浅析第二个重要的极限
浅析极限的几种求法
读 与 写 杂 志
Ｒｅａ ｄ ａ ｎｄ ｔ ｅ Ｐｅ ｒ ｉ ｏｄ ｉ ｃ ａ ｌ
２ ０ １ ５年 ７月 Ｊ ｕ ｌ ｙ ２ ０１ ５
浅 析 极 限 的 几 种 求 法
黄 绍 东
（ 河 南 工 业 和 信 息 化 职业 学 院 河 南 焦 作 ４ ５ ４ ０ ０ ０ ）
中图分 类号 ： Ｇ６ ４ ２
１ 引 言
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — １ ５ ７ ８ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ７ — ０ ０ ３ ６ 一 Ｏ ２
ｌ
ｎ ３ － ７ ｌ ｉ ａ １ ｎ ｒ
－
ｌ
ｎ
１
／
＝ 一
极 限 是 高 等 数 学 中最 基 本 的 概 念 之 一 ， 极 限思 想 贯 穿 于 高 等数学的始终 ， 所 以 说 极 限 的计 算 方 法 与 技 巧 在 数 学 领 域 里 显 得 尤 为 重 要 。极 限 的 计 算 方 法 与 技 巧 多 种 多 样 ， 常用 的 极 限 计 算 方 法 有 利 用 极 限 的定 义 求 极 限 、 利 用 极 限 的 四则 运 算 法 则 求 极限 、 利 用 两个 重 要 极 限 求 极 限 、 利用等价无 穷小求极 限 、 利 用
凑 成 重 要 极 限 的形 式 时要 保 证 正 弦 的角 度 不 变 ， 只能 通 过 调 整
法则求极限等。 每 种 方 法 都 有 相 应 的 局 限性 ， 都 不 是 万 能 的 。因 此在具 体解题 的时候就需 要大家仔 细审题 、 综 合考虑 ， 同 时 也 要 注 意 解 题 的方 法 与 技 巧 ，涉 及 到 极 限 的计 算 问 题 特 别 多 ， 而 且技巧性强 ， 难 教 也 难 学 。本 文 主 要 探 讨 并 总 结 了 一 些 极 限 的
数学分析中极限问题的浅析 (1)
《数学分析》中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。
完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。
极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。
这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。
下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。
一 求数列极限（一） 利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理[1]求极限，这是一种简单而常用的方法。
例1、证明 （1） (a > 0)（2） 证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。
当a >1时，令则：a = (1 + h n )n = 1 + nh n + 故0 < h n <h n = 0即： (1 + h n ) = 1 当 0 < a < 1时：lim ∞→n 1=n a lim ∞→n 1=n n n n h a +=1 (h n > 0)n nn n nh h h n n >++- 22)1(na由迫敛性定理lim∞→n lim ∞→n =n a lim∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n =na 11 1 lim ∞→n n a1= 1（2） 设n = (1 + h n )n = 1 + nh n +>由迫敛性定理得 h n = 0从而：例：求极限即：e n由迫敛性定理可得：从而：由连续函数定义知：极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么nn h n +=1其中h n > 0 则2≥n nn n h h n n ++- 22)1(22)1(nh n n -即： 0 < h n <)2(12≥-n n lim∞→n lim ∞→n =n n lim ∞→n (1 + h n ) = 1lim+→0λ⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλn e e e n 21时：解：当0>λλλλλnnn ne e e e ≤++< 1n n e n e e λλλλ≤ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫++≤ 1令 +→0λlim +→0n n n e e e e =⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλλ21lim+→0n λn ee n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλ 1⋅λ{}，，，对任意自然数，若存在设数列01000N N N a n >∃>ε{}为极限。
浅析极限的几种求法
浅析极限的几种求法作者：黄绍东来源：《读与写·教育教学版》2015年第07期摘要：极限是高等数学中一个非常重要的概念，高等数学中很多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数和广义积分等都是由极限来定义的。
极限的问题一直是高等数学的困难之一，也是许多科学领域的重要思想之一，因此掌握好极限的计算方法与技巧是学习高等数学相当关键的一个环节。
虽然极限的计算方法比较多，但每种方法都有其局限性，都不是万能的。
