3.1.1不等关系与不等式练习题

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3.1.1不等关系与不等式

a b
【分析】若要判断上述命题的真假，依据就是实数集的基本性质和实数运算的符号法则及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可判断.
【解析】（１）因为c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该命题是假命题. （２）由ac2>bc2，知c≠0,c2>0, ∴ 12 >0. 故该命题为真命题. （3）由
注意实际问题中关键性的文字语言与对应符号之间的正确转
换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系. 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
文字语言大于
数学符号＞
文字语言
数学符号 ≥
文字语言至多
数学符号 ≤
文字语言不小于
数学符号 ≥
大于等于
小于等于
小于
＜
≤
至少
≥
不多于
3 2
当x=1时，x =x －x+1， 3 2 当x<1时，x <x －x+1.
例 4 比较(a＋3)( a－5)与( a＋2)(a－4) 的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
－b的取值范围。
解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b) =(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得， 5 8 m ,n 3 3 8 5 所以9a－b= (a－b)+ (4a－b) 3 3
由－4≤a－b≤－1，得

2019高中数学不等关系与不等式检测考试题(附答案)精品教育.doc

高中数学不等关系与不等式检测考试题（附答案）3.1.1 不等关系与不等式优化训练1．实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为()A．|x|＞2 B．|x|2C．|x|＜2 D．|x|2答案：D2．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为() A．h＜4.5 B．h＞4.5C．h4.5 D．h4.5解析：选C.限高也就是不高于，即指小于等于．3．若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()A．ac B．caC．cb D．bc解析：选C.∵3ln2＝ln8ln9＝2ln3，ab，故排除B，D项，同理可得ca，故选C.4．若x1，则x＋1－x________x－x－1.解析：(x＋1－x)－(x－x－1)＝1x＋1＋x－1x＋x－1＝x－1－x＋1x＋1＋xx＋x－1，∵x1，0x－1x＋1，x－1x＋1，x－1－x＋1x＋1＋xx＋x－10，x＋1－xx－x－1.答案：5．请用数学式子描述下面两个不等关系：(1)某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)可享受8折优惠．那么不足20人时，当多少人去参观时，买20人的团体票不比普通票贵？(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？解：(1)设有x(x20，xN＋)人去参观．则82019x(x20)，得x16，即1620且xN＋.(2)设每本杂志价格提高x元，则实际发行量为(10－0.5x0.2)万册，(2＋x)(10－0.5x0.2)22.4，即(2＋x)(10－52x)22.4.化简得：5x2－10x＋4.80,0.81.2.2.8＜2＋x＜3.2即每本杂志的价格应在大于2.8元小于3.2元．1．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是() A．a－b＞0 B．a－b＜0C．a－b D．a－b0答案：C2．若m2且n－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为()A．M ＞－5 B．M＜－5C．M＝－5 D．不确定解析：选A.M－(－5)＝m2＋n2－4m＋2n＋5＝(m2－4m＋4)＋(n2＋2n＋1)＝(m－2)2＋(n＋1)2，∵m2且n－1，M－(－5)＝(m－2)2＋(n＋1)2＞0.3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A.x380z＞45B.x95y＞380z45C.x＞95y＞380z＞45D.x95y＞380z＞45答案：D4．若0＜a＜1，c＞1，则ac＋1与a＋c的大小关系为() A．ac＋1＜a＋c B．ac＋1＞a＋cC．ac＋1＝a＋c D．不能确定解析：选A.ac＋1－(a＋c)＝a(c－1)＋1－c＝(a－1)(c－1)，∵0＜a＜1，c＞1，a－1＜0，c－1＞0，ac＋1－(a＋c)＝(a－1)(c－1)＜0，ac＋1＜a＋c.5．已知a，b是任意实数，且ab，则()A．a2 B.ba1C．lg(a－b) D.13a13b解析：选D.当a0时，b0，a2b2；当a0时，ba1；当0a－b1时，lg(a－b)0.从而A、B、C均错．6．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种 B．6种C．7种 D．8种解析：选C.设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片、y盒．则60x＋70y3y2x，yN＋，即6x＋7y3y2x，yN＋.(1)当x＝3时，7y32，y327，∵yN＋，y＝2，y＝3，y＝4，此时有3种选购方式．(2)当x＝4时，7y26，y267，∵yN＋，y＝2，y＝3，此时有2种选购方式．(3)当x＝5时，y207，∵yN＋，y＝2，此时有1种选购方式．(4)当x＝6时，y＝2，此时有1种选购方式．共有7种选购方式．7．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(0，＋)上单调递增，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系是________．解析：∵f(x)为偶函数，b＝0.∵f(x)＝loga|x|在(0，＋)上单调递增，a1，f(b－2)＝loga2，f(a＋1)＝loga|a＋1|，|a＋1|2，f(a＋1)f(b－2)．答案：f(a＋1)f(b－2)8．实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是________．解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)20，cb.又∵b－a＝12[(b＋c)－(c－b)]－a＝1＋a2－a＝(a－12)2＋340，ba，综上可知：ca.答案：ca9．一个两位数个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________(用含a、b的不等式表示)．解析：这个两位数为10b＋a，且50＜10b＋a＜100.答案：50＜10b＋a＜10010．已知x1，试比较3x3和3x2－x＋1的大小．解：因为3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)，由x1，得x－10，而3x2＋10，则(x－1)(3x2＋1)0，所以3x33x2－x＋1.11．已知a，b为正实数，试比较ab＋ba与a＋b的大小．解：(ab＋ba)－(a＋b)＝(ab－b)＋(ba－a)＝a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a－b2a＋bab.∵a，b为正实数，a＋b＞0，ab＞0，(a－b)20，a－b2a＋bab0，ab＋baa＋b.12．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，bR)，试比较12[f(x)＋f(y)]与f(x＋y2)的大小．解：∵12[f(x)＋f(y)]－f(x＋y2)＝12[(x2＋ax＋b)＋(y2＋ay＋b)]－[(x＋y2)2＋a(x＋y2)＋b]＝12(x2＋y2)＋12a(x＋y)＋b－14(x＋y)2－a2(x＋y)－b ＝14x2＋14y2－12xy＝14(x－y)20，12[f(x)＋f(y)]f(x＋y2)．。

