的按行展开定理得111112121313||A a A a A a A =++222111213()0a a a =-++<.三、解答题：15—23小题, 共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)当x →0时, 1 - cos x cos 2x cos3x 与 a x n 为等价无穷小, 求n 与a 的值.【详解1】当x →0时, 1 - cos x cos 2x cos3x 与 a x n 为等价无穷小, 由三角函数的积化和差公式以及洛必达法则得1=0011(cos3cos )cos31cos cos 2cos32lim lim n nx x x x xx x xa x a x →→-+-= 2011(cos 3cos cos3)2lim n x x x x a x →-+=011(cos 61cos 4cos 2)4lim n x x x x a x→-+++= n x x a x x x 2cos 4cos 6cos 3lim 410---=→102sin 24sin 46sin 6lim 41-→++=n x x n a xx x 20)1(2cos 44cos 166cos 36lim 41-→-++=n x x n n a x x x 201lim )1(14-→-=n x x n n a . 故 n =2,a = 7.【详解2】当x →0时, 有泰勒公式221cos 1()2!x x o x =-+，221cos 21(2)()2!x x o x =-+， 221cos31(3)()2!x x o x =-+.于是 225cos cos 21()2!x x x o x =-+，22cos cos2cos317()x x x x o x =-+.因此 221cos cos2cos37()x x x x o x -=-，即当x →0时, 1 - cos x cos 2x cos3x 与27x 为等价无穷小量，故 n =2,a = 7.(16) (本题满分10分)设D 是由曲线31x y =, 直线x =a (a >0) 及x 轴所围成的平面图形, V x , V y 分别是D 绕x 轴, y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 若V y = 10V x , 求a 的值.【分析】本题考查定积分的应用，直接利用旋转体的体积公式计算. 【详解】由已知条件有x x V ax ⎰=0231d )(πa x 035|53π=3553a π=,x x x V ay ⎰⋅=031d 2πa x 037|76π=3776a π=.因V y = 10V x , 即 3776a π355310a π⋅=, 解得 a =77. 【评注】V y 也可如下计算：1312323()d a y V a a y y ππ=⋅-⎰3776a π=. (17) (本题满分10分)设平面内区域D 由直线x =3y , y =3x 及x +y =8围成, 计算二重积分y x x Dd d 2⎰⎰. 【详解】直线x =3y 与 y =3x 的交点为(0, 0), 直线x =3y 与x +y =8的交点为(6, 2), 直线y =3x 与x +y =8的交点为(2, 6) .y x x Dd d 2⎰⎰y x x x x ⎰⎰=33202d d y x x xx⎰⎰-+83622d d⎰=203d 38x x ⎰-+6232)d 348(x x x 204|32x =6243|)8(31x x -+3416=.(18) (本题满分10分)设奇函数f (x )在闭区间[-1, 1]上具有2阶导数, 且f (1)=1. 证明 (I) 存在ξ ∈(0, 1), 使得f ' (ξ)= 1；(II) 存在η∈(-1, 1), 使得 f '"(η)+ f ' (η)=1 .【分析】需要证明的结论与导数有关, 自然联想到用微分中值定理. 第2问中的辅助函数可通过记()()g x f x '=，解微分方程()()1g x g x '+=并分离常数得到通解[()1]x e g x C -=，因此可作辅助函数()[()1]x G x e f x '=-.【证明】(I) 方法1：令F (x )= f (x ) - x , 则 F (1)= f (1) -1=0 . 由f (x )为奇函数知f (0) =0 , 因此F (0)= f (0) -0=0 , 即F (x )在区间[0, 1]上满足罗尔定理条件, 于是存在点ξ ∈(0, 1) , 使得F ' (ξ)= 0 , 即 f ' (ξ)= 1 .方法2：由f (x )为奇函数知f (0) =0 ，且易知f (x )在区间[0, 1]上满足拉格朗日中值定理条件，因此存在点ξ ∈(0, 1) , 使得 (1)(0)()110f f f -'ξ==-.(Ⅱ) 令G (x )= e x [f ' (x ) -1] . 由(I)知 G (ξ)= 0. 又已知f (x )为奇函数, 故f ' (x )为偶函数, 于是 f ' (-ξ)=f ' (ξ)=1 , 故G (-ξ)= 0. 因此G (x )在区间[-ξ , ξ ]上满足罗尔定理条件, 于是存在点η ∈(-ξ , ξ)⊂ (-1, 1), 使G ' (η)= 0 , 即 e η [f ' (η) -1] + e η ⋅ f '"(η) = 0.因为e η ≠0, 所以 f '"(η)+ f ' (η)=1 .(19) (本题满分10分)求曲线 x 3 -xy + y 3 =1(x ≥0 , y ≥0 )上点到坐标原点的最长距离与最短距离 . 【分析】本题考查二元函数的条件极值问题, 用拉格朗日乘数法.【详解】点(x , y )到坐标原点的距离 22y x d +=, 问题为求目标函数22y x +在约束条件x 3 -xy + y 3 =1(x ≥0 , y ≥0 )下的最大值和最小值. 为方便求导，我们构造拉格朗日函数F (x , y , λ) = x 2+ y 2 +λ (x 3 -xy + y 3 -1).解方程组 22332(3)0,(1)2(3)0,(2)1,(3)x yF x x y F y x y x xy y λλ'⎧=+-=⎪'=+-+=⎨⎪-+=⎩由(1), (2)消去λ 得, (y -x ) (3xy +x + y )=0, 由于 x ≥0 , y ≥0 , 得y =x , 代入(3)得唯一可能的极值点：x = y = 1. 另外，曲线L 与x 轴, y 轴的交点分别为(1, 0), (0,1) . 计算这些点到坐标原点的距离得 d (1, 1) =2, d (1, 0) =d (0, 1) =1, 故所求最长距离为2, 最短距离为1 . 【评注】求最值问题时要注意考虑区域边界点或曲线端点的情况.(20) (本题满分11分) 设函数f (x )=ln x +x1， (I) 求f (x )的最小值； (II) 设数列{ x n }满足 ln x n +11n x +<1, 证明n n x ∞→lim 存在, 并求此极限.【分析】第1问利用导数讨论即可；第2问利用极限存在的单调有界收敛准则. 【详解】(I) 因 f ' (x ) =x 121x-, 令f ' (x )=0, 得f (x )的唯一驻点x =1, 且在定义域内没有导数不存在的点. 当0< x <1时, f ' (x )<0, 当 x >1时, f ' (x )>0, 因此x =1为f (x )的极小值点，也是最小值点，且最小值为 f (1) =1.