因此对于具体的极限计算问题，我们应该去追求更简便、更快捷的计算方法。
为此本文通过实例归纳总结了极限的若干种计算方法与技巧，学习并掌握这些方法与技巧，对于学好高等数学颇有好处。
关键词：极限定义法四则运算法则两个重要极限函数的连续性定积分定义法洛必达法则中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2015）07-0036-021 引言极限是高等数学中最基本的概念之一，极限思想贯穿于高等数学的始终，所以说极限的计算方法与技巧在数学领域里显得尤为重要。
极限的计算方法与技巧多种多样，常用的极限计算方法有利用极限的定义求极限、利用极限的四则运算法则求极限、利用两个重要极限求极限、利用等价无穷小求极限、利用函数的连续性求极限、利用定积分的概念求极限、利用洛必达法则求极限等。
每种方法都有相应的局限性，都不是万能的。
因此在具体解题的时候就需要大家仔细审题、综合考虑，同时也要注意解题的方法与技巧，涉及到极限的计算问题特别多，而且技巧性强，难教也难学。
本文主要探讨并总结了一些极限的计算方法与技巧，对极限的计算有一定的参考价值，克服了许多学生在面对极限计算问题无从下手的缺点，能够做到得心应手。
2 利用定义法求极限例1，证明： =2 .证：对于任意给定的ε>0，要使xn-2= -2= ，取正整数N= ，则当n>N时，xn-2上述证明方法叫做解析法（或倒推法），是证明极限问题经常采用的方法.证明过程中，倒推语句“要使”，“只要”等不能省略，更不能写成颠倒的因果关系.例如，若把上述证明叙述为“因为xn-2= ”，则在因果关系上是错误的。
浅析高中数学中有关极限的知识
张 德 华
（ 江 师 范 学 院 数 学 与 计算 机 学 院 ， 长 重庆
摘 要 ： 文 从 极 限 的概 念 出发 ， 绍 极 限 简 单 的 分 类 本 介 即数 列极 限与 函数 极 限 ， 过 分 析 来说 明 它们 之 间的 关 系 ， 通 阐 述在 高 中数 学 中这 两种 极 限 的 应 用 ．同时 通 过 一 些 例 子 来说 明 用极 限 方法 解 决 高 中数 学 中的 一 些 难题 ． 关键 词 ： 列极 限 函数 极 限 高 中数 学 数 在数 学 分 析 中极 限 理 论 是 重 点 之 一 ，它 的 思想 贯穿 于整 个 数 学 分 析 中 ． 于 高 中 学 生 来 说 ， 限 也 是 难 点 ， 要 是 因 对 极 主 为 它 的定 义 与 证 明 的 方 式 都 和 初 等 数 学 有 着 明 显 的 不 同 ． 因 此 如何 把 知 识 传 授 给 学 生 ，如 何 让 他 们对 这个 内容 掌握 得 更 好 ， 于 老 师 来说 就是 ～ 个 挑 战 了． 对
成 立 ？ 如 果 存 在 ， 给 出 证 明 ； 果 不 存在 ， 说 明 理 由 ． 请 如 请
解 ： 设存 在 这 样 的ａ ｂ 则 由ａ ａ ｂ 一 ）， 以得 到 ｌ ａ 假 、， ｎ － （ “可 ＿ ｉ ｍ
定义 １ 设伪 定义 在 ［ ，＊） 的 函数 ， 为定 数 ， 对 任 给 ａ＋ 上 Ａ 若 的ｓ Ｏ 存 在 正 数Ｍ（ ）使 得 当ｘ Ｍ时 有 Ｉｘ一 Ｉ ￣ 称 函 数ｆ ＞， ≥ａ ， ＞ ｆ ）Ａ＜ Ｉ （ ｓＪ 当Ｘ 于＋ 趋 时 以Ａ 为极 限 ， 记作 ｌ （ ） Ａ （ ） Ａ ｘ ｏ） ｉ ｘ ＝ 或ｆｘ 一 （ 一＋ 。 ． ｍｆ
一个重要极限的简单推广及运用
ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ 吉） 。＝ ｅ ，
ｌ ｉ ｍ（ １＋ ） ：ｅ，
ｌ ｉ ｍ（ １＋ Ｅ １ ） 吉 ＝ｅ， 方框 “ 口” 代 表 任 意形 式 下
的同一 变量 。 ￣ １ １
…
、
第一 ｉ个重 要极 限的推 广
推广 １ ：
ｍ ｌ ｉ
＿ ＋ ０ ． ０
—
＝ｌ 。 ｇ ｅ （ 百 ０型未定式）
Ｕ
型未定式 ； 公式推 广 ； 运用 文章编号 ： １ ６ ７ １ １１ ５ ８ ０ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ —０ １ ５ ３ —０ ２
文献标识码 ： Ａ
一
、
第二 个重 要极 限 ｌ ｉ ｍ（ １＋ ） ＝ｅ的特征
又 可 变 化 为 旱 ， 即 ０ 型 。 转 化 后 的 ０ ・ 。 。 型 和 罟
—’ Ｕ
ｌ ｉ ｍ （ 志 － ｅ
ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ ） ） 而 ＝ｅ ． 它们 的共同特征是：
１ ． 都是 １ 型 的未 定式 ；
证明： ｌ ｉ ｍ
＝
ｌ ｉ ｍｌ ｏ ｇ 。 （ １＋ ）
—
２ ． 求 极 限的 函数 都 是 幂指 函数 （ 幂 指 函数 是 指 数形 式 ， 但 底 和指数 部 分 都是 函数 ） ， 其 形 式 皆 为底 函数为两 项之 和 ， 且 第一 项必 须 为 １ ， 第 二项 与 指 数
＋ Ｏ
ｌ ｉ ｍ —— ： 土 — 一 ： ｌ ｎ ｏ ，
ｌ ｏ ｇ 。 ｅ
＝
ｌ ｉ ｍ
—
・
加
Ｓ Ｘ 一 １ Ｃ０
特别 当 ｎ ＝ ｅ 时 即得
当 ：
ｎ
浅析极限的若干求法
【６ 极 （ 例】 限 求
【 】 解 由洛必达法则得
一）
【 】 －Ｏ时 ， 解 当ｘ － ￣ 乘以 ２ ｉｘ 再除 以２ｓｎ ， ％ｎ ＂ 则 ｉ
４０ １ ） ５ ０ ５
摘 要 ： 限 理 论 是 高等 数 学 的 基 础 ， 文 给 出了极 限 的 若 干 求 法 ， 用 具体 实例 加 以说 明 。 极 本 并 关 键 词 ： 限 ； 达 式 ； 价 无 穷 小 极 表 等
极 限 理 论 是 高 等 数 学 的 基础 ， 限 问题 是 高 等 数 学 中 困难 问题 之 极
