常见概率分布
常用概率分布
k k
2、二项分布出现阳性次 数至少为k次的概率为： n! P( X k ) P( X ) X (1 ) n X X k X k X !( n X )!
正态分布：有两个参数
1、位置参数
:描述正态分布的集中趋
势位置。 2、形态参数 ：描述正态分布的离散 程度。 越小，分布越集中，曲线越 “瘦高”； 越大，分布越离散，曲线 越“肥胖”。 记为N（ ， 2），表示均数为，标 准差为的正态分布 见图4-5。
-6
μ1
-5
-4
-3
同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白；
实验中的随机误差等。
因此，通过正态曲线下面积的分布规律：
概括地估计变量值的频数分布； 用于了解某个体值在其所属群体中占据 何种位置。
例
如：
已知某地120名20岁男大学生身高均数
＝172.90cm，标准差s=4.09cm。
（1）身高在182cm以上者占该地20岁男
则0.51～＋∞的面积为0.3050 区间（－1.93，1.51）的面积: p＝1－0.0268－0.3050＝0.6682 身高在165～175cm者占该地20岁男大学生的66.82%。
（3）求80%的男大学生身高集中在哪个范围？
大学生总数的百分数？ （2）身高在165－175cm者占该地20岁男 大学生总数的百分数？ （3）该地80%的男大学生身高集中在 哪个范围？
（1）已知身高
X ＝172.9cm
A、先做标准正态变换：
常用概率分布
Cx n
n!
X!nX!
则摸出黑球次数的可能结果及其概率如下表所示
P(X
0)
C
0 5
0.2
5
0.0003
P(X
1)
C
1 5
0
.8
0.2
4
0.0064
P( X 2) C52 0.82 0.23 0.0512
P(X 3) C53 0.83 0.22 0.2048
1
至少有20名感染钩虫的概率为
PX
20
150
P(X)
150
150!
0.13 X (1 0.13)150X
X 20
X 20 X !(150 X )!
19
1 P(X) X 0
19
1
150!
0.13 X (1 0.13)150X
X 0 X !(150 X )!
摸球试验中摸到黑球的概率分布
X的可能取值
0
1
2
3
4
5
概率P(x) 0.0003 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.3277
一是每次试验结果，只能是两种对立的结果之一。即每次摸 球只有两种可能结果，或黑球或白球。
二是每次试验的条件不变，发生某种结果的概率是固定不变 的。即每次试验摸到黑球的概率是固定的。
P( X 4) C54 0.84 0.2 0.4096
P( X 5) C55 (0.8)5 0.3277
上例中离散型随机变量X的概率函数
X的可能取值
0
1
2
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的几种概率分布概率论是研究随机现象的数学理论，其中涉及到许多常见的概率分布。
概率分布描述了随机变量在不同取值上的概率分布情况。
本文将介绍几种常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布之一，也被称为矩形分布。
在均匀分布中，随机变量在一定的取值范围内的概率是相等的。
例如，抛一枚公正的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
均匀分布通常用于模拟随机数发生器的输出，或者在一定范围内随机选择一个数值。
二、正态分布正态分布是最重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
在正态分布中，随机变量在取值范围内的概率密度函数呈钟形曲线状。
正态分布具有许多重要的性质，例如均值、标准差等。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重、考试成绩等都符合正态分布。
三、泊松分布泊松分布描述了单位时间或空间内事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布的特点是，事件之间相互独立且平均发生率恒定。
泊松分布通常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内的电话呼叫次数、单位面积内的交通事故次数等。
四、指数分布指数分布描述了连续随机变量首次达到某一值的时间间隔的概率分布情况。
指数分布的特点是，事件之间相互独立且事件发生的概率与时间间隔成反比。
指数分布通常用于模拟随机事件的发生时间间隔，例如单位时间内的电话呼叫间隔、单位距离内的交通事故间隔等。
除了上述几种常见的概率分布外，还有许多其他概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种概率分布都有其特定的应用场景和数学性质，对于不同的问题可以选择适合的概率分布进行建模和分析。
总结起来，概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在各自的领域有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决许多随机现象和问题。
对于研究概率论和统计学的人来说，熟悉这些常见的概率分布是非常重要的。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
常见的数学分布
常见的数学分布
常见的数学分布
一. 离散分布
1. 伯努利分布
伯努利分布是研究单个成功/失败事件（二元变量）概率的基本
概率分布，只有两种结果，成功/失败，因此伯努利分布也称为二项
分布。
2. 贝叶斯分布
贝叶斯分布主要用于分析估计连续变量，它是基于贝叶斯概率理论，关于一个未知参数的不确定性状况，以后新的观测信号被观测后，这种参数的不确定性会发生变化。
3. 几何分布
几何分布是离散概率分布的一种，主要用于研究成功/失败事件
发生次数的概率分布，即最少要经历多少次失败才能够获得一次成功。
4. 泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，属于参数为λ的二项分布，也叫泊松二项分布，用来描述一段时间内事件发生次数的概率分布，是一种常用的概率分布。