(II) 由(I)知数列{ x n }有 ln x n +n x 1≥1, 即 ln x n ≥1-n x 1, 又 ln x n +11n x +<1, 即 1-11n x +> ln x n 11nx ≥-, 因此 11n x +<n x 1, 于是 x n < x n+1 , 即{ x n }单调上升.显然，x n >0, 于是由ln x n +11n x +<1 得 ln x n 1111n x +<-<，即 n x e <，所以{ x n }单调上升且有上界，故 n n x ∞→lim 存在.设n n x ∞→lim = a , 当n →∞时, 对 ln x n +11n x +<1 两边求极限, 并由极限的保号性有11ln ≤+a a . 又由(I)得 ln x n +nx 1≥1, 两边求极限有 11ln ≥+a a . 故 11ln =+a a , 解得 a =1，即 n n x ∞→lim =1.(21) (本题满分11分) 设曲线L 的方程为 y =x x ln 21412- (1≤ x ≤ e ). (I) 求L 的弧长；(II) 设D 是由曲线L , 直线x =1, x =e 及x 轴所围平面图形, 求D 的形心的横坐标. 【分析】本题考查定积分的几何应用，均可直接利用公式计算. 【详解】(I) 因为 1122y x x'=-，故L 的弧长1es x =⎰=⎰+e x x x 1d )212(e x x 12|)2ln 4(+=412+=e . (II) D 的形心的横坐标 ⎰⎰⎰⎰=DDyx yx x x d d d d ，而且d d Dx x y ⎰⎰=211ln 4211d d ex x x x y -⎰⎰=3111(ln )d 42e x x x x -⎰=221(1)(3)16e e +-， d d Dx y ⎰⎰=2111(ln )d 42e x x x -⎰=3171212e -=31(7)12e -.故 x 2233(1)(3)4(7)e e e +-=-. (22) (本题满分11分)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011a A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 110. 当a , b 为何值时, 存在矩阵C 使得 AC -CA = B , 并求所有矩阵C .【分析】由于从矩阵方程中不能直接得到C ，因此转化为求解线性方程组.【详解】设 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321x xx x C , 则AC -CA = B , 即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛011a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4321x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b 110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b 110, 等价地有 23124134230,1,1,.x a x ax x a x x x x x ax b -+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩(1)对方程组的增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a a a b a a a aA 0100010101011101010111011010010 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→b a a00010000001011101. 当a≠ -1或 b ≠ 0方程组(1)无解.当a = -1, b = 0方程组(1)有无穷多解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101A , 得(1) 的通解为 x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00011001011121k k , k 1, k 2为任意常数.所以，当a = -1, b = 0时, 存在矩阵C 使得, AC -CA = B , 并且C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++211211k k k k k , k 1, k 2为任意常数.(23) (本题满分11分)设二次型f (x 1, x 2, x 3) =2(a 1 x 1+a 2 x 2+a 3 x 3)2 + (b 1 x 1+b 2 x 2+ b 3 x 3)2, 记α =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321a a a , β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321b b b .(I) 证明二次型f 对应的矩阵为 2 α α T +β β T ；(II) 若α , β 正交且均为单位向量, 证明f 在正交变换下的标准形为 2 y 12+y 22 .【分析】充分利用行向量与列向量的乘积、列向量与行向量的乘积的特殊性分析求解. 【详解】(I) 记123(,,)Tx x x x =, 因为f (x 1, x 2, x 3) = 2(a 1 x 1+a 2 x 2+a 3 x 3)2 + (b 1 x 1+b 2 x 2+ b 3 x 3)2= 2(x 1, x 2, x 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321a a a (a 1, a 2, a 3 )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x +(x 1, x 2, x 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321b b b (b 1, b 2, b 3 )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x = x T ( 2 α α T ) x + x T (β β T ) x = x T ( 2α α T +β β T ) x ,且2 ααT+ββT为对称矩阵，所以二次型f对应的矩阵为2 ααT+ββT .(II) 记A=2 ααT+ββT . 由α,β正交且均为单位向量得Aα= (2 ααT+ββT ) α=2α(αT⋅α )+β(βT⋅α)= 2 α,Aβ= (2 ααT+ββT ) β=2α(αT⋅β)+β(βT⋅β)= β,于是α为A的对应于特征值λ1=2的特征向量, β为A的对应于特征值λ2 =1的特征向量.又因r(A)= r(2 ααT+ββT ) ≤r(2 ααT)+ r(ββT ) ≤ 2< 3, 所以λ3=0为A的第3个特征值, 故二次型f在正交变换下的标准形为2 y12+y22 .11。

