热学--压强公式推导

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
• 理想气体压强及温度的微观理论 (1) 理想气体的微观模型
1）分子可视为质点； 线度 间距
−9
d ~ 10
;
−10
m,
1mol气体 NA=6.02×1023, V=22.4L r=(V/NA)1/3=3.34×10-9 m
r ~ 10 m, d << r
2）除碰撞瞬间, 分子间无相互作用力；
3）弹性质点（粒子之间及与容器壁碰撞均为完全弹性碰撞）； 4）分子的运动遵从经典力学的规律 。

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
(2) 理想气体压强公式 设 边长分别为 x、y 及 z 的长方体中有 N 个全 同的质量为 m 的气体分子，计算 A1 壁面所受压强 .
y
A2
o
- mv x v mv x
v vv
A1
v vy
y
z x o
v v v vx
z
x
v vz

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
单个分子对器壁碰撞特性 : 偶然性 、不连续性. 大量分子对器壁碰撞的总效果 ： 恒定的、持续 的力的作用 . 热动平衡的统计规律 （ 平衡态 ）
dN N = 1）分子按位置的分布是均匀的 n = dV V
2）分子各方向运动概率均等
v v v v 分子运动速度： vi = vix i + viy j + viz k

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
2）分子各方向运动概率均等 分子运动速度
v v v v vi = vix i + viy j + viz k
各方向运动概率均等
vx = v y = vz = 0
1 2 = ∑ vix N i
2 vy
x
2 方向速度平方的平均值 v x
2 vx
各方向运动概率均等
=
=
2 vz
1 2 = v 3

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
单个分子遵循力学规律
y
- mv x v mv x
x方向动量变化 Δ pix = − 2 m v ix
分子施于器壁的冲量
v vv
A1
y
A2
o
2mvix
2 x vix
z
z x 两次碰撞间隔时间
x
单位时间碰撞次数
vix 2x
x
2 单个分子单位时间施于器壁的冲量 m v ix

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
y
- mv x v mv x
v vv
A1
y
z x
单个分子单位时间 施于器壁的冲量 2 m v ix x 大量分子总效应 单位时间 N 个粒子 对器壁总冲量
2 vix
A2
o
z
∑
i
x
2 mvix
x
m Nm Nm 2 2 vx = ∑ vix = = ∑ x i x i N x
器壁 A1所受平均冲力
F=
2 vx
Nm x

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
y
- mv x v mv x
v vv
A1
器壁 A1所受平均冲力 2 F = v x Nm x
y
z x
气体压强
A2
o
z
x
N n= xyz
F Nm 2 p= = vx yz xyz
1 2 nm v 则： p = 3
1 2 2 vx = v 统计规律 3 1 2 分子平均平动动能 ε k = m v 2
2 p = nε k 3

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
压强的物理意义 统计关系式 宏观可测量量 分子平均平动动能
2 p = nε k 3
微观量的统计平均值
1 2 ε k = mv 2
压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果 .

1. 热力学系统的平衡态及状态方程
（3）温度的本质
理想气体的状态方程： pV = νRT = Nk BT
N 2 即： p = k BT = nk BT = nε k V 3 3 2 εk 于是有： ε k = k BT , T= 2 3 kB
温度是组成系统的大量微观粒子的无规则运动剧烈程度的度量 分子运动永不停息，热力学温度的零点永远达不到 有规则的运动不会影响气体的温度