第5讲参数的区间估计

或
X b( x; n, p) X b( x; n, p)
指数分布假设：
f ( x) f 0 ( x) f ( x) f 0 ( x)
或
e x , x 0 f 0 ( x) 0, x 0
X Exp( ) X Exp( )
Poisson 分布假设：
=（78.9% ，89.1%）
10.Poisson分布参数λ的置信区间 条件： 总体为Poisson分布 目的： 估计待估参数λ的范围
方法： 取样本容量充分大，构造置信区间 λ的置信度为（1-α）的近似置信区间为 ˆ n ˆ
ˆ/n n(0,1)


P(u / 2
检验假设 零假设与备择假设 假设总是成对出现的
例如：假设：新药不比旧药好 对立假设：新药比旧药好 假设：身高与体重无关 对立假设：身高与体重有关 假设：端粒酶对癌症的诊断没有帮助
对立假设：端粒酶有助于癌症的诊断
目的是要判断成对假设中哪个真哪个假 方法：从总体中抽取一定容量的样本， 通过样本作出结论 —— 假设检验 两个假设中一个被称作零假设 (null hypothesis)或原假设， 另一个被称作备择假设 (alternative hypothesis）
2.该函数的分布已知或是渐近分布
3.根据分布确定分位数 4.不等式恒等变形
5.确定置信区间
第三节
两点分布和泊松分布 参数的区间估计
9. 0-1分布参数p的置信区间
条件： 总体为0－1分布； 目的： 估计待估参数p（总体率）的范围； 方法： 取样本容量充分大，构造置信区间。 p的置信度为（1-α）的近似置信区间为
n 109.2677
因此取样本容量至少为110，才能以
95%的置信度保证估计精度不超过0.15
▲如果对以往经验有所怀疑
取
n
ˆ X 0.5 p
u
α 2
2
2

u
0.05 2

2
0.15 2
170.738
因此取样本最大容量至少为171,才能 以95%的置信度保证估计精度为0.15
或
1 f 0 ( x) e 2
( x )2 2 2
X N ( x; , 2 ) X N ( x; , 2 )
二项分布假设：
f ( x) f 0 ( x) f ( x) f 0 ( x)
f0 ( x) Cnx p x (1 p)n x , x 0,1, 2, , n
一般说来，拒绝其中的一个假设
就意味着接受另一个假设 零假设 通常记为 H 0 Null hypothesis 备择假设 通常记为 H1 Alternative hypothesis
常见的假设形式 关于分布形式的假设 总体分布形式往往是未知的，希望通 过样本推断总体的分布 需要对总体的概率函数形成初步认识，从
n
u
α 2
2
2
例如: 根据以往经验，某药物的不良反应率为20% 已知
ˆ X 0.2 p
考察不良反应率的估计 应该选取多大样本才可以95%的概率 保证估计精度达到0.15。 已知
0.15 , 0.05
分析与求解 X=1 药物具有不良反应
X=0 药物不具有不良反应
p P( X 1)
而得出适当的假设
可以通过样本直方图形成对其概率函
数进行初步判断
比如假设总体具有某已知的概率函数 f0 ( x)
f0 ( x) 的常见形式
正态分布
1 f 0 ( x) e 2 ( x )2 2 2
0.18 0.16 0.14
140
120
100
0.12 0.1 0.08 0.06
正态分布
这里 α=? 0.05
δ=?
0.01
2uα 2 n
2u0.05 2 0.02 0 . 01
2
2
61.4656
因此,样本容量至少取62 norminv(1-0.025,0,1)=1.95996
如果取α=0.10
2uα 2 n 2u0.10 2 0.02 43 .2964 0 . 01
3.867 / 2608 u0.05 2 ,
3.867 3.867 / 2608 u0.05 2
(3.792 , 3.942)
区间估计的优劣如何评判？
精度
二、区间估计精度的定义 1.定义（区间估计的精度） 设：(1 ( X1 ,
, X n ) , 2 ( X1 ,
, X n ))
为参数θ的置信度为（1-α）的置信区间 称
X ~ N , 2 , 2 已知
待估参数：μ
要求：置信度（1-α），精度δ
均值的区间估计为：
, X u α2 X u α2 n n
区间估计精度为：
X uα 2
2uα
2
n
n
( X uα 2
n
)
精度要求： δ为事先给定的已知常数 即：
40 80
60
0.04
20
0.02 0 60
0 60
65
70
75
80
85
90
95
100
65
70
75
80
85
90
95
100
概率函数图
样本直方图
指数分布
e x , x 0 f 0
如：二项分布
f0 ( x) Cnx p x (1 p)n x , x 0,1,2, , n
f ( x) f 0 ( x) f ( x) f 0 ( x) k x f 0 ( x) e , x 0,1, 2, x! X P( x; ) 或 X P( x; )
ˆp p n n(0,1) ˆ ˆ p(1 p) / n P(u / 2
X
ˆp p u / 2 ) 1 ˆ (1 p ˆ) / n p
X 1 X / n u α2 , X X 1 X / n u α2