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2013年考研数学二真题及答案2013 年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．１．设 cos x 1 x sin (x ), (x ) ，当 x 0 时， x （） 2（（ A ）比 x 高阶的无穷小 C ）与 x 同阶但不等价无穷小（B ）比 x 低阶的无穷小（D ）与 x 等价无穷小1 1详解】显然当 x 0 时 cos x x x x1 sin ( ) ~2 , s in ( ) ~ x x x ，故应该选（~( ) 【 2 2 22 ．已知 y f x是由方程cos xy ln y x1确定，则lim n f 1 （）nn（ A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2【【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义． y '详解】将 x0代入方程得 y f (0) 1，在方程两边求导，得 sin(xy )(y xy ')yx 0, y 1，知 y ' (0) f ' (0)1．2f ( ) f (0) 2 n n lim n f 1 2 lim 2 f '(0) 2 ，故应该选（A ）． 2nn nsin x , x [0, )x ３．设 f (x )， F (x )f (t )dt 则（） 2, x [,2 ]（（Ａ） x为 F (x )的跳跃间断点．（Ｂ） x 为 F (x )的可去间断点．Ｃ） F (x )在 x 连续但不可导．（Ｄ） F (x )在 x可导．x 【详解】只要注意 x 是函数 f (x ) 的跳跃间断点，则应该是 F (x )f (t )dt 连续点，但不可选（Ｃ）．1(x 1) 11 , 1 x ef x dx 收敛，则（４．设函数 f (x ) ，且反常积分） , x ex ln 1 x （ A ） 2 （B ） a 2（C ） 2 a 0 （D ） 0 21111而第二个反常积分dx ln x |1，当且仅当 a 0 才收敛．x ln 1 x lim ln xexf x dx 才收敛，故应选（Ｄ）．从而仅当 02时，反常积分 y x zzy xy５．设函数 zf xy，其中f 可微，则（）x 22（ A ） 2yf '(xy ) （B ） 2yf '(xy ) （C ）f (xy ) （D ）f (xy ) xxxz z y xy x y y y 21【详解】f (xy ) f '(xy ) f (xy ) yf '(xy ) 2yf '(xy ) ．应该选（A ）．x 2 xx( , ) | D x y xy1的第 k 象限的部分，记 I (y x )dxdy ，则（）．设 D 是圆域2 26 k k Dk（ A ） I 0 （B ） I 0 （C ） I 0（D ） I 01234【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k1k13I (y x )dxdy d (sincos )r2dr(sinsin)d22 kk 1 (k1)Dk2 2k1sincos |2 k 1322 2 所以 I I0, I, I ，应该选（B ）． 13 24 3 37 ．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（（（（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．B ）矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】把矩阵 A ，C 列分块如下： A , , , , C , , ,，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知1 2 n 1 2 nbbb (i 1,2, ,n ) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同i 1 1i 22inni时由于 B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 0 08 ．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 1 0 0 0（ A ） a0, b 2 （B ） a 0 ，b 为任意常数（ C ） a 2, b 02 0 0（D ） a 2， b 为任意常数1 a 12 0 0【详解】注意矩阵0 b 0是对角矩阵，所以矩阵 A= a b a 与矩阵0 b相似的充分必要0 0 0 1 a 1 0 0 0条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a E A aba( a 11 2(b 2) 2b2a2 )1 从而可知 2b 2a 2b ，即 a0 ， b 为任意常数，故选择（B ）．2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）1 ln(1 x)x9． lim 2．xxx(x1 x2 o (x2 ) 11 xln(1x )ln(1 x)x ln(1 x ) 2 1 xxlim lim【详解】 lim 2lim 1 e xx 2e xx 2e ． 2x 0 x x 0 x dx x te dt，则 yf (x )的反函数 x f1 (y ) 在 y0处的导数10．设函数 f (x )1|．y 01dy【详解】由反函数的求导法则可知dx dy 11|． ydy 1e 1|x 1dx611．设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos3t 为参数，则 L 所围成的平面图形的面积 6为【．2 121 21 Ar 2 dcos 3d2 cos 2tdt 详解】 6 63 120 6 6所以．答案为． 1 2x arctan t1 2．曲线上对应于t 1处的法线方程为．y ln 1 t 2t t 1 11 2 2 【详解】当t 1时， x , y ln 2， y '| |1，所以法线方程为t 1t 1 4 21 t 1 1y ln 2 1(x )，也就是 y x ln 22 4 2 4y e 3xxe 2x , y e xxe 2x , y xe 2x 是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1 3．已知 123y (0) 0, y ' (0)1方程的解为．【详解】显然 y y e 3x 和 yy e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由132 3yC e 3x C exe 2x ，其中C , C 为任意常数．把初始条件代入可得 x解的结构定理，该方程的通解为 1 2 1 2C 1,C 1，所以答案为 ye 3xe x xe 2x1 214 ．设 Aa 是三阶非零矩阵，A 为其行列式， A 为元素 a 的代数余子式，且满足 ijijij A a 0(i , j 1,2,3)，则 A = ．ij ij详解】由条件 A a 0(i , j1,2,3)可知* 0 A A T，其中 A *为 A 的伴随矩阵，从而可知【 ijijA * A *T A A ，所以 A 可能为 1或 0．3 1n ,r (A ) n但由结论 ( ) 1, ( ) 1 r A *r A n 可知，A A * T0可知 r (A ) r (A *) ,伴随矩阵的秩只能为 3，所以0 ,r (A ) n 1 A1.三、解答题1 5．（本题满分 10 分）当 x0时，1cos x cos 2x cos 3x 与 axn 是等价无穷小，求常数 a ,n ．【【分析】主要是考查 x0时常见函数的马克劳林展开式．