八年级上册数学-证明
八年级上册数学证明知识点
八年级上册数学证明知识点数学证明是数学学习中非常重要的一部分，也是很多学生头疼的一部分。
八年级上册数学课程中，证明也是学习的重点之一。
本文将针对八年级上册数学证明的知识点进行阐述，希望能对广大同学的学习有所帮助。
一、选用证明方法证明数学问题时，选用不同的方法会影响证明的难度和证明的精细程度。
八年级上册数学证明涉及的证明方法主要有归纳法、反证法、数学归纳法、分方法、结论攻略法等。
在选用具体证明方法时，需要考虑到证明的难度、精确性和时效性等，然后确定证明的思路和具体步骤。
二、归纳法的应用归纳法是证明数学问题时比较常用的一种证明方法，它是一种递归思想，使用起来比较方便。
例如，证明自然数n满足某个性质，可以先证明n=1时性质成立，然后假设n=k时性质成立，再通过n=k+1时性质也成立的方式证明n满足某个性质。
在八年级上册数学中，归纳法可以用来证明等式、不等式、几何图形的性质等问题。
例如，我们可以使用归纳法证明斐波那契数列的前n项和等于第n+2项减1。
首先，当n=1时，前n项和为1，第n+2项为2，所以等式成立；接着，假设当n=k时等式成立，即前k项和等于第k+2项减1，那么当n=k+1时，前k+1项和可以表示为前k项和加上第k+1项，即：F(1)+F(2)+...+F(k)+F(k+1)=(F(k+1)-1)+F(k+1)，化简得证明。
三、反证法的应用反证法是证明某些数学问题时非常有用的一种证明方法，通常用来证明一些不存在、不合法或矛盾的情况。
在八年级上册数学中，反证法可以用来证明等式、不等式、几何图形的性质等问题。
例如，我们可以使用反证法证明勾股定理。
假设存在一组整数a, b, c，且它们满足勾股定理a²+b²=c²。
我们可以通过证明质数和偶数的性质来推定a, b, c至少有一个为偶数，然后通过公因式将它们约分，可以得到一个新的完整勾股三元组，将其视为原三元组，如此重复下去，可以推断出所有的勾股三元组至少存在一个为偶数的情况。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
八年级数学上册几何定理的表达 与证明
八上数学定理的几何表达一、三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
几何表达式：在△ABC中，AB+AC＞BC;AB-AC＜BC;二、三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。
几何表达式：（1）∵AH是ΔABC的高∴∠AHC=90°（垂直定义）(2) ∵∠AHC=90°∴AH是ΔABC的高（判定垂直）三、三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.几何表达式：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD（性质）(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线（判定）四、三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何表达式：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）五、三角形的内角和与外角和（1）三角形的内角和180°；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（1）在△ABC中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°（2）在Rt△ABC中，∵∠B=90°∴∠A+∠C=90°（3）∠ACD=∠A+∠B（4）∠ACD>∠A∠ACD>∠B六、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE, AC=DF, BC=EF∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.七、全等三角形的判定1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS）2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA）4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS）5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）在△ABC和△DEF中AB＝DEAC＝DFBC＝EFAB＝DE∴△ABC≌△DEF（SAS）（3）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）（4）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）（5）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）或在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）∠A＝∠D∠B＝∠EAB＝DE∠A＝∠DBC＝EF∠B＝∠EAC＝A′C′AB＝A′B′BC＝B′C′AB＝A′B′八、角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。
浙教版八年级数学上册《证明》教学课件
∠1+∠2 ＝ ∠Ａ+∠Ｂ A E
1
2
B
C
D
∠ACD >∠A ∠ACD >∠B
思考总结
证明命题的一般步骤: (1) 根据题意,画出图形； (2) 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知” 中写出条件，在“求证”中写出结论； (3) 在“证明”中写出推理过程. 根据思路, 运用数学符号和数学语言条理清楚地写
3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联 系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定, 平时做题时要注意总结.