高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式同步练习新人教B版必修5

3．1 不等关系与不等式1．a≥b 可以推出( )A.1a ≥1b B ．ac2≥bc2 C.a c2>bc2 D ．(ac)2≥(bc)2 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a2<b2B ．ab<b2 C.b a ＋ab >2 D ．|a|－|b|＝|a －b|3．设角α、β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围为__________．4．证明：若a>b>0，c<d<0，m<0，则m a －c >mb －d.答案：1．B ∵c2≥0，a ≥b ， ∴ac2≥bc2.2．D 可取特殊值，令a ＝－1，b ＝－2代入验证知D 不正确．3．－π<α－β<0 在利用不等式的性质时，要注意α<β这个隐含条件． ∵－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π<α－β<π.又∵α<β，∴α－β<0. 综上，可知－π<α－β<0.4．证明：⎩⎪⎨⎪⎧a>b>0c<d<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>b>0－c>－d>0⇒a －c>b －d>0⇒1a －c <1b －d. 又∵m<0，∴m a －c >mb －d.课堂巩固1．已知a<0，－1<b<0，下列不等式成立的是( )A ．a>ab>ab2B ．ab2>ab>aC ．ab>a>ab2D ．ab>ab2>a 2．x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系为( )A ．x>yB ．x ＝yC ．x<yD ．不能确定3．若f(x)＝3x2－x ＋1，g(x)＝2x2＋x －1，则f(x)与g(x)的大小关系为__________． 4．已知a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b2－4ac 的值的符号为__________． 5．若a>0，b>0，比较b2a ＋a2b 和a ＋b 的大小．6．设x∈R，比较11＋x与1－x 的大小．答案：1．D 本题可以根据不等式的性质来解，由于－1<b<0，所以0<b2<1⇒a<ab2<0，且ab>0，易得答案D.本题也可以根据a ，b 的范围取特殊值，比如令a ＝－1，b ＝－12，也容易得到正确答案．2．C x －y ＝(a2－2a －15)－(a2－2a －8)＝－7<0， ∴x<y.3.f(x)>g(x) 采用作差法可得：f(x)－g(x)＝3x2－x ＋1－(2x2＋x －1) ＝x2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，显然大于0.4．正 ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c)， b2＝a2＋c2＋2ac.∴b2－4ac ＝a2＋c2－2ac ＝(a －c)2. ∵a>c ，∴(a －c)2>0.∴b2－4ac>0，即b2－4ac 的符号为正．5．解：b2a ＋a2b a ＋b ＝a2－ab ＋b2ab ＝(a －b)2＋ab ab ≥abab ＝1，∵a>0，b>0，∴a ＋b>0. ∴b2a ＋a2b≥a ＋b. 6．解：11＋x －(1－x)＝x21＋x .(1)当x ＝0，即x21＋x ＝0时，11＋x＝1－x. (2)当1＋x<0，即x<－1时，x21＋x<0， ∴11＋x<1－x. (3)当1＋x>0且x ≠0，即－1<x<0或x>0时，x21＋x >0，∴11＋x>1－x.1．已知a ＋b>0，b<0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a>b>－b>－a B ．a>－b>－a>b C ．a>－b>b>－a D ．a>b>－a>－b 1．答案：C ∵a ＋b>0，b<0，∴a>0，－b>0. 又∵a ＋b>0，a>－b 且b>－a ， ∴a>－b>b>－a.2．如果a 、b 、c 满足c<b<a 且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab>acB ．c(b －a)>0C ．cb2<ab2D ．ac(a －c)<0 2．答案：C ∵c<b<a 且ac<0，∴a>0，c<0. ∴b 可能为0，也可能不为0. ∴cb2<ab2不一定成立．3．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c3．答案：C 采用作商法，易知a ，b ，c 都是正值，b a ＝2ln33ln2＝log89>1，又a ＝ln22>0，∴b>a ，a c ＝5ln22ln5＝log2532>1.∴a>c.4．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d>c，②a＋b ＝c ＋d ，③a＋dd>c>a 由③可得，d －b<c －a ；由②可得，c －a ＝b －d ，于是有d －bc 可得结果：b>d>c>a.5．若a>b>0，c<d<0，e<0，则e (a －c)2__________e(b －d)2.(填不等号“>”或“<”)5．答案：> ∵c<d<0，∴－c>－d>0.又a>b>0，∴a －c>b －d>0. ∴(a －c)2>(b －d)2>0. 同边同乘以1(a －c)2(b －d)2，得1(a －c)2<1(b －d)2.又e<0，∴e (a －c)2>e(b －d)2.6．给出下列命题：①若x<y ，则a2x<a2y ；②若x<y ，则x2n ＋1<y2n ＋1(n∈N＋)；③若x>y>1，则log 1x y>log1y x.其中正确命题的序号是__________．6．答案：②③ 对于①，a ＝0时，a2x ＝a2y ，故命题①错．对于②，由幂函数y ＝x2n ＋1(n ∈N ＋)是增函数这一性质可知：当x<y 时，有x2n ＋1<y2n ＋1.故命题②正确．对于③，由x>y>1，得0<1x <1y<1，而函数y ＝logax 当0<a<1时，在(0，＋∞)上单调递减，故log 1x y>log 1x x ＝－1＝log 1y y>log1y x ，命题③也正确．7．已知a≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．7．答案：解：M －N ＝(a ＋1－a)－(a －a －1)＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a)(a ＋a －1)， ∵a ≥1，∴a ＋1＋a>0，a ＋a －1>0. 又0<a<a ＋1，∴a －1<a ＋1，即a －1－a ＋1<0. ∴M －N<0.故M<N.8．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，且a1≠a3，试比较a2与b2的大小．8．答案：解：设{an}的公比为q ，{bn}的公差为d ，则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d ＝a1＋2d.∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d ，即2d ＝a1(q2－1)． ∴d ＝12a1(q2－1)．∵a1≠a3＝a1q2，∴q2≠1.∴q ≠±1. ∵a2－b2＝a1q －(a1＋d) ＝a1q －a1－12a1(q2－1)＝－12a1(q －1)2<0，∴a2<b2.9．(1)比较2x2＋5x ＋3与x2＋4x ＋2的大小；(2)已知a>0且a≠1，p ＝loga(a3＋1)，q ＝loga(a2＋1)，比较p 与q 的大小． 9．答案：解：(1)(2x2＋5x ＋3)－(x2＋4x ＋2)＝x2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34.∵(x ＋12)2≥0，∴(x ＋12)2＋34≥34>0.∴(2x2＋5x ＋3)－(x2＋4x ＋2)>0. ∴2x2＋5x ＋3>x2＋4x ＋2.(2)p －q ＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga a3＋1a2＋1.当a>1时，a3＋1>a2＋1， ∴a3＋1a2＋1>1.∴loga a3＋1a2＋1>0；当0<a<1时，a3＋1<a2＋1， ∴0＜a3＋1a2＋1<1.∴loga a3＋1a2＋1>0.总之，p －q>0，∴p>q.点评：(1)比较两数式的大小，可将其转化为差运算，即用作差比较法，共分为四点：作差→整理→符号→结论．(2)第(2)题通过分类讨论判断差的符号可以看到，用作差比较法时，判断所作的差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．(3)若都为正数的两个单项式比较大小，也可以采用作商比较法．依据是若a>0，b>0，ba >1，则aq>0)如下表，经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？10．答案：解：设商品原价为a ，按甲、乙方案两次提价后价格分别为N 甲、N 乙，则N 甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，N 乙＝a[1＋12(p ＋q)%][1＋12(p ＋q)%]＝a(1＋p ＋q200)2，N 甲－N 乙＝a(1＋p%)(1＋q%)－a(1＋p ＋q200)2＝a[1＋p 100＋q 100＋pq 1002－1－p ＋q 100－(p ＋q)22002]＝a 2002(2pq －p2－q2)＝－a 2002(p －q)2<0. ∴按乙方案提价比甲方案提价幅度大．。