1 1 详解】当 x 0 时， cos x 1 x2 o (x ) 2 ， cos 2x 1 (2x ) 2 o (x 2 ) 1 2x 2 o (x ) ，222 1 9 cos 3x 1 (3x ) 2 o (x 2 ) 1 x 2 o (x ) ，22 21 9 所以1 cos cos2 cos 3x 1 (1 x x x 2 o (x))(1 2 2 x 2 o (x ))(1 2 x 2 o (x )) 7 2 x o (x 2 ) ， 22 2由于1cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a 7,n 2．1 6．（本题满分 10 分） 3x，直线 xa (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V ,V 分别是 D 绕 x 轴和 y 轴旋转x y设 D 是由曲线 y一周所形成的立体的体积，若10V V ，求 a 的值． x y【详解】由微元法可知253a aVxy dx x dx a ；233 5 0 04 7 6 V2 axf (x )dx2x dx a；a33y7由条件10V V ，知 a7 7 ．x y 1 7．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x 3y , y 3x , x y8 所围成，求 x dxdy ． 2D【详解】4 1 62dx3x 6dx8xx 2dxdy x 2 dxdy x 2 dxdy x 2 dy x 2 dy ． x x32 DDD331 2 1 8．（本题满分 10 分）设奇函数 f (x ) 在1,1上具有二阶导数，且 f (1)1，证明：（ 1）存在( 0,1) ，使得 f '1；（【 2）存在(1,1) ，使得 f () f ( ) 1．详解】证明：（1）由于 f (x ) 为奇函数，则 f (0) 0，由于 f (x ) 在1,1上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存f (1) f (0)在( 0,1) ，使得 f '()1．1 0（ 2）由于 f (x ) 为奇函数，则 f '(x ) 为偶函数，由（1）可知存在( 0,1) ，使得 f '1，且 f'1，令 (x ) e ( f '(x ) 1)，由条件显然可知(x ) 在1,1上可导，且() ()0 ， x 由罗尔定理可知，存在 (,) (1,1)，使得' 0, 即 f () f() 1．1 9．（本题满分 10 分）x3 xyy 1(x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．3求曲线【【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法．详解】构造函数 L (x , y )x 2 y 2 x ( 3xyy 1)3L2x (3x y ) 02x L 2y (3y ) 0 ，得唯一驻点 x1, y 1，即 M (1,1) ．12x 令y x 3 xyy 13考虑边界上的点， M (0,1),M (1,0)；2 3f (x , y ) x y 2 在三点的取值分别为 f (1,1) 2, f ( 0,1) 1, f (1, 0) 1，2 距离函数所以最长距离为 2 ，最短距离为 1． 0．（本题满分 11） 2 1设函数 f (x )ln xx⑴ ⑵ 求 f (x ) 的最小值；1设数列x 满足ln x 1，证明极限 lim x 存在，并求此极限． n n n x n 1 n 【（详解】1 1x 1 1） f '(x ) ， x x 2x2 令 f '(x ) 0 ，得唯驻点 x1，当 x( 0,1) 时， f '(x ) 0，函数单调递减；当 x(1,) 时， f '(x )0 ，函数单调递增．所以函数在 x 1处取得最小值 f (1)1．1111（ 2）证明：由于 ln x 1，但ln x 1，所以，故数列x 单调递增．nn nx n 1 x nx n 1 x n1又由于 ln x ln x 1，得到 0 xe ，数列x有界．nnnnx n1由单调有界收敛定理可知极限 lim x 存在． n n1 1令 lim x a ，则 lim ln x ln a 1，由（1）的结论可知 lim xa 1．nnnnnx n 1 a n2 1．（本题满分 11） 1 41y x 2ln x (1 x e ． ) 设曲线 L 的方程为 2（（ 1）求 L 的弧长．2）设 D 是由曲线 L ，直线 x 1, x e 及 x 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标．【（详解】1 1 x1 2 11）曲线的弧微分为 dx1 y ' dx2 1 x dx (x x )dx ，4 1 1 e 2 1e 所以弧长为 sds (x )dx ． 2 x 41（则 2）设形心坐标为x , y，1 4 x2 1ln x e 42e 32 xdxdy dxdye1xdx 0 2 dy3(e 4 2e 23)16 xD． 1 x 2 1e 3 7 4(e 7) 31dxln x4 2 dy12D2 2．本题满分 11 分） 1 a0 1 ，问当 a , b 为何值时，存在矩阵 C ，使得 AC CA B ，并求出所有矩阵 C ．A, B 设 1 01 b【详解】 x1 x显然由 ACCAB 可知，如果C 存在，则必须是 2 阶的方阵．设C 2 4 ， x x3x ax ax x ax1 12 4则 ACCA B 变形为2 3， x x x x ax 1 b1 3 4 23 x ax0 2 3ax x ax 11 2 4 即得到线性方程组，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩 x x x 1 1 3 4xax b 2 3 阵进行初等行变换如下0 1 1 a 0 01 0 111a 0 a 1 0 1 a 0 0A | b，1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a1 a 0 b 0 b 所以，当 a 1, b 0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C ，使得 AC CA B ．1 0 1 1 1 0 11 0 0 0 0 0 0 此时，A | b，0 00 0 0x 1 1 11 2 3 x x 0 1 0 所以方程组的通解为 x C 1 C ，也就是满足 AC CA B 的矩阵 C 为2 1x40 0 1 1 C C C C 1 2 1 ，其中C ,C为任意常数． 12C 1 C 22 3（本题满分 11 分）a b 11f (x ,x ,x ) 2(a x a xa x ) 2 (b x b x b x )2 ．记 a ,b ．设二次型 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2332 32a b31）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T ；T（ 2）若,正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为详解】证明：（1）2 y 21 y 2．（【 2 f (x , x , x ) 2(a x a xa x ) 2 (b x b xb x )21 2 3 1 12 23 31 12 23 3a xb x11 11232x , x , x a a , a ,a x x , x , x b b , b ,b x 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 21 2 3a xb 3xx x 1 1 23 x , x , x2x x , x , x x TTT 1 2 3 2 3 1 2 3 x xx 123x , x , x2x T1 2 3 x所以二次型 f 对应的矩阵为 2 TT．证明（2）设 A2 TT，由于1,T0 A 则 2 22，所以为矩阵对应特征值 2的特征向量；2 T T T 1 A 22 ，所以为矩阵对应特征值 1的特征向量； 2 T T T2 而矩阵 A 的秩 r (A ) r (2 T T ) r (2 T ) r ( T ) 2，所以 0也是矩阵的一个特征值．32 2yy 22 ．1故 f 在正交变换下的标准形为。

