组合数学第二章二章六节

其中xk项的系数为s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) 递推关系式s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k)
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2.14.1 司特林(Stirling)数
x n x ( x 1 ) x ( 2 )x . n . 1 ) .(
s 百度文库 n ,0 ) s ( n ,1 ) x . .s ( n .,k ) x k . .s ( n .,n ) x n
也相当于n个不同的球放入2个不同盒子，x盒 子放k个，y盒子放n-k个。
指数型母函数是？
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2.14 非线性递推关系举例
(一)多项式展开式的讨论 (2)多项式系数和 (x+y)n展开式的系数和是:2n
展开式的过程相当于两个不同的元素取n个的 有重复的排列。
也相当于把n个不同的球放进两个不同的盒子 中。
综合以上分析得到递推关系：
D n ( n 1 )D n ( 1 D n 2 )D 1 , 0 ,D 2 1
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2.13 应用举例
D n ( n 1 )D n ( 1 D n 2 )D 1 , 0 ,D 2 1
D n!n(nn !1)D n 1(nn !1)D n2(nn 1)(nD n 11)!1 n(nD n22)!
2.14.1 司特林(Stirling)数
3、n个不同的球放到m个相同的盒子里，不 允许空盒，方案数情况？
有S(n,m)
anm 1!km 0(1)kC(m ,k)m (k)n
4、n个不同的球放到m个相同的盒子里，允 许空盒，方案数情况？
可分为空m-1盒，m-2盒，…，空1盒，都不空。
S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,m),n≥m S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,n),n≤m。
s ( n ,0 ) s ( n ,1 ) x . .s ( n .,k ) x k . .s ( n .,n ) x n
称s(n,0),s(n,1),…,s(n,n)为第一类司特林数。
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2.14.1 司特林(Stirling)数
x n x ( x 1 ) x ( 2 )x . n . 1 ) .(
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2.14.1 司特林(Stirling)数
S ( m ( n n 1 , m ) S ,S ( n m 1 , m 1 ) ) n 1 , , m 1
1. S(n,0 ) S( 0,n) 0; 2. S(n,k) 0, 若k n 1; 3. S(n,1) 1, 若n 1; 4. S(n,n) 1, 若n 1;
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2.14.1 司特林(Stirling)数
9 .S (2 ) n C ( n ,,3 ) n 3 C ( n ,4 )
(1)、剩余的两个球放进一个盒子中，这样的方 案对应着从n中取3个的组合数，是C(n,3)。
(2)、剩余的两个球放进二个盒子中，这样的 方案对应着从n中取4个，然后再把4个球两两分成 2组，将4个球分成两组的方案数是C(4,2)/2。
例如：红、黄、蓝3种颜色的球3个，
放到两个无区别的盒子里，不允许空盒。
其方案如下：
讨论的是生
1 2 3 活中的分堆
盒
r
yb
现象:
盒
yb rb ry
与拆分有什 么区别？
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2.14.1 司特林(Stirling)数
定理2.14 第二类司特林数S(n,k)有以下性质：
1 . S(n, 0 ) S( 0 ,n) 0; 2 . S(n,k) 0, 若 n k 1; 3 . S(n,k) 0 , 若 k n 1; 4 . S(n, 1 ) 1, 若 n 1; 5 . S(n,n) 1, 若 n 1;
m
an (1)kC(m,k)m ( k)n k0
S(n,m )1m( 1 )kC (m ,k)m (k)n m !k0
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2.14.1 司特林(Stirling)数
S(n,m )1m( 1 )kC (m ,k)m (k)n m !k0
6. S(2n ),2n11; 7. S(3n ),1(3n11)2n1;
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2.14.1 司特林(Stirling)数
1、n个有标志的球放进m个相同的盒子， 不允许空盒问题
2、n个有标志的球放进m个有区别的盒子， 不允许空盒问题
n个有标志的球{b1,b2,…,bn} ，放进有区别 的m个盒子{c1,c2,…,cm}中，无一空盒，其方案 数为m!S(n,m),其中1≤m≤n
定理2.14 (x1+x2+…+xm)n 展开式通项
x1n 1x2n2.x .m .nm ,n 1n2..n .mn
的系数是:
n!
n1!n2!...nm!
系数之和等于mn 。
项数等于C(m+n-1,n)
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2.14.1 司特林(Stirling)数
定义2.14.1
x n x ( x 1 ) x ( 2 )x . n . 1 ) .(
s ( n ,0 ) s ( n ,1 ) x . .s ( n .,k ) x k . .s ( n .,n ) x n
[ x ( x 1 )x ( 2 )x . n . 2 . )x ( ] n ( 1 )
[ s ( n 1 ,0 ) s ( n 1 , 1 ) x . .s ( n . 1 ,k 1 ) x k 1 s (n 1 ,k )x k . .s ( .n 1 ,n 1 )x n 1 ](xn1)
的xn项系数。
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2.13 应用举例 错排问题：若一个排列使得所有的元 素都不在原来的位置上，则称这个排列为 错排，也叫重排。
1,2的错排是唯一的,即21 1,2,3的错排有312,231。
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2.13 应用举例
对于1,2,…,n，设n个数的错排数为Dn 1、与Dn-1的关系： n-1个数进行错排，然后n与其中每一个数 互换得到(n-1)Dn-1个错排。 2、与Dn-2的关系： 取n分别与其它的n-1个数之一互换，其余n-2 个数进行错排，共得(n-1)Dn-2个错排。
6. S(n,2 ) 2n1 1; 7. S(n,3 ) 1 (3n1 1) 2n1;
2 8. S(n,n1) C(n,2) 9. S(n,n 2 ) C(n,3) 3C(n,4)
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2.14.1 司特林(Stirling)数
1 . S0 () nS,0 ,(n 0 ) ;
性质1的意思是把n个不同的球放进0个盒子 中或把0个不同的球放进n个盒子的方案数都是0。
令En
Dn n!