高中数学第三章不等式 3.1.1 不等关系与不等式同步训练新人教B版必修5

3.1.1 不等关系与不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下列不等式一定成立的是( )A.-3＜-4B.0≤0C.3≥4D.-5≤-6解析：不等式a≥b 的含义是指“或者a ＞b ，或者a=b”，不等式a≤b 的含义是指“或者a ＜b ，或者a=b”，根据含义可知只有B 正确.答案：B2.已知ba 11>，则下列一定成立的是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.b a 11-＞0 D.b a ＞1 解析：根据实数比较大小的方法,可知ba 11-＞0一定成立,其他选项可以采用特殊值代入进行排除.答案:C3.若x ＞1＞y ，下列不等式中不成立的是( )A.x-1＞1-yB.x-1＞y-1C.x-y ＞1-yD.1-x ＞y-x解析：∵x＞1＞y,∴x+(-1)＞y+(-1)，即B 正确；x+(-y)＞1+(-y)，即C 正确；1+（-x ）＞y+(-x)，即D 正确.故选A.答案：A4.已知:a ＞b,则a 3与b 3的大小关系是____________.解析：因为a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)=(a-b)［(a+22b )+432b ］＞0，所以,a 3＞b 3.答案：a 3＞b 310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若b ＜0,a+b ＞0,则a-b 的值是( )A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定解析:因为b ＜0,所以-b ＞0,则-2b ＞0.又a+b ＞0,所以a+b-2b ＞0,即a-b ＞0.易知只有选项A 正确.答案:A2.若a ＜b ＜0，则下列不等式中，不能成立的是( ) A.b a 11> B.bb a 11>- C.b a ->- D.|a|＞-b解析：取a=-3，b=-2，可知B 错.再由不等式的性质可推证A 、C 、D 正确.也可以采用作差直接比较大小进行判断.答案：B3.若a ＞b,则( )A.a 2＞b 2B.a 2≥b 2C.a 2≤b 2D.以上都不对解析:a 2-b 2=(a+b)(a-b),而a ＞b,所以,a-b ＞0,当a+b ＞0时,a 2-b 2＞0,a 2＞b 2;当a+b=0时,a 2=b 2;当a+b ＜0时,a 2＜b 2.答案:D4.用“＞、＜、≥、≤”符号填空(1)(2a+1)(a-3)____________(a-6)(2a+7)+45；(2)a 2+b 2____________2(a-b-1).解析:(1)(2a+1)(a-3)-［(a-6)(2a+7)+45］=-6＜0,所以,(2a+1)(a-3)＜(a-6)(2a+7)+45;(2)a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+（b+1)2≥0,所以,a 2+b 2≥2(a -b-1).答案:＜ ≥5.已知:x ＞y 且y≠0,比较yx 与1的大小. 解:yy x y x -=-1. 因为x ＞y,所以x-y ＞0.当y ＜0时,0<-y y x ,即y x -1＜0,所以,yx ＜1; 当y ＞0时,y y x -＞0,即y x -1＞0,所以,yx ＞1. 6.已知a ＞b ＞0,比较3333b a b a +-与ba b a +-的大小. 解:33332233223333)(2))((b a b a ab b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a +-=++--+++-=+--+-, 因为a ＞b ＞0,所以a-b ＞0,所以0)(233>+-ba b a ab .所以03333>+--+-b a b a b a b a , 即ba b a b a b a +->+-3333. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a 、b 分别对应数轴上的A 、B 两点,且A 在B 的左侧,则下列关系中一定正确的是( )A.a 2＞b 2B.ba 11> C.a-b≤0 D.以上都不对解析:根据条件可知a ＜b,所以a-b ＜0,根据这个结论可知C 正确,其他选项可以取特殊值代入检验,也可作差比较得到答案.答案：C2.如果a ＜0,b ＞0，那么下列不等式中正确的是( ) A.b a 11< B.-a ＜b C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 解析:如果a ＜0,b ＞0，那么a 1＜0,b1＞0， ∴a 1＜b 1，选A. 答案：A3.若a ＞b ，下列不等式中一定成立的是( )A.ba 11< B.ab ＜1 C.a 2＞b 2 D.lg （a-b ）＞0 解析：因为a ＞b ，y=2x 是增函数.答案:C4.设a 、b 、c 、d∈R ,且a ＞b,c ＞d,则下列结论中正确的是( )A.a+c ＞b+dB.a-c ＞b-dC.ac ＞bdD.cb d a > 解析:可以取值代入检验,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)＞0,故A 正确.答案:A5.如下图，y=f （x ）反映了某公司的销售收入y 万元与销量x 之间的函数关系，y=g （x ）反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系.（1）当销量x 时，该公司赢利；（2）当销量x 时，该公司亏损.①x ＞a;②x＜a;③x≥a;④0≤x＜a.A.①②B.③④C.①④D.②③解析：当销售收入f （x ）大于销售成本g （x ）时，公司赢利；当销售收入f （x ）小于销售成本g （x ）时，公司亏损.故选C.答案：C6.如果[x]表示不超过x 的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1]且a≤b≤c,那么实数m 的取值范围是_____________.解析:根据定义,可知a=-4,c=7，所以-4≤b≤7,再根据定义知,m 最小为-4,最大值也不能达到8,因此m 的取值范围是-4≤m＜8.答案:-4≤m＜87.已知0＜b ＜21，a ＞1，试比较log b a 与log 2b a 的大小. 解法一:用商比求解如下：a b b a a ab b lg 2lg lg lg log log 2•==log b 2b. ∵0＜b ＜21， ∴0＜b ＜2b ＜1，a ＞1. ∴log b 2b ＜log b b ＜1，则a ab b 2log log ＜1. ∴log b a ＞log 2ba.解法二:用作差比较求解如下：log b a-log 2ba=bb a b b b b a b a b a 2lg lg 2lg lg 2lg lg )lg 2(lg lg 2lg lg lg lg ••=•-•=-. ∵0＜b ＜21， ∴lgb＜0，lg2b ＜0. 又∵a＞1，lga ＞0，lg2＞0，∴log b a-log 2b a ＞0.∴log b a ＞log 2b a.8.若a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4，试比较a 、b 、c 三个实数的大小.解:b-c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0.所以b≥c.由题意可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+.44,64322a a c b a a c b 解得b=2a 2-4a+5,c=a 2+1.所以c-a=a 2+1-a=(a-21)2+43＞0, 所以c ＞a,故b≥c＞a.9.已知一个三边分别为15、19、23单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 单位长度，且能构成钝角三角形，试用不等式写出x 的不等关系.解:缩短x 单位长度后三边长分别为15-x ，19-x ，23-x ，则⎪⎩⎪⎨⎧-+->-->-+->-.)19()15()23(,23)19()15(,015222x x x x x x x10.船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么?解:设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v （u ＞v ＞0），则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t=222vu us v u s v u s -=-++,平均速度uv u t s u 222-==， ∴uv u u v u u u 222-=--=-＜0. ∴u＜u.因此，船在水流中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.。

高中数学第三章不等式 3.1 不等关系 3.1.1 不等关系 3.1.2 不等关系与不等式达标练习5

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————3.1.2 不等关系与不等式[A 基础达标]1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤BB ．A ≥BC ．A BD ．A >B 解析：选B.因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .2．已知a 1b B ．ab <1C.a b >1 D ．a 2>b 2解析：选D.由a b 2，故选D.3．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( )A ．0<a 0，所以0<a <1，0log b 3，所以lg 3lg a >lg 3lg b. 所以lg a <lg b ．所以0<a <b <1.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56π C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D.0＜2α＜π，0≤β3≤π6，所以－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π. 5．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2a 2D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D.由1a <1b<0，得b <a <0.所以A ，B ，C 均正确，但|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选D. 6．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，每种邮票至少买两套，则用不等式表示上述不等关系为________．解析：设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，由题意列不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，0.8×5x ＋2×4y ≤50.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，2x ＋4y ≤25.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，2x ＋4y ≤257．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________．解析：因为0<a <1b，所以1＋a >0，1＋b >0，1－ab >0，所以M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab （1＋a ）（1＋b ）>0，即M >N . 答案：M >N8．若m >2，则m m 与2m 的大小关系是________．解析：因为m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m，又m >2，所以m 2>1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >1，又2m >0，故m m >2m . 答案：m m >2m9．(1)已知a b ，1a <1b，求证：ab >0. 证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab＝（b ＋a ）（b －a ）ab，因为a 0，ab >0，所以（b ＋a ）（b －a ）ab<0，故b a <a b .(2)因为1a <1b ，所以1a －1b<0，即b －a ab<0，而a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.10．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8 000元，学生用机每台3 500元；高级机房教师用机每台11 500元，学生用机每台7 000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35（x －1）＝1.15＋0.7（y －1），20≤0.8＋0.35（x －1）≤21，20≤1.15＋0.7（y －1）≤21，x ，y ∈N ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514，x ，y ∈N ＋. 因为x 、y 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29. 即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机．[B 能力提升]11．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b解析：选A.因为a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，所以a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .所以b <d .又a ＋c b >a >c .12．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 的大小关系为________．(a ，b ∈R ，且a ≠b )解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b ＝[a ·a －(－b )·b ]－[a ·b －(－a )·b ]＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2>0(因为a ≠b )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b . 答案：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 13．甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg ，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？解：设两次粮食的价格分别为a 元/kg 与b 元/kg ，且a ≠b .则甲采购员两次购粮的平均单价为1 000（a ＋b ）2×1 000＝a ＋b 2元/kg ，乙采购员两次购粮的平均单价为2×1 0001 000a ＋1 000b＝2ab a ＋b 元/kg. 因为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）2－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ），又a ＋b ＞0，a ≠b ，(a －b )2＞0，所以（a －b ）22（a ＋b ）＞0，即a ＋b 2＞2ab a ＋b. 所以乙采购员的购粮方式更合算．14．(选做题)设f (x )＝ax 2＋bx ，1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故f (－2)的取值范围是[5，10]．法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －bf （1）＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故f (－2)的取值范围是[5，10]．。