P48例2.3.1
n=10,p=0.2
n=10,p=0.3
Poisson分布
xk f 0 ( x) e , x 0,1, 2, x!
λ= 8，4000个随机数
记总体X的未知概率函数为f(x),常见假设有： 正态性假设：
f ( x) f 0 ( x) f ( x) f 0 ( x)
区间估计精度为：
X tα 2 (n 1)
2tα 2 (n 1)
S n
S n
( X t 2 (n 1)
S n
)
精度要求：
,δ为事先给定的已知常数
即：
S 2tα 2 (n 1) n

2tα 2 (n 1) S n
小 结
会求常见分布参数的区间估计 掌握区间估计精度的概念 掌握利用区间估计确定样本容量的方法
作 业
习题二：13，14，15，17，18
预 习
第三章 第一节:假设检验基本思想
在许多实际问题中需要关注某些假设是否正确
如 “治疗某类疾病的新药是否比旧药好” “身高与体重有关” “端粒酶有助于癌症的诊断” 目的:通过样本对假设的真伪进行判断 这项工作交给假设检验来完成
精度要求：

δ为事先给定的已知常数
则：
ˆ (1 p ˆ) / n 2u α2 p
ˆ (1 p ˆ) 4(u α2 ) 2 p n 2

ˆ X与样本容量n有关,因此解出n困难 p
解决 X 取值的具体方法 ①根据以往资料或经验给出,公式不变； ②若条件允许，可事先作预调查估计,公式不变； ③若条件不允许,简单取为0.5,公式变为:
2
S与n有关, tα/2(n-1）与n有关,无法确定n
①事先抽取一定量的样本得到的 样本标准差替代S ②用uα/2替代tα/2(n-1) 事先抽取的确定样本标准差
2u / 2 S 得到： n
2
c.0-1分布总体,总体率的估计
P( X x) p x (1 p)1 x , x 0,1
第5讲
第二章 第三节、第四节

0-1分布和泊松分布 参数的区间估计法
参数区间估计的注记
教学目标
1.了解 参数区间估计的注记 2.理解 参数区间估计法的思想 3.掌握 参数区间估计的方法
重点 参数区间估计的方法
难点 参数区间估计方法的应用
知识回顾
上一讲，我们介绍了如何构建的区间估计 . 具体步骤： 1.构造含参数的样本函数
即:
P( X 1) p
P( X 0) 1 p
待估参数:p 要求：置信度（1-α），精度δ
p的区间估计为:
pˆ
ˆ 1 p ˆ / n u α2 , p ˆ p ˆ 1 p ˆ / n u α2 p

区间估计精度为：
ˆ (1 p ˆ) / n 2u / 2 p
2 2
因此,样本容量至少取44 norminv(1-0.05,0,1)=1.64485
b.未知方差的正态总体，均值估计
X ~ N ,
2

, 2 未知
待估参数：μ
要求：置信度（1-α），精度δ
均值的区间估计为:
S S , X t α2 (n 1) X t 2 (n 1) n n