n个平面把空间最多分成几个部分

n 个平面把空间最多分成几个部分?

宝鸡中学 宋亚红

高中数学北师大版必修2《立体几何初步》一章中有这样一道题：3个平面把空间最多分成几个部分。

这个问题不难回答，答案是8个部分。可有的学生就会追问：4个平面呢？n 个平面呢？你能给出一般性的结论吗？

要回答这个问题，先从平面内的类似的问题入手。

1条直线可以把平面分成2部分，2条直线最多可以把平面分成4部分， 3条直线最多可以把平面分成几部分，4条直线呢？你能不能想出n 条直线最多可以把平面分成几部分？

分析：要n 条直线最多把平面分成若干部分，必须n 条直线两两相交且无3条过同一点，记n 条直线最多可以把平面分成a n 部分,第n 条直线与前n-1 条直线最多有n-1个交点，这些交点把第n 条直线分成n 段，每一段把原来对应的部分分为两部分，所以从n-1条直线增加了1条直线共增加了 n 部分，

即a n -a n-1=n (n>1), 累加求和得，)2(2

12++=n n a n 1个平面把空间最多分成2个部分，2个平面把空间最多分成4个部分，3个平面把空间最多分成8个部分，4个平面把空间最多分成15个部分，那么n 个平面把空间最多分成多少个部分？

分析：记n 个平面最多可以把空间分成a n 部分,第n 个平面与前n-1 个平面最多有n-1条交线，这些交线把第n 个平面分成

)2(212+-n n 部分，每部分把对应的空间分为两部分，所以共增加了

)2(212+-n n 部分， a n -a n-1=)2(2

12+-n n ， (n>1) 累加求和得，*∈+-+=N n n n n a n ),6)(1(6

12. n 个平面把空间最多分成)6)(1(612+-+n n n 个部分.