圆和三角函数及相似练习题

圆和三角函数及相似练习题

1、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。（1）求证：BC ⊙O 是的切线；（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=13

5

，求⊙O 的半径。

2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ．

（1）猜想直线MN 与⊙0的位置关系，并说明理由； （2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．

3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2

s i n 3

ABC ∠=，

求BF 的长．

4、如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）

求证：CD∥ BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．

5、如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，

交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC＝6，tan∠F＝1

2

，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．

（1）求证：KE=GE；

（2）若2

KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=3

5

，

AK=FG的长．

5

4

5题图

P

7、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。（1）求证：BC ⊙O 是的切线；（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=13

5

，求

⊙O 的半径。

3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数 【答案】

（1）证明：连结OC ∵OD ⊥BC 所以∠EOC =∠EOB 在△EOC 和△EOB 中

OC OB

EOC EOB OE OE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△EOC ≌△EOB （SAS ） ∴∠OBE =∠OCE =90° ∴BE 与⊙O 相切

（2）解：过点D 作DH ⊥AB ∵△ODH ∽△OBD ∴OD ：OB =OH ：OD =DH ：BD 又∵sin ∠ABC =23

∴OD =6

∴OH =4，OH =5，DH

又∵△ADH ∽△AFB

∴AH ：AB =DH ：PB

FB

∴FB

【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。 （2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。

4 分析】（1）由BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，根据切线的性质，可得到BF ⊥AB ，然后利用平行线的判定得出CD ∥BF

（2）由AB 是圆O 的直径，得到∠ADB=90º，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD ，再根据三角函数cos ∠BAD=cos ∠BCD=

= 即可求出AD 的长

【解析】（1）证明：∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径

54AD

AB

B

A

B

A

∴BF ⊥AB ∵CD ⊥AB ∴CD ∥BF

（2）解：∵AB 是圆O 的直径

∴∠ADB=90º ∵圆O 的半径5 ∴AB=10

∵∠BAD=∠BCD

∴ cos ∠BAD=cos ∠BCD=

= ∴=8 ∴AD=8

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.

5【解析】（1）要证PA 是⊙O 的切线，只要连接OB ，再证∠PAO ＝∠PBO ＝90°即可．（2）OD ，OP 分别是Rt △OAD ，Rt △OPA 的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA 2＝OD·OP ，再将EF ＝2OA 代入即可得出EF ，OD ，OP 之间的等量关系．（3）利用tan ∠F ＝1

2

，得出AD ，OD 之间的关系，据此设未知数后，根据AD ＝BD ，OD ＝

1

2

BC ＝3，AO ＝OC ＝OF ＝FD －OF ，将AB ，AC 也表达成含未知数的代数式，再在Rt △ABC 中运用勾股定理构建方程求解．

【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°．

∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于D ，∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ． 又∵PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO ．

∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°．∴直线PA 为⊙O 的切线．

（2）EF 2＝4OD·OP ．

证明：∵∠PAO ＝∠PDA ＝90°，

45AD AB

105

4

cos ⨯=

⋅∠=AB BAD AD

P