En(11 n)En11 nEn2
E nE n 1(1 n)E (n 1E n2)
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2.13 应用举例
1 E nE n 1(n)E (n 1E n2)
设 F nEnEn1
1
Fn
n
Fn1
F n 1 n F n 1 ( 1 n ) ( n 1 1 )F n ( 2 ) . .( .1 ) n 2 n 2 ! F 2
证明：设有n个有区别的球b1,b2,…,bn,对于其 中的某一个球bi, 根据bi的情况分为两类：
1、 bi独占一盒，其方案为S(n-1,m-1) 2、 bi不独占一盒，这相当于先将剩下的n-1 个球放到m个盒子，不允许空盒，共有S(n-1,m)种 不同方案， 然后将bi球放进其中一盒，共有m种选择方式。 bi球不独占一盒的方案数为mS(n-1,m)
第2章 递推关系与母函数
2.1 递推关系 2.2 母函数(生成函数) 2.3 Fibonacci数列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 2.9 ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充
4. S(1)n 1,,若 n1;
性质4的意思是把n个球放进1个盒子中, 放法只有一种。
5. S(n 1,若 nn)1;
性质5的意思是把n个不同的球放进n个相同 的盒子中,不允许空盒，放法也只有一种。
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2.14.1 司特林(Stirling)数
6. S(2n ),2n11;
意思是把n个不同的球放进2个相同的盒子中, 当第一个球放进其中一个盒子后，其余n-1 个有标志的球都有两种选择，一种是选择与第 一个球同盒，第二种选择是与第一个球不同盒。 共有2n-1种可能，
2 . S( n 0 ,若 ,n k k ) 1 ;
性质2的意思是把n个不同的球放进k个盒子 中,当球等于或多于盒子时，至少有一种方案。
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2.14.1 司特林(Stirling)数
3 . S( n 0 ,若 ,k kn ) 1 ;
性质3的意思是把n个球放进k个盒子中,当盒 子多于球数时，要想使盒子不空是不可能的。
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2.14.1 司特林(Stirling)数
n个球放到m个盒子里，则球和盒子是否有 区别？是否允许空盒？共有23=8种状态，其方案 情况如下：
1、n个不同的球放到m个不同的盒子里， 允许空盒？
有mn个方案。
2、n个不同的球放到m个不同的盒子里， 不允许空盒。
m
有m!S(n,m)。an (1)kC(m,k)m ( k)n k0 21
F2E2E1D 2!2D 1!11 2
因此在这种情况下方案数是： C(n,4)C(4,2)/2=3C(n,4)。
例如：1,2,3,4分成两两2组的方案。 {(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)}
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2.14.1 司特林(Stirling)数
定理2.15 第二类司特林数满足下面的递推关系：
S ( m ( n n 1 , m ) S ,S ( n m 1 , m 1 ) ) n 1 , , m 1
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2.14.1 司特林(Stirling)数
5、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，允许空盒，方案数情况？
有C(m+n-1,n)。
6、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，不允许空盒，方案数情况？
先取m个球每盒一个，余下的n-m无区 别的球放进m个不相同的盒子中。则有 C(m+(n-m)-1,n-m)=C(n-1,n-m)=C(n-1,m-1),
这种情况对应着指数型母函数是？
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2.14 非线性递推关系举例
(一)多项式展开式的讨论 (3)多项式的项数 (x+y)n展开式的项数是n+1
相当于从两个不同元素中取n个的组合数，允 许重复。
也相当于把n个相同的球放进两个不同的盒子 中的方案数。
母函数是？
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2.14.1 司特林(Stirling)数
1
2.14 非线性递推关系举例
(一)多项式展开式的讨论 (二)第一类司特林(Stirling)数的讨论 (三)第二类司特林(Stirling)数的讨论
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2.14 非线性递推关系举例
(一)多项式展开式的讨论 (1)多项式系数 (x+y)n展开式的通项xkyn-k项的系数是:C(n,k)
相当于2个不同的球取n个作有重复的排列，其 中x取k个，y取n-k个。
递推关系式s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) 初始条件：s(n,0)=0 s(n,n)=1 当k>n时，s(n,k)=0
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2.14.1 司特林(Stirling)数
定义2.14.2 n个有区别的球放到m个相 同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方 案数用S(n,m)表示，称为第二类司特林数。
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2.14.1 司特林(Stirling)数
7、n个相同的球放到m个相同的盒子里，允 许空盒，方案数为：
1 G(x)(1x)1(x2)..1.(xm)
xn项系数，相当 于n用{1,2,…,m}进 行拆分的拆分数。
8、n个相同的球放到m个相同的盒子里， 不允许空盒，方案数为：
G(x)(1x)1(xx2 m)..1.(xm)
要排除都放在同一个盒子的情况。因此共 有2n-1-1种方案。
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2.14.1 司特林(Stirling)数
7. S(3n ),1(3n11)2n1; 2
8 . S( n 1 ) ,C n (n ,2 )
把n个有标志的球放进n-1个相同的盒子中， 因为必须保证每个盒子中都有球，因此只有1个 盒子中有2个球，问题就是求两个球的组合数， 因此有C(n,2)种方案。