2013考研数学一数学二数学三(真题及答案)完美打印word版

2013考研数学（一、二、三）真题及答案解析第一部分：数一真题及答案解析1.已知极限arctan limkx x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案:D解析：用洛必达法则221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x cx kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案:A 解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（）A .34 B. 14 C. 14- D. 34-答案:C解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。

91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。

2013年考研数学二真题及答案

2013年考研数学二真题及答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)．(1)． 0lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿. (2)．函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定,那么dydx=＿＿＿＿＿＿. (3)．设1()(2(0)xF x dt x =>⎰,那么函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. (4)．=＿＿＿＿＿＿. (5)．曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,那么()f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)． (1)．当x →时,变量211sin x x是( )．(A)．无穷小 (B)．无穷大(C)．有界的,但不是无穷小 (D)．有界的,但不是无穷大(2)．设2|1|,1,()12, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩那么在点1x =处函数()f x( )．(A)．不连续 (B)．连续,但不可导 (C)．可导,但导数不连续 (D)．可导,且导数连续(3)． 2,01,()1, 12,x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,那么()F x 为 ( )．(A)．31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B)． 311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C)． 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D)． 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩(4)．设常数0k >,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )．(A)． 3 (B)． 2 (C)． 1 (D)． 0 (5)．假设()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,那么()f x 在(,0)-∞内 ( )．(A)． ()0,()0f x f x '''<< (B)． ()0,()0f x f x '''<> (C)． ()0,()0f x f x '''>< (D)． ()0,()0f x f x '''>>三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)．(1)．设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d ydx.(2)．求lim )x x x →-∞.(3)．求401cos 2xdx x π+⎰.(4)．求3(1)xdx x +∞+⎰. (5)．求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解.四、(此题总分值9分)．设二阶常系数线性微分方程xy y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)xx y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.五、(此题总分值9分)．设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.六、(此题总分值9分)．作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值.七、(此题总分值6分)．设0x >,常数a e >,证明()aa xa x a++<.八、(此题总分值6分)．设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)． (1)．【答案】：0(2)．【答案】：222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-(3)．【答案】：104x <≤ (4)．【答案】：1/22cos x C -+(5)．【答案】：222111(1)ln(1)222x x x ++-- (5)．【答案】：(C)．三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)． (1)．{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,{}22cos[()]()2y f x f x x ''''=⋅⋅{}2222cos[()]()2cos[()]()2f x f x x f x f x x ''''⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦22cos[()]()(2)f x f x x ''+⋅⋅2222222sin[()][()](2)cos[()]()(2)f x f x x f x f x x '''=-⋅⋅+⋅⋅22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅.()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)．应先化简再求函数的极限,lim )limx x x x →-∞=100limlim11x x x →-∞==.因为0x <,所以100100limlim501111x x x→-∞===---. (3)．先进展恒等变形,再利用根本积分公式和分部积分法求解.2444000sec 1tan 1cos 222x x x dx dx xd x x πππ==+⎰⎰⎰[]4440001111sin tan tan (0)22242cos x x x xdx dx x ππππ=-=--⎰⎰ []4400111cos ln(cos )82cos 82d x x x ππππ-=-=+⎰111[ln(cos )ln(cos0)]ln 28248284ππππ=+-=+=-. (4)．用极限法求广义积分.2333000(1)1[(1)(1)](1)(1)(1)x x dx dx x x d x x x +∞+∞+∞--+-==+-++++⎰⎰⎰ 1220121(1)(1)lim 22(1)bb x x x x +∞--→+∞⎡⎤+⎡⎤=-+++=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ 221111lim02(1)222b b b →+∞+=-+=+=+.(5)．