圆和三角函数及相似练习题

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中考数学压轴专练专题05圆与三角函数、相似结合的综合问题(教师版)

【典例分析】例 1 如图， AD 是△ABC 的外接圆⊙ O 的直径，点 P在 BC 延长线上，且满足∠ PAC=∠B．（1）求证： PA是⊙O 的切线；（ 2）弦 CE⊥AD 交 AB 于点 F，若 AF?AB=12 ，求 AC 的长．思路点拨（1）先根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余得出∠CAD +∠ D=90°，再根据同弧所对的圆周角相等和已知条件等量代换可得∠ CAD + ∠PAC=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；2）先判断出∠ B=∠ ACF ，进而判断出△ABC∽△ ACF，得出比例式即可得出结论．满分解答（ 2），，［来，DP，使∠ PDA＝∠ ADC．（1）求证： PD是⊙ O的切线；（2）若 AC＝3， tan∠ PDC ＝，求 BC 的长．思路点拨（1）求出∠ ODA+ ∠PDA=∠ADC+ ∠ DAO=9°0 ，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠ PDC= ∠DOC ，解直角三角形求出 = ，设 DC=4x ， OC=3x ，求出 3x+3=5x ，求出 x，即可得出答案．满分解答（ 1）证明：连接 OD∵OD=OA∴∠ ODA= ∠ OAD∵CD⊥AB 于点 C∴∠ OAD+∠ ADC=90°∴∠ ODA+∠ADC= 90°∵∠ PDA=∠ ADC ∴∠ PDA+∠ ODA =90° 即∠ PDO=90° ∴PD ⊥OD∵D 在⊙O 上∴PD 是⊙ O 的切线例3已知：如图①，在 Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点 D ，且AB=5，AD=4 ，在AD 上取一点 G ，点P 是折线 CB ﹣BA 上一动点，以 PG 为直径作⊙ O 交AC 于点E ，连结PE ． 1）求 sinC 的值；使 AG=（2）当点 P 与点B 重合时如图②所示，⊙ O 交边AB 于点F ，求证：∠ EPG=∠FPG ；（3）点 P 在整个运动过程中：①当 BC 或AB 与⊙ O 相切时，求所有满足条件的 DE 长；②点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P ′，当P ′恰好落在 AB 边上时，求 △OPP ′与△OGE 的（3）①⊙ O 与AB 相切有两种情况，与 BC 相切有一种情况，如图 3、4、5，灵活运用切线的性质，三角函数与勾股定理分别求解即可；②如图 3中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转 90°得到 P ，当 P 恰好落在 AB 边上时，此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比满分解答 = × × ： ×× × 如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时，连接 PE ，利用相似三角形的性质求得 7.AE= ，PE= ，即 GE=AE=25： 24 ；× × ×（2）如图 2 中，连接 GF,在 Rt△ABD 中， BD= =3 ，∵ BG 是直径，∴∠ BFG=∠ AFG=90° ，∴ FG= ，∵DG=AD ﹣AG=4 ﹣ = ，∴GD=GF ，∴∠ EPG= ∠FPG；（3）①如图 3中，当⊙ O与 BC相切时，作 OH⊥AB 于H，∴ GPC=∠ABC=90° ，∴GP∥AB，∴∠ CGP=∠ A，∴ sin ∠A=sin ∠ PGC，∴PC= ，∴ PG= =3，OH=PB=∴此时⊙ O 与 AB 相切，连接 PE，∵PG是⊙O 的直径，∴∠ PEC=∠CDB=9°0 ，∴PE∥BD，∴DE：CD=PB ：BC，∴DE= ；如图 4中，当点 P 在 AB 上，⊙O 与 BC 相切时，设切点为 T ，连接 OT ， GH ，延长 TO 交GH 于N ，连接易证四边形 BTNH 是矩形，∴ AE= ， ∴DE=AD ﹣ AE=4﹣ = ；如图 5 中，当⊙ O 与 AB 相切时， GP ⊥ AB ，连接PH，∴ PA=PH+AH= ， [ 来源 :]PE ，∵PE ∥BD，当 P 恰好落在 AB 边上时，如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时，满足条件；连接 PE ，∵PH=GH= ，AH=2 ，∴ PA= ，OP=OH= ， ∵PE ∥BD ， ∴PA ：AB=AE ：AD=PE ：BD ，=× × ： × × × =25 ：24；此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比 5=AE ： 4=PE ：3， ②如图 3 中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到 P ，∴ GE=AE ﹣ AG= ，∴△ OPP ′与△OGE 的面积之比 = × × ： × × × =25： 7；综上所述，满足条件的 △OPP ′与△OGE 的面积之比为 25：24 或 25：7．例 4 如图，已知在中，，，是边上一点，以为圆心，为半径的⊙ 与边的另一个交点为，连结、．1) 求△ABC 的面积；2) 设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；3) 如果是直角三角形，求的长．(1) 分别求出 BC 和BC 上的高； (2)作DM ⊥ AB 垂足为 M ，用含 x 的式子表示出AP 和DM ；(3)分∠ ADP ＝90° 和∠ PAD ＝ 90°两种情况求解 .满分解答(2) 如图，作 DM ⊥AB 垂足为 M ，（3） ∠ APD < 90 °，过 C 作CE ⊥AB 交 BA 的延长线于 E ，可得 cos ∠ CAE ＝. ∴ AE= ， PE= ，[ 来源:ZXXK]①当∠ ADP＝ 90°时，cos∠APD ＝cos∠CAE＝，则，解得 x＝；②当∠ PAD ＝ 90°时，，解得 x＝ .所以 PB 的值为或 .例 5 已知：如图， AB 为⊙ O 的直径， C 是 BA 延长线上一点， CP 切⊙ O 于 P，弦 PD⊥ AB 于 E ，过点 B 作 BQ⊥CP于Q，交⊙ O于 H，（1）如图 1，求证： PQ＝ PE；（2）如图 2，G是圆上一点，∠ GAB ＝ 30°，连接 AG交PD于F，连接 BF，若tan∠BFE＝3 ，求∠C的度数；（3）如图 3，在（ 2）的条件下， PD＝6 ，连接 QC交BC于点M，求 QM的长．思路点拨（1）连接 OP，PB，由已知易证∠ OBP= ∠ OPB= ∠QBP，从而可得 BP平分∠ OBQ，结合BQ⊥CP于点Q， PE⊥AB 于点 E 即可由角平分线的性质得到 PQ=PE；（2）如下图 2，连接 OP，则由已知易得∠ CPO=∠PEC=90°，由此可得∠ C=∠ OPE，设 EF=x，则由∠ GAB=3°0 ，∠ AEF=90°可得 AE= ，在 Rt△BEF 中，由 tan∠ BFE= 可得BE= ，从而可得 AB= ，则OP=OA= ，结合 AE= 可得 OE= ，这样即可得到 sin∠ OPE= ，由此可得∠ OPE=30°，则∠C=30°；满分解答（1）如下图 1，连接 OP，PB，∵ CP切⊙ O于 P，∴OP⊥CP于点 P，又∵ BQ ⊥CP 于点 Q，∴OP∥BQ，∴∠ OPB=∠ QBP，∵ OP=OB ，∴∠ OPB=∠ OBP，∴∠ QBP=∠OBP，又∵ PE⊥ AB 于点 E，在 Rt 中 ,tan∠ B FE=3 ∴∴∴∴∴在 Rt PEO 中,∴30°；∴在 Rt 中，，∴，∴ QB=9 ，在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径，∴ AGB=9°0 ，∵ BAG=3°0 ，∴BG=6 ， ABG=6°0 ，过点 G作 GN ⊥QB交QB的延长线于点 N，则∠ N=90°，∠ GBN=18°0 -∠ CBQ- ∠ABG=6°0 ，∴BN=BQ· cos∠GBQ=3 ，GN=B·Q sin∠GBQ= ，∴ QN=QB+BN=12 ，∴在 Rt△QGN 中， QG= ，∵∠ ABG= ∠ CBQ=6°0 ，∴ BM 是△BQG 的角平分线，∴QM ：GM=QB ：GB=9：6，∴ QM= .点睛：解本题第 3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、 BG的长及∠ CBQ= ∠ABG=6°0 ；（2）再过点 G作GN⊥QB并交 QB的延长线于点 N，解出 BN和GN的长，这样即可在 Rt△QGN 中求得 QG 的长，最后在△BQG 中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得 QM 的长了 .例 6已知如图，抛物线与轴相交于 B（1，0），C（5，0）两点，与 y轴的正半轴相交于 A 点，过 A，B，C 三点的⊙ P与 y轴相切于点 A，M 为轴负半轴上的一个动点，直线 MB 交抛物线于N，交⊙ P 于 D ．（1）填空:A 点坐标是___________________ ，⊙ P半径的长是 __ _ ， = ， = ， = ；（2）若 S△BNC :S△AOB ＝ 48:5，求 N 点的坐标；（3）若△AOB与以 A，B，D为顶点的三角形相似，求 MB·MD 的值．思路点拨1）先将 B、C 两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；2）根据 S△BNC ：S△AOB=48 ：5求出 N点的 y坐标，将 yN 代入抛物线方程即可求得MB?MD 的值．N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得满分解答（1）⊙ P 的半径 =3, = , = , = ；（3）过点 A 作直径 AQ 联接 BQ ，∴∠ ABQ=90o,∠BAO+ ∠AOB=90o,∵MA 与⊙ P相切于点 A，∴∠ OAB+∠BAO=90o, ∴∠ OAB= ∠AOB,而∠ AQB= ∠ADB,∴∠ OAB= ∠ADB, 而∠ AMB=AMD,∴△ MAB ∽△ MDA,,当△AOB ∽△ DBA 时，∠ ABD= ∠ AOB=90o,易证△AOB ∽△ BOM,则∴OM=∴; ⅱ当△AOB ∽△ DAB 时，∠ BAD= ∠AOB=90o,【变式训练】1．如图，直线 l 1∥l 2，⊙O 与 l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ．