用列举法求概率知识点总结
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
列举法求概率汇总
Байду номын сангаас蓝 红 红 黄 蓝
1、从一副扑克牌中取出两组牌，分别 是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4， 将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两 组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌 的牌面数字之和等于5的概率是多少？
2、（2005沈阳）下图是由转盘和箭头 组成的两个装置，装置A、B分别被分成三个面积 相等的扇形，装置A上的数字分别是1，6，8，装 置B上的数字是4，5，7，这两个装置除了数字不 同之外，其他构造完全相同，现在你和另一人分 别同时用力转动A、B两个转盘，如果我们规定箭 头停留在较大数字的一方获胜（若箭头停留在分 界线上，则重新转动一次， 4 7 8 直到箭头停留在数字为止）， 1 那么你选择哪个装置？ 5 6 说明理由。
A
B
3、将分别标有数字1，2，3的三张卡片 洗匀后，背面向上放在桌子上， （1）随机抽取一张为奇数的概率为多 少？ （2）随机抽取一张作为十位数字（不 再放回），再取一张作为个位数字，能 组成哪些两位数字？恰好是“32”的概 率是多少？
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
甲乙两个袋中各装有两个球：一 个红球和一个黑球，小彬和小强想利 用它们做游戏，规则如下：从两个袋 中各取一个球，如果都是黑球，则小 彬获胜；否则小强获胜。这个游戏公 平吗？
如图：两个转盘均被分成三等分，甲、 乙二人利用它们做游戏：同时转动两个转 盘，如果指针所停区域的颜色相同，则甲 获胜；如果指针所停区域的颜色不同，则 乙获胜，试计算甲、乙二人获胜的概率各 是多少？这个游戏对甲、乙二人公平吗？
25.2 用列举法求概率讲义 学生版
第25章概率初步25.2 用列举法求概率学习要求1、会通过列举法分析随机事件可能出现的结果，求出“结果发生的可能性相等”的随机事件的概率．2、能运用列表法和树状图法计算一些事件发生的概率．知识点一：直接列举法求概率例1．把1枚质地均匀的普通硬币重复掷两次，落地后出现一次正面一次反面的概率是（）A．1 B．C．D．变式1．从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．变式2．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．变式3．学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按1～2编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车．（1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果；（2）求程、李两位教师同坐2号车的概率．变式4．在2017年“KFC”乒乓球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛．（1）列表或画树状图表示乙队所有比赛结果的可能性；（2）求乙队获胜的概率．知识点二：列表法求概率例2．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…设游戏者从圈A起跳．（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？变式1．将A，B两男选手和C、D两女选手随机分成甲、乙两组参加乒乓球比赛，每组2人．（1）求男女混合选手在甲组的概率；（2）求两个女选手在同一组的概率．变式2．现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃4．把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．（1）求两次抽得相同花色的概率；（2）求两次抽得的数字和是奇数的概率．（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑4）变式3．班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%．（1）小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有个，白球应有个；（2）小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要求？试说明理由．变式4．一个不透明的布袋里装有3个完全相同的小球，每个球上面分别标有数字﹣1、0、1，小明先从布袋中随机抽取一个小球，然后放回搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，求第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．变式5．有2个信封A、B，信封A装有四张卡片上分别写有1、2、3、4，信封B装有三张卡片分别写有5、6、7，每张卡片除了数字没有任何区别．从这两个信封中随机抽取两张卡片．（1）请你用列表法或画树状图的方法描述所有可能的结果；（2）把卡片上的两个数相加，求“得到的和是3的倍数”的概率．变式6．五•一期间，某商场开展购物抽奖活动，在不透明的抽奖箱中有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，每个小球除数字外其余都相同．顾客随机抽取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，若两次摸出球的数字之和为“7”，则抽中一等奖，请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽中一等奖的概率．变式7．在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，它们除颜色外其余完全相同．（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个红球的概率；（2）若在布袋中再添加x个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到白球的概率为，求添加的白球个数x．知识点三：画树状图求概率例3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（）A．B．C．D．变式1．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是（）A．B．C．D．变式2．一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率．变式3．我校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督查．（1）请补全如下的树状图；（2）求恰好选中两名男学生的概率．变式4．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．变式5．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．变式6．在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．变式7．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题：（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．变式8．已知不等式组（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．变式9．