二. 连续分布
1. 正态分布
正态分布是连续概率分布的一种，也叫高斯分布，是最常用的一类概率分布，可以用来描述不同变量的概率分布情况，它的曲线呈现
出钟形，最大值位于均值处。
2. 对数正态分布
对数正态分布又叫做极大似然估计分布，属于一种连续概率分布，可以用来描述变量值的概率分布情况，表现为对数公式，又称为对数正态分布。
3. t 分布
t 分布是一种特殊的正态分布，也叫做学生的 t 分布，它可以
用来描述变量值的概率分布情况，它的曲线呈现出椭圆形。
4. 卡方分布
卡方分布是一种连续概率分布，常用于统计学分析中，它可以用来描述自由度为 k 的某个统计量的概率分布，其图形呈现出单峰形状。
概率论分布函数
概率论分布函数概率论分布函数是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量取值的概率分布情况。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布函数，如正态分布、均匀分布、泊松分布等。
本文将针对这些常见的概率分布函数进行介绍和解释。
一、正态分布（Normal Distribution）正态分布是自然界中最常见的分布之一。
它以钟形曲线形式展现，其分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率密度。
正态分布的特点是对称且呈现出标准差的影响，标准差越大，曲线越平缓。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学等领域，用于描述各种现象的分布情况。
二、均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的概率分布之一，它描述了随机变量在一定范围内各个取值出现的概率是相等的。
均匀分布的分布函数是一个常数函数，其特点是在一定范围内的取值概率是相等的。
均匀分布常用于模拟随机事件或生成随机数，广泛应用于数值计算和概率统计等领域。
三、泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的分布函数可以表示在一段时间或空间内发生某种事件的次数的概率。
泊松分布的特点是具有独立性和稀有性，适用于描述稀有事件的发生情况，如电话交换机接听电话的次数、汽车在某路段通过的次数等。
四、指数分布（Exponential Distribution）指数分布是一种连续概率分布函数，描述了随机事件发生的时间间隔的概率分布。
指数分布的分布函数具有单峰性，随着时间的推移，事件发生的概率逐渐减小。
指数分布常用于描述随机事件的间隔时间，如人们等待公交车的时间、网络传输数据包到达的时间等。
五、二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述在一次试验中成功次数的概率分布函数。
二项分布的分布函数描述了在一定次数的独立重复试验中成功次数的概率分布情况。
二项分布的特点是具有两个参数，成功概率和试验次数，常用于描述二元随机事件的发生情况，如硬币正反面的次数、投篮命中的次数等。
常见概率分布
常见概率分布概率分布是概率论的一个重要概念，用于描述一个随机变量可能取得的所有值及其对应的概率分布情况。
常见的概率分布包括均匀分布、二项分布、泊松分布、正态分布等。
本文将对这些常见的概率分布进行介绍和讨论。
一、均匀分布均匀分布是最简单且最常见的概率分布之一。
在一个有限区间内，每个取值的概率都是相等的。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b其中 a 和 b 分别表示区间的起始值和终止值。
均匀分布通常用于在一个确定的范围内随机选择一个值的情况，例如随机抽奖或随机选取一个数。
二、二项分布二项分布是描述多次独立重复试验中成功次数的分布。
每次试验只有两个可能结果，通常分别表示为成功（记为 S）和失败（记为 F）两种情况。
二项分布的概率函数可以表示为：P(x) = C(n, x) * p^x * (1-p)^(n-x)其中 n 表示试验次数，x 表示成功的次数，p 表示每次试验成功的概率。
三、泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或单位面积内某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率函数可以表示为：P(x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!其中λ 表示单位时间或单位面积内事件的平均发生率，x 表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内交通事故的发生次数、单位面积内电子元件的故障数等。
四、正态分布正态分布，又称高斯分布，是自然界中最常见的分布之一。
正态分布具有钟形曲线，均值和标准差决定了分布的位置和形态。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2σ^2)))其中μ 表示分布的均值，σ 表示分布的标准差。
正态分布广泛应用于统计学和自然科学中，通常用于描述一群数值型数据的分布情况，例如身高、体重、考试分数等。
除了上述四种常见的概率分布外，还存在许多其他常见的概率分布，如指数分布、伽玛分布、贝塔分布等。
统计学中的常用概率分布及其性质
统计学中的常用概率分布及其性质概率论是数学中的一个分支，它研究的是随机事件的发生概率以及由随机变量带来的影响。
概率分布则是衡量随机变量取值的可能性的一种方法。
概率分布可以用来得出某些随机变量出现的概率，同时可以用来比较多个随机变量之间的差异。
在统计学中，常用的概率分布有正态分布、伯努利分布、泊松分布、指数分布、二项分布、负二项分布以及几何分布。
正态分布正态分布是一种非常常见的概率分布，也叫高斯分布。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其均值、方差以及标准差的值决定了曲线的位置与形态。
伯努利分布伯努利分布是一种离散概率分布，其只有两个可能结果，即成功或失败。
在伯努利分布中，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