§3.1.1不等关系与不等式(一)

浓度为 b m ,
am
bm b 可以证明成立. am a
你能证明吗？预习下一节内容，给出证明.
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1不等关系与不等式(一)
小结 1. 两实数间的大小与两数之差有如下关系:
a>ba–b>0 a=ba–b=0 a<ba–b<0
根据两个正数的和仍是正数,得
(a b) (b c) 0, 即a c 0,
推论: 由a b, 且b c a c.
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 12
a c.
§3.1.1不等关系与不等式(一)
不等式的性质
性质3:
3
§3.1.1不等关系与不等式(一)
问题2 :某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以销售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析:若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
x 2.5 （8 0.2）x 万元。 0.1
4 x y 10 18 x 15 y 66 x 0 y 0
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 7
§3.1.1不等关系与不等式(一)
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用。若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出 40元以上。问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？分析：设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共 y元，则：

高中数学3-1不等关系与不等式习题新人教A版必修5

3.1不等关系与不等式一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】已知a b >，c d >，那么一定正确的是（）A ．ad bc >B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a d b c ->-2．【题文】设201612016a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120162016b =，1lg 2016c =，则c b a ,,的大小关系为（） A ．c a b <B. M N ≥C. M N <D. M N ≤5．【题文】如果01a <<，那么下列不等式中正确的是（）A ．(1)log (1)0a a -+>C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1a a +->6．【题文】设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是 ( )A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +> 7．【题文】设 1a b >>，0c <，给出下列三个结论：①c c a b>；②c c a b >； ③()()log >log b a a c b c --．其中所有正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．38．【题文】已知,,a b c ∈R ，则下列推证中错误的是（）A ．22a b ac bc >⇒≥B ．,0a b c a b c c><⇒< C ．3311,0a b ab a b >>⇒< D ．2211,0a b ab a b >>⇒<二、填空题：本题共3小题.9．【题文】132-，123，2log 5三个数中最大的数是． 10．【题文】若13,12,a b ≤≤-≤≤则2a b -的取值范围为______．11．【题文】若2,a b c ==，则a 、b 、c 的大小顺序是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12．【题文】已知：m n >，a b <，求证：m a n b ->-.13．【题文】设110,1ab a >->，比较a +1的大小. 14．【题文】已知,a b ∈R ，b a x -=3，a b a y -=2，试比较x 与y 的大小．3.1不等关系与不等式参考答案及解析1. 【答案】D【解析】由同向不等式的加法性质可知由a b >，c d >，可得,a c b d a d b c +>+∴->-．考点：不等式性质.【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】D 【解析】()201612016110,1,20161,lg 0,.20162016a b c c a b ⎛⎫=∈=>=<∴<< ⎪⎝⎭考点：比较大小.【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】B 【解析】因为0a b <<，所以可令2,1a b =-=，可排除A 、C 、D ，故选B.考点：不等式的性质.【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】B【解析】()()()()22222211324223M N a a a a a a a a a -=---+-=-----=-()22110a a +=-≥恒成立，所以M N ≥．故B 正确．考点：作差法比较大小．【题型】选择题【难度】一般5. 【答案】A【解析】因为01,a <<所以011,a <-<所以(1)x y a =-在R 上单调递减，所以A.本题也可以用特殊值法，如：令12a =来解决. 考点：比较大小.【题型】选择题【难度】一般6. 【答案】D 【解析】由0a b ->得a b >，0,,0.a b a b a b ∴>≥∴>±∴+>考点：不等式性质.【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】C【解析】①∵1a b >>，0c <，∴(0c c c b a a b ab --=>），故c c a b>，正确； ②∵0c <，∴c y x =在()0,+∞上是减函数，而0a b >>，所以c c a b <，错误；③当1a b >>时，有()()()log >log >log b b a a c b c b c ---，正确．故选C ．考点：比较大小．【题型】选择题【难度】一般8. 【答案】D【解析】对于A ： 20c ≥，则22ac bc ≥，故A 正确；对于B ：0a b a b c c c--=> ，当0c <时，有a b <，故B 正确；对于C ：∵33a b >，0ab >，∴不等式两边同乘以()3ab 的倒数，得到3311b a >，即11a b<，故C 正确；对于D ：∵22a b >，0ab >，∴不等式两边同乘以()2ab 的倒数，得到2211b a >，不一定有11a b<，故D 错误．故选D ．考点：不等关系与不等式．【题型】选择题【难度】较难9. 【答案】2log 5 【解析】11322221,12,log 5log 42-<<<>=，所以最大的数为2log 5．考点：指数、对数式大小判定．【题型】填空题【难度】一般10．【题文】若13,12,a b ≤≤-≤≤则2a b -的取值范围为______．【答案】[]0,7【解析】13,12,226,21,a b a b ≤≤-≤≤∴≤≤-≤-≤利用同向不等式可以相加，得到2a b -的取值范围为[]0,7．考点：不等式的性质.【题型】填空题【难度】一般10. 【答案】[]0,7【解析】13,12,226,21,a b a b ≤≤-≤≤∴≤≤-≤-≤利用同向不等式可以相加，得到2a b -的取值范围为[]0,7．考点：不等式的性质.【题型】填空题【难度】一般11. 【答案】a b c >>【解析】a ==，2bc ===，因为20+>，>>，故a b c >>. 考点：不等关系与不等式.【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】证明略【解析】证法一：由m n >知0m n ->，由a b <知0b a ->.∴()()()()0m a n b m n b a m a n b ---=-+->⇒->-.证法二：∵a b <，∴a b ->-，又∵m n >，∴()()m a n b +->+-，即m a n b ->-.考点：不等式的性质.【题型】解答题【难度】较易13. 【答案】ba ->+111 【解析】由,10111,0<<⇒>->b a b a2211111ab a b ab b a b b ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴-==--，又110,10,1ab b b a>->->，22∴-⇒> 考点：平方法作差比较大小.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】详见解析【解析】()()()32221x y a b a b a a a b a b a b a -=--+=-+-=-+，当b a >时，0>-y x ，所以y x >；当b a =时，0=-y x ，所以y x =；当b a <时，0<-y x ，所以y x <．考点：作差法比较大小.【题型】解答题【难度】一般。