的过 程 。
（ ） 般 清 况 下 利 用 等 价 无 穷 小 代 换 求 极 限 时， 对 乘 除 运 算 使 ２一 只
／‘ｎ ／‘ｎ 用 等价 代 换 ， 在 加 减 运 算 时 ， 非 乘 积 因 子 在 某 种 条 件 下 也 可 利 用 、 ｎ＋ 、 ｎ＋ 但 对 故 原 极 限＝ １ 等 价 代换 求 极 限 。
一
ｒ ｘ ｌ ｘ ¨ｌ 兰 Ｉ 兰 ＋ 兰 ＋－ １ ｉ ＋ ｘ ｌ ｉ ｉ
ｎ 【 ｘ ｘ ｘ Ｊ
＝
、
利用 等 价 无 穷 小量 代 换 求极 限
｝ １１ｎ＋ ＋ ａ＝ ．百 （ａ ｌ２ ｌ １ １ ＋ ａ … ｎ）ｎ ｎ
。
‘
在 求乘 除表 达 式 的极 限时 ，其 因 子 可 以用 等 价 无 穷 小量 来 代 替 ， 不 但 可 以 简化 求 极 限 的过 程 且 极 限 值 不 变 。 ｘ 时 ， 用 的 等 价 无 当 — 常 穷 ， 代 换 ：ｉｘ ｘ ａｃｉｘ ｘ ｔ ｘ ｘ ａｃ ｎ １ ＣＳ～ ｅ一 ～ Ｊ 、 ｓ ～ ｒｓｎ ～ ａ ～ ｒｔ ｘ ｘ 一ＯＸ ｘ ｔ １ ｘ ｎ ｎ ａ ａ— ￣ ｌａ １（＋ ）ｘ （＋ ｘ １ⅡＢ ｘｌｘ ｎ ｎ１ｘ ； １Ｂ） ～ ｘ 一 【 １求下列极 限 例 】
浅析第二个重要的极限
浅析第二个重要的极限作者：张春红来源：《知识文库》2017年第04期高等数学是从函数及其极限为基础展开研究的。
第二个重要极限跟第一个重要极限一样是极限中特殊的极限形式。
理解第二个重要极限的本质形式，是学好第二个重要极限的前提。
文章先分析第二个重要极限本质表现形式，然后分析其应用。
用事實说明第二个重要极限在高等数学和经济上的重要性第二个重要极限是型的极限类型，为导数的学习奠定了基础，在经济上用于复利的计算。
1 结构第二个重要的极限： .当时，底数趋向于1，指数趋向于无穷大，属于型的极限类型。
利用单调有界数列必有极限，可以求得极限为。
在极限中只要是无穷小就有①型的极限类型②表达式中，只要是无穷小即这说明：当及时，函数的值会无限地趋近于。
常数就是这个极限值，即.如果令公式还可以写成. （1.5.5）这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为”。
如：；；用求极限时，函数的特点是型幂指函数，只要中是无穷小，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数就符合第二个重要极限的类型。
2 应用2.1公式的直接应用应用第二个重要极限求极限：例1 求解这道题属于求幂指函数的极限，先变形化简后整理成第二个重要极限的形式，然后应用第二个重要极限求出结果。
应用第二个重要极限推导指数和对数函数的求导公式：例2 求函数的导数解例3 求函数的导数解即特殊地运用导数的定义表达出指数函数和对数函数的导数形式，结合第二个重要极限，推导得出求导公式，为导数的进一步学习铺砖引路。
第二个重要的极限在推导求指数函数和对数函数的求导公式过程中，起到了举足轻重的作用。
第二个重要极限是基本初等函数求导公式得出的奠基石。
第二个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的桥梁纽带作用。
2.2公式的间接应用经济上连续复利计算就是以第二个重要极限为依据的：设初始本金为p （元），年利率为r，按复利付息，若一年分m次付息，则第n年末的本利和为89如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数m趋于无穷大时， t年末的本利和可按如下公式计算若要t年末的本利和为s，则初始本金。
论文_浅析函数极值的求法及应用[1]综述
![论文_浅析函数极值的求法及应用[1]综述](https://img.taocdn.com/s3/m/4609a33df18583d04964596f.png)
XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级、班级： 08数本姓名： XXX学号： XXXXXXX指导教师(职称)： XXXXX2012 年3 月15 日浅析函数极值的求法及应用摘要函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。
本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。
关键词函数极值求法应用Analysis of the function extreme value solution and its applicationAbstractThe extreme value of function is one of the important contents of mathematics study,so the function extreme problems of the function extreme value has important significance.This paper discusses the use of the Lagrange multiplier method,the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extremum,and the use of directional derivative method,MATLAB software and function unconditional extremum,summarized some applications about the extreme value of function