伯努利分布可以用来估计投掷硬币等随机事件的概率。
泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，它用来衡量独立随机事件在一段时间内发生的次数。
泊松分布的概率密度函数为: P(X=k)= e^-λ * λ^k/k!，其中λ为平均发生次数。
指数分布指数分布是一种连续概率分布，其用途非常广泛，例如在可靠性工程学中，指数分布可以用来描述设备故障发生之间的时间间隔。
指数分布的概率密度函数为: f(x) = λ * e^-λx，其中λ为发生比例。
二项分布二项分布是一种离散概率分布，其表示在n次试验中成功的次数。
二项分布的概率函数为：P(X=k)= (n!/(k!*(n-k)!)) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中p为成功概率，n为试验次数。
负二项分布负二项分布是一种离散概率分布，其表示在成功x次之前，需要进行n次试验中失败的次数。
负二项分布的概率密度函数为：P(X=k)= (k-1)!((r-1)!*(k-r)!)p^r(1-p)^(k-r)几何分布几何分布是二项分布的一个特例，其表示在n次试验中，首次发生成功的次数。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k)=(1-p)^(k-1)* p，其中p为成功概率，k为试验次数。
概率分布计算公式
概率分布计算公式概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取值上的取值概率。
在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决相关的概率统计问题。
本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计算公式。
一、二项分布(Binomial Distribution)二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k个的方式计算。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
二、泊松分布(Poisson Distribution)泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。
其计算公式为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
三、正态分布(Normal Distribution)正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它的形状呈钟型曲线，对称于均值。
正态分布在实际问题中得到广泛应用。
其概率密度函数的计算公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ为均值，σ为标准差，π为数学常数3.14159。
正态分布的期望为E(X)=μ，方差为Var(X)=σ^2。
四、指数分布(Exponential Distribution)指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有常数倍衰减的特点。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。
本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。
一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。
以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。
设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。
二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。
以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。
设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。
2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征?3．1二点分布和均匀分布1、两点分布X的方差D（X）=P（1—P）2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：3．23．2．nX=0，1，……X的期望E（X）=nd/NX的方差D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检X3．2．高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt的起点无关。
则在[0，t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布，其分布概率为：3．2．本分布是可靠性工程中最常用的分布之一，虽然其概率密度形式较复杂，但可由标准正态分布推出。
设有v个相互独立的随机变量X1，X2，……Xv，它们服从于标准正态分布N（0，1）。
记x2=X12+X22+…Xv2，x2读作“卡方”则x2服从的分布称为x2分布。
它的概率密度函数为：3．33．3．指数分布是电子产品在可靠性工程学中最重要的分布。
通常情况下，电子产品在剔除了早期故障后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段其寿命服从指数分布规律。
指数分布是唯一的失效率不随时间变化而变化的连续随机变量的概率分布。
容易推出：指数分布有如下三个特点：3．3．将指数分布中的（-λt）替换为（-（t/η）m），就得到威布尔分布。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的概率论分布有：均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指在一段区间内，各个取值的概率是相等的。