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
△ABC中, ∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
∴ ∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180° ∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°
E
A
B
C
图1
A
S
N
P
Q
R
B
M
T
C
图3
A F
E
Hale Waihona Puke BD图2S
N
P
Q
C
A R
M
B
C
T 图4
探究归纳
关于辅助线：
1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线 通常画成虚线）
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现 出来，起到牵线搭桥的作用.
∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE
＝∠DAE＝180º（平角的定义）
【初中数学++】定理与证明+课件+华东师大版八年级数学上册
13.1 命题、定理与证明
2.定理与证明
华师大版-数学-八年级上册
教学目标
1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概 念.【重点】 2．掌握证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的 几何知识证明一些简单的几何问题.【难点】 3.感受证明的必要性，培养说理有据，有条理地表达的 良好意识.
( √) ( √) (√)
探索新知
基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中 总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 即出发点.这样的真命题视为基本事实.
探索新知
例如下列的真命题作为基本事实： 1.两点确定一条直线； 2.两条之间，线段最短； 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行.
试一试：画一个钝角三角形试试看.
探索新知
思考：（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边 形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角 和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多 边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
掌握新知
上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通 过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
情境导入
试判断下列句子是否正确： （1）如果两个角பைடு நூலகம்对顶角，那么这两个角相等. （2）两直线平行，同位角相等. （3）同旁内角相等，两直线平行. （4）平行四边形的对角线相等. （5）直角都相等. （6）三角形的内角和等于180°. （7）等腰三角形的两个底角相等 .
八年级上册数学三角形求证
八年级上册数学三角形求证一、三角形全等的判定。
1. SSS（边边边）- 判定内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 证明思路：如果已知两个三角形的三条边分别相等，那么可以直接根据SSS判定这两个三角形全等。
例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
- 应用举例：已知一个三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，另一个三角形的三条边长也分别为3cm、4cm、5cm，求证这两个三角形全等。
- 证明：设第一个三角形为△ABC，其中AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm；第二个三角形为△DEF，其中DE = 3cm，EF = 4cm，DF = 5cm。
- 因为AB = DE，BC = EF，AC = DF，根据SSS判定定理，所以△ABC≌△DEF。
2. SAS（边角边）- 判定内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 证明思路：当知道两个三角形的两条边以及这两条边所夹的角分别相等时，就可以运用SAS判定全等。
例如，在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A=∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
- 应用举例：在△ABC中，AB = 5cm，∠A = 60°，AC = 4cm；在△DEF中，DE = 5cm，∠D = 60°，DF = 4cm，求证△ABC≌△DEF。
- 证明：在△ABC和△DEF中，因为AB = DE = 5cm，∠A =∠D = 60°，AC = DF = 4cm，根据SAS判定定理，所以△ABC≌△DEF。
3. ASA（角边角）- 判定内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 证明思路：若两个三角形有两个角以及这两个角所夹的边相等，则可判定全等。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，AB = DE，∠B =∠E，那么△ABC≌△DEF。
北师大版数学八年级上册第七章-平行线的证明讲义
实用文档第七章 平行线的证明一、思维导图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧︒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧的内角。