in the proof of inequality, physics, production and sales and bee house problems.Keywords function；extreme value；solution；application目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)第一章引言 (1)第二章函数极值的定义及其存在的条件 (1)2.1多元函数极值的定义 (2)2.2多元函数极值存在的条件 (2)第三章函数极值的若干求法 (3)3.1拉格朗日乘数法求极值 (3)3.2柯西不等式法求极值 (4)3.3梯度法求极值 (5)3.4利用方向导数判别多元函数的极值 (7)3.5 Matlab求函数极值 (9)第四章函数极值理论的应用 (12)4.1函数极值在不等式证明中的应用 (12)4.2函数极值在物理学中的应用 (13)4.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用 (14)4.4运用函数极值分析蜂房的最优化问题 (15)第五章结束语 (18)致谢语 (18)引用文献 (18)第一章 引言函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。
(完整版)浅析洛必达法则求函数极限
本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法****：***学号： **********专业：数学与应用数学班级：数学1002班****：***完成日期： 2013 年 3月 8 日用洛必达法则求未定式极限的方法内容摘要极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。
但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。
本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。
除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。
关键词：洛必达法则函数极限无穷小量目录一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1)（一）洛必达法则定理 (1)（二）洛必达法则使用条件 (2)二、洛必达法则的应用 (2)（一）洛必达法则应用于基本不定型 (2)（二）洛必达法则应用于其他不定型 (3)三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5)（一）使用洛必达法则后极限不存在 (5)（二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6)（三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6)（四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6)四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6)（一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7)（二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8)（三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9)五、洛必达法则求极限小结 (10)（一）洛必达法则条件不可逆 (10)（二）使用洛必达法则时及时化简 (11)（三）使用洛必达法则前不定型转化 (11)参考文献 (13)序言数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。
因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。
极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。
极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限求极限；⑤利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求极限；⑦利用洛必达法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。
浅析两个重要极限方法求极限及其简单运用
结束语：
对于运用两个重要极限，求相关函数的极限，主要是了解清楚两个重要极限的本质特征，才能更好地运用两个重要极限，在判定级数的敛散性时，也是首先观察到级数的通项与我们的两个重要极限的相似性，由此才能准确地选择合适的级数与原级数作比较。
参考文献：
[1]单调函数单侧极限存在的判别法[J].谭伟明.重庆教育学院学报. 2单运用
摘要：两个重要极限是极限计算中一种非常重要的方法。是每个学习高等数学的人都必需掌握的。多年的教学实践表明，第一个重要极限基本都容易证明并能灵活运用，而第二个重要极限往往成为一个难点。在求极限的方法中两个重要极限有着重要的地位，而其他一些与此相关的函数可以通过变形成两个重要极限的基本形式进行求解，并可以借助两个重要极限来判定级数的敛散性。
[2]高等数学[M].高等教育出版社，同济大学数学系，2007
[3]李义林主编，高等数学（第二版）：西安交通大学出版社；2016：22-30，24-28.