2020学年高中数学第3章不等式3.1不等关系与不等式练习新人教A版必修5

人时，选乙车队更优惠 .
该班除小李外共有 x 人，这笔开学费用共 y 元，试用不等式 ( 组 ) 将题目中的不等关系表示出
来.
答案
12x－ y＝ 84， 10x<y， 11x－ y>40， x∈ N*
ba 11.(12 分 )(1) a<b<0，求证： a<b；
11 (2) 已知 a>b，a<b，求证： ab>0.
b a b2－ a2 （ b＋ a）（ b－ a）
ab B. a＞ b? c＞ c D. ac2＞ bc2? a＞ b
解析对于 A，如 3＞ 2， 2＞ 0，但 3－ 2＞ 2－ 0 不成立，故 A 不正确；对于 B，当 c＜ 0 ab
时， a＞ b? c＜ c，故 B 不正确；对于 C，当 c＜ 0 时， ac＜ bc? a＞ b，故 C 不正确， D 正确，选 D.
故选 D.
答案 D 4. 已知 x＜ 1，则 x2＋ 2 与 3x 的大小关系为 ________. 解析 ( x2＋ 2) － 3x＝ ( x－1)( x－ 2) ，
因为 x＜ 1，
所以 x－ 1＜ 0，x－ 2＜ 0，所以 ( x－ 1)( x－2) ＞ 0，所以 x2＋ 2＞3x.
答案 x2＋ 2＞ 3x
解析 ①由 c＞ d 得－ d＞－ c，同向不等式相加得 a－ d＞b－ c；②若 a2x＞ a2y，显然 a2
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＞0，所以 x＞ y 成立；③ a＞ b，则 a－ b＞ a不一定成立，如 a＝ 1，b＝ 1；④若 a＜ b＜ 0，则 b
＜a＜ 0，所以 b2－ ab＝b( b－ a) ＞0，即 ab＜ b2.
答案 ①②④

课时作业4：3.1.1 不等关系与不等式

不等关系与不等式一、选择题、填空题1、若m <0,n >0且m +n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．−n <m <n <−m B ．−n <m <−m <nC ．m <−n <−m <nD ．m <−n <n <−m【解析】本题考查不等关系.特殊值法求解. (取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．【答案】D2、设实数x,y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y≤9，则x 3y 4的最大值是。

【解析】本题考查不等关系求最值.拼凑法构造x 3y 4，x 3y 4=(x 2y )2∙1xy 2， ∵(x 2y )2ϵ[16,91]，1xy 2ϵ[18,13]，∴x 3y 4=(x 2y )2∙1xy 2∈[2,27]，故x 3y 4的最大值是27。

【答案】273、已知实数a,b,c 满足b +c =6−4a +3a 2,c −b =4-4a+a 2，则a,b,c 的大小关系是( ) A ． c ≥b >a B ．a >c >b C ． c >b >aD ．a >c ≥b【解析】本题考查不等关系.作差比较法，c −b =4−4a +a 2=(2−a)2≥0, ∴c ≥b 将题中两式作差得2b =2+2a 2,即b =1+a 2 ∵1+a 2−a =(a −12)2+34>0,∴1+a 2>a ∴b =1+a 2>a ∴c ≥b >a 【答案】A4、若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a +1b>b +1aB. b a>b+1a+1C ．a −1b >b −1aD. 2a+ba+2b >ab【解析】本题考查不等关系.取特殊值法，取a =2,b =1，排除B 与D ；另外，函数f (x )=x −1x 是(0,+∞)上的增函数，但函数g (x )=x +1x 在(0,1]上递减，在[1,+∞)上递增，所以，a >b >0时，f (a )>f(b)必定成立，但g (a )>g(b)未必成立，可得，a−1a>b−1b⟹a+1b>b+1a【答案】A5、某人上午7时乘摩托艇以v海里/时(4≤v≤20)的速度从A港匀速出发，向距A港50海里的B港驶去，到达B港后马上乘汽车以ω千米/时(30≤ω≤100)的速度从B港匀速出发，向距B港300千米的C市驶去，应在同一天下午4时至9时到达C市，则汽车所需时间x小时与摩托艇所需时间y小时应满足怎样的不等关系为________．【解析】本题考查根据实际问题列不等关系式.根据实际问题抓住关键词，如至少、最多、不少于等，注意变量的取值范围.【答案】{x+y≥9 x+y≤143≤x≤105 2≤y≤2526、某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20[来天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主应每天从报社买进( )份晚报.A.250B.40C.300D.350【解析】本题考查根据实际问题列不等关系式.注意定义域的取值范围，是本题容易出错点.若设每天从报社买进x(250≤x≤400,xϵN)份晚报，则每月共可销售(20x+10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x−250)份，每份亏损0.15元，建立月利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x份晚报，每月获得的总利润为y元，则依题意，得y=0.10(20x+10×250)−0.15×10(x−250)=0.5x+625,x∈[250,400]∵函数y=0.5x+625在[250,400]上单调递增，∴当x=400时，y max=825.即摊主每天从报社买进400份晚报时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元【答案】B二、解答题7、已知f(x)=ax2+b，若1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3,求f(3)的范围.【解析】本题考查不等关系求取值范围.运用整体代换法或换元法求解，f(3)用f(1)和f(2)线性表示，根据f(1)和f(2)的取值范围确定f(3)的取值范围.【答案】解法1：整体代换.令f (3)=9a +b =m (a +b )+n (4a +b )=(m +4n )a +(m +n )b, 则{m +4n =9m +n =1 解得{m =−53n =83 即f (3)=−53(a +b )+83(4a +b) 因为1≤a +b ≤2,2≤4a +b ≤3，所以2≤f(3)≤193,即f(3)的范围是[2,193].解法2:巧妙换元.令a +b =x ，4a +b =y ，则a =y−x 3,b =4x−y 3,1≤x ≤2,2≤y ≤3.因为f (3)=9a +b =8y−5x 3,6≤8y −5x ≤19,所以2≤f(3)≤193, 即f(3)的范围是[2,193].。

数学人教B版训练：3.1.1 不等关系与不等式 Word版含解析

第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式课时过关·能力提升1若a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<ca,b,c都是正数,=log89>1,所以b>a;=log2532>1,所以a>c.所以b>a>c.2如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的是()A. B.-a<bC.a2<b2D.|a|>|b|a<0,b>0,那么<0,>0,所以,故选A.3已知a≥1,记M=,N=-,则()A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定()-(-)=---.=-∵a≥1,∴-,即-<0.又>0,->0,∴M-N<0,即M<N.4设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是()A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0,故选项A正确.5如图,y=f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系,y=g(x)反映了该公司产品的销售成本与销量之间的函数关系.(1)当销量x满足时,该公司赢利;(2)当销量x满足时,该公司亏损()①x>a;②x<a;③x≥a;④0≤x<a.A.①②B.③④C.①④D.②③f(x)大于销售成本g(x)时,该公司赢利;当销售收入f(x)小于销售成本g(x)时,该公司亏损.故选C.6若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系为.f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以f(x)>g(x).(x)>g(x)7如果[x]表示不超过x的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1],且a≤b≤c,那么实数m的取值范围是.,可知a=-4,c=7,所以-4≤b≤7.再根据定义知,m最小值为-4,最大值也不能取到8,因此m的取值范围是-4≤m<8.4≤m<88已知在等比数列{a n}和等差数列{b n}中,a1=b1>0,a3=b3>0,且a1≠a3,则a2b2.(填“>”“<”“≥”或“≤”){a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,则a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d.∵a3=b3,∴a1q2=a1+2d,即2d=a1(q2-1).∴d=a1(q2-1).∵a1≠a3=a1q2,∴q2≠1.∴q≠±1.∵a2-b2=a1q-(a1+d)=a1q-a1-a1(q2-1)=-a1(q-1)2<0,∴a2<b2.9若a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,b-c=a2-4a+4,试比较a,b,c三个实数的大小.2-4a+4=(a-2)2≥0.所以b≥c.由题意,得---解得b=2a2-4a+5,c=a2+1.所以c-a=a2+1-a=->0, 所以c>a.故b≥c>a.10船在流水中航行,在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等,为什么?.理由如下:设甲地到乙地的距离为s,船在静水中的速度为v,水流速度为v'(v>v'>0),则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t=,∴平均速度-,--∴-v=--v=-<0.∴<v.因此,船在流水中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.★11设a>0,且a≠1,比较log a(a3+1)与log a(a2+1)的大小.(a3+1)-(a2+1)=a2(a-1).当0<a<1时,a3+1<a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1).当a>1时,a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1).综上所述,log a(a3+1)>log a(a2+1).。