于任何一个和它不相邻：三角形的一个外角大推论角的和。
于和它不相邻的两个内：三角形的一个外角等推论。
等于定理：三角形的内角和三角形内角和定理条直线平行。
平行于同一条直线的两互补。
两直线平行，同旁内角等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同位角相平行线的性质平行。
同旁内角互补，两直线行。
内错角相等，两直线平行。
同位角相等，两直线平平行线的判定的例子。
，而不具有命题的结论反例：具备命题的条件分类：真命题、假命题部分组成。
结构：由条件和结论两句子。
定义：判断一件事情的命题平行线的证明21180二、考点聚焦考点1 定义与命题例1 下列四个命题中，真命题有 （ ）①任意三角形的内角和为180°。
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c 不相交。
A.1个B.2个C.3个D.4个变式1-1：对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β>∠αB.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠αC.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β<∠αD.两个角互为邻补角。
考点2 平行线的性质和判定例2 如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由。
变式2-1：如图，直线l∥2l，∠A=125°，∠B=85°，1则∠1+∠2= （）A.30°B.35°C.36°D.40°变式2-2：如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数。
八年级上册数学全等三角形证明题
八年级上册数学全等三角形证明题一、全等三角形证明题1 20题及解析。
（一）题目1。
1. 题目。
已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。
求证：AF = EF。
2. 解析。
证明：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。
因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。
在△BDG和△CDA中，BD = CD，∠BDG = ∠CDA（对顶角相等），DG = DA。
根据SAS（边角边）全等判定定理，可得△BDG≌△CDA。
所以BG = AC，∠G = ∠CAD。
又因为BE = AC，所以BG = BE。
所以∠G = ∠BEG。
因为∠BEG = ∠AEF（对顶角相等），所以∠AEF = ∠CAD。
所以AF = EF。
（二）题目2。
1. 题目。
如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BE = CF，∠B = ∠DEF。
求证：AC = DF。
2. 解析。
因为BE = CF，所以BE + EC = CF+EC，即BC = EF。
在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠DEF，BC = EF。
根据SAS全等判定定理，可得△ABC≌△DEF。
所以AC = DF。
（三）题目3。
1. 题目。
已知：如图，AB = CD，AE = DF，CE = FB。
求证：AF = DE。
2. 解析。
因为CE = FB，所以CE + EF = FB + EF，即CF = BE。
在△AEB和△DFC中，AB = CD，AE = DF，BE = CF。
根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△AEB≌△DFC。
所以∠B = ∠C。
在△ABF和△DCE中，AB = CD，∠B = ∠C，BF = CE。
根据SAS全等判定定理，可得△ABF≌△DCE。
所以AF = DE。
（四）题目4。
1. 题目。
如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE = BD，BD的延长线与AE交于点F。
1.3 证明八年级上册数学浙教版
典例4 证明命题“两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行”是真命题.已知：如图，直线 ， 被直线 所截， ， 平分 ， 平分 .
求证： .
证明： ， . 平分 ， 平分 ， ， ， ， .
本节知识归纳
考点 三角形内角和定理的推论的应用
知识点2 三角形的外角
1.三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角.如图所示， 就是 的外角.
（1）一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角；
（2）三角形的外角和与它相邻的内角互补
2.外角的特征：（1）顶点是三角形的顶点；
（2）一条边是三角形内角的一边；
（3）另一条边是该内角另一边的反向延长线.
典例2 如图， , , 是不是 的外角？为什么？哪个角是 的外角？
解： , , 不是 的外角.理由如下： , , 都不具备三角形外角的特征，因此都不是 的外角. ， 是 的两个外角.
知识点3 三角形的内角和定理的推论 重点
由三角形的内角和定理直接推理可得到一个推论.推论也可以作为推理的依据.
内容
几何语言
图示
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图所示， 是 的一个外角（已知）， （三角形的外角等于与它不相邻ห้องสมุดไป่ตู้两个内角的和）.
教材深挖
三角形外角的其他结论
（1）三角形的外角和为 .
2.证明的格式：证明的基本格式：因为 ，所以 或 ， .注意 ∵（因为）后面是已知条件，已证，定义、定理、基本事实，∴（所以）后面是由已知条件推出的结果.