[4]韩星云主编，高等数学：安徽师范大学出版社；2014：215-220.
[5]宋庆荣主编，高等数学，冶金工业出版社，2011：26-29，29-32.
二重极限的计算方法总结
二重极限的计算方法总结作者：张敏来源：《科技资讯》2019年第08期摘; 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。
一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。
该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。
关键词：二元函数; 二重极限; 连续中图分类号：O172; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文章编号：1672-3791（2019）03（b）-0239-021; 预备知识1.1 二元函数的定义定义1; 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点，按照某种法则f，都有唯一确定的实数Z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在点处的函数值记为f，即Z=f，其中称为自变量，Z称为因变量。
点集D称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域。
1.2 二重极限的定义定义2; 设函数Z=f的定义域为D，是平面内的定点。
若存在常数A，，，当点时，恒有，则称常数A为二元函数f当时的极限（也称为二重极限），记作或，也可记作或。
注意：（1）在该定义中，函数只需在点的某一去心邻域内有定义即可，极限值A与函数在该点是否有定义无关。
（2）二重极限的存在性与自变量趋近的路径无关。
由于二重极限定义中的动点P趋向于点的方式是任意的，因此在一个平面上的点趋向于P0点的方式就有无穷多种，这比一元函数当时的极限只有左右两侧的情形要复杂得多。
（3）如果动点P沿着两条不同的路径趋向于时，函数值趋向于不同的常数，那么二重极限不存在。
2; 二重极限的求法2.1 利用二重极限的定义验证二元函數的极限2.2 利用二元函数的连续性求二重极限2.4 利用一元函数极限中的特殊极限求二重极限2.6 利用一元函数极限的性质求二重极限3; 结语二重极限与一元函数的极限既有区别又有联系，只有掌握了最基本的求解方法，才能对症下药，解决具体问题。
浅析极限的若干求法[1]
![浅析极限的若干求法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/78146112cc7931b765ce1575.png)
) x3 32 sin x n (2&x 2 222 3浅析极限的若干求法孟金涛( 郑州航空工业管理学院数理系 河南 郑州 450015 )摘要: 极限理论是高等数学的基础, 本文给出了极限的若干求法, 并用具体实例加以说明。
关键词: 极限; 表达式; 等价无穷小极限理论是高等数学的基础, 极限问题是高等数学中困难问题之a +a +⋯+aa - 1一。
中心问题有两个: 一是证明极限的存在性, 二是求极限的值。
两个 问题密切相关: 若求出了极限的值, 自然极限的存在性也就证明了。
反 之, 证明了存在性, 常常也就为求极限铺平了道路。
x x【解】由于lim 1 2 x →0n1na i ( i=1, 2, ⋯, n ) ,所以有x n=1, lim 1 =+∞ 且当 x →0 时 i →x →0 x xxxx利用定义证明极限的存在, 有一先决条件, 即事先要知道极限的 lim 1 %a 1 +a 2 +⋯+a n - 1 &= 1 lim (a 1- 1)+(a 2 - 1)+⋯+(a n - 1) 猜测值。