所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos , 1011x x y y x x x '+=-≠--, 通解为 2222112cos []1xxdxdxx x x y ee dx C x ---⎰⎰=+-⎰ 2222(1)(1)112cos 1d x d x x x x e edx C x -----⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰ 221sin cos 11x C xdx C x x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件 01x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-.四、(此题总分值9分)．要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比拟系数法即得.对于特解2(1)xx y e x e =++,有222(1)2(2)xx x x x y ee x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)x x x x x x x y e x e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦,代入方程x y y y e αβγ'''++=,得恒等式 2224(3)2(2)(1)xx x x x x xe x e e x e e x e e αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 化简得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++≡,比拟同类项系数,得4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解之得3,2,1αβγ=-==-.于是原方程为32x y y y e '''-+=-,所对应的齐次微分方程320y y y '''-+=的特征方程为2320r r -+=,解之得 121,2r r ==. 所以微分方程32x y y y e '''-+=-的通解为2*222121212(1)x x x x x x x x x y c e c e y c e c e e x e c e c e xe =++=++++=++.五、(此题总分值9分)．利用定积分求旋转体的体积,用微元法.222x y x +≤等价于22(1)1x y -+≤.解法一：考虑对y 的积分,那么边界限为2111x y =--与2(01)x y y =≤≤,如右图所示.当y y dy →+时, 2212(2)(2)dV x dy x dy ππ=---222(211)(2)y y dy π⎡⎤=-+---⎣⎦2221(1)y y dy π⎡⎤=---⎣⎦. 所以 122021(1)V y y dy π⎡⎤=---⎣⎦⎰.对于1201y dy -⎰,令sin y t =,那么cos dy tdt =,所以2122220001111cos (1cos 2)sin 22224y dy tdt t dt t t ππππ⎡⎤-==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰；对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以 12201121(1)243V y y dy πππ⎛⎫⎡⎤=---=- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.解法二：取x 为积分变量,那么边界限为212y x x =-与2(01)y x x =≤≤,如右图所示.当x x dx →+时,1222(2)()2(2)(2),dV x y y dx x x x x dx ππ=--=---所以1202(2)(2)V x x x x dx π=---⎰.令1x t -=,那么1,x t dx dt =+=,所以 120(2)(2)x x x x dx ---⎰21(1)2(1)(1)(1)t t t t dt -⎡⎤=-+-+-+⎣⎦⎰02221111t t t t dt -⎡⎤=---+-⎣⎦⎰. 再令sin t θ=,那么cos dt d θθ=,所以 00222212111(cos sin cos sin 1)cos t t t t dt d πθθθθθθ--⎡⎤---+-=-+-⎣⎦⎰⎰2222222cossin cos sin cos cos d d d d ππππθθθθθθθθθθ----=-+-⎰⎰⎰⎰00002222221(1cos 2)cos cos sin sin cos 2d d d d ππππθθθθθθθθ----=+++-⎰⎰⎰⎰[]00330222211cos sin sin 2sin 2233ππππθθθθθ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111143343ππ=++-=-. 所以 120112(2)(2)2()43V x x x x dx πππ=---=-⎰.六、(此题总分值9分)．这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题. 设圆锥底半径为R ,如图,,,BC R AC h OD r ===.ADOCB由,BC ODAD AC AD==有R R h =⇒=于是圆锥体积22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--, 得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, 所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=.七、(此题总分值9分)．首先应简化不等式,从中发现规律.当0x >,常数a e >时,原不等式两边取自然对数可化为ln()()ln a a x a x a +<+ 或ln()ln a x aa x a+<+.证法一：令()()ln ln()f x a x a a a x =+-+,那么()ln af x a a x'=-+.由,0,a e x >>知ln 1,1,aa a x><+故 ()0(0)f x x '>>. 从而()f x 为严格单调递增函数,且()()ln ln()(0)ln ln 0,(0)f x a x a a a x f a a a a x =+-+>=-=>即 ()ln ln()0a x a a a x +-+>, 所以 ()aa xa x a ++<.证法二：令ln ()x f x x =,那么21ln ()xf x x-'=. 当x a e >>时,有21ln ()0xf x x -'=<, 所以函数在x a e >>为严格单调递减函数,即()()f x a f a +<,所以有ln()ln a x aa x a+<+,即 ()a a x a x a ++<.八、(此题总分值9分)．证法一：用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得()(0)(),(0)f x f f x x ξξ'=+<<由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aM f x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的根本性质可知 20|()||()|2aaMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知()()(0)()xf t dt f x f f x '=-=⎰,从而 0|()||()|xf x f t dt Mx '≤≤⎰,以下同证法一.证法三：分部积分法.00()()()[()()]()()aaaaf x dx f x d x a f x x a a x f x dx '=-=-+-⎰⎰⎰[()()(0)(0)]()()()()a af a a a f a a x f x dx a x f x dx ''=---+-=-⎰⎰.所以()()()()()()aaa af x dx a x f x dx a x f x dx M a x dx ''=-≤-≤-⎰⎰⎰⎰2201122aM ax x Ma ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦.。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析