点 M 和点 N 分别是 l 1和l 2上的动点， MN 沿若∠ MON=9°0 ，则 MN 与⊙ O 相切；④ l 1和l 2的距离为 2，其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1 个答案】 B解析】分析】首先过点 N 作NC ⊥AM 于点C ，直线 l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ，⊙O 的半径为 1，易求l 1和 l 2平移．⊙ O 的半径为 1，∠ 1=60 °．有下列结论：① MN=；②若 MN 与⊙ O 相切，则 AM= ；③得 MN= = ，l1和 l2的距离为 2；若∠ MON=90° ，连接 NO并延长交 MA 于点 C，易证得CO=NO ，继而可得即 O到MN 的距离等于半径，可证得 MN 与⊙ O相切；由题意可求得若 MN 与⊙ O相切，则AM= 或．【详解】如图 1，如图 3，若∠ MON=9°0 ，连接 NO 并延长交 MA 于点 C，则△AOC ≌△ BON，故 CO=NO ，△MON ≌△ MOM′ ，故 MN 上的高为 1，即 O 到 MN 的距离等于半径．故③正确；如图 2，2．如图， AB ，BC 是⊙ O 的弦，∠ B=60°，点 O 在∠ B 内，点 D 为上的动点，点 M ，N ，P 分别是 AD ，DC ，CB 的中点．若⊙ O 的半径为 2，则 PN+MN 的长度的最大值是（）A ．【答案】 D 【解析】【分析】连接 OC 、OA 、 BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．首先求出 AC 的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题【详解】解：连接 OC 、OA 、BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．【点睛】B ．C ．本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，AB是⊙ O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD ＝3，则 AB 的值是（）A ．3 B．C．6 D．【答案】 B【解析】【分析】连接 OD ，由圆周角定理可得∠ DOC ＝ 60°，根据三角函数可求 OD的长，即可求 AB 的长．【详解】连接 OD ，【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键．4．如图，已知 AD ＝ 30，点B ，C 是 AD 的三等分点，分别以 AB 、BC 、CD 为直径作圆，圆心分别为 E 、F 、N ，则弦 MN 的长是答案】 8解析】连接 PG 、MF ，过 F 作 FQ ⊥MN 于点 Q ，根据 AP 是⊙G 的切线，可证明 △AFQ ∽△AGP ，利用相似比，可求得 FQ=3，连接 F M ，在直角 △FQM 中根据勾股定理得到 MQ=4 ，则 MN=8 ．【详解】分析】[来源 :Z §X§X § K]G ，AP 切⊙ G 于点 P ，交⊙ F 于 M 、∴ FQ= PG=3，在直角△FQM 中， MQ== =4 ，则 MN=2MQ=8 ．故答案为： 8【点睛】本题主要考查切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且本题还考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．5．如图，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ABC=90°，AB=5 ，BC=10 ，连接 AC 、 BD ，以 BD为直径的圆交 AC 于点 E．若 DE=3 ，则 AD 的长为.【答案】 2【解析】【分析】先证明△ADF ∽△ CAB，利用相似三角形的性质可得.再证明△DEF ∽△ DBA，利用相似三角形的性质可得，据此可求出 DF 的值，进而求出 AD 的值 .详解】如图所示，过点 D作DF ⊥AC于点 F，在 Rt △ABD 中，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ DEF=∠ DBA，又∵∠ DFE=∠ DAB =90°，∴ △DEF ∽△ DBA，即∴DF=2，∴AD=2 .故答案为： 2 .【点睛】本题主要了平行线的性质、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键 .6．如图，五边形是边长为的正五边形，是正五边形的外接圆，过点作的切线，与、的延长线交分别于点和，延长、相交于点，那么的长度是________答案】解析】分析】先证明 AG=AF ，由 SSS得到△OHD与△OED全等，得出∠ ODH= ∠ODE=5°4 ，证出∠ B=∠C=72°，设 GB=xcm ，由△DHB ∽△ GBD ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出x 的值，即可得出结果．详解】连接 DG ，如图所示：∵BC 是⊙ O 的切线，∴OD⊥BC，∴∠ BFO=∠ CFO=9°0 ，在△OHD 与△OED 中，∴△ OHD≌△ OED （ SSS），∴∠ ODH= ∠ ODE=5°4 ，∴∠ HDB= ∠ EDC=3°6 ，∴∠ B=∠ C=72°，∴ BD=DH=DE=DC=GF ，∴GF= BC ，设 GB=x ，∵∠ BDH= ∠BGD ，∠ B=∠B，∴△ DHB∽△ GBD，∴ ，即，整理得： x2-2x-4=0 ，解得： x=1± （负值舍去），∴ AG=GB=1+ ，∴ AB=2+2 ；故答案为： 2+2 ．【点睛】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，切线的性质；熟练掌握正五边形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．7．如图，已知在⊙ O中，直径 AB＝ 4，点 E是OA上任意一点，过 E作弦 CD⊥AB，点 F是上一点，连接 AF 交 CE 于点 H，连接 AC，CF，BD， OD.（1）求证： △ACH ∽△ AFC ；（2）猜想： AH ·AF 与AE ·AB 的数量关系，并证明你的猜想；（3）探究：当点 E 位于何处时， S △AEC ∶ S △BOD ＝ 1∶4？并加以说明．【答案】（ 1）详见解析；（ 2）AH ·AF ＝ AE ·AB ，证明详见解析；（3）当 OE ＝（或 AE ＝）时，S △AEC ∶S △BOD ＝1∶4.解析】分析】（1）根据垂径定理得到弧 AC=弧 AD ，再根据圆周角定理的推论得到∠ F=∠ACH ，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（ 2）连接 BF ，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为 AE ：OB ，进一步转化为 AE ：AO 的比，再根据半径的长求得 OE 的长．详解】(3)解：当 OE ＝ (或 AE ＝ )时， S △AEC ∶S △BOD ＝ 1∶ 4.∵直线 AB ⊥CD ，∴ CE ＝ED ，又∵ S △AEC ＝ AE ·CE ，【点睛】能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．8．如图，是的直径，是上一点，，S △BOD ＝ OB ·ED ，∴ ＝＝ ∵⊙ O 的半径∴ OE（2）若，，求的长 .【答案】（1）详见解析；（ 2） 2【解析】【分析】（1）连接 OC，由 AB 是直径可得∠ ACB=90° ，由 OA=OC 可得∠ BAC=OCA ，根据∠ ACD=∠B，∠B+∠ BAC=90°，通过等量代换可得∠ OCD=90°，即可得答案；根据∠ ACD= ∠B，∠ BAC=∠ADC=90°，可证明△ABC ∽△ ACD ，根据相似三角形的性质即可求出AC 的长.【详解】∴∴∴ 是的切线；【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键 . 9．如图所示，△ABC内接于⊙ O，AC是⊙O的直径，点 D是劣弧 AB的中点，过点D作直线 BC的垂线，分别交 CB，CA 的延长线于 E，F 两点．（1）求证： EF是⊙ O的切线；（2）若 EF＝8，EC＝6，求⊙ O的半径．【答案】（1）证明见解析；（ 2） .【解析】【分析】（1）连接 OD 交 AB 于点 G，依据垂径定理的推论可以得出OD ⊥ AB，结合题意易得 AB∥ EF ，进而不难得到 OD⊥ EF，即可证明结论；（2）先根据勾股定理求出 CF的长，由（ 1）知 OD∥CE，然后利用平行线分线段成比例列式求解即可求出⊙ O 的半径 .【详解】（1）证明：连结 OD，∵ D 是的中点，∴OD⊥AB.又∵ AC 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AB ，∴ OD ∥ CE.又∵ C E ⊥EF ，∴ OD ⊥ EF ，即 EF 是⊙ O 的切线．本题主要考查了切线的判定，圆周角定理的推论，垂径定理定理的推论，平行线分线段成比例定理条直线是圆的切线常用的方法有：①若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直；②若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径 .10．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点，经过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 D ，连接 ∠BCD ＝∠ CAB ． E 是⊙ O 上一点，弧 CB ＝弧 CE ，连接 AE 并延长与 DC 的延长线交于点 F ．（1）求证： DC 是⊙O 的切线；（ 2）若⊙ O 的半径为 3， sin ∠ D ＝，求线段 AF 的长．答案】（1）见解析；（ 2） .解析】分析】（1）连接 OC ，BC ，由 AB 是⊙ O 的直径，得到∠ ACB=90° ，即∠ 1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到 ∠1=∠2．得到∠ DCB+ ∠3=90°．于是得到结论；.证明一AC ，BC ，（2）根据三角函数的定义得到 OD=5，AD=8 ．根据弧 CB＝弧 CE得到∠ 2=∠4．推出 OC∥AF ．根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（2）解：在 Rt△OCD 中， OC＝ 3， sinD ＝∴ OD ＝ 5，AD ＝ 8．∵弧 CB ＝弧 CE，∴∠ 2＝∠ 4．∴∠ 1＝∠ 4．∴OC∥AF．∴△ DOC∽△ DAF．=本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图， AB 是半圆 O的直径，点 P在 BA的延长线上， PD切⊙O于点 C，BD⊥PD，垂足为 D，连接 BC.