通常情况下我们都不知道表达式的极限值, 那么如何根据表x xxx →0xn x →0 x情况进行具体的分析和处理。
下面概括了高等数学中常用的若干求极 n ’limx+limxxx+⋯+lim x x 达式来求出极限值呢? 对于这一问题, 没有统一的方法, 只能根据具体 = 1x →0a 1 - 1x →0a 2 - 1x →0a n - 1限的方法。
更多的方法, 有赖于人们去创造和发现。
= 1 (1na +1na +⋯+1na )=1n na a ⋯a 一、利用等价无穷小量代换求极限n1 2 n ) 1 2 n n在求乘除表达式的极限时, 其因子可以用等价无穷小量来代替, 不但可以简化求极限的过程且极限值不变。
当 x →0 时, 常用的等价无 穷 小 代 换 : sinx~x arcsinx~x tanx~x arctanx~x 1- cosx~x e x - 1~xa x - 1~x1na 1n(1+x)~x (1+βx)α- 1~αβx【例 1】求下列极限 3由上面( 2) 式可知lim f(x)= a 1 a 2 ⋯a n 。
浅析二重极限的定义
浅析二重极限的定义
二重极限是统计学中的一种概念，它表示将一个随机变量在两个方向上取极限的过程。
具体来说，二重极限可以表示为：lim(a,b)f(x)=lim(b→∞)lim(a→∞)f(x)，其中f(x) 是一个函数，a 和 b 是两个参数。
二重极限的定义表明，在求取函数的极限时，要先将某一个参数取极限，再将另一个参数取极限。
这个过程可以用来求解一些复杂的数学问题。
例如，二重极限可以用来求解统计学中常见的L 极限定理。
这个定理表明，当n 趋近无穷时，样本平均数的分布满足正态分布，即：lim(n→∞)P(|X−μ|>ε)=0。
其中X为样本平均数，μ为总体平均数，ε为任意小的正数。
这个定理也称为中心极限定理，是统计学中很重要的定理之一。
总之，二重极限是一种常见的数学概念，在统计学中有
着广泛的应用。
它可以用来解决复杂的数学问题，是统计学中的一个重要工具。
例题：
求解函数f(x,y)=xy/(x^2+y^2) 的二重极限，即：lim(x →∞)lim(y→∞)f(x,y)。
解法：首先，将y 取极限，得到：lim(y→∞)f(x,y)=lim(y →∞)xy/(x^2+y^2)=x/(x^2/y^2+1)。
然后，将x 取极限，得到：lim(x→∞)f(x,y)=lim(x→∞)x/(x^2/y^2+1)=0。
所以，函数f(x,y) 的二重极限为0。
浅析数学分析中极限解答方法
浅析数学分析中极限解答方法
作者：杨俐
来源：《新校园·上旬刊》2015年第02期
摘要：极限是数学分析中最基本的概念，同时也是微分的理论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，因此极限扮演着一个很重要的角色。
灵活掌握求极限的方法不仅能够培养学生的思维能力，而且能为学生的后续学习打下坚实的基础。
关键词：数学分析；极限；解答方法
一、数学分析中极限的一般概念
1.序列的极限
极限不仅是一种思维方式，而且是微积分求解的重要基础，掌握求极限的方法对我们甚为重要。
以上介绍的几种求极限的方法，关键是要弄清楚其中的要领，这样在解决问题时才能真正做到融会贯通，举一反三.
参考文献：
[1]欧阳光中，朱学炎，秦曾复.数学分析（上册）[M].上海：上海科技出版社，1983.
[2]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.