2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。

故()F x 在x π=处连续但不可导。

4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。

7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。

⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。

故32xxx y e exe =−+−。

14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。

2013年考研数二真题及详细解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点（B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导（D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（）（A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价2（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解

2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版
附答案分析及详解
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．设 cos x 1 xsin (x), (x) ，当 x 0 时， x （）
2
（A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价无穷小
时由于 B 可逆，即 A CB1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C
的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B）．
1 a 1
2 0 0
8．矩阵 a b a 与矩阵 0 b 0 相似的充分必要条件是
1 a 1
0 0 0
（A） a 0,b 2
x
f (t)dt
连续点，但不可导．应
0
选（Ｃ）．
４．设函数
f
(x)
( x
1 1) 1
,1
x
e
，且反常积分
x
1 ln 1
x
,
x
e
f xdx 收敛，则（
）
（A） 2
（B） a 2
（C） 2 a 0
（D） 0 2
【详解】
f (x)dx
1
e dx 1 (x 1) 1
e
．
x0
x
1
【详解】 lim 2 ln(1 x) x
lim1
1
x ln(1 x) x
xln(1 x)
lim
e x0
x2
x(x1 x2 o(x2 )
lim
2
e x0
x2
1
e2 ．
x0
x x0

2013年考研数学二真题及答案解析

方法二：
Q 第二象限中 y > 0 ， x < 0 ，始终 y > x
即 y−x>0
∴ I 2 >0 ∴ 选（B）.
（）
(7) 设 A， B， C 均为 n 阶矩阵，若 AB = C ，且 B 可逆，则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量等价 (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量等价【答案】(B) 【解析】将 A, C 按列分块， A = (α1 ,..., α n ), C = (γ 1 ,..., γ n ) 由于 AB = C ，故
2 n
) （A）
（D）-2
【解析】因为 x = 0时，y = 1 即 f (0) = 1 .
2 Q lim n f ( ) − 1 = lim 2⋅ n →∞ n n →∞
又Q cos( xy ) + ln y − x = 1
2 f ( ) − f (0) n = 2 f '(0) = 2 y ' x = 0 2 −0 n
（6）设 Dk 是圆域 D = ( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1 在第 k 象限的部分，记 I k =
{
}
∫∫ ( y − x)dxdy ,
Dk
(k = 1, 2,3, 4) 则
(A)
（ (B) I 2 > 0 (C) I 3 > 0 (D) I 4 > 0
）
I1 > 0
【答案】（B）【解析】方法一：
∫
e
1
（5）设 z =

2013考研数学二真题答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等价的无穷小【答案】（C ）【解析】因为200sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→-==-，所以0limsin ()0x x α→=，因此当0x →时，()0x α→，所以sin ()()x x αα，所以00sin ()()1lim lim 2x x x x x x αα→→==-，所以()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。

（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 【答案】（A ）【解析】由于(0)1f =，所以2()(0)2lim ()1lim 22(0)2n n f f n n f f n n →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎡⎤'-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，对此隐函数两边求导得()sin()10y y xy xy y ''-++-=，所以(0)1f '=，故2lim ()12n n f n →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。

（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点（B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导（D ）()F x 在x π=处可导【答案】（C ）【解析】0sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x xxtdt x x F x f t dt tdt dt x x ππππππ⎧=-≤<⎪==⎨⎪+=-+≤≤⎩⎰⎰⎰⎰，由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-→+==，所以()F x 在x π=处连续；()()1cos limlim 0x x F x F x x x πππππ→-→+---==--，()()2()lim lim 2x x F x F x x x ππππππ→+→+--==--，所以()F x 在x π=处不可导。

2013年数二-真题+答案

1 E A a
1
2
a
1 a (2 (b 2) 2b 2a 2 )
b
a
1
从而可知 2b 2a 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（B）．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（A） a 0, b 2 （C） a 2, b 0 （B） a 0 ， b 为任意常数（D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
ln(1 x) x 9． lim 2 x 0 x
该选（A）． 6．【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
4
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2
I k ( y x)dxdy
Dk
k
( k 1) k
2 d (sin cos ) r dr 2 0
10 ．设函数 f ( x)
1
．
1

x 1
1 e t dt ，则 y f ( x) 的反函数 x f
( y) 在 y 0．
11．设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos 3 图形的面积为 12．曲线上．
n
16．（本题满分 10 分）设 D 是由曲线 y
3
x，直线 x a ( a 0) 及 x 轴所转成的平面图形， V x ,V y 分别是 D 绕 x
轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 10V x V y ，求 a 的值． 17．（本题满分 10 分）

2013年考研数二真题及答案解析(完整版)