（1）求证： BC 平分∠ PBD；（2）求证： PC2＝PA·PB；（3）若 PA＝ 2，PC＝ 2 ，求阴影部分的面积（结果保留π）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） S阴影＝2 －π.【解析】【分析】（1）连接 OC，由 PD切⊙O 于点 C，得到 OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠ DBC= ∠BCO ，根据的预计实现的性质得到∠ OCB= ∠OBC ，等量代换得到∠ OBC= ∠ CBD ，于是得到即可；（2）连接 AC，由 AB 是半圆 O的直径，得到∠ ACB=90° ，推出∠ ACP= ∠ABC ，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据图形的面积公式即可得到结果．【详解】（ 1）连接 OC，∵PD切⊙O 于点 C，∴OC⊥PD，∵BD ⊥PD，∴BD ∥OC，∴∠ DBC＝∠ BCO，∵OC＝OB，∴∠ OCB＝∠ OBC，∴∠ OBC＝∠ CBD，∴BC 平分∠ PBD ；（3）∵ PC2＝PA·PB， PA＝2，PC＝2 ，∴PB＝6，∴ AB ＝ 4 ，∴O C＝2，PO＝4，∴∠ POC＝60°，∴ S阴影＝S△POC－ S扇形＝×2 ×2－＝2 －π.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．如图， AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．（1）求证：直线 CE 是⊙ O 的切线；（2）若 AB＝10，CD＝ 4，求 BC 的长．【答案】(1)证明见解析； ( 2) BC＝2 或 4 ．【解析】【分析】(1)如图，连接OC，由 AC 平分∠ DAB 得到∠ DAC= ∠CAB ，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA= ∠CAB ，接着利用平行线的判定得到 AD ∥CO，而 CD⊥AD ，由此得到 CD ⊥ AD ，最后利用切线的判定定理即可证明 CD 为⊙ O 的切线；(2)证明△DAC ∽△ CAB ，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可 .【详解】∴AD ∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙ O直径且 C在半径外端，∴CD 为⊙ O 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 .13．如图，在⊙ O中，AB是⊙ O的直径， AE是弦， OG⊥AE于点 G，交⊙O 于点D，连结BD交AE 于点F，延长 AE 至点 C，连结 BC．（1）当 BC=FC 时，证明： BC是⊙O 的切线；（2）已知⊙ O的半径，当tanA= ，求 GF 的长．答案】（1）见解析；（2）1解析】分析】1）由 OD⊥AE 可知∠ D + ∠ GFD =90°，由等腰三角形的性质可得∠ BFC=∠ FBC，∠OBD=∠D，从而可证∠ OBC =90°；(2)连接 BE，在 Rt△AOG 中，可求出 OG= 3， AG=4，由垂径定理得 GE= AG=4，然后通过证明FEB，可求出 GF 的长 .【详解】∵⊙ O 半径， tanA= ，∴ sinA= ,cosA= ．∴在Rt△AOG 中，OG=OA sinA=5× =3，AG=OA cosA=5× =4=GE ．△FGD ∽△【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质熟记切线的判定定理是解（ 1）的关键，证明△FGD∽△ FEB是解（ 2）的关键 . 14．如图， AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥AB于点E，点 P在⊙ O上，弦 PB与CD交于点 F，且 FC＝FB．（1）求证： PD∥CB ；（2）若 AB＝26，EB＝8，求 CD 的长度．答案】（1）证明见解析；（2）CD ＝24．解析】分析】1）欲证明 PD∥ BC，只要证明∠ P＝∠ CBF 即可；2）由△ACE ∽△ CBE，可得，求出 EC，再根据垂径定理即可解决问题详解】2）连接 AC ，∵ AB 是直径，∴∠ ACB ＝90°，∵AB ⊥CD，∴CE＝ED，∠AEC＝∠ CEB ＝ 90°，∵∠ CAE+ ∠ ACE ＝90°，∠ ACE+∠BCE＝90°，∴∠ CAE ＝∠ BCE ，∴EC2＝144，∵EC>0，∴EC＝12，∴CD＝2EC＝24．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图⊙ O的内接△ABC中，外角∠ ACF 的角平分线与⊙ O相交于 D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为 H.问：（1） ∠PDC 与∠ HDC 是否相等，为什么？（2）图中有哪几组相等的线段？（3）当△ABC 满足什么条件时， △CPD ∽△ CBA ，为什么？答案】（ 1）相等，理由详见解析；（ 2）PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，ADACB ＝ 60 °时， △CPD ∽△ CBA.【解析】【分析】（1）根据“AAS ”证明△CDH ≌△ CDP 即可；（2）发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；（3）根据其中一个是直角三角形得到 AC 必须是直径．再根据另一对角对应相等，＝∠ DCF ＝∠ ACB=60°才可．【详解】又∵ CD=CD ，∴△ CDH ≌△ CDP ，∴∠ PDC ＝∠ HDC .(2) ∵△ CDH ≌△ CDP ， ∴PC ＝HC ，DP ＝DH ，∵∠ DAP=∠ DBH ，∠ APD =∠BHD =90°， ∴△ADP ≌△ BDH ， ∴AP ＝BH ，AD ＝BD.BD ；(3)∠ ABC ＝ 90°且∠ 结合利用平角发现∠ PCD综上可得： PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，AD ＝BD.【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，圆周角定理的推论等知识 .掌握全等三角形的判定和性质，能够根据已知的三角形的形状探索若相似应满足的条件是解答本题的关键．16．如图 ,AB 是⊙ O 的直径, ⊙O 过 BC 的中点 D,DE ⊥ AC.求证: △BDA ∽△ CED.【答案】证明见解析 .【解析】【分析】不难看出 △BDA 和△CED 都是直角三角形，证明 △BDA ∽△ CED ，只需要另外找一对角相等即可，由于是△ABC 的中线，又可证 AD ⊥BC ，即 AD 为 BC 边的中垂线，从而得到∠ B=∠C ，即可证相似．【详解】【点睛】本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙ O ，交BC 于点D ，连接 AD ．过点 D 作DE ⊥ AC ，垂足为点 E ．（1）求证： DE 是⊙O 的切线；（2）当⊙ O 半径为 3，CE ＝ 2 时，求 BD 长．AD【答案】（1）证明见解析；（2）BD ＝2 ．【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙ 0的直径得∠ ADB=90° ，由AB=AC ，根据等腰三角形性质得 AD平分BC，即DB=DC ，则 OD 为△ABC 的中位线，所以 OD∥AC，而 DE⊥AC，则 OD ⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90° ，得出△DEC∽△ ADB ，得出，从而求得 BD?CD=AB?CE ，由 BD=CD ，即可求得 BD2=AB?CE ，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接 OD ，如图，∵AB 为⊙ 0 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴AD ⊥BC，∵AB ＝AC，∴AD 平分 BC，即 DB ＝DC，∵OA ＝OB，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙ 0 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．18．如图，为的直径，，为上一点，且 AC=BC ，为 BC 上的一动点，延长至，使得，连接．1）求证：直线是的切线；2）若点由点运动到点，则线段扫过的面积是_______ ．（结果保留）答案】（1）见解析；（2）解析】分析】1）做辅助线根据证明,由相似三角形性质即可解题 ,（ 2）作出图像得 S 阴影=S△ABQ -S△AOC -S扇形BOC,即可解题 .【详解】（ 1）证明：连接．，即．是的直径，直线是的切线．[来源 :ZXXK]【点睛】本题考查了三角形的相似 ,切线的证明 ,不规则图形求面积 ,中等难度 ,证明切线是解题关键 . 19．如图，⊙ O是△ABC 的外接圆， AB 是⊙ O的直径，经过点 A作AE⊥OC，垂足为点 D，AE 与BC交于点 F，与过点 B 的直线交于点 E，且 EB＝ EF．（1）求BE 是⊙ O 的切线；答案】（1）见解析；解析】分析】1）由 OB ＝ OC可得∠ OBC ＝∠ OCB ，由EB ＝ EF可知∠ EBC ＝∠ EFB，根据∠ AFC+ ∠OCB＝ 90°可知∠EBC+ ∠OBC＝90°，即可得结论；（2）由（ 1）可知∠ AEB+ ∠ EAB ＝ 90°，由∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°即可证明∠ AOD ＝∠ AEB ，设⊙ O 的半径为 r，根据 cos∠ AOD ＝ cos∠ AEB ＝可求出 r 的值，即可得 AB 的值，根据cos∠ AEB ＝＝可得 AE＝ BE，利用勾股定理求出 BE 的长即可 .【详解】（2）设⊙ O 的半径为 r，则 OA ＝OC＝r，又 CD＝ 1，∴OD＝r﹣1，∵∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°，∠ AEB+ ∠ EAB ＝90°，∴∠ AOD＝∠ AEB，∴cos∠ AOD ＝ cos∠AEB ＝，∴在 Rt△AOD 中， cos∠ AOD ＝＝，即＝解得： r＝，∵AB 是⊙ O 的直径，∴ AB ＝ 5 ，在 Rt △AEB 中，∴AE ＝ BE ，又 AE 2＝AB 2+BE 2，即（ BE ）2＝ BE 2+52，解得： BE ＝．20．如图，已知 Rt △ACE 中，∠ AEC=90°，CB 平分∠ ACE 交AE 于点 B ，AC 边上一点 O ，⊙O 经过点 B 、C ，与 AC 交于点D ，与 CE 交于点F ，连结 BF 。