高中数学第3章不等式 3.1 不等关系与不等式第1课时

【成才之路】2016年春高中数学第3章不等式 3.1 不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式同步练习新人教B 版必修5一、选择题1．实数m 不超过2，是指( ) A ．m > 2 B ．m ≥ 2 C ．m < 2 D ．m ≤ 2[答案] D[解析] “不超过”就是“小于等于”，故选D ． 2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关[答案] A[解析] M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴M >N .3．已知a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，那么下列各式正确的是( ) A ．a 0，∴a 0，∴c >b ，∴a 0 B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac <0 D ．b 2－4ac 的正负不确定[答案] A[解析] ∵a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＜0，c ＞0 ∴ac ＜0，∴b 2－4ac ＞0. 6．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，则P 、Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．无法确定[答案] C [解析] P －Q ＝1a 2＋a ＋1－a 2＋a －1＝1－a 4－a 3－a 2＋a 3＋a 2＋a －a 2－a －1a 2＋a ＋1＝－a 4－a 2a 2＋a ＋1＝－a 2a 2＋1a 2＋a ＋1， ∵a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34>0，－a 2(a 2＋1)≤0，∴－a2a 2＋1a 2＋a ＋1≤0，∴P ≤Q .二、填空题7．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m 、n 的大小关系是________． [答案] m ≥n[解析] m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.8．若(a ＋1)2>(a ＋1)3(a ≠－1)，则实数a 的取值范围是________． [答案] a <0且a ≠－1[解析] ∵(a ＋1)2－(a ＋1)3＝(a ＋1)2(－a ) ＝－a (a ＋1)2>0， ∴a <0且a ≠－1 三、解答题9．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤910×6x ＋6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7x ∈N y ∈N，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤95x ＋4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7x ∈N y ∈N.10．已知a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b 的大小．[解析] (作商法)∵a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0，a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1， ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b.一、选择题1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种[答案] C[解析] 设购买软件、磁盘x 片、y 盒．依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500x ≥3y ≥2x 、y ∈N*，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≤50x ≥3y ≥2x 、y ∈N*.(1)当x ＝3时，7y ≤32，y ≤327，∵y ∈N ＋， ∴y ＝2，y ＝3，y ＝4，此时有3种选购方式． (2)当x ＝4时，7y ≤26，y ≤267， ∵y ∈N ＋，∴y ＝2，y ＝3，此时有2种选购方式．(3)当x ＝5时，y ≤207，∵y ∈N ＋，∴y ＝2此时有1种选购方式．(4)当x ＝6时，y ＝2，此时有1种选购方式． ∴共有7种选购方式．2．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是( )A ．a ＞4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b a ＋4b ＋4＝200D ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b 4ab ＝200[答案] C[解析] ∵仓库的长a 大于宽b 的4倍， ∴a >4b ，又∵矩形仓库的面积为200 m 2， ∴(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C ．二、填空题3．若a >b ，则a 3与b 3的大小关系是________． [答案] a 3>b 3[解析] a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )[(a ＋b 2)2＋34b 2]，∵a >b ，∴a －b >0，(a ＋b 2)2＋34b 2>0，∴a 3－b 3>0，∴a 3>b 3.4．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． [答案] x ＜y[解析] x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y .三、解答题5．已知a 、b 为正实数，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． [解析] 解法一：(a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(b a －a )＝a －b b ＋b －aa＝a －ba －b ab＝a ＋ba －b 2ab.∵a 、b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0. ∴a ＋ba －b2ab≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．∴a b ＋ba≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号．解法二：(a b ＋b a)2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，∴(a b ＋b a)2－(a ＋b )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab －(a ＋b ＋2ab )＝a 3＋b 3－ab a ＋b ab＝a ＋b a 2－ab ＋b 2－ab a ＋bab＝a ＋ba －b2ab.∵a 、b 为正实数，∴a ＋ba －b2ab≥0，∴(a b ＋b a )2≥(a ＋b )2. 又∵a b ＋ba>0，a ＋b >0， ∴a b ＋ba≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号． 6．某粮食收购站分两个等级收购小麦．一级小麦价格为a (元/kg)，二级小麦价格为b (元/kg)(b <a )，现有一级小麦m (kg)，二级小麦n (kg)，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？[解析] 若以a (元/kg)的价格收购小麦m (kg)，以b (元/kg)的价格收购小麦n (kg)，所需钱数设为x (元)，那么x ＝am ＋bn .若以两种价格的平均数收购，所需钱数记为y (元)，那么y ＝a ＋b2(m ＋n )．则x －y ＝(am ＋bn )－a ＋b2(m ＋n )＝12(a －b )(m －n )，所以当m >n 时，x >y ，合理；当m <n 时，x <y ，不合理；当m ＝n 时，花钱一样多．7. (2016·广东模拟)设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x >0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．[解析] f (x )－g (x )＝(1＋log x 3)－2log x 2 ＝log x (3x )－log x 4＝log x 3x 4.(1)当x >43时，log x 3x4>0，故f (x )>g (x )；(2)当x ＝43时，log x 3x4＝0，故f (x )＝g (x )；(3)当1<x <43时，log x 3x4<0，所以f (x )<g (x )；(4)当0<x <1时，log x 3x4>0，所以f (x )>g (x )．综上知：当x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )；当1<x <43时，f (x )<g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )．。

3.1不等关系与不等式(1)

我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。
x A O B
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？
伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上攀爬的。
主备人：冯宗明王廷伟
审核人：牟必继
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如： 1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边； AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0
分析:
设698mm与 518mm分别x 与 y个
698 x 518 y 4000 x 0 y 0 x, y N
练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。 4 x y 10 分析:设分别生产甲．乙两种肥料为 x 吨 ,y 吨
（1）作差（2）变形（3）判号
（4）定论小结：作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→ （3）判号→（4）定论其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
因此x2－x>x－2.
作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形．将两个实数作差，作差后变形为： ①常数； ②几个平方和的形式； ③几个因式积的形式． (3) 判号．即判断差的符号是正、负还是零． (4) 定论．利用实数大小之间的关系得出结论．