典例1 如图所示，已知直线 ， 被直线 所截， 为 与 的交点， 于点 ， ， ．求证： ．
八年级上册数学三角形全等证明之二次全等(含答案)
第2节 三角形全等证明之二次全等在证明线段相等或者角相等时,常见的方法是通过证明线段或角所在的三角形全等来证明线段或者角相等.但有的时候,根据题目条件无法简单地通过一次全等证明来得到最终的结论,这时就需要证明两次三角形全等,即证明图中的两对三角形全等.这种方法较多见于对称型全等和旋转型全等的题目中.一、典型例题[例]图2-1是某产品商标的示意图,已知AB ＝CD,∠A ＝∠D,有人认为△ABC ≌△DCB,他的思考过程是:∵AB ＝CD,∠A ＝∠D,BC ＝CB,∴△ABC ≌△DCB.你认为这个思考过程对吗？如果正确,请指出他用的是判定三角形全等的哪个定理？如果不正确,请写出你的思考过程.解:他的思考过程不正确.在△ABE 和△DCE 中,∵{∠AEB =∠DEC∠A =∠D AB =DC∴△ABE ≌△DCE （AAS ）.∴AE ＝DE,BE ＝CE.∴AE+EC ＝DE+EB,即AC ＝BD.在△ABC 和△DCB 中,∴{AC =BDAB =DC BC =CB∴△ABC ≌△DCB （SSS ）.二、培优巩固练习篇1.如图2-2所示,点A,E,C 在一条直线上,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:△ABE ≌△ADE.图2-2图2-12.如图2-3所示,点A,E,F,C 在一条直线上,AE ＝CF,分别过点E,F 作DE ⊥ AC,BF ⊥AC,连接AB,CD,且AB ∥CD,连接BD 交AC 于点C.求证:△DEG ≌△BFG.3.如图2-4所示,AB ＝AC,DB ＝DC,F 是AD 延长线上的一点.求证:BF ＝CF.4.如图2-5所示,AE 是∠BAC 的角平分线,EB ⊥AB 于点B,EC ⊥AC 于点C,点D 是AE 上一点.求证:BD ＝CD.5.如图2-6所示,DE ⊥AC,BF ⊥AC,AD ＝BC,DE ＝BF.求证:AB ∥DC.图2-3C图2-4图2-5图2-66.如图2-7所示,点E,F 在BD 上,且AB ＝CD,BF ＝DE,AE ＝CF.求证:AO ＝CO.7.如图2-8所示,AB 之间有一条河.想要测量AB 的长,但无法过河接近点A,于是在AB 外任取一点D,在AB 的延长线上任取一点E,连接ED 和BD,并延长BD 到点G,使DG ＝DB,延长ED 到点F,使DF ＝DE,连接FG,并延长FG 到点H,使点H,D,A 在一条直线上,则HG ＝AB.试说明这种测量方法的原理.8.如图2-9所示,在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,∠ABC ＝∠ADE ＝90°,BC 与DE 相交于点F,且AB ＝AD,AC ＝AE,连接CD,EB.求证:(1)∠CAD ＝∠EAB;（2）CF ＝EFDH图2-8图2-99.如图2-10所示,在等边△ABC 内取一点D,使DA ＝DB,在△ABC 外取一点E,使∠DBE ＝∠DBC,且BE ＝BA,则∠BED ＝_______°.10.如图2-11所示,∠BAC 是钝角,AB ＝AC,点D,E 分别在AB,AC 上,且CD ＝BE.试说明:∠ADC ＝∠AEB.一个同学的解法是这样的: 在△ACD 和△ABE 中, ∵{AB =AC BE =CD ∠BAE =∠CAD ∴△ABE ≌△ACD.∴∠ADC ＝∠AEB.这种解法遭到了其他同学的质疑.理由是错在不能用“SSA ”判定三角形全等.请你给出正确的解法.图2-10CB AC B答案解析1.证明:在△DEC和△BEC中,{∠1=∠2 EC=EC ∠3=∠4∴△DEC≌△BEC（ASA）.∴DE＝BE.∵∠3＝∠4,∴∠DEA＝∠BEA.在△ABE和△ADE中,{AE=AE∠AEB=∠AEDBE=DE∴△ABE≌△ADE（SAS）.2.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AFB＝90°＝∠CED. ∵AE＝CF,∴AE+EF＝CF+FE,即AF＝CE.∵AB∥CD,∴∠A＝∠C.在△ABF和△CDE中,{∠A=∠C AF=CE∠AFB=∠CED ∴△ABF≌△CDE（ASA）.∴DE＝BF.在△BFG和△DEG中,{∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS）.3.证明:在△ABD和△ACD中,{AB=AC BD=CD AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD＝∠CAD.在△BAF和△CAF中,{AB=AC∠BAF=∠CAF AF=AF∴△BAF≌△CAF（SAS）.∴BF＝CF.4.证明:∵AE是∠BAC的角平分线, ∴∠CAE＝∠BAE. ∵EB⊥AB,EC⊥AC, ∴∠ECA＝∠EBA＝90°.在△CAE和△BAE中,{∠CAE=∠BAE ∠ECA=∠EBA AE=AE∴△CAE≌△BAE（AAS）.∴AC＝AB.在△CAD和△BAD中,{AC=AB ∠CAD＝∠BAD AD=AD∴△CAD≌△BAD（SAS）.