【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合

中考专题训练——相似三角形与圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．【分析】（1）由垂径定理得出OD⊥AC，进而得出∠F AO+∠AOF＝90°，由圆周角定理结合已知条件得出∠AOF＝∠CAE，得出∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）连接AD，利用解直角三角形得出tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，由⊙O的半径10，得出AB＝5x＝20，求出x＝4，求出AD＝12，BD＝16，继而证明△ADH∽△BDA，利用相似三角形的性质即可求出DH的长．【解答】（1）证明：如图1，∵D是的中点，∴OD⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠AOF＝∠CAE，∴∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵∠C＝∠B，，tan B＝，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，∵⊙O的半径10，∴AB＝5x＝20，∴x＝4，∴AD＝3×4＝12，BD＝4×4＝16，∵D是的中点，∴AD＝CD＝12，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠ADH＝∠BDA∴△ADH∽△BDA，∴，即，∴DH＝9．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．【分析】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠P AB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠P AB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠P AB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，即可证明P A是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△P AO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠P AB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠P AB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠P AB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，∵OA是半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵P A＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠P AO＝90°，∴P A2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠P AO＝∠EDB＝90°，∴△P AO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到AB⊥CD，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点F作FM⊥AB于点M，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出线段OE，OM，MF的长，利用全等三角形的判定与性质求得线段BH的长，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．【解答】（1）证明：∵点B是弧CD的中点，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，∵AE∥CD，∴AE⊥OA．∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FM⊥AB于点M，如图，∵AO＝5，AE＝，AE⊥OA，∴OE＝＝．∵AE⊥AB，FM⊥AB，∴FM∥AE，∴△OMF∽△OAE，∴，∴，∴OM＝3，MF＝4．∴BM＝OB+OM＝5+3＝8，∴BF＝＝4．在△OFM和△ODH中，，∴△OFM≌△ODH（AAS），∴OM＝OH＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2．∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴CD∥FM，∴△BGH∽△BFM，∴，∴，∴BG＝．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明DE是⊙O的切线，关键是证明OD⊥DE；（2）连接BD，根据（1）中OD∥AE得△OGD∽△AEG，从而求出AE的长，再根据△AED∽△ADB求出AD的长，再利用三角函数求出DF的长，利用S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵OD//AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3．∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴，在Rt△ADB中，，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴，∴．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由等腰三角形的性质得出AD＝BD＝6，OC＝5，由勾股定理得出AC＝10，证明△CHO∽△CDA，，由相似三角形的性质得出OH＝3，继而得出AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，AB是⊙O的切线，即可得出⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）延长DC交FE于点M，由正方形的性质得出BE＝AB＝12，EF∥AB，由CA＝CB，CD⊥AB，得出AD＝BD＝6，DM⊥EF，继而得出FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，由三角形中位线的性质得出GE＝8，进而得出BG＝4，即可求出BG：GE的值．【解答】解：（1）小红的方法正确，理由如下：如图①，过点O作OH⊥AC于点H，∵等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，OD＝3，∴AD＝BD＝6，OC＝CD﹣OD＝8﹣3＝5，∴AC＝＝＝10，∵∠CHO＝∠CDA＝90°，∠HCO＝∠DCA，∴△CHO∽△CDA，∴，即，∴OH＝3，∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，∵OD⊥AB，OD＝3，∴AB是⊙O的切线，∴⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）如图②，延长DC交FE于点M，∵四边形ABEF是正方形，AB＝12，∴BE＝AB＝12，EF∥AB，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝6，DM⊥EF，∴FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，∴MC是△EFG的中位线，MC＝DM﹣CD＝12﹣8＝4，∴GE＝2CM＝2×4＝8，∴BG＝BE﹣GE＝12﹣8＝4，∴，故答案为：．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD＝180°，推出∠ABD＝∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE＝3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，又∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB＝5，BD＝5，∴AD＝＝15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE＝3CE，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴152＝（3CE）2+（9+CE）2，解得：CE＝﹣（舍去）或CE＝3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠CAG＝∠F，∠EAG＝∠CAE+∠CAG，∠EDA＝∠BAD+∠F，∴∠EAG＝∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2＝GE•ED，即AE2＝（EC+CG）•ED，∵CE＝3，∴AE＝3CE＝9，∴92＝（3+CG）×12，∴CG＝．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OD，证明BF∥AE，BC∥EF，可得结论；（2）根据平行四边形的性质可得CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，证明四边形CODG是正方形，△ABC∽△GCE，列比例式可得AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠ABF＝180°，∴BF∥AE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BC⊥OD，∵EF切⊙O于D，∴EF⊥OD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）解：由（1）知：四边形BCEF为平行四边形，∴CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，∴∠COD＝∠ODG＝∠CGD＝90°，∵OC＝OD，∴四边形CODG是正方形，∴CG＝OC，∠BCG＝90°，∴∠ACB+∠ECG＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠CGE＝∠BAC＝90°，∴△ABC∽△GCE，∴＝，设⊙O的半径是r，则BC＝2r，∴＝，∴r＝（负值舍），∴BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AE＝AC+CE＝2+＝．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【分析】（1）由点D为的中点，可得∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】（1）证明：∵点D为的中点，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ABD，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝＝3，∴AE＝AF＝3，∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AD，∴AD＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴＝，∴BC＝＝，∴sin∠BAC＝＝，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴sin∠BDC＝．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．【解答】（1）证明：连接OF，如图：∵＝，∴∠DOA＝∠FOD，∵OA＝OF，OD＝OD，∴△DAO≌△DFO（SAS），∴∠DAO＝∠DFO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO＝90°＝∠DFO，∴OF⊥DF，又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；（2）解：连接AF，如图：∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF，∴∠AOD＝∠ABF，∵∠OAD＝∠AFB＝90°，∴△AOD∽△FBA，∴＝，即＝，∴DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，答：矩形ABCD的面积是．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO＝90°，然后由切线的判定定理可得结论；（2）连接EC，FC，OC，证明Rt△ECD∽Rt△CFD，得出CD2＝DE•DF，继而得出CD2＝DE•OD+DE•OE，同理得出CD2＝OD•DE+OD•PE，进而得出DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，即可证明PE•OD＝DE•OE．