高中数学第三章不等式3.1.1不等关系与不等式练习(含解析)新人教A版必修5

第18课时不等关系与不等式知识点一用不等式表示不等关系1．用不等式表示下列关系：(1)x为非负数；(2)x为实数，而且大于1不大于6；(3)x与y的平方和不小于2，而且不大于10．解(1)x≥0；(2)x∈R且1<x≤6；(3)2≤x2＋y2≤10．2．用不等式表示下列关系：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3．5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间范围：t∈[7．5，10]．解①v≥50；②G≤10；③h≤3．5；④a≤3；⑤7．5≤t≤10．知识点二用不等式组表示不等关系3．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．解设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的数量总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360 t矿石．(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7.知识点三比较大小4．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么( ) A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M ＝ND ．M ，N 的大小无法确定答案 A解析 M －N ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1，若a ＞1，则a 3＞a 2，∴a 3＋1a 2＋1＞1，∴log a a 3＋1a 2＋1＞0，∴M ＞N ，若0＜a ＜1，则0＜a 3＜a 2，∴0＜a 3＋1＜a 2＋1，∴0＜a 3＋1a 2＋1＜1，∴log a a 3＋1a 2＋1＞0，∴M ＞N ．综上故选A ．5．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D ．12答案 A解析令a 1＝0．1，a 2＝0．9；b 1＝0．2，b 2＝0．8．则A 项，a 1b 1＋a 2b 2＝0．74；B 项，a 1a 2＋b 1b 2＝0．25；C 项，a 1b 2＋a 2b 1＝0．26，故最大值为A ．6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 答案 C解析由ln 22－ln 33＝ln 8－ln 96＜0得a ＜b ；由ln 22－ln 55＝ln 32－ln 2510＞0得a ＞c ．故c ＜a ＜b ．故选C ． 7．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则ad 与 bc的大小关系是________．答案a d ＞bc 解析 ∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c＞0， ∵a ＞b ＞0，∴a d ＞b c ＞0，∴a d ＞b c． 8．已知x ＞1，比较大小：x 3＋2x ________x 2＋2．答案＞解析因为x ＞1，则x 3＋2x －(x 2＋2)＝(x －1)(x 2＋2)＞0，故x 3＋2x ＞x 2＋2．易错点比较大小时作差变形不当9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定易错分析本题易作差后变形不恰当导致无法判断差的符号而错选D ．答案 B解析设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2，总路程为2s ，显然0＜v 1＜v 2，则甲用时间为s v 1＋s v 2，设乙用时间为t ，则v 1·t 2＋v 2·t2＝2s ，所以乙用时间为4sv 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s v 1＋v 22－4sv 1v 2v 1v 2v 1＋v 2＝s v 1－v 22v 1v 2v 1＋v 2＞0，故s v 1＋s v 2＞4sv 1＋v 2，故乙先到教室．一、选择题1．完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现工人工资预算为20000元，设请木工x 人，瓦工y 人，则x ，y 满足的关系式是( )A ．5x ＋4y ＜200B ．5x ＋4y ≥200C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200 答案 D解析由题意知500x ＋400y ≤20000，故选D ．2．按照神州十一号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神州六号飞船返回舱的温度在(21±4) ℃之间(包含端点)，则该返回舱中温度t (单位：℃)的取值范围是( )A ．(－∞，25]B ．[17，＋∞)C ．[17，25]D ．(17，25) 答案 C解析由题意知21－4≤t ≤21＋4，即17≤t ≤25． 3．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg (x 2＋1)≥lg (2x ) B ．x 2＋1＞2x C ．1x 2＋1≤1 D．x ＋1x≥2 答案 C解析 A 中x ＞0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D 中当x ＜0时，x ＋1x<0．4．若d ＞0，d ≠1，m ，n ∈N *，则1＋d m ＋n与d m ＋d n的大小关系是( )A ．1＋d m ＋n＞d m ＋d n B ．1＋dm ＋n＜d m ＋d nC ．1＋dm ＋n≥d m＋d nD ．不能确定答案 A 解析 1＋dm ＋n－(d m ＋d n )＝(1－d m )＋d n (d m －1)＝(1－d m )(1－d n)．∵m ，n ∈N *，1－d m与1－d n同号， ∴(1－d m)(1－d n)＞0．5．“里约奥运会”期间，中国球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A ，B 两个出租车队，A 队比B 队少3辆车．若全部安排乘A 队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A 队有出租车( )A ．11辆B ．10辆C ．9辆D ．8辆答案 B解析设A 队有出租车x 辆，则B 队有出租车(x ＋3)辆，由题意得{5x <566x >56x ＋x ＋解得⎩⎨⎧x <1115x >913x <11x >815.∴913<x <11．而x 为正整数，故x ＝10．故选B ．二、填空题6．若a ＞b ，则a 3与b 3的大小关系是________．答案 a 3＞b 3解析幂函数y ＝x 3是增函数，由于a ＞b ，所以a 3＞b 3．7．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．答案 8(x ＋19)>22008xx －12>9 解析由题意知汽车原来每天行驶x km ，8天内它的行程超过2200 km ，则8(x ＋19)>2200．若每天行驶的路程比原来少12 km ，则原来行驶8天的路程就用了9天多，即8xx －12>9． 8．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰____3枝康乃馨的价格(填“＞”“≤”或“＝”)．答案＞解析设1枝玫瑰的价格为x 元，1枝康乃馨的价格为y 元，由题意可得设2x －3y ＝m (2x ＋y )＋n (x ＋y )＝(2m ＋n )x ＋(m ＋n )y ，则所以2x －3y ＝5(2x ＋y )－8(x ＋y )＞5×8－5×8＝0，即2x ＞3y ，所以2枝玫瑰的价格高．三、解答题9．已知a ，b ，c 这三个实数中至少有一个不等于1，试比较a 2＋b 2＋c 2与2a ＋2b ＋2c －3的大小．解 a 2＋b 2＋c 2－(2a ＋2b ＋2c －3) ＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＋c 2－2c ＋1 ＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2．∵a ，b ，c 这三个数中至少有一个不等于1， ∴a －1，b －1，c －1中至少有一个不为0． ∴(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＞0． ∴a 2＋b 2＋c 2＞2a ＋2b ＋2c －3．10．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：现在要在一天内运输2000 t 粮食和1500 t 石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．解设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2000，250x ＋100y ≥1500，x ≥0，y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥40，5x ＋2y ≥30，x ≥0，y ≥0.。

高中数学第三章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质精选测试新人教B版必修5(20

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同步精选测试不等式的性质(建议用时：45分钟）［基础测试］一、选择题1.已知x＞y＞z,且x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是( )A.xy＞yzB.xz＞yzC.xy＞xzD.x|y｜＞z｜y|【解析】因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0。

又因为y＞z，所以xy＞xz。

当y＝0时，A，B，D都不成立，故选C。

【答案】C2。

某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式(组)表示就是（）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!【解析】由题中x不低于95,即x≥95，y高于380,即y〉380，z超过45,即z〉45.【答案】D3。