比如在一个骰子的例子中，每个面出现的概率是相等的，为1/6。
均匀分布在实际应用中常用于随机数生成、样本抽取等场景。
2. 正态分布正态分布又被称为高斯分布，是最常见的概率分布之一。
正态分布的特点是呈钟形曲线，数据集中在均值周围，并且具有对称性。
正态分布在自然界中广泛存在，比如人的身高、体重等都近似服从正态分布。
在统计学和数据分析中，正态分布的应用非常广泛，例如在建模、假设检验和置信区间估计等方面。
3. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一段时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的平均速率是恒定的。
泊松分布在实际应用中常用于描述稀有事件的发生概率，比如电话呼叫中心的接听次数、交通事故的发生次数等。
4. 指数分布指数分布是描述连续随机变量的概率分布，用于描述时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的速率是恒定的。
指数分布在实际应用中常用于描述如等待时间、寿命等连续性事件的概率分布。
这四种分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。
它们分别适用于不同的场景和问题，能够帮助人们理解和分析数据。
在实际应用中，我们常常需要通过对数据进行建模和分析来确定数据的分布类型，从而更好地理解数据的特征和规律。
除了这四种常见的分布外，还有其他许多概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种分布都有其独特的特点和应用领域。
在实际应用中，选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据，做出准确的推断和预测。
概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
每种分布都有其特点和应用场景，在实际问题中选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的。
通过对数据的分布进行研究，我们能够更好地理解数据的规律和特征，为决策提供科学依据。
几种常见概率分布
值。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
（ k=0,1,2,…,n） P(X = k) = P n (k) ≥0
n 二项分布的概率之和等于 1n ，即： k k n－k
∑C p q
n k =0
= (q +p) = 1
二项分布的性质
k n k P (X ≤m) = Pn (k ≤m) = C k p q n k =0 n m
μ = np σ = npq
当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p
p 也称率的标准误。
σ p = (pq) /n
四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 直接利用二项概率公式 [例6] 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的
P (X ≥m) = Pn (k ≥m) =
k =m
k k n -k C np q
P(m1 ≤ X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
k m1 k k n-k C n p q (m1 ≤m2 ) m2
三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ 、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时
0 .5 P( x k ) e 0 .5 k!
k
x
(k=0,1,2…)
计算结果如表4—5所示。
表4—5 细菌数的波松分布
可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分布是相
当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位容积(
或面积)中细菌数的分布是适宜的。
高中数学中的概率分布知识点总结
高中数学中的概率分布知识点总结概率分布是数学中与随机事件发生概率及其分布相关的概念。
它是概率论的重要组成部分，也是高中数学中的一项重要内容。
本文将对高中数学中的概率分布知识点进行总结和概述。
一、基本概率分布1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，各个数值发生的概率相等的情况。
例如，掷骰子点数的出现就符合均匀分布的特点。
2. 二项分布二项分布是指在多次独立试验中，事件发生与不发生的概率都一定，并且每次试验的结果互不影响的情况。
例如，抛硬币的正面或反面出现的次数就符合二项分布的规律。
3. 泊松分布泊松分布是指在一定时间段内，某一事件发生的次数符合某个固定的平均值，并且事件之间是相互独立的情况。
例如，单位时间内发生交通事故的次数就符合泊松分布的特点。
4. 正态分布正态分布是一种最为常见的连续型概率分布，也是概率论中最重要的分布之一。
它的特点是在均值处有一个峰值，从均值向两侧逐渐下降的曲线形态。
正态分布在高中数学中被广泛应用于实际问题的研究。
二、概率分布的性质与公式1. 期望值期望值是描述概率分布中随机变量取值的平均数，也是衡量一个分布中心位置的指标。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为E(X) = Σ(x * P(x))，其中x为随机变量的取值，P(x)为该取值的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为E(X) = ∫(x * f(x))dx，其中f(x)为概率密度函数。
2. 方差方差是描述概率分布中随机变量取值分散程度的指标。
方差越大，数据离散程度越大，方差越小，数据离散程度越小。
方差的计算公式为Var(X) = E((X-μ)^2)，其中μ为期望值。
3. 标准差标准差是描述概率分布中随机变量取值分散程度的另一种指标，它是方差的平方根。
标准差的计算公式为σ = √Va r(X)。