某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．（1）求A去北京的概率；（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；（3）求A，B分在同一组的概率．变式10．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．变式11．交通信号灯（俗称红绿灯），至今已有一百多年的历史了．“红灯停，绿灯行”是我们日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通的顺畅和行人的安全，下面这个问题你能解决吗？小刚每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？（请用树形图分析）变式12．一个不透明的袋子中，装有红黑两种颜色的小球（除颜色不同外其他都相同），其中一个红球，两个分别标有A、B黑球．（1）小李第一次从口袋中摸出一个球，并且不放回，第二次又从口袋中摸出一个球，则小李两次都摸出黑球的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明；（2）小张第一次从口袋中摸出一个球，摸到红球不放回，摸到黑球放回．第二次又从口袋中摸出一个球，则小张第二次摸到黑球的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明．拓展点一：游戏中的公平性问题例4．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（）A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩C．体现比赛的公平性 D．让比赛更有挑战性变式1．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（）A．游戏的规则由甲方确定B．游戏的规则由乙方确定C．游戏的规则由甲乙双方商定D．游戏双方要各有50%赢的机会变式2．（2014•玉林一模）小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数则小亮胜．获胜概率大的是（）A．小明 B．小亮 C．一样 D．无法确定变式3．小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（）A．此规则有利于小玲 B．此规则有利于小丽C．此规则对两人是公平的 D．无法判断变式4．把一个可以自由转动的均匀转盘3等分，并在各个扇形内分别标上数字（如图），小明和小亮用图中的转盘做游戏；分别转动转盘两次，若两次数字之积是偶数，小明获胜，否则小亮获胜．你认为游戏是否公平？请说明理由．变式5．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒（记为A盒、B盒）中搅匀，再从两个盒子中各随机抽取一张．（1）从A盒中抽取一张卡片，数字为奇数的概率是多少？（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若取出的两张卡片数字之和为偶数，则小亮胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．变式6．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如图所示．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．变式7．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游戏．同时转动两个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明获胜；如果所得颜色相同，那么小亮获胜，这个游戏对双方是否公平？请说明理由．变式8．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．小李先随机地摸出一个小球，小张再随机地摸出一个小球．记小李摸出球的标号为x，小张摸出的球标号为y．小李和小张在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小李获胜，否则小张获胜．①若小李摸出的球不放回，求小李获胜的概率；②若小李摸出的球放回后小张再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．变式9．如图在圆盘的圆周上均匀的分布着0﹣9的10个数，箭头固定并指向0，圆盘可以任意旋转，记P k （k=1，2…9）表示箭头落在0﹣k之间的概率．如P3=．（1）求当k=8时的概率P8．（2）若规定，k取到奇数时，甲同学获胜，k取到偶数时，乙同学获胜，这样的规定是否公平？请说明理由．（3）请你设计一个规定，能公平的选出两位同学去参加某项活动．并说明你的规定是符合要求的．变式10．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．小慧说：抽出的两张牌的数字若都是偶数，你获胜；若一奇一偶，我获胜．（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）若按小慧说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．变式11．为从小明和小刚中选出一人去观看元旦文艺汇演，现设计了如下游戏，规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏是否公平．变式12．如图，小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英得1分，否则小丽得1分，这个游戏对双方公平吗？（红色+蓝色=紫色）用树状图或表格求右面两个转盘配成紫色的概率．变式13．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．易错点：分析事件的可能结果时易重复或者遗漏例5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）A．B．C．D．变式1．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个．（1）先从袋中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，填空：若A为必然事件，则m的值为，若A为随机事件，则m的取值为；（2）若从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个，求这个事件的概率．变式2．在一个不透明的袋子中，放入了2个红球和m个白球，已知从中摸出一个球是红球的概率为0.4．（1）求m的值；（2）如果从中一次摸出2个球，求至少有一个是红球的概率，请用画树状图或列表的方法进行分析．变式3．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色不同外，其它都一样），其中红球2个，蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．变式4．袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个绿球．（1）现从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．请用画树状图或列表的方法，求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；（2）先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．。
用列举法求概率
3/4 3/4
5.一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人 随机坐到其他三个座位上。求A与B不相邻而坐的概率为 .