∴BD＝CD.5.证明:∵DE ⊥AC,BF ⊥AC, ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°, ∠AFB ＝∠CED ＝90°, 在Rt △ADE 和Rt △CBF 中,∵{AD =CB DE =BF ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）.∴AE ＝CF.∴AE+EF ＝CF+FE,即AF ＝CE.在△AFB 和△CED 中,∵{AF =CE∠AFB =∠CED DE =BF∴△AFB ≌△CED （SAS ）. ∴∠BAF ＝∠DCE.∴AB ∥DC.∴AO ＝CO.6.证明:∵BF ＝DE, ∴BF-EF ＝DE-FE,即BE ＝DF. 在△ABE 和△CDF 中, {AB =CDAE =CF BE =DF∴△ABE ≌△CDF （SSS ）.∴∠B ＝∠D.在△AOB 和△COD 中,{∠AOB =∠COD∠B =∠D AB =CD∴△AOB ≌△COD （AAS ）7.解:在△BED 和△GFD 中,{DB =DG∠BDE =∠GDF DE =DF∴△BED ≌△GFD （SAS ）.∴∠EBD ＝∠FGD.∴∠ABD ＝∠HGD.在△ABD 和△HGD 中,{∠ABD =∠HGDBD =GD∠BDA =∠GDH∴△ABD ≌△HGD （ASA ）.∴HG ＝AB.8.证明:（1）在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,{AC =AE AB =AD ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC-∠DAB ＝∠DAE-∠DAB,即∠CAD ＝∠EAB.（2）在△ACD 与△AEB 中, {AC =AE∠CAD =∠EAB AD =AB∴△ACD ≌△AEB （SAS ）.∴CD ＝BE,∠ACD ＝∠AEB.∵Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）, ∴∠ACB ＝∠AED.∴∠ACB-∠ACD ＝∠AED-∠AEB,即∠DCF ＝∠BEF.又∵∠DFC ＝∠BFE, ∴△DFC ≌△BFE （AAS ）.∴CF ＝EF.9.解:如图2所示,连接CD.∵△ABC是等边三角形, ∴AB＝BC＝CA.∵BE＝BA,BA＝BC, ∴BE＝BC.在△BDC和△BDE中,{BD=BD∠DBE=∠DBC BE=BC∴△BDC≌△BDE（SAS）. ∴∠BED＝∠BCD.在△BCD和△ACD中,{BC=AC BD=AD CD=CD∴△BCD≌△ACD（SSS）.∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴∠BED＝30°.10.证明:因为∠BAC是钝角,故过点B,C分别作CA,BA的垂线,垂足分别为点F, G,如图3所示.在△ABF和△ACG中,{∠F=∠G=90°∠FAB=∠GACAC=AB∴△ABF≌△ACG（AAS）.∴BF＝CG.在Rt△BEF和Rt△CDG中,{BF=CGBE=CD∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）.∴∠ADC＝∠AEBEDC BA。
人教版八年级数学上册全等三角形的证明(含答案)
全等三角形的证明1.如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点.2.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。
求证：BE⊥AC。
3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC.延长AD到E点，使DE=AB.求证：(1)∠ABC=∠EDC；(2)△ABC≌△EDC.4.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并5.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．6.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：AB+AD=2AE.7.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．8.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC．（1）求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC；（2）若AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．9.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．10.如图,在△ABC中,∠ABC=60゜,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O．