三、常见概率分布应用举例1. 正态分布的应用正态分布在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在人群中身高的分布、考试成绩的分布、环境温度的分布等都可以用正态分布进行描述和研究。
常见的概率分布
常见的概率分布离散分布0-1分布(伯努利分布)它的分布律为：\[P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1, (0<p<1)\]0-1分布记作：\(X \sim b(1,p)\)期望：\(E(X)=p\)⽅差:\(D(X)=p(1-p)\)常⽤的场景：新⽣婴⼉性别的登记，招⽣考试的录取，产品的是否合格，硬币的正反⾯。
⼆项分布⼆项分布为\(n\)重伯努利实验的概率分布。
分布律为：\[P\{X=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n,(0<p<1)\]\[\sum\limits_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1\]⼆项分布记作：\( X \sim b(n,p)\)期望：\(E(X)=np\)⽅差:\(D(X)=np(1-p)\)常⽤的场景：⽐如⼀个⼈射击\(n\)次，其中\(k\)次命中的概率，抽查50台设备，其中10台出故障的概率等等。
从下⾯的图中，我们可以看到命中次数先增加，到了3达到最⼤，之后⼜逐渐减少，⼀般来说，对于固定的\(n,p\)，都具有这⼀性质。
（1）当\(（n+1）p\)不为整数时，⼆项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=[(n+1)p]\)时达到最⼤值；（2）当\(（n+1）p\)为整数时，⼆项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=(n+1)p,k=(n+1)p-1\)时达到最⼤值。
%每轮射击10次，命中概率0.3，射击10000轮，x中返回的是每轮中命中的次数x=binornd(10,0.3,10000,1);%bin的数⽬为10hist(x,10);N=100;p=0.4;k=0:N;%事件发⽣k次的概率pdf=binopdf(k,N,p);%事件发⽣不⼤于k次的概率cdf=binocdf(k,N,p);plotyy(k,pdf,k,cdf);grid on;多项分布多项式分布是⼆项式分布的扩展，在多项式分布所代表的实验中，⼀次实验会有多个互斥结果，⽽⼆项式分布所代表的实验中，⼀次实验只有两个互斥结果。
常见概率分布表(超全总结)
指数分布 （负指数分布）
Γ(1, ������)
������ > 0
������
������ 2
注：指数分布是Γ分布的特殊情况
n
2n
χ2 分布
������ 2 (������)
������ ≥ 1
f(x) = {
2n⁄2 Γ(������⁄2) 0 ,
������ ≥ 1
������ > 0
均匀分布
U(a, b)
a<b
K=0,1,2,… 1 , ������ < ������ < ������ f(x) = {������ − ������ 0, 其它 f(x) = 1 f(x) = {√2������������������ 1 √2������������ ������ ������ −(������−������)
非中心χ 分布
2
������ f(x) = {
������+������ −( 2 ) ∞
������ (������, ��� 0
2������⁄2
������ 2+������−1 ������������ ∑ ������ , (������ > 0) 2������ ������=0 Γ (2 + ������) 2 ������! 0 , 其它
逆高斯分布
N (μ, λ)
−1
λ, μ > 0
Γ分布
连 续 型
(伽玛分布)
Γ(������, ������)
������, ������ > 0
1 ������ ������−1 ������ −������⁄������ , ������ > 0 f(x) = {������ ������ Γ(������) 0 , 其它 1 −������ ������ ������ , ������ > 0 f(x) = { ������ 0 , 其它 1 ������ 2 −1 ������ −2 , ������ > 0 其它
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Today: 2020/7/9
第二节 泊松分布 Possion distribution
泊松分布是用来描述和分析稀有事件即小概率事件分 布规律的函数。
一、泊松分布的意义
（一）定义
若随机变量X(X=k)只取零和正整数值，且其概率分
则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验， 简称贝努利试验。
（二）二项分布的概率
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在n重贝努利试验中，事件A发生x次的概率恰好
是（q+p）n二项展开式中的第x+1项，因此将
C Pn (k) =
k n
pkq
n－k
,
k
=称0,1作,2...二.., n项概率公式。
二、二项分布的意义及其性质
出现的怪胎（如缺皮症，全身无毛等）的头数，然
后以怪胎头数把200个奶牛场分类，统计每类中奶
牛场数目，结果如下：
10年内母牛产怪胎次数 （m）
0 1 2 3 4 总计
奶牛场数（f）
10 65 2 3 1 200
试研究10年内母牛怪胎数的9概率分布2。
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先假设母牛产怪胎数的概率分布为泊松分布。
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∑m
P(X ≤m) = Pn (k ≤m) = Cknpkqn k
k=0
∑n
P(X ≥m) = Pn (k ≥m) =
C
k n
pk
q
n
k
k=m
P(m1 ≤X ≤m2 ) = Pn (m1 ≤k ≤m2 )
∑m2
=
C
k n
pk
q
n
k (m1
≤m2 )