3
A
6.如图，小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆家也有3 条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有 ________种
9
7.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球都涂着红色， 另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？
解：根据题意，我们可以画出如下的“树形图”： 这些结果出现的可能性相等。
例7.如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分为红黄两种，红 色扇形的圆心角为120度，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形 会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列 事件的概率。（1）指向红色；（2）指向黄色；
能否用不同 的方法来解？
解：红,红;
红,黑;
黑,红;
黑,黑.
画树状图
列表
枚举
第一次抽出一张 牌
红牌
黑牌
第牌可现概二能的率次产可都抽生能为出的性一结相张果等。共。各4个为第 出。每一 一。种即出次 张抽 牌
1
红牌 黑牌
14 4
红牌
红牌
黑牌 黑牌
第二次抽 出一张牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
9.一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其 余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概 率为多少？
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3， 4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（1）掷得点数为2或4或6(记为事件A)有3种 结果，因此P
用列举法求概率
列举法就是把可能出现的结果一一列举出来分析 求解的方法．
探究
• 问题1.掷一枚一硬币，正面向上的概率是多少？ • 问题2.抛掷一个骰子，它落地时向上的点数为 ① 2的概率是多少？ ②落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？ ③点数为奇数的概率是多少？ ④点数大于2且小于5的数的概率是多少？
该踩在A区还是B区？
P134.练习1
在线段上表示出不同的概率情况
（1）太阳每天从东方升起 （2）斗门今天下大雪 （3）掷一枚硬币，正面朝上 （4）掷 一枚骰子，落地点数为6
0≤P(A) ≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
1．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只， 二等品3只，三等品2只．则从中任意取1只，是 二等品的概率等于( )．
互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如
下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注
明了一定的奖金额，其余商标的背面是一
张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个游
戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前两
次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能
再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概
率是（ ）．
A. 1 B. 1
6
5
C. 3
20
性相等。
（1）满足指向红色有3种结果，
P(红色)=_____
（2）満足指向红色或黄色一共有5种
结果，P( 红或黄）=_______
（3）满足不指向红色有4种结果
P( 不指红）= ________
能不能把结果分为红、绿、
黄三种可能，再用P（A）
＝m/n求概率
解：A区有8格3个雷，
如图：计算机扫雷游
ห้องสมุดไป่ตู้
用列举法求概率及应用
通过本节课，你对于解答概率 题掌握了哪些方法，哪些方面 还需要特别注意，总结一下，
谈谈你的收获。
布置作业