作者简介：杨俐（1993—），女，重庆万州人，本科学历，研究方向：数学与应用数学。
常用求极限方法浅析
ｔ — ｅ
０１
作
者： 湖 南理工职 业技 术学 院； 湖 南， 湘
四、 利用等价无 穷小代换 求极限
ｍ 例４ ． ： ￣ｌ ｉ
—
潭， ４ １ １ １ ０ ４
１ －
ｌ ｎ
ｃ ｏｓ ｔ
ｌ＿ ｒ －４
了
六、 利用洛必达法则求极 限
极限是微积分 的重 要 内容 ， 是 高等数 学的基础所在 ， 极 限 的学 习重 点在 于极 限 们还可 以利用两个重要极 限、 洛必达法则 、 无穷小 的性质 等 多种方 法求极 限 ， 现将 常 用求极 限方法 简单 介绍 如下 。
综 合
常 用 求 极 限 方 法 浅 析
马 云
摘 要： 许 多人在 求极 限时感到无从 下手 ， 例３ 球
＿ ＋ ｏ。 正 ｌ Ｕ
例６ ． 求 ｌ ｉ ａ（ ｒ １ 一上 ）
— Ｏ
不 知 用什 么 方 法 好 ， 本 文 对 常 用 求 极 限 的
方 法做 了一 些 归 纳 ， 并 通 过 对 典 型 例 题 的
中圈分类号 ： Ｆ １ ２ ３ ． １ ６ 文献标识码 ： Ａ
文章缡 号 ： ＣＮ ４ ３ —１ ０ ２ ７ ／ Ｆ（ ２ ０ １ ３ ） １ １ —１ ５ ２
－
ｍ 有 无 穷 小 的 性 质， 可 得 ｌ ｉ
—
＝ ０
÷） ‘ 一ｌ ｉ 一 Ｉ Ｔ Ｉ （ ” ［ （ １ ＋÷） ‘ ］ 一［ １ ｉ ｒ ｍ（ ’ １ ＋
一
解： 当 —ｏ 时， １ 一 Ｃ Ｏ Ｓ Ｔ 等； ｌ ｎ （ １ ＋
例７ ． 求
解： 由于 ｌ ｉ ｍｓ ｉ ｎ ２ ｘ＝ ０ ， ｌ ｉ ｍｔ ａ ｎ ３ ｘ ＝
一个重要极限的简单推广及运用
一个重要极限的简单推广及运用作者：郭新来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第06期作者简介：郭新（1977—），女，河南濮阳人，濮阳职业技术学院数学与信息工程系，讲师，硕士。
研究方向: 概率论与高等数学教学。
摘要：第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它是解决未定型极限的一个重要工具。
但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握，是学生学习中的一个重点和难点。
本文在分析了limx→∞(1+1x)x=e及其常用推广公式的共同特征后，对其解决00型未定式求极限中作了进一步的推广，得到简易公式，并给出相应运用。
关键词：第二个重要极限；00型未定式；公式推广；运用中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）06—0153—02一、第二个重要极限limx→∞(1+1x)x=e的特征在高等数学课本中，一般都有第二个重要极限limx→∞(1+1x)x=e的简单推广公式：limx→∞(1+1口)口=e，limx→0(1+x)1x=e，limx→0(1+口)1口=e，方框“□”代表任意形式下的同一变量。
如limx→∞(1+1f(x))f(x)=elimx→0(1+f(x))1f(x)=e.它们的共同特征是：1.都是1∞型的未定式；2.求极限的函数都是幂指函数（幂指函数是指数形式，但底和指数部分都是函数），其形式皆为底函数为两项之和，且第一项必须为1，第二项与指数函数互为倒函数；3.底函数的第二项在趋向下极限为0。
但是对于形式不是幂指函数的函数，如对1∞型的未定式取对数，1∞型就变成了0·∞型，0·∞型又可变化为01∞，即00型。
转化后的0·∞型和00型表现形式都不再是幂指形式。
但其极限的求法仍需要用第二个重要极限来求。
下面我们给出几个00型未定式极限的推广公式。
二、第二个重要极限的推广推广1：limx→0loga(1+x)x=logae （00型未定式）证明：limx→0loga(1+x)x=limx→0loga(1+x)1x由复合函数求极限法则loga(limx→0(1+x)1x)=logae.特别当a=e时即得limx→0ln(1+x)x=1推广2：limx→0ax－1x=lna（00型未定式）证明：变量代换，令t=ax－1，则x=loga(1+t)，且当x→0时，t→0.故limx→0ax－1x=limt→0tloga(1+t)由推广1得：limx→0ax－1x=1logae=lna特别当a=e时即得limx→0ex－1x=1；当x=1n时，有limn→∞a1n－11n=limn→∞n(na－1)=lna.推广3：limx→0(1+x)a－1x=a（a∈R）（00型未定式）证明：limx→0(1+x)a－1x=limx→0ealn(1+x)－1aln(1+x)·a·ln(1+x)x=alimx→0ealn(1+x)－1aln(1+x)·limx→0ln(1+x)x由推广2的结论可得limx→0(1+x)a－1x=a在求函数极限时，有些时候会化成上述的几种极限形式，而上面几种极限形式的推广式使用起来简单方便，易于理解。