k=m1
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根据观察结果计算每一奶牛场10年内母牛产怪胎
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第一节 二项分布（Binomial distribution）
一、贝努利试验及其概率公式
（一）独立试验和贝努利试验 对于n次独立的试验，如果
每次试验结果出现且只出现对立事件 A与 A之一; ❖在每次试验中出现A的概率是常数p（0<p<1）,因 而出现对立事件 A的概率是1-p=q,
P6(3) = C36(0.85)3(0.15)6－3 = 20(0.85)3(0.15)3 = 0.04145344 P6(4) = C64(0.85)4(0.15)6－4 =15(0.85)4(0.15)2 = 0.17617711
P6(5) = C56(0.85)5(0.15)6－5 = 6(0.85)5(0.15)1 = 0.39933478
布为
λk P(X = k) =
e－λ
k = 0,1,;λ > 0;e = 2.7182
k!
则称X服从参数为λ的
泊松分布，记为X～P(λ)。
（二）特征 μ=σ2=λ
例
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二、泊松分布的概率计算 以样本平均数作为λ的估计值
P(X = k) = λk e－λ k!
[例]我们调查了200个奶牛场，统计各场某10年内
阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资 料。 已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对 立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从 大量观察中获得的比较稳定的数值。观察结
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要观察到这类事件，样本含量n必须很大 。在生 物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常 见的。
P6 (6) = C66 (0.85)6 (0.15)6－0 = (0.85)6 = 0.37714952
思考：求 至少孵出3只小鸡的概率是多少？ ❖ 孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？
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（一）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; ❖ 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如
n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能取 正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何数 值。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
P(X = k) = P（n (kk=) 0≥,10,2,…,n）
∑ ❖ 二项分布n 的Ckn概pk率qn－ 之k和=等(q +于p1)n，=即1 ：
k=0
二项分布的性质
四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 直接利用二项概率公式
[例6] 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的 各种可能情况的概率。
这个问题属于贝努里模型(?)，其 n = 6 中 p = 0.85,q = 1 0.，85 孵= 0化.156枚种蛋孵出的小鸡数x 服从二项分布 .其B(中6,0x.8的5)可能取值为0，1，2， 3，4，5，6。
（一）定义 设随机变量X所有可能取的值为零和正
整数：0,1,2,…,n,且有
C P（n (X其=中k)p=>Pn0(,kq)>= 0,pkn+pkqq=n－1k）,k,=则0,称1,2.随....,机n 变量X服从参
数为n和p的二项分布，记为
x ~ B(n,p)
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（二）二项分布的性质 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，由
其中：
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ห้องสมุดไป่ตู้
P6 (0) = C06 (0.85)0 (0.15)6 = (0.15)6 = 0.00001139
P6(1) = C16(0.85)1(0.15)6－1 = 6(0.85)1(0.15)5 = 0.00038728
P6(2) = C62(0.85)2(0.15)6－2 =15(0.85)2(0.15)4 = 0.00548648
第三章 常见概率分布
内容提要 第一节 二项分布 第二节 泊松分布 第三节 正态分布
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教学重点：
1. 正态分布、二项分布、泊松分布的概率 计算方法及应用；
2. 正态分布标准化的方法 3. 正态分布表、t值表的用法
教学要求：
掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概 率计算方法及应用
三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：
当试验结果以事件A发生次数k表示时
μ = np
σ = npq
❖当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p
σp = (pq) /n
σp 也称率的标准误。
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