1.大石桥市是有名的书法之乡，现将标有 “书”“法”“之”“乡”汉字的四个 小球装在一个不透明的口袋中，这些球 除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅 拌均匀，随机摸出一球，不放回；在随 机摸出一球，两次摸出球上的汉字组成 “书法”的概率是多少？
三、备考精练
1. 某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母 亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖 酬宾活动，凡购物满88元，均可得到一次摇奖 的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白 球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖 机中一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定 送礼金券的多少（如下表）：
甲种 品牌 化妆品
一、旧知回顾
问题1： 用列举法求概率有几种方法？
1.列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果 数目有限、较多，发生的可能性相等时， 可采用列表法列出所有可能的结果。
2.画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时， 且可能出现的结果数目有限，发生的可能性相等， 可采用画树状图表示出所有可能的结果。
追踪练习
1.某校七年级今年计划招四个班的 新生，并采取随机摇号的方法分班， 珺珺和颜颜是既是该校七年级的新 生，又是好朋友，她俩分在同一个 班级的概率是多少？
二Hale Waihona Puke 考例精析例题2 甲、乙、丙三个同学站成一排进 行毕业合影留念，请用列表法或树状图 列出所有可能的情形，并求出甲、乙两 人相邻的概率？
二、考例精析
一、旧知回顾
问题2： 用列表法、树状图法求概率时 都应注意什么？
是同时取出（不放回） 还是 取出后放回再取， 两种方法不一样。
九年级用列举法求概率知识点
九年级用列举法求概率知识点概率是数学中一个非常重要的概念，也是我们日常生活中经常涉及的内容。
在数学的学习中，九年级学生通常会接触到用列举法求解概率的知识点。
本文将通过几个实际例子来介绍九年级用列举法求解概率的方法和技巧。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设一袋中有6个红色球和4个蓝色球，那么从袋子中随机取出一个球，求取出的是红色球的概率。
根据列举法，我们可以将所有可能的情况列出来。
一共有10个球，其中有6个红色球，所以取出红色球的情况有6种，也就是说取出红色球的概率为6/10，即简化为3/5。
接下来，我们看一个稍微复杂一点的例子。
假设有一个装满了字母A、B、C、D四种字母的小袋子，每种字母的数量分别是3个、2个、5个和4个。
我们从袋子中取出两个字母，求取出的两个字母都是C的概率。
同样地，我们可以通过列举法来解决这个问题。
首先，我们列出所有可能的情况：AA、AB、AC、AD、BA、BB、BC、BD、CA、CB、CC、CD、DA、DB、DC、DD。
其中，取出两个字母都是C的情况只有一种，即CC。
所以取出两个字母都是C的概率为1/16。
列举法的优点在于直观、简单易懂，尤其适用于问题比较简单的情况。
但是，在处理复杂问题时，列举法可能会变得非常繁琐。
此时，我们可以利用一些概率的性质和技巧来简化计算。
例如，我们可以利用互补事件的概念。
互补事件指的是某一事件的对立事件，即该事件不发生的情况。
假设有一个装有5张红色卡片和3张蓝色卡片的盒子，我们从盒子中随机抽取一张卡片，求取出的是红色卡片的概率。
我们可以列举出所有可能的情况，红色卡片的数量为5，总卡片的数量为8，因此取出红色卡片的概率为5/8。
而互补事件即为取出蓝色卡片的概率，即3/8。
利用互补事件的概率为1减去对立事件的概率，我们可以简化计算过程。
此外，我们还可以利用事件的分解来求解概率。
假设有一个有6个红色球、3个蓝色球和1个黄色球的罐子，我们从罐子中随机抽取一球，求取出的球是红色或蓝色的概率。
用列举法求概率知识点总结