2013年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。

x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。

2013考研数学二答案真题解析

sin tdt =1− cos x,
0
π
x
sin tdt + 2dt= 2(x − π
0
π
0≤ x<π +1),π ≤ x ≤ 2π
，
由于 l= im F (x) l= im F (x) 2 ，所以 F (x) 在 x = π 处连续；
x→π −
x→π +
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梦想不会辜负每一个努力的人
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2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设 cos x −1 =x sinα (x) ，其中 α (x) < π ，则当 x → 0 时，α (x) 是（） 2
要使 lim(− 1 λ→∞ α
1 lnα
) 存在，需满足α λ
>
0 ；所以 0
<α
<
2。
（5）设 z = y f (xy) ，其中函数 f 可微，则 x ∂z + ∂z = （）
x
y ∂x ∂y
（A） 2 yf ′(xy) （B） −2 yf ′(xy)
【答案】（A）
（C） 2 f (xy) （D） − 2 f (xy)
π ≤ x ≤ 2π
0
）
（A） x = π 是函数 F (x) 的跳跃间断点
（B） x = π 是函数 F (x) 的可去间断点
（C） F (x) 在 x = π 处连续但不可导
（D） F (x) 在 x = π 处可导

考研数学二13年真题

2013年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小（D ）与x 等价无穷小2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→12lim n f n n （）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 ３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点．（Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点．（Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导．（Ｄ）)(x F 在π=x 可导．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α ５．设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （）（A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x-6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价．（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价．（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．8．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 1)1ln(2lim ． 10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx． 11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为． 13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为．14．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 是等价无穷小，求常数n a ,．设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．,3,3=+==yxxyyx所围成，求⎰⎰Ddxdyx2．设平面区域D是由曲线8设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．20．（本题满分11）设函数xx x f 1ln )(+= ⑴求)(x f 的最小值； ⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=．（1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22212y y +．一.选择1.【详解】显然当0→x 时)(~21~)(sin ,21~)(sin 1cos 2x x x x x x x ααα--=-，故应该选（C ）． 2. 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将0=x 代入方程得1)0(==f y ，在方程两边求导，得01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ． 2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）． 3. 【详解】只要注意π=x 是函数)(x f 的跳跃间断点，则应该是⎰=xdt t f x F 0)()(连续点，但不可导．应选（Ｃ）． 4.【详解】⎰⎰⎰∞++-∞++-=e edx xx x dx dx x f 1111ln 1)1()(αα，其中⎰⎰---=-10111)1(e etdt x dxαα当且仅当11<-α时才收敛；而第二个反常积分xx dx xx x eαξαααln lim 11|ln 1ln 111+∞→∞+-∞++-=-=⎰，当且仅当0>a 才收敛．从而仅当20<<α时，反常积分()dx x f ⎰∞+才收敛，故应选（Ｄ）． 5. 【详解】)('2)(')(1)(')(22xy yf xy yf xy f xxy f x y xy f x y y x y z x z y x =++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂+∂∂．应该选（A ）．6. 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．7. 【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．8. 【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa baa A E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．二.填空 9.【详解】21)(21(lim)1ln(lim 101022202)1ln(1lim )1ln(2lim e ee x x x x x x x o x x x xx x xx xx x x ===⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+-→→→→．10. 【详解】由反函数的求导法则可知11011|1|--==-==e dxdy dy dx x y11. 【详解】12cos 313cos 2121202662662πθθθπππππ====⎰⎰⎰--dt t d d r A 所以．答案为12π． 12. 【详解】当1=t 时，2ln 21,4==y x π，1|111|'1221=++===t t t t t y ，所以法线方程为)4(12ln 21π--=-x y ，也就是042ln 21=--+πx y ． 13. 【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．把初始条件代入可得1,121-==C C ，所以答案为x x x xe e e y 23--=14. 【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A的伴随矩阵，从而可知A AA A T-===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+T A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A三.解答题15. 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16. 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ．17. 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18. 【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ．19. 【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法．【详解】构造函数)1(),(3322-+-++=y xy x y x y x L λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+=∂∂=-+=∂∂10)3(20)3(23322y xy x x y y y L y x x x L λλ，得唯一驻点1,1==y x ，即)1,1(1M ．考虑边界上的点，)0,1(),1,0(32M M ；距离函数22),(y x y x f +=在三点的取值分别为1)0,1(,1)1,0(,2)1,1(===f f f ，所以最长距离为2，最短距离为1．20. 【详解】（1）22111)('xx x x x f -=-=，令0)('=x f ，得唯驻点1=x ，当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，函数单调递减；当),1(∞∈x 时，0)('>x f ，函数单调递增．所以函数在1=x 处取得最小值1)1(=f ．（2）证明：由于11ln 1<++n n x x ，但11ln ≥+n n x x ，所以nn x x 111<+，故数列{}n x 单调递增．又由于11ln ln 1<+≤+n n n x x x ，得到e x n <<0，数列{}n x 有界．由单调有界收敛定理可知极限n n x ∞→lim 存在．令a x n n =∞→lim ，则11ln 1ln lim1≤+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→a a x x n n n ，由（1）的结论可知1lim ==∞→a x n n ．21. 【详解】（1）曲线的弧微分为dx xx dx x x dx y dx )1(211411'12+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=，所以弧长为41)1(2121+=+==⎰⎰e dx x x ds s e ．（2）设形心坐标为()y x ,，则)7(4)32(31271632324324ln 214101ln 21410122---=---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--e e e e e e dy dx dy xdx dxdy xdxdyx x x x x eD D． 22. 【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ，则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 1103243142132，即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 324314213211，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a ab a a a ab A 00010000001011101010********0010|，所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ，所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数． 23. 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2．证明（2）设=A T T ββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T T T A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T T r r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．考研数学二13年真题21 / 21。