【解答】证明：（1）如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°，∵OC是圆O的半径，∴PC是圆O的切线；（2）如图2，连接EC，FC，OC，∵EF是直径，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠CFE＝90°，∵D是AC的中点，EF是直径，∴AC⊥EF，∴∠CEF+∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°，∴∠ECD＝∠CFD，∴Rt△ECD∽Rt△CFD，∴，∴CD2＝DE•DF，∴CD2＝DE（OD+OF）＝DE（OD+OE）＝DE•OD+DE•OE，同理Rt△PCD∽Rt△COD，∴，∴CD2＝OD•PD＝OD（PE+DE）＝OD•DE+OD•PE，∴DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，∴PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的切线，所以∠∠CBD＝∠A，因为BC＝EC，所以∠E＝∠EBC，由同弧所对的圆周角相等可得，∠A＝∠E，所以∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）由（1）可知，tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以tan A＝＝，即AC＝2BC，由AB＝2结合勾股定理可得，BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，解得BC＝2，AC＝4，又因为tan∠EBC＝＝，所以CF＝1，AF＝3，BF＝，易证△ABF∽△ECF，所以AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解之即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠∠CBD＝∠A，∵BC＝EC，∴∠E＝∠EBC，∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）解：由（1）知，∠A＝∠E＝∠EBC，∴tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，即AC＝2BC，∵AB＝2，∴BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，∴BC＝2，AC＝4，∵tan∠EBC＝＝，∴CF＝1，AF＝3，BF＝，∵∠A＝∠E，∠ABF＝∠ECF，∴△ABF∽△ECF，∴AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解得EF＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．【分析】（1）作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD ＝CD，再通过导角得出AC是∠F AB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而证明结论；（2）根据BC＝6，sin B＝，可得AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠F AC＝，∴∠F AC＝∠CAB，即AC是∠F AB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin B＝，∴可设AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴＝＝3，∴AB＝3EC，∵AB＝AC，AE＝3，∴AE+EC＝AB，∴3+EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB＝90°，进而得出∠F+∠FBE＝90°，由∠F＝∠ABE，得出∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点G，由∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，得出BC＝12，，由圆周角定理得出，进而得出OE垂直平分BC，即可求出，OG是△ABC的中位线，得出，求出EG＝4，由∠CAE＝∠CBE，得出tan∠CAD＝tan∠EBG，得出，即可求出．【解答】（1）证明：如图1，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∴∠F+∠FBE＝90°，∵∠F＝∠ABE，∴∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE交BC于点G，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，，∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE垂直平分BC，∴，OG是△ABC的中位线，∴，∴EG＝OE﹣OG＝﹣＝4，∵∠CAE＝∠CBE，∴tan∠CAD＝tan∠EBG，∴，即，∴．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理得出∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，证明△F AD≌△BAD，得出∠ADF＝∠ADB，即可证明∠FDE＝∠CDE；（2）由解直角三角形得出BC＝16，由勾股定理得出AC＝20，由全等三角形的性质得出AF＝AB＝12，进而得出CF＝8，由解直角三角形得出DF＝6，进而得出BD＝DF＝6，由勾股定理得出AD＝6，证明△EAD∽△DAB，由相似三角形的性质得出AE＝15，再利用勾股定理即可求出DE＝3．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，AD为直径，∴AD⊥DE，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，∵AD是直径，∴∠AFD＝∠ABD＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠BAD，在△F AD和△BAD中，，∴△F AD≌△BAD（AAS），∴∠ADF＝∠ADB，∴∠FDE＝∠CDE；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，tan∠C＝，∴BC＝＝＝16，∴AC＝＝＝20，∵△F AD≌△BAD，∴AF＝AB＝12，∴CF＝AC﹣AF＝20﹣12＝8，在Rt△CDF中，DF＝CF•tan∠C＝8×＝6，∴BD＝DF＝6，∴AD＝＝＝6，∵∠ABD＝∠ADE＝90°，∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，即，∴AE＝15，∴DE＝＝＝3．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；（2）连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出＝、∠GOD ＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出＝＝＝．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：连接AD，如图1所示．∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵点D为弧BE的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABC为等腰三角形．（2）连接OD，如图2所示．∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥GF．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，∴OD∥AC，∴＝，∠GOD＝∠BAC＝45°，∴△GOD为等腰直角三角形，∴GO＝DO＝BO，∴＝＝＝．∴＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．【分析】（1）连接OD，证DO∥AB，得出∠ODB＝90°即可得出结论；（2）连接DE，证△CDE∽△CAD，根据线段比例关系即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理的推论得出OC⊥BD，由CE∥BD，得出OC⊥CE，即可证明CE是⊙O的切线；（2）连接OC，BC，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠E，由圆周角定理得出∠BOC ＝2∠E，由OC⊥CE，得出∠BOC+∠E＝90°，求出∠E＝30°，进而求出CH＝3，EH ＝3，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝30°，AE＝6，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，由解直角三角形求出AB＝4，由CE∥BD，得出，代入计算即可求出BF＝4，得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵弧CD＝弧CB，OC是半径，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，BC，∵CA＝CE＝6，∴∠CAB＝∠E，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2∠E，∵OC⊥CE，∴∠BOC+∠E＝90°，∴2∠E+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∵CH⊥AE，∴CH＝CE＝×6＝3，EH＝＝＝3，∵CA＝CE＝6，CH⊥AE，∴∠CAB＝∠E＝30°，AE＝2EH＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，∴AB＝＝＝＝4，∵CE∥BD，∴，即，∴BF＝4，∴CH的长为3，BF的长为4．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由∠A＝40°，得出∠ACB＝50°，由点D是的中点，即可求出∠DCB＝∠ACB＝25°；（2）由圆周角定理得出∠BCD+∠CEF＝90°，由点D是的中点，得出∠DCB＝∠DCA，由等腰三角形的性质得出∠FCE＝∠FEC，进而得出∠ACF＝90°，即可证明CF 是⊙O的切线；（3）由解直角三角形得出＝，设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，由勾股定理得出方程（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解方程求出x＝3，得出BC＝12，CF＝15，BF＝9，再证明△CFB∽△AFC，利用相似三角形的性质求出AC＝20，即可求出⊙O的半径长为10．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×50°＝25°；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠CEF＝90°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠DCA+∠FCE＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥CF，∵AC是直径，∴CF是⊙O的切线；（3）解：在Rt△CBF中，sin∠F＝，∵，BE＝6，∴＝，∴设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解得：x＝3或（不符合题意，舍去），∴BC＝12，CF＝15，BF＝9，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠CFB＝∠AFC，∴△CFB∽△AFC，∴，即，∴AC＝20，∴OA＝AC＝×20＝10，∴⊙O的半径长为10．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）连接OB，如图，∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，∴AO2＝AM•AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四边形AMON为梯形，∵AM＝ON，∴四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC．∵AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F．∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：连接BE，如图，∵∠BDE＝∠F，∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，∵CF＝1，tan∠F＝，∴CE＝2．∵BD是⊙O直径，∴∠BED＝90°，∴BE⊥EF．∵EC⊥BF，∴△ECF∽△BCE，∴，∴EC2＝BC•CF．∴BC＝4．∴BF＝BC+CF＝5．∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为6等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴EC＝6x＝．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．【分析】（1）连接OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEO+∠OEB＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠AEO，从而可得∠BEF＝∠AEO，然后可得∠BEF+∠OEB＝90°，从而求出∠OEF＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠BEF＝∠EAO，从而可证△FEB∽△F AE，然后利用相似三角形的性质可求出BE的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，从而求出EF 的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEO+∠OEB＝90°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠CAB，∴∠EAO＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠AEO，∠EAO＝∠AEO，∴∠BEF＝∠EAO，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△F AE，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝6，∴AB＝＝＝30，∴＝，∴EF＝20，∴⊙O的半径为15，EF的长为20．。