（1）求∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1.证明：连接AC ，AD.在△ABC 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED(SAS).∴AC=AD.在Rt △ACF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △ACF ≌Rt △ADF(HL).∴CF=DF ，即F 为CD 的中点.2.证明：(1) AD 为△ABC 上的高，∴BDA=ADC =90.∵BF=AC,FD=CD.∴Rt △BDF ≌Rt △ADC.(2)由①知∠C=∠BFD ，∠CAD=∠DBF.∠BFD= ∠AFE ，又∠CBE=∠CAD ，∴∠AEF=∠BDF.∠BDF= 90，∴BE ⊥AC.3.证明：(1)在四边形ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠B ＋∠ADC=180°.又∵∠CDE ＋∠ADC=180°.∴∠ABC=∠EDC.(2)连接AC.⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝ED ，∠ABC ＝∠EDC ，CB ＝CD ，∴△ABC ≌△EDC(SAS).4.证明：CD=BE ，CD ⊥BE ，理由如下：因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ，即∠BAE=∠DAC. 因为，所以△BAE ≌△DAC(SAS).所以BE=DC ，∠BEA=∠DCA.如图，设AE 与CD 相交于点F ，因为∠ACF+∠AFC=90°，∠AFC=∠DFE ，所以∠BEA+∠DFE=90°.即CD ⊥BE.5.证明：如图，过E 点作EH ∥AB 交BD 的延长线于H ，故∠A=∠CEH ，在△ABC 与△EHC 中，∴△ABC ≌△EHC （ASA ），∴AB=HE ，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H ，∴DE=HE ．∵AB=HE ，∴AB=DE ．6. (1)证明：∵AC 是角平分线，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴CE=CF ，∠F=∠CEB=90°，在Rt △BCE 和Rt △DCF 中，(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC和Rt△EAC中，，∴Rt△FAC≌Rt△EAC，∴AF=AE，∵△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.7.证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠CAF．8.（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S△ABD=0.5AB•DE，S△ACD=0.5AC•DF，∴S△ABD：S△ACD=（0.5AB•DE）：（0.5AC•DF）=AB：AC；（2）解：∵AD平分∠BAC，∴=0.8，∴BD=0.8CD，∵BC=6，∴BD=．9.证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．10.解：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△AOE和△AOF中∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF，∵∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠AOC=120°；（2）∵∠AOC=120°，∴∠AOE=60°，∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，在△COF和△COD中，∴△COF≌△COD（ASA）∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．。
【浙教版】数学八年级上册 精美获奖课件：1.3《证明》课件
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
2. 提示:由AB=AC,可得∠B=∠C
(等腰三角形的两个底角相等).
由此可证明△BPD ≌ △CPE, ∴ PD=PE.
∠B=50°,∠A=80°
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
Ａ
Ｃ
ａ ｂ
Ｄ Ａ
Ｂ
Ｃ
结束寄语
•严格性之于数学家,犹如道德之于人. •由“因”导“果”,执“果”索“因”是 探索证明思路最基本的方法. •言必有据,因果对应.是初学证明者谨记 和遵循的原则. •我们必须用科学的观点来看待一切事物.
2.3等腰三角形的性质定理（1）
等腰三角形的性质定理1:
“等腰三角形的两个底角相
等腰三角形 两腰上的中线 相等.