浅析二重极限与二次极限
娌铆棠黯右
教 育 教 学 ２
浅 析二重极 限与二次极 限
臼 祥 褐
（ 成都学院（ 成都大学 ） 信 息 科 学 与 技 术 学 院 数 学 基 础部 四川 Ｉ 成都
摘
６ １ ０ １ ０ ６ ）
要： 二 元 函数 的二 重 极 限与 二 次 极 限 的 关 系十分 复杂 ， 遇 见 此 类 问题 ， 要 具体 分 析 ， 不 能 简单 下 结 论 。 本 文 以 ３个 不 同的 例 子 着
重探 讨 了二 重极 限与 二 次极 限 的 解 题技 巧 。 关 键词 ： 二重极限 ； 二 次极 限 ； 路 径； 存在
【 中图分类号 】Ｇ ６ ４ ２ ． ０
不 同 的极 限 ， 前 者 是 指 同 时
【 文献标识码 】Ａ
ａ与
【 文章编号】 １ ６ ７ １ — ８ ４ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ － ０ ０ ０ ４ － ０ １
析， 不 能 简 单 下 结论 。 这 里 给 出几 个 引 导 ， 以便 爱好 者们 继 续 探 讨。
表明， 二 重 极 限 的值 随 的 变化 而变 化 ， 即路 径 不 同 ， 极 限 值 不 同 。 由定 义 ， 函数在点（ ０ ， ０ ） 二 重 极 限不 存 在 。 下 面讨 论 此 函数 的二 次 极 限 ：
解： 根 据 二 重 极 限 的定 义 ， 二 重 极 限存 在 是 指 动 点 （ Ｘ ， Ｙ ） 沿
任一路径趋 于（ ０ ， ０ ） 时， 极 限 都 存 在 且 相 等 。此 处设 动 点 （ ｘ ， ｙ ） 沿直线 ｙ ＝ ｋ ｘ趋 于 （ ０ ， ０ ） ， 有
ｌ ｉ ａ ｘ ｒ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅析第二个重要的极限
高等数学是从函数及其极限为基础展开研究的。
第二个重要极限跟第一个重要极限一样是极限中特殊的极限形式。
理解第二个重要极限的本质形式，是学好第二个重要极限的前提。
文章先分析第二个重要极限本质表现形式，然后分析其应用。
用事實说明第二个重要极限在高等数学和经济上的重要性
第二个重要极限是型的极限类型，为导数的学习奠定了基础，在经济上用于复利的计算。
1 结构
第二个重要的极限：.
当时，底数趋向于1，指数趋向于无穷大，属于型的极限类型。
利用单调有界数列必有极限，可以求得极限为。
在极限中只要是无穷小就有
①型的极限类型
②表达式中，只要是无穷小
即
这说明：当及时，函数的值会无限地趋近于。
常数就是这个极限值，即
.
如果令公式还可以写成
. （1.5.5）
这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为”。
如：；；
用求极限时，函数的特点是型幂指函数，只要中是无穷小，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数就符合第二个重要极限的类型。
2 应用
2.1公式的直接应用
应用第二个重要极限求极限：
例1 求
解
这道题属于求幂指函数的极限，先变形化简后整理成第二个重要极限的形式，然后应用第二个重要极限求出结果。
应用第二个重要极限推导指数和对数函数的求导公式：
例2 求函数的导数
解
例3 求函数的导数
解
即
特殊地
运用导数的定义表达出指数函数和对数函数的导数形式，结合第二个重要极限，推导得出求导公式，为导数的进一步学习铺砖引路。
第二个重要的极限在推导求指数函数和对数函数的求导公式过程中，起到了举足轻重的作用。
第二个重要极限是基本初等函数求导公式得出的奠基石。
第二个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的桥梁纽带作用。
2.2公式的间接应用
经济上连续复利计算就是以第二个重要极限为依据的：
设初始本金为p （元），年利率为r，按复利付息，若一年分m次付息，则第n年末的本利和为
89
如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数m趋于无穷大时，t年末的本利和可按如下公式计算
若要t年末的本利和为s，则初始本金。
经济上连续复利的计算，大家广泛熟悉的是购买商品房贷款。
贷款期的本金和利息采用连续复利的计算方法计算出来，然后在一定的前提下，根据本金和利息划分每个月应偿还的数目。
3 小结
第二个重要极限的运用是求解函数极限的方法之一，是求解型的极限直接而有效的方法之一，是银行计算复利有效工具。
学好第二个重要极限是学好求函数极限和导数等知识点的前提和基础，是理解和计算银行连续复利必备的知识。