平移与密铺图案

旋转变换与密铺图案

广州大学计算机教育软件研究所左传波

在前面《平移变换与密铺图案》一文中我们提到图1所示的一个密铺图案，可以观察到这种密铺图案的基本图形就是一个任意的四边形。下面我们就研究这个密铺图案是如何由一个任意的四边形得到的，并自己动手创造出一幅由任意四边形组成的密铺图案。

图1 图2

由任意四边形ABCD（图2）为基本元素构成的密铺图案，需要考虑以下两点：

（一）与ABCD相邻且全等并与CD为公共边的四边形，与ABCD或者关于CD轴对称（如图3），或者关于CD的中点中心对称（如图4）。

图3 图4

（二）对于任何密铺图案来说，关键在于任何一个顶点处的几个角之和是否为360°。因为任意四边形的内角和等于360°，以点D为例，CDA

∠已经存在，所以需要在点D处构造四边形的另外三个角DAB

∠、ABC

∠。

∠和BCD 图3中，在点D处存在另外一个角与CDA

∠相等，因此以CD为轴将四边形ABCD反射这种操作，在第一步就应该被摒弃，因为通过这种变换不可能组成密铺图案。因此第一步需要构造四边形ABCD以CD的中点为中心的中心对称图形，那么在点D处就构造了第二个角BCD

∠。

同样道理，作出四边形ABCD以DA的中点为中心的中心对称图形，在点D 处就构造了第三个角DAB

∠，如图5所示；那么接下来只需要将四边形ABCD按照向量BD进行平移即可，如图6所示。

.

图5 图6 这就说清楚了任意四边形组成密铺图案的基本原理，下面我们动手作出区域更大的密铺图案。

（1）启动Z+Z超级画板，作任意四边形ABCD，作CD的中点E、DA的中点F，作多边形ABCD。

（2）将点E指定为中心，设置旋转角为pi，将多边形ABCD、点A和点B旋转；重新将点F指定为中心，将多边形ABCD、点B和点C旋转；将BD指定为平移向量，将多边形ABCD和点D平移。将多边形ABCD以及旋转和平移得到的多边形填充为不同的颜色，结果如图7所示，

图7

为了得到更大区域的密铺图案，需要将这个图形进一步进行变换：

（3）将BK指定为平移向量，选择四个多边形然后多次单击平移命令；将AH 指定为平移向量，选择所有多边形然后多次单击平移命令，结果如图8所示。

图8

（4）将点A、点B、点C和点D之外的其他点隐藏，将所有线段隐藏。

可以发现，在拖动点A、点B、点C或点D的过程中，四边形ABCD的形状和性质在发生变化，而通过上面的步骤构造得到的图案为密铺图案这一性质保持不变。

思考问题：

（1）为什么分别按照向量BK和向量AH进行平移，就可以得到更大区域的密铺图案呢？

（2）如图9所示，这个密铺图案的基本图形是什么？它是由基本图形如何得到的？

图9