用列举法求概率知识点总结武穴市石佛寺中学 朱江怀【知识点一】随机摸球[例题1]在一个不透明的袋子里放入除颜色外完全相同的2个红球和2个黄球,摇匀后摸出一个记下颜色,放回后摇匀,再摸出一个,则两次摸出的球均是红球的概率为( )A.41B.31C.21D.43[例题2]两个布袋中分别装有除颜色外，其他都相同的2个白球，1个黑球，同时从这两个布袋中摸出一个球，请用列表法表示出可能出现的情况，并求出摸出的球颜色相同的概率.[例题3]一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率为( ) A.21 B.31 C.41 D.61[例题4]袋子中装有白球3个和红球2个共5个球，每个除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球.(1)P(摸到白球)=__________,P(摸到红球)=__________, P(摸到绿球)=__________,P(摸到白球或红球)=__________; (2)P(摸到白球)__________P(摸到红球)(“>”“<”或“=”).[例题5]有10张形状、大小都一样的卡片，分别写有1至10十个数，将它们背面朝上洗匀后，任意抽一张，抽得偶数的概率为_______。
【知识点二】抽取扑克牌[例题1]一副扑克牌抽出大小王后，只剩下红桃、黑桃、方块、梅花四种花色52张，则任取一张是红桃的概率是________;[例题2]一副扑克牌，任意从中抽一张.(1)抽到大王的概率；(2)抽到A 的概率；(3)抽到红桃的概率；(4)抽到红牌的概率；(5)抽到红牌或黑牌的概率. 【知识点三】抛掷骰子[例题1]抛掷两枚普通的骰子，出现数字之积为奇数的概率是________，出现数字之积为偶数的概率是________. 【知识点四】抛掷硬币[例题1]抛掷两枚硬币观察出现两个正面的试验中，随着试验次数的增加，出现两个正面的频率将趋于稳定在________左右.[例题2]抛掷一枚质量均匀的硬币，出现“正面”和“反面”的概率相等，因此抛1 000次的话，一定有500次“正”，500次“反”。
列举法求概率
探究活动2
解：在表格里列举为
解：拔动两个转盘的可能结果在表格里列举 出来的可能性共有九个． 事件A盘胜的可能性有（6，4）、（6，5）、 （8，4）、（8，5）、（8，7），共五个； 事件B盘胜的可能性有（1，4）、（1，5）、 （1，7）、（6，7），共四个；
5 P（A盘胜）＝ 9
探究活动3
同时掷两个质地均匀的骰子活动，
1、两个骰子的点数相同的概率． 2、两个骰子点数的和是9的概率． 3、至少有一个骰子点数为2的概率．
解：由列表法列举得
事件掷两个骰子发生的可能性共有36个
1、两个骰子的点数相同发生的可能性共有6个
6 1 P（两个骰子的点数相同）＝ ＝ 6 36
2、两个骰子点数的和是9发生的可能性共有4个
１ 个
．
P（向上的面点数是2）＝ 6
1、在九（5）班计算概率中，有一道练习题有部分的 同学是这样做的： 掷两枚硬币，求两枚硬币全部正面向上的概率？ 解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正反，反反， 共3个；
事件两枚硬币全部正面向上发生的可能有1个；
1 P（两枚硬币全部正面向上）＝ 3
探究
这道题解题过程和结果对不对？如果不 对，错在哪里？并把其改正。
正确解题
解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正 反，反正，反反，共4个； 事件两枚硬币全部正面向上发生的可能 有1个； P（两枚硬币全部正面向上）＝ 1
4
有一个游戏活动，两名同学分别拔动A、 B两个转盘，使之转动，指针指数大的一方 为获胜者，。 由于两个转盘上的数字不同，如果你上 来，你会选哪一个转盘？说说你的理由
4 1 6 7
3
2
9
8
练习
25.2用列举法求概率(1直接列举法,列表法)
P(C) = 11 36
如果把刚刚这个例题中的“同时掷两 个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,所 得的结果有变化吗?
没有变化
例2.掷两枚硬币,求下列事件的概率: (1)两枚硬币全部正面朝上; (2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上. 解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如 表所示: B 正 反
解：排“20”，“08”,“北京”三个字块所有可能性为： ①20,08,北京 ② 20,北京,08 ③08 ,20,北京 ④ 08,北京,20 ⑤ 北京,20,08 ⑥ 北京,08,20 其中排成“2008北京”或“北京2008”有两种情
1 况,所以 婴儿能得到奖励的概率为
3
利用一一列举法可以知道事件发生的各种 情况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么 更好的方法呢？
这个游戏对小亮和小明公 平吗？怎样才算公平 ?
你能求出小亮得分的概率吗?