圆与相似及三角函数综合问题--2023年中考数学压轴题(解析版)

圆与相似及三角函数综合问题1典例剖析1(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：连接OB，∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵∠PBA=30°，∴∠ABO=60°，又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，又∵OE=AE，∴BE平分∠ABO，∴∠ABE=1∠ABO=30°，2∴BA平分∠PBD；(2)证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，∴∠AOB=∠ACD，又∵∠BAO=∠BDC，∴△OAB∽△CDE．2(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF⎳AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，,求ON的长度．∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=34(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【答案】(1)2(2)ON=207π(3)4+169【解析】(1)∵DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB∴DF为△COM的中位线∴D为CO的中点∵CO=AO=4∴CD=2(2)过N 点作ND ⊥OH ，交OH 于点D ，∵∠OHN =45°，∴△NHD 为等腰直角三角形，即ND =DH ，又∵tan ∠COH =34，∴tan ∠NOD =34，∴tan ∠NOD =ND OD=34，∴ND :OD =3:4，设ND =3x =DH ，则OD =4x ，∵OD +DH =OH ，∴3x +4x =4，解得x =47，∴ND =127，OD =167，∴在Rt △NOD 中，ON =ND 2+OD 2=127 2+167 2=207；(3)如图，当点M 与点O 重合时，点N 也与点O 重合．当点M 运动至点A 时，点N 运动至点T ，故点N 路径长为：OB +l BT ．∵∠NHO =∠MHO ,∠THO =∠MHO ,∠HOM =50°．∴∠OHA =∠OAH =65°．∴∠THO =65°,∠TOH =50°．∴∠BOT =80°，∴l BT =2π×4×80°360°=169π，∴N 点的运动路径长为：OB +l BT =4+169π，故答案为：4+169π．3(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知CH 是⊙O 的直径，点A ，点B 是⊙O 上的两个点，连接OA ,OB ，点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点，连接CD ,CE ,BH ，且∠AOC =2∠CHB ．(1)如图1，求证：∠ODC =∠OEC ；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD ⊥OA ，求证：FC =FH ；(3)如图3，在(2)的条件下，点G 是BH 上一点，连接AG ,BG ,HG ,OF ，若AG :BG =5:3，HG =2，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OF =193【解析】(1)如图1．∵点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点∴OD =12OA ，OE =12OB ∵OA =OB ，∴OD =OE∵∠BOC =2∠CHB ，∠AOC =2∠CHB∴∠AOC =∠BOC∵OC =OC∴△COD ≅△COE ，∴∠CDO =∠CEO ；(2)如图2．∵CD ⊥OA ，∴∠CDO =90°由(1)得∠CEO =∠CDO =90°，∴sin ∠OCE =OE OC=12∴∠OCE =30°，∴∠COE =90°-∠OCE =60°∵∠H =12∠BOC =12×60°=30°∴∠H =∠ECO ，∴FC =FH(3)如图3．∵CO =OH ，FC =FH∴OF ⊥CH∴∠FOH =90°连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°∴∠AOH=∠BOH=120°，∴AH=BH，∠AGH=60°∵AG:BG=5:3设AG=5x，∴BG=3x在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH ∵∠HAM=∠HBG，∴△HAM≌△HBG∴MH=GH，∴△MHG为等边三角形∴MG=HG=2∵AG=AM+MG，∴5x=3x+2∴x=1，∴AG=5∴BG=AM=3，过点H作HN⊥MG于点NMN=12GM=12×2=1，HN=HG⋅sin60°=3∴AN=MN+AM=4，∴HB=HA=NA2+HN2=19∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，∴∠OFH=60°∵OB=OH，∴∠BHO=∠OBH=30°，∴∠FOB=∠OBF=30°∴OF=BF，在Rt△OFH中，∠OHF=30°，∴HF=2OF∴HB=BF+HF=3OF=19，∴OF=193．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．4(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB ⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点(不与A，M重合)，射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．【答案】【答案】(1)证明见解析(2)310(3)32【解析】(1)解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴△CMA∽△CBD．(2)连接OC，∵∠MAN=90°，∴MN是直径，∵MN=10，∴OM=ON=OC=5，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=25，AM=45，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=4，∴BP=AP=4，∴NP=AN2-AP2=2，∴OP=5-2=3，∵MC =NC ，∴OC ⊥MN ，∴∠COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∠BPE =90°，∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ，∴△COE ∽△BPE∴CO BP =OE PE =CE BE ，即54=OE PE =CE BE由OE +PE =OP =3，∴OE =53，PE =43，∴CE =OC 2+OE 2=52+53 2=5310，BE =BP 2+PE 2=42+43 2=4310，∴BC =5310+4310=310．(3)过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，则∠CGM =90°，∴∠CMG +∠GCM =90°，∵MN 是直径，∴∠MCN =90°，∴∠CNM +∠DMP =90°，∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D =∠CNM =∠GCM ，∵tan ∠MDB =34，∴tan ∠CNM =tan ∠GCM =34，∵tan ∠GCM =GM CG∴设GM =3x ，CG =4x ，∴CM =5x ，∴CN =20x 3，NG =16x 3，∴NM =25x 3，∴OM =ON =25x 6，∵AM =2AN ，且AM 2+AN 2=MN 2，∴AN =553x ，AM =1053x ，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=103x=PB，∴NP=53x，∴PG=163x-53x=113x，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG=∠BEP，∴△CGE∽△BPE，∴CG BP =GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBE∴GE=2x，PE=53x∴ME=5x，NE=10x3，∴ME:NE=3:2，∴MENE的值为3 2．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．2满分训练一、解答题【共20题】1(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC 分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．【答案】(1)见解析(2)DM=2【解析】(1)证明：连接OD交BC于点H.∵EF与⊙O相切于点D∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°，∵BC∥EF，∴∠OHC=∠ODF=90°，∴OD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；(2)解：∵BC∥EF，∴BE AE =ND AD，∵AB:BE=5:2，AD=14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．2(2022·湖北黄石·中考真题)如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；(3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AE ⋅AP的值．【答案】(1)见解析(2)22(3)42【解析】(1)解：如图所示，连接OA ，∵CD 是⊙O 直径，∴∠CAD =90°，∴∠OAC +∠OAD =90°，又∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠BAC =∠ADB ，∴∠OAD =∠BAC ，∴∠BAC +∠OAC =90°，即∠BAO =90°，∴AB ⊥OA ，又∵OA 为半径，∴直线AB 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠ADB ，∠B =∠B ，∴△BCA ∽△BAD ，∴ACAD =BC BA，由BC =2OC 知，令半径OC =OA =r ，则BC =2r ，OB =3r ，在Rt △BAO 中，AB =OB 2-OA 2=22r ，在Rt △CAD 中，tan ∠ADC =AC AD =BC BA =2r 22r=22，即tan ∠ADB =22；(3)解：在(2)的条件下，AB =22r =26，∴r =3，∴CD =23，在Rt △CAD 中，AC AD=22，AC 2+AD 2=CD 2，解得AC =2，AD =22，∵AP 平分∠CAD ，∴∠CAP =∠EAD ，又∵∠APC =∠ADE ，∴△CAP ∽△EAD ，∴AC AE =AP AD，∴AE ⋅AP =AC ⋅AD =2×22=42．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．3(2022·湖北襄阳·中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，点D 为BC 的中点，连接AC ，BC ，AD ，AD 与BC 相交于点G ，过点D 作直线DE ∥BC ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AC =BD ，CG =23，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)1532【解析】(1)证明：连接OD ，如图所示，∵点D 为BC 的中点，∴OD ⊥BC∵DE ∥BC ，∴OD ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)连接BD ，如图所示，∵AC =BD∴BD =AC∵点D 为BC 的中点，∴CD =BD ，∴AC =CD =BD ，∴∠CAD =∠BAD =30°．∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =∠ADB =90°，在Rt △ACG 中，tan ∠CAD =CG CA ,sin ∠CAD =CG AG，∴CA =CG tan30°,AG =CG sin30°，∵CG =23，∴CA =23×3=6，AG =43，∴BD =CA =6，∴S △ACG =12CG ⋅AC =63，在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =BD AD ,∴AD =BDtan30°=633=6 3.∵DE ∥BC ，∴S △CAG S △EAD =AG AD 2，即63S ΔEAD =49，∴S △EAD =2732.∴S 阴影部分=S △EAD -S △ACG =1532．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．4(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，EF ∥AC 交AB 的延长线于点F ，CE 与AB 交于点D ，连接BE ，若∠BCE =12∠ABC ．(1)求证：EF 是⊙O 的切线．(2)若BF =2，sin ∠BEC =35，求⊙O 的半径．【答案】(1)过程见解析(2)3【解析】(1)证明：连接OE ．∵∠BCE =12∠ABC ，∠BCE =12∠BOE ，∴∠ABC =∠BOE ，∴OE ∥BC ，∴∠OED =∠BCD ．∵EF ∥CA ，∴∠FEC =∠ACE ，∴∠OED +∠FEC =∠BCD +∠ACE ，即∠FEO =∠ACB ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠FEO =90°，∴FE ⊥EO ．∵EO 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵EF ∥AC ，∵BF =2，sin ∠BEC =35．设⊙O 的半径为r ，∴FO =2+r ，AB =2r ，BC =65r ．∵EO BC =FO AB ，∴r 65r =2+r 2r ，解得r =3，∴⊙O 的半径是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．5(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ，点F 为BD 延长线上一点，∠DAF =∠B ．(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，AD 是△AEF 的中线，且AD =6，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)365【解析】(1)证明：∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∵∠ACD =∠B ，∠B =∠DAF ，∴∠DAF =∠ACD ，∴∠DAF +∠DAC =90°，∴OA ⊥AF ，∵AC 是直径，∴AF 是⊙O 的切线；(2)解：作DH ⊥AC 于点H ，∵⊙O 的半径为5，∴AC =10，∵∠AHD =∠ADC =90°，∠DAH =∠CAD ，∴△ADH ~△ACD ，∴AD AC =AH AD，∴AD 2=AH ⋅AC ，∵AD =6，∴AH =3610=185，∵AD 是△AEF 的中线，∠EAF =90°，∴AD =ED ，AE=2AH=365．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．6(2022·山东菏泽·中考真题)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是⊙O的切线；(2)若HA=3,cos B=25，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)65【解析】(1)连接OD，∵DG⊥BC，∴∠BGH=90°，∵D是AC的中点，AB为直径，∴OD∥BC，∴∠BGH=∠ODH=90°，∴直线HG是⊙O的切线；(2)由(1)得OD∥BC，∴∠HBG=∠HOD，∵cos∠HBG=25，∴cos∠HOD=25，设OD=OA=OB=r，∵HA=3，∴OH=3+r，在Rt△HOD中，∠HDO=90°，∴cos∠HOD=ODOH =r3+r=25，解得r=2，∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，∵D是AC的中点，AB为直径，∴BC=2OD=4，∵∠BGH=∠ODH=90°，∴△ODH∼△BGH，∴OH BH =ODBG，即57=2BG，∴BG=145，∴CG=BC-BG=4-145=65．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．7(2022·贵州黔西·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD的值．【答案】(1)见解析(2)23【解析】(1)连接OD，则OD=OB．∴∠ODB=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠DHC=∠HDO．∵DH⊥AC，∴∠DHC=∠HDO=90°．∴DH⊥OD．∴DH是⊙O的切线．(2)连接AD和BE．∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，∠ADB=∠AEB=90°．∵OD∥AC∴OB OA =BD CD=1∴CD=BD．∴OD⎳AC且OD=12AC．∵OD∥AE，∴∠AEF=∠ODF．∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FOD．∴FE FD =AE OD．∵∠DHA=∠BEA=90°∴DH∥BE∴CH HE =CD BD=1∴CH=HE．∵E为AH的中点，∴AE=EH=CH．∴AE=13AC∴FE FD =AEOD=13AC12AC=23．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．