已知x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( ）A.x2＜a2＜0 B。

x2＞ax＞a2C。

x2＜ax＜0 D.x2＞a2＞ax【解析】x＜a＜0⇒错误!⇒x2＞ax＞a2。

【答案】B4.设0＜a＜b,且a＋b＝1，则四个数错误!，a，2a，a2＋b2中最小的数是（）【导学号：18082107】A.错误!B。

数学人教B版必修5自我小测：3.1.1不等关系与不等式含

自我小测1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c2．如果a ＜0，b ＞0，那么下列不等式中正确的是( )A ．1a <1bB ．－a ＜bC ．a 2＜b 2D ．|a |＞|b | 3．已知a ＜b ，则下列不等式正确的是( )A ．1a ＞1bB ．a 2＞b 2C ．2－a ＞2－bD ．2a ＞2b 4．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＋c ＞b ＋dB ．a －c ＞b －dC ．ac ＞bdD ．a d >b c5．如图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y 与销量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销量之间的函数关系．(1)当销量x 满足________时，该公司赢利；(2)当销量x 满足________时，该公司亏损( )①x ＞a ；②x ＜a ；③x ≥a ；④0≤x ＜a ．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③6．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为________．7．如果[x ]表示不超过x 的最大整数，a ＝[－3．1]，b ＝[m ]，c ＝[7．1]，且a ≤b ≤c ，那么实数m 的取值范围是________．8．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，且a 1≠a 3，则a 2______b 2(选填“＞”“＜”“≥”或“≤”)．9．若a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，试比较a ，b ，c 三个实数的大小．10．船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？参考答案1．解析：易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ；a c ＝5ln 22ln 5＝log 2532＞1，所以a ＞c ．所以b ＞a ＞c ．答案：C2．解析：如果a ＜0，b ＞0，那么1a ＜0，1b ＞0，∴1a ＜1b，故选A ．答案：A3．答案：C4．解析：可以取值代入检验，也可以作差进行比较，由条件易知a +c -(b +d )＝(a -b )+(c -d )＞0，故选项A 正确．答案：A5．解析：当销售收入f (x )大于销售成本g (x )时，该公司赢利；当销售收入f (x )小于销售成本g (x )时，该公司亏损．故选C ．答案：C6．解析：f (x )－g (x )＝3x 2－x ＋1－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0，所以f (x )＞g (x )．答案：f (x )＞g (x )7．解析：根据定义，可知a ＝－4，c ＝7，所以－4≤b ≤7．再根据定义知，m 最小值为－4，最大值也不能达到8，因此m 的取值范围是－4≤m ＜8．答案：－4≤m ＜88．解析：设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，则a 3＝a 1q 2，b 3＝b 1＋2d ＝a 1＋2d ．∵a 3＝b 3，∴a 1q 2＝a 1＋2d ，即2d ＝a 1(q 2－1)．∴d ＝12a 1(q 2－1)． ∵a 1≠a 3＝a 1q 2，∴q 2≠1．∴q ≠±1．∵a 2－b 2＝a 1q －(a 1＋d )＝a 1q －a 1－12a 1(q 2－1) ＝－12a 1(q －1)2<0，∴a 2<b 2．答案：＜9．解：b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0．所以b ≥c ．由题意可得方程组22346,4 4.b c a a b c a a ⎧+=-+⎪⎨-=-+⎪⎩ 解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2＋1．所以c －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以c ＞a ．故b ≥c ＞a ．10．解：不相等．理由如下：设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v ，水流速度为v ′(v ＞v ′＞0)，则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t ＝s v ＋v ′＋s v －v ′＝2v s v 2－v ′2，∴平均速度v ＝2s t ＝v 2－v ′2v ， ∴v －v ＝v 2－v ′2v－v ＝－v ′2v ＜0． ∴v ＜v ．因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度．。

课时作业3：3.1.1 不等关系与不等式

3.1不等关系与不等式（二）一课一练一．选择题1. 完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人,则工人满足的关系式是（）A.5x+4y<200B.5x+4y≥200C.5x+4y=200D.5x+4y≤2002. 不等式：①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是（）A.0B.1C.2D.33. 已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是（）A.P＞QB.P≥QC.P＜QD.P≤Q4. 若a＞b＞c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是（）A.ac＞bcB.ab＞acC.a｜b｜＞c｜b｜D.a2＞b2＞c25. 已知函数f（x）=x3,x1,x2,x3∈R,x1+x2＜0,x2+x3＜0,x3+x1＜0,那么f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能6. 设则的范围是( )A.（0，）B.()C.(0,π)D.()二.填空题7. 已知｜a｜＜1,则11a+与1－a的大小关系为______.8. 已知三个不等式：①ab＞0,②c d,a b--＜③bc＞ad,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成______个正确命题.9．已知a、b为非零实数，且，则下列命题成立的是______．①；②<；③<.三. 解答题10. 比较下列各组中两个代数式的大小.(1) x2+3与3x.(2) 已知a、b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.11. 已知a、b为正实数,.12. 若二次函数f(x)的图象关于y轴对称且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4,求f(3)的范围.3.1 不等关系与不等式一课一练参考答案一．选择题1.【答案】D【解析】据题意知,500x+400y≤20 000,即5x+4y≤200,故选D.2.【答案】D【解析】①,故①正确；②，故②正确；③故③正确，故选D.3.【答案】A【解析】∵a、b、c为不全相等的实数，∴. ∴P＞Q.故选A.4.【答案】B【解析】由a＞b＞c,a+b+c=0得a＞0,c＜0, ∵b＞c,a＞0, ∴ab＞ac. 故选B.5.【答案】D【解析】选B.f（x）=x3是奇函数也是增函数.∵x1+x2＜0, ∴x1＜-x2, ∴f（x1）＜f（-x2）,即f（x1）＜-f（x2）.∴f（x1）+f（x2）＜0, 同理f（x2）+f（x3）＜0, f（x1）+f（x3）＜0,∴2（f（x1）+f（x2）+f（x3））＜0.∴f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0,故选B.6. 【答案】D【解析】0＜2α＜π,同向不等式相加得到故选D.二．填空题7. 【答案】【解析】由｜a｜＜1，得－1＜a＜1. ∴1+a＞0,1-a＞0. 即∵∴∴8.【答案】3【解析】若①②成立，则，即∴bc＞ad,即③成立；若①③成立，则,即∴即②成立；若②③成立，则由②得∵③成立，即,则ab＞0,即①成立，故可组成3个正确命题. 9．【答案】②【解析】对于①，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；对于②，∵a<b，>0，∴<，故成立；对于③，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1，故不成立．三．解答题10.【解析】(1)(x2+3)-3x=∴x2+3>3x.(2) (a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),∵a>0,b>0且a≠b, ∴(a-b)2>0,a+b>0,∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0，即a3+b3>a2b+ab2.11.【解析】===∵a、b为正实数∴∴12. 【解析】设.∵∴∴=∵∴∴,∴即。

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11．已知a>0，b>0，且a≠b，比较．已知，，，比较a+b与与 2 2 a b 的大小。的大小。 + b a 2 2 a b + > a+b b a
12．已知a>b>c，比较 2b+b2c+c2a与．已知，比较a 与 ab2+bc2+ca2的大小。的大小。 a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2 13．已知n∈N+，比较．已知 ∈ 大小。大小。 1 >2 n n +1 − n
3.1.1不等关系与不等式练习题不等关系与不等式练习题
中国人民大学附属中学
1．已知M=a2+b2－4a+2b，其中．已知，其中a≠2，b≠ ，的大小关系是（－1，则M与－5的大小关系是（，与的大小关系是（A）M>－5 （B）M<－5 ）－）－（C）M=－5 （D）不能确定）－）） A
1 3
1 3
1 3
1 3
8．若a>1，b<1，则下列两式的大小关系．，，是：ab+1 < a+b.
9．若a+b>0，b<0，则a，b，－，－的．，－a，－，，，，－，－b的大小关系是 a>－b>b>－a －－。
10．若f(x)=5x2－x+3，g(x)=x2+3x－2，．，－，的大小关系是：则f(x)与g(x)的大小关系是：f(x) > 与的大小关系是 g(x).
1 1 （B）a − b > a ）
（C）|a|<|b| （D）a2>b2 ））
4．设M=3x2－x+1，N=2x2+x，则（ C ）．，，（A）M>N ）（B）M<+2>2a；② a2+b2>2(a－b－1); ．不等式① ；－－中恒成立的个数是（ ③ a2+b2>ab中恒成立的个数是（ B ）中恒成立的个数是 A）（A）0 （C）2 ） B）（B）1 （D）3 ）
1 与2 n 的 n +1 − n
6．设a，b∈R+，且a≠b，M=a3+b3，．， ∈ ， N=a2b+ab2，则（ A ）（A）M>N ）（C）M<N ）（B）M=N ）（D）不能确定）
7．设0<x<1，则下列不等式中成立的是．，（ B ）（A） < lg x < 3x （B） lg x < x < 3x ）） x （C） x < 3x < x （D） x < 3x < lg x ）） lg
2．设a>b>0，下列各数小于的是（ D ）．的是（，下列各数小于1的是（A）2a－b ）－
a a −b （C）( ) ） b
a （B） ( ) ） b
1 2
b a −b （D） ( ) ） a
3．若a<b<0，则下列不等式中成立的．，是（ D ）
1 1 （A） < ） a b

3.1.1不等关系与不等式练习题