用表格表示
红桃
黑桃
1
2
3
4
5
6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
3 4
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
m P ( A) = n
事件A发生的 可能种数
试验的总共 可能种数
等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
列举法就是把要数的对象一一列举出来 分析求解的方法．
例1 如图：计算机扫 雷游戏，在9×9个小 方格中，随机埋藏着 10个地雷，每个小方 解：A区有8格3个雷， 格只有1个地雷，，小 遇雷的概率为3/8， 王开始随机踩一个小 B区有9×9-9=72个小方格， 方格，标号为3，在3 的周围的正方形中有3 还有10-3=7个地雷， 个地雷，我们把他的 由于3/8大于7/72， 区域记为A区，A区外 所以第二步应踩B区 记为B区，，下一步 遇到地雷的概率为7/72， 小王应该踩在A区还 是B区？
用列举法求概率
知识点一
知识点二
知识点三
例2 从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃1,2,3,4和方块 1,2,3,4,将它们背面朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张, 那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少? 分析:由于摸出黑桃的结果有4种,摸出方片的结果也有4种,所以 总共有16种情况,比较复杂,我们可以列表表示,从中找出和为5的所 有情况,即可以求出要求的概率.
知识点一
知识点二
知识点三
例3 书架上有两套同样的教材,每套分上、下两册,在这四册教 材中随机抽取两册,恰好组成一套教材的机会是( )
A.3
2
B.3
1
C.2
1
D.6
1
分析:首先根据题意画树状图,然后根据树状图求得所有等可能 的结果与恰好组成一套教材的情况数,再根据概率公式求解即可求 得答案.
知识点一
从上表可知,共有16种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌 的牌面数字之和等于5的情况共出现4次, 4 1 因此牌面数字之和等于5的概率为 16 = 4 .
知识点一
知识点二
知识点三
方法二:由于摸出黑桃的结果有4种,摸出方片的结果也有4种,所 以总共有16种情况,其中和为5的情况有“黑桃1方片4,黑桃4方片1, 黑桃2方片3,黑桃3方片2”四种情况,所以牌面数字之和为5的概率 4 1 为 . =
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解:(1)列表如下: 和 1 2 3 4
1 8
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
2 1 7 8
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由列表可得 P(数字之和为 3)=16 = 8. (2)由(1)知,P(甲胜)= ,P(乙胜)= . 设乙胜一次得分应为 x,才使游戏双方公平, 才公平. 由8x=9× ,解得 x=7,故乙胜一次得分应为7分,这个游戏对双方 8
用列举法求概率
基本要求：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个且 各种结果出现的可能性大小相等
例题解析
例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面向上
（2）两枚硬币全部反面向上
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面向上
思考：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀 的硬币“，这两种实验的所有可能结果一样吗？
1/2
课堂小结
1.列举法：就是把要求的对象一一列举出来分析求解的方法．
2.基本要求：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个且
各种结果出现的可能性大小相等
3.基本步骤： （1） 判断是否能利用列举法求概率 （2） 列举所有等可能结果 （3） 确定所有可能出现的结果个数n 和其中出现所求事件A的结果个数m； （4） 用公式计算所求事件A的概率P（A）=m/n。
复习回顾
3. 使用条件： （1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； （2）每一次实验中，各种结果出现的可能性相等。
等可能性事件:在一次试验中各种结果出现的可能性大小相等的事件。
25.2 用列举法求概率
新课引入
1.什么是列举法？
列举法：就是把要求的对象一一列举出来分析求解的方法． 2. 运用列举法求概率的要求是什么？
例题解析