浙教版数学八年级上册1.3《证明》教案
浙教版数学八年级上册1.3《证明》教案一. 教材分析浙教版数学八年级上册1.3《证明》是学生在掌握了数的概念、式的运算、几何图形的认识等基础知识后，进一步学习数学证明的基础知识。
这部分内容主要让学生了解证明的意义，学会用数学语言表达问题，并通过证明的过程，培养逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了基本的数学运算能力和几何图形的认识，但对于数学证明可能还存在一定的陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解证明的意义，逐步培养他们的逻辑思维能力。
三. 教学目标1.让学生了解证明的意义，理解证明的过程和方法。
2.培养学生用数学语言表达问题，提高逻辑思维能力。
3.通过对证明的学习，培养学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生了解证明的意义，学会用数学语言表达问题。
2.难点：培养学生通过证明的过程，理解和掌握证明的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过问题去探究证明的意义和方法。
2.采用案例分析法，通过具体的例子让学生理解和掌握证明的过程。
3.采用小组合作学习法，让学生在合作中思考，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题，用于引导学生进行思考和讨论。
2.准备教学PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
例如，问学生：“我们已经学过哪些几何图形的性质？这些性质是如何得出的？”2.呈现（10分钟）通过PPT呈现本节课的主要内容，让学生了解证明的意义和过程。
同时，通过具体的例子，让学生理解证明的方法。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作的方式，解决一些简单的证明问题。
教师在这个过程中，要及时给予指导和帮助，让学生理解证明的过程和方法。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学的内容。
教师要及时批改学生的作业，发现并解决问题。
5.拓展（10分钟）让学生通过探究活动，深入理解证明的方法。
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八年级上册数学《证明》教案
教学目标：
知识与技能
1.使学生知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，掌握综合法证明的格式。
2.通过实例让学生体会反证法的含义和步骤。
过程与方法
经历有关有关命题的证明过程，三角形外角和定理的证明过程，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约的关系。
情感、态度与价值观
感受数学的严谨，结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力。
教学重点：
使学生知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，掌握综合法证明的格式。
教学难点：
综合法证明格式以及对反证法的理解。
教学过程：
一、复习：
判断下列命题是真命题还是假命题？（请生答）
①若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等。
②内错角相等。
③如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。
④三角形三个内角和为180度。
（第四个一齐回答）
二、新授：
1，证明：
三角形的内角和为180度，那么三角形的外角和为多少度呢？
采用剪拼或度量的方法，猜测三角形的外角和。
（学生活动）
由于不同形状的三角形有无数个，我们不可能一一来验证，只能猜测任何一个三角形的外角和为360度。
猜测出来的命题未必都是真命题，需要通过推理的方法加以证明。
回忆：从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论城里，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫做证明。
例1：证明命题“三角形的外角和为360度”是真命题。
F
分析：命题的条件：三角形的外角
命题的结论：外角和为360度（小组讨论完成） A
过程：已知：∠BAF、∠CBD、∠ACE分别是△ABC的三个外角
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
证明：如图，
∵∠BAF=∠2+∠3
∠CBD=∠1+∠3 B C
∠ACE=∠1+∠2（三角形的外角定理） D E ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）（等式的性质）
∵∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理）
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°
归纳证明与图形有关的命题时的基本步骤：
第一步，根据题意，画出图形。
第二步，根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知、求证。
第三步，通过分析，找出证明的途径，写出证明过程。
练习：已知，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC。
求证：AE//BC （学生独立完成后请生汇报）
2，反证法：
例2：已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个角大于或等于60°。
分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况。
如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明。
“至少有一个”的反面就是“一个也没有”
证明：假设∠A、∠B、∠C中没有一个大于或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°。
这与“三角形的内角和等于180度”矛盾，所以假设不正确。
因此，∠A、∠B、∠C中至少有一个角大于或等于60°。
像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证的命题正确，这种证明方法叫做“反证法”。
三、总结、练习：。