8(2022·贵州安顺·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=22，求EF的长；(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)1(3)2【解析】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠DBA =90°，∵AD =AD ，∴∠AED =∠ABD ，∵∠PAD =∠AED ，∴∠PAD =∠ABD ，∴∠BAD +∠PAD =∠BAD +∠ABD =90°，即∠PAB =90°，∴PA 是⊙O 的切线，(2)如图，连接OE ,EB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ，∴DE =BE =2∴OE ⊥BD∵OA =OE ，∴∠OEA =∠OAE ，∴∠DAE =∠AEO ，∴AD ∥OE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥DB ，AE ⊥EB ，即∠ADF =∠BEF =90°，∵DE ⏜=DE⏜∴∠DAE =∠DBE ，∴tan ∠EBF =tan ∠DAE =22，∴EF EB =22，∴EF =22EB =1；(3)如图，过点B 作BG ∥AD ，由(2)可知AD ∥OE ，∴OE ∥BG ，∵AO =OB =BC ，∴DE =EG =GC ，设⊙O 的半径为x ，则GB =12OE =12x ，∵AD ∥BG ，∴△CGB ∽△CDA ，∴CG CD =GB AD ，∴AD =3GB =32x ，∵OE⊥DB，∴DB⊥GB，∵DE=2，∴DG=2DE=22，在Rt△DBG中，DB2=DG2-GB2=8-12x 2，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，即32x2+8-12x2=2x 2，解得：x=2(负值舍去)，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．9(2022·山东枣庄·中考真题)如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】(1)见解析(2)AD=365【解析】(1)证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵E是BC的中点，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，∵OE=6，∴AC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC =ACAB，即AD12=1220，∴AD=365．【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．10(2022·山东济宁·中考真题)如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB=10，BF=6，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)2003【解析】(1)证明：连接OF．∵AE=EF，∴∠DOA=∠FOD.∵AO=FO,DO=DO，∴△DAO≅△DFO(SAS)∴∠DAO=∠DFO.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO=90°∴∠DFO=90°.∴DF与半圆相切.(2)解：连接AF，∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.∵∠OAD=∠AFB=90°，∴△AOD∽△FBA∴AO BF =DO AB，∴56 BF =DO10，∴DO=253，在RtΔAOD中，AD=DO2-AO2=2532-52=203.∴矩形ABCD的面积为203×10=2003.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11(2022·青海西宁·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．【答案】(1)详见解析(2)253【解析】(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD=90°，∴∠CFD=90°，∴⊙O与AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEC=∠AEO=90°，又∴∠C=90°，∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，∴四边形EMFC是矩形．(2)解：在Rt△AOE中∠AEO=90°AE=5OE=OB=2，∴OA2=AE2+OE2，∴OA=AE2+OE2=52+22=3，∴AB=OA+OB=3+2=5，∴∠AEO=∠C=90°，∴OE⎳BC，∴△AEO∼△ACB，∴AE AC =AOAB，即5AC=35，∴AC =553，∴CE =AC -AE =553-5=253，∴四边形EMFC 是矩形，∴FM =CE =253．【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．(2)利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC 的长度．12(2022·辽宁大连·中考真题)AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC ，垂足为D ，过点A 作⊙O 的切线，与DO 的延长线相交于点E ．(1)如图1，求证∠B =∠E ；(2)如图2，连接AD ，若⊙O 的半径为2，OE =3，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)2213【解析】(1)解：∵OD ⊥BC ，∴∠ODB =90°，∵AE 是⊙O 的切线，∴∠OAE =90°，在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴∠B =∠E ；(2)解：如图，连接AC ．∵⊙O 的半径为2，∴OA =OB =2，AB =4，∵在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴ΔODB ∼ΔOAE ，∴OD OA =OB OE ，即OD 2=23，∴OD =43，在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，∴DB=OB2-OD2=22-43 2=253．∵OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，∴CD=DB=253，∴BC=2DB=453．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，2=83．∴AC=AB2-BC2=42-453在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，∴AD=AC2+CD2=83 2+253 2=2213．【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB∼ΔOAE求出OD的长度是解题的关键．13(2022·青海·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：AF⊥EF；(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AF，∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF．(2)解：由(1)得：OD∥AF，∴△ODE∽△AFE，∵AC=2，CF=1，∴AF=3，∵AB=4，∴OD=2，OB=2，∴OE:AE=OD:AF，设BE为x，∴OE=OB+BE=2+x，∴2+x 4+x =23，解得：x=2，即BE的长为2．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．14(2022·广西柳州·中考真题)如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH=42，HB=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)22(3)⊙O的直径为65【解析】(1)证明：连接OF．∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∵EF=FB,∴∠CAF=∠FAB，∴∠CAF=∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF ⊥CD ，∵OF 是半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)∵AB 是直径，∴∠AFB =90°，∵OF ⊥CD ，∴∠OFD =∠AFB =90°，∴∠AFO =∠DFB ，∵∠OAF =∠OFA ，∴∠DFB =∠OAF ，∵GD 平分∠ADF ，∴∠ADG =∠FDG ，∵∠FGH =∠OAF +∠ADG ，∠FHG =∠DFB +∠FDG ，∴∠FGH =∠FHG =45°，∴sin ∠FHG =sin45°=22(3)解：过点H 作HM ⊥DF 于点M ，HN ⊥AD 于点N ．∵HD 平分∠ADF ，∴HM =HN ，S △DHF ∶S △DHB =FH ∶HB =DF ∶DB∵△FGH 是等腰直角三角形，GH =42∴FH =FG =4，∴DFDB=42=2设DB =k ，DF =2k ，∵∠FDB =∠ADF ，∠DFB =∠DAF ，∴△DFB ∽△DAF ，∴DF 2=DB •DA ，∴AD =4k ，∵GD 平分∠ADF∴FG AG =DF AD =12∴AG =8，∵∠AFB =90°，AF =12，FB =6，∴AB =AF 2+BF 2=122+622=65∴⊙O 的直径为65【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．15(2022·广西河池·中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，∠ABE 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 的直线交BA 的延长线于点P ，交BE 的延长线于点D ．且∠PCA =∠CBD ．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为3，BE的长为2【解析】(1)证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠CBD，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠PCA=∠CBD，∴∠PCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是OO的切线；(2)连接AE，设OB=OC=r，∵PC=22OB，∴PC=22r，∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，∵PB=12，∴4r=12，∴r=3，由(1)可知，∠OCB=∠CBD，∴OC=BD，△PCO∽△PDB∴OC BD =OPPB，∠D=∠PCO=90°，∴3 BD =9 12，∴BD=4，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠D=90°，∴AE⎳PD，∴BE BD =BA BP，∴BE4=6 12，∴BE=2．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．16(2022·山东聊城·中考真题)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．【答案】(1)见解析(2)FD的长为8310-83【解析】(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF-OD求出即可．(1)证明：在△AOF和△EOF中，OA=OE∠AOD=∠EOD OF=OF，∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF=∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴AF=FC2-AC2=8，∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线∴∠OEC=∠FAC=∠90°，∵∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC，∴EO AF =CO CF，设⊙O的半径为r，则r8=6-r10，解得r=8 3，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO=8 3，∴OF=AF2+AO2=8310，∴FD=OF-OD=8310-83，即FD的长为8310-83．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．17(2022·湖南湘西·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若CF=2，sin C=35，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)1255【解析】(1)连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC=2∠OAE，∵∠FOE=2∠OAE，∴∠FOE=∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B=90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；方法二：∵AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，∴∠OAE =∠BAE ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∴∠BAE =∠OEA ，∴OE ∥AB ，∵∠B =90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)连接EF ，∵CF =2，sin C =35，∴OE OF +CF=35，∵OE =OF ，∴OE =OF =3，∵OA =OF =3，∴AC =OA +OF +CF =8，∴AB =AC •sin C =8×35=245，∵∠OAE =∠BAE ，∴cos ∠OAE =cos ∠BAE ，即AB AE =AE AF ，∴245AE=AE 3+3，解得AE =1255(舍去负数)，∴AE 的长为1255．【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．18(2022·甘肃兰州·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥OC ，连接AD ，∠ADO =∠BOC ，AC 与OD 相交于点E ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠OAC =12，AD =32，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠ADO=∠BOC，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=32，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=OEOC =12,设OC=OA=R,则OE=12 R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即12R+322=R2+32 2，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去),∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．19(2022·广东广州·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．【答案】(1)作图见解析；(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55【解析】(1)解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；②作直线OE，记OE与AC交点为D；③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；(2)解：记OD与AC的交点为F，如下图所示：∵OD⊥AC，∴F为AC中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=12BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的长就是点O到AC的距离；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=12AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F为AC中点，∴CF=12AC=4，Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=25，则sin∠ACD=DFCD=225=55，∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55．【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．20(2022·山东淄博·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；图1(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH．图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC+∠CBD，∴∠BID=∠DBI，∴BD=DI；(2)证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(3)证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCI =∠IHG =90°，∴∠IHC +∠I =90°=∠IHC +∠GHC ，∴∠I =∠GHC ，∵∠HBG =∠I ，∴∠HBG =∠GHC ，∴△HBG ∽△CHG ，∴HG CG =GB HG，∴GH 2=GC ×GB ，∵AD ∥FG ，∴∠DAF =∠GFC ，∵∠DAF =∠DBC ，∴∠GFC =∠DBC ，∴△GFC ∽△GBF ，∴GF GB =GC GF，∴GF 2=GC ×GB ，∴GF 2=GH 2，∴GF =GH ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。