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子点数的和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2；
习题巩固
1.彩票有100张，分别标有1，2，3，„100的号码，只有摸
中的号码是7的倍数的彩券才有奖，小明随机地摸出一张，
那么他中奖的概率是多少？
7 50
(12.16列表)用列举法求概率
方法二：
第1枚 第2枚 正
列表法 正 反
（正，正） （反，正）
反
（正，反） （反，反）
什么时候用“列表法”方便？
第一枚硬币
第二枚硬币
所有可能出现的结果
正
正 反 正 反
( 正 , 正) ( 正 , 反) ( 反 , 正) ( 反 , 反)
开始
反
方法三：将同时掷两枚硬币，想象为先掷一枚，
再掷一枚，分步思考：在第一枚为正面的情况下 第二枚硬币有正、反两种情况，同理第一枚为反 面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况．
P(奇) ＝ P(偶) ，
2× 5=10 2+5=7 2+5=7 3× 5=15 3+5=8 3+5=8 4× 5=20 4+5=9
2× 6=12 2+6=8 2+6=8 × 3 3+6=9 6=18 3+6=9 4 ×6=24 4+6=10
1 3 解：不公平． 因为P(奇) ＝ ，P(偶)＝ ； 4 4 所以不公平． 1 1 理由：因为P(奇) ＝ ，P(偶)＝ ； 2 2 所以公平．
归纳总结，画龙点睛
1、本节课你有哪些收获？有何感想？
我有哪些 收获？
2、用列表法求概率时应注意什么情况？
学会了
用列表法求随机事件发生的理论概率 （也可借用树状图分析） 用列表法求概率时应注意各种情况发生的可 能性务必相同
明白了
懂得了
合作交流的重要性
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件 发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求 出某些事件发生的概率.
2 2 2 3 3 3 4 4 2× 1=2 2× 2=4 2× 3=6 2× 4=8 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+1=3 2+2=4 2+3=5 2+4=6 3× 1=3 3 × 2=6 3 × 3=9 3 × 4=12 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 4× 1=4 4× 2=8 4× 3=12 4× 4=16 4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8
九年级数学 用列举法求概率
A反B正 A正B反 A反B反
所以，
n=4
m=1
p(2正)=1/4
例1、袋子里面装有一个黑球两个红球、
摸两次，第一次放回去再摸一次，两次都 摸到红球的概率是多少。 如图：
解： 1 2
第一次
红1
红2
黑
第二次
红1 红2 黑
红1 红2 黑 红1 红2 黑
所以， n=9 所以
m=4
4 p(2红)= 9
归纳 把所有可能事件写出来、或者 用表格、树形图表示出来。然后 p(A)=m/n求出概率，这种求概率 的方法叫列举法求概率。
上节知识的回顾
1、概率公式 p(A)=m/n 2、不可能事件的概率；p(A)=0 3、必然事件的概率； P(A)=1 本节内容；列举法求概率
投一枚硬币求正面向上的概率。 袋子里有两个红球一个黑球，摸一次摸到黑 球的概率。
例1，一学生一次投两枚硬币试求两枚正面都朝上的概率。
A
B
解，列举所有的可能性：A正B正
练习（一）
是一电子元件，它有通电和不通电两种情况。求 下列安装由A到B通电的概率
解：1通2通 1通2不通 。 1不通2通 1不通2不通 P(通)=m/n=1/4
解：P(通)=m/n=3/4 解
练习（二）
三两概率 。
解：P(3车右拐)=1/27
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用列举法求概率知识点总结
武穴市石佛寺中学 朱江怀
【知识点一】随机摸球
[例题1]在一个不透明的袋子里放入除颜色外完全相同的2个红球和2个黄球,摇匀后摸出一个记下颜色,放回后摇
匀,再摸出一个,则两次摸出的球均是红球的概率为( )
A.
41 B.31
C.21
D.4
3 [例题2]两个布袋中分别装有除颜色外，其他都相同的2个白球，1个黑球，同时从这两个布袋中摸出一个球，请
用列表法表示出可能出现的情况，并求出摸出的球颜色相同的概率.
[例题3]一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠
子，都是蓝色珠子的概率为( ) A.
2
1 B.31 C.41 D.61
[例题4]袋子中装有白球3个和红球2个共5个球，每个除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球.
(1)P(摸到白球)=__________,P(摸到红球)=__________, P(摸到绿球)=__________,P(摸到白球或红球)=__________; (2)P(摸到白球)__________P(摸到红球)(“>”“<”或“=”).
[例题5]有10张形状、大小都一样的卡片，分别写有1至10十个数，将它们背面朝上洗匀后，任意抽一张，抽得
偶数的概率为_______。
【知识点二】抽取扑克牌
[例题1]一副扑克牌抽出大小王后，只剩下红桃、黑桃、方块、梅花四种花色52张，则任取一张是红桃的概率是
________;
[例题2]一副扑克牌，任意从中抽一张.
(1)抽到大王的概率；(2)抽到A 的概率；(3)抽到红桃的概率；(4)抽到红牌的概率；(5)抽到红牌或黑牌的概率.
【知识点三】抛掷骰子
[例题1]抛掷两枚普通的骰子，出现数字之积为奇数的概率是________，出现数字之积为偶数的概率是________. 【知识点四】抛掷硬币
[例题1]抛掷两枚硬币观察出现两个正面的试验中，随着试验次数的增加，出现两个正面的频率将趋于稳定在
________左右.
[例题2]抛掷一枚质量均匀的硬币，出现“正面”和“反面”的概率相等，因此抛1 000次的话，一定有500次“正”，
500次“反”。
( )
[例题3]正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）. [例题4]随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是( )
A.41
B.21
C.4
3 D.1
【知识点五】多种抽取一种求概率
[例题1]冰柜里装有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒,其中特种可乐和普通可乐是
含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( ) A.325 B.83 C.3215 D.32
17
【知识点六】概率的理解 [例题1]某彩票的中奖概率是
22
1
，那么某人买了22张彩票，肯定有一张中奖.( ) [例题2]世界乒乓球冠军王楠，预定在亚运会上夺冠的概率为100％.( ) [例题3]一个事件的概率不可能是（ ）
A 、0
B 、21
C 、1
D 、2
3
【知识点七】抛掷正方体
[例题1]一个均匀的立方体六个面上分别标有数1,2,3,4,5,6. 图25-2-1是这个立方体表面的展开图.抛掷这个立方体,
则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的
2
1
的概率是( )
图25-2-1
A.
61 B.31
C.21
D.3
2
【知识点八】分步抽取
[例题1]四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1,2,3,4,现将标有数字的一面朝下扣在桌子上,从中随机抽取
一张(不放回),再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.
(1)用画树状图的方法,列出前后两次抽得的卡片上所标有数字的所有可能情况; (2)计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少?
【知识点九】按照要求抽取，方案类型题 [例题1]
某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛.八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？
[例题2]如图25-2-4是从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃2、3、4和方块2、3、4,将它们背面朝上分别重
新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?请你用列表或画树状图加以分析说明.
图25-2-4 解:列表如下:
所以,摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是
.
9
【知识点九】转盘
[例题1]小明和小刚用如图25-2-3的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分.这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由;若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
图25-2-3
【知识点十】随机抽取（不放回）
[例题1]四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1,2,3,4,现将标有数字的一面朝下扣在桌子上,从中随机抽取一张(不放回),再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.
(1)用画树状图的方法,列出前后两次抽得的卡片上所标有数字的所有可能情况;
(2)计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少? 思路解析:(1)画树状图;(2)可得奇数积是1×3和3×1,所以121+121=122=6
1
. 答案:(1)
(2)P(数字之积为奇数)=6
1.
【知识点十】开放类型题目
[例题1]小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明
从袋中摸出一球，记下号码，然后放回由小亮摸，规定：如果摸到的球号码大于3则小明胜，否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由
【知识点十】函数在概率中的综合应用
[例题1]已知一纸箱中放有大小均匀的x 只白球和y 只黄球，从箱中随机地取出一只白球的概率是2/5．
(1)试写出y 与x 的函数关系式;
(2)当x=10时，再往箱中放进20只白球，求随机地取出一只黄球的概率P ．。