(完整版)初三圆与相似、三角函数专题总复习

圆与相似、三角函数-、圆中方程问题•1、如图，已知AB是O O的直径，/ ABC=90 , OC与O 0相交于点D,连接AD并延长交BC于点E, BC=3 CD=2(1) 求O O的半径.(2) 取BE的中点F,连接DF,求证：DF是O O的切线.2、如图，已知直线PA交O 0于A、B两点，AE是O 0的直径.点C为O 0上一点，且AC平分/ PAE过C作CD丄PA垂足为Db(1)求证：CD为O 0的切线；⑵若DC+DA=6 O 0的直径为10 ,求AB的长度.弟Z3也阍、圆与相似1 .(桂林2010) 25 .(本题满分10分)如图，O O是厶ABC的外接圆，FH是O O的切线，切点为F , FH // BC,连结AF 交BC于E,/ ABC的平分线BD交AF于D，连结BF .(1)证明：AF平分/ BAC;(2)证明：BF = FD ;(3)若EF = 4, DE = 3,求AD 的长.F E F H2、(2011?菏泽)如图，BD 为O O 的直径，AB=AC , AD 交 BC 于点 E,AE=2 , ED=4 , (1)求证：△ ABE ADB ; (2) 求AB 的长；(3) 延长DB 到F ，使得BF=BO ，连接FA ，试判断直线 FA 与O O 的位置关系，并说明理由.3、( 2011?日照)如图，AB 是O O 的直径, (1) Z AOC=2 / ACD ; (2) AC 2=AB?AD .4、( 2009?广安)已知：如图， AB 是O O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交O O 于E ,连接 DE 、BE , 且/ C= / BED . (1)求证：AC 是O O 的切线; OA=10 , AD=16，求 AC 的长AC 是弦，CD 是O O 的切线，C 为切点，AD 丄CD 于点D .求证:(2 )若C5、( 2008?大庆)如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, BE平分/ ABC交AC于点E,点D在AB边上且DE丄BE .(1 )判断直线AC与厶DBE外接圆的位置关系，并说明理由；( 2)若AD=6 , AE=6 2，求BC的长.D F连结AF交BC于G,连结6、如图，Rt△ ABC中，/ ACB = 90°,以AC为直径作O O交斜边AB于点D, C FCF交AB于E(1) 求证：DF=EF(2) DE = 3 , FD = 5，求O O 的半径.7、( 2010芜湖)如图，BD是O O的直径，OA丄OB , M是劣弧AB上一点，过点M作O O的切线MP交OA 的延长线于P点，MD与OA交于N点.(1)求证：PM=PN ;卄3(2)若BD=4 , PA= AO，过点B作BC // MP交O O于C点，求BC的长.2(1) 求证：直线 PB 是O O 的切线; (2) 求 cos / BCA 的值.9、(2006?齐宁)如图，在 △ ABC 中，/ C=90°以BC 上一点O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点M ，交 BC 于点N . (1) 求证：BA?BM=BC?BN ;(2) 如果 CM 是O O 的切线，N 为OC 的中点，当 AC=3时，求AB 的值.三、圆与三角函数1、( 2007?济宁)如图，AB 为O O 的直径，弦 CD 丄AB 于点M ，过点B 作BE // CD ，交AC 的延长线于点 E , 连接BC . (1)求证：BE 为O O 的切线；(2)如果 CD=6 , tan / BCD= 1，求O O 的直径.28、如图所示，AC 为O O 的直径且PA 丄AC , BC 是O O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ,DB DPDC DO2、如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 于H ，过CD 延长线上一点点为G ,连接AG 交CD 于K . (1) 求证：KE=GE ；(2) 若KG 2=KD?GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；3(3) 在(2)的条件下，若 sinE= ，AK=2 5，求FG 的长.53、如图，在△ ABC , AB=AC ，以AB 为直径的O O 分别交 AC 、BC 于点D 、E ,点F 在AC 的延长线上，且/1CBF= - / CAB .2(1)求证：直线 BF 是O O 的切线；4、( 2009?北京)已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , AE 是角平分线，BM 平分/ ABC 交AE 于点M ，经过 B , M 两点的O O 交BC 于点G ,交AB 于点F , FB 恰为O O 的直径. (1) 求证：AE 与O O 相切；E 作O O 的切线交AB 的延长线于F .切(2)若 AB=5 , sin / CBF=-，求BC 和BF 的长.(2) 当BC=4 , cosC=丄时，求O O的半径.35、( 2012甘肃兰州，26,10分)如图，Rt △ ABC 中，/ ABC=90，以AB 为直径的O O 交AC 于点D, E 是BC 的中点，连结DE OE6、如图，AB 是O O 的直径，BC 丄AB 于点B ,连接OC 交O O 于点E ,弦AD // OC ,弦DF 丄AB 于点G . (1) 求证：点E 是弧BD 的中点； (2) 求证：CD 是O O 的切线；(3) 若sin / BAD= 4 , O O 的半径为5，求DF 的长.57、已知：如图， AB 是O O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交O O 于E ,连接DE 、BE ,且/ C= / BED . (1) 求证：AC 是O O 的切线；⑴判断DE 与O O 的位置关系并说明理由;2 )若 tanC=5—,DE=2，求 AD 的长.(2) 若OA=10, AD=16，求AC 的长.8 如图，Rt△ ABC中，/ ABC=90°，以AB为直径作O O交AC边于点D , E是边BC的中点，连接DE. (1求证：直线DE是O O的切线；(2)连接OC交DE于点F,若OF=CF，求tan/ACO的值.9、如图，AB是O O的直径，CD是O O的切线，切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC，作/ DAC= / ACD , 作AF丄ED于点F,交O O于点G .(1求证：AD是O O的切线；(2)如果O O的半径是6cm, EC=8cm，求GF的长.E CF D10、已知，如图：在Rt△ ABC中，/ C=90° ,以BC为直径作O O交AB于D，取AC中点E,连结OE, ED的延长线与CB的延长线交于F .(1求证：DE是O O的切线;(2)如果O O的半径为3cm, ED=4cm，求sin / F的值.11、如图，AB为O O的直径，弦CD丄AB于点M，过点B作BE // CD，交AC的延长线于点E,连接BC .(1)求证：BE为O O的切线；丄屮1(2)如果CD=6 , tan/ BCD=，求O O 的直径.2。

九年级数学培优练习圆相似三角形三角函数压轴题

九年级寒假解题能力训练题（2）——圆、相似三角形、三角函数相结合的几何压轴题1.如图，在Rt ∆ABC 中，以AB 为直径作☉O 交AC 于点D，，过D 作AE 的垂线，F 为垂足。

（1）求证：DF 为☉O 的切线；（2）若DF=3,☉O 的半径为5，求tan∠BAC 的值。

2.如图，AB 是☉O 的直径，BC⊥AB 于点B，连接OC 交☉O 于点E，弦AD ∥OC，弦DF⊥AB 于点G，（1）求证：CD 是☉O 的切线；（2）若53ABAD ，☉O的半径为5，求DF 的长. 3.如图，AB 是☉O 的直径，CA、CD 分别切☉O 于A、D，CO 的延长线交☉O 于M，连BD、DM.（1）求证：BD ∥CM；（2）若sin∠MCD=53，求cos∠BDM 的值4.如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D，BA 的延长线交⊙A 于点E，连接CE，CD，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．（1）求证：∠BCD=∠BEC；（2）若BC=2，BD=1，求CE 的长及sin∠ABF 的值．5.(2019苏州）如图，AB 为圆的直径，D 是弧BC 的中点，BC 与AD、OD 分别交于点E、F.（1）求证：DO ∥AC；（2）求证：2DC DA DE =⋅；（3）若tan∠CAD=21，求sin∠CDA 的值6.如图，在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，O 为AB 上一点，经过点A、D 的☉O 分别交AB、AC 于点E、F，连接OF 交AD 于点G。

（1）求证：BC 是☉O 的切线；（2）设AB=x，AF=y，试用含x、y 的代数式表示线段AD 的长；（3）若BE=8，sinB=135,求DG 的长。

圆与三角函数及相似三角形综合训练题

圆与三角函数及相似三角形综合训练题1.如图，R t△ABC中，∠ACB=90 ，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心作⊙O分别与AC、BC相切于D、E。

⑴求⊙O的半径。

⑵求sin∠BOC的值。

2.如图，如图，R t△ABC中，已知∠ACB=90 ，BC=6，AB=10，以BC为直径作⊙O交AB于D,AC、DO的延长线交于E,点M为线段AC上一点，且CM=4.⑴求证：直线DM是⊙O的切线。

⑵求tan∠E的值。

3．﹙河南中考题﹚已知，如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E,且EM ﹥MC.连结DE ，DE=15.⑴求EM 的长；⑵求sin ∠EOB 的值。

4.﹙河南中考题﹚已知：如图，点DC 是以AB 为直径的半圆上的两点，O 为圆心，DB 与AC 相交于点E,OC ∥AD,AB=5，cos ∠CAB=54.求CE 和DE 的长。

5. ﹙河南中考题﹚已知：如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D,DP ⊥PB,垂足为P,PB与⊙O交于点C,PD=8. ⑴求BC的长；⑵连结DC,求tan∠PCD的值；⑶以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式。

6. ﹙北京中考题﹚已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F，交AE于点M,且∠B=∠CAE, FE:FD=4:3.⑴求证：AF=DF；⑵求∠AED的余弦值；⑶如果BD=10，求△ABC的面积。

7. ﹙北京海淀区中考题﹚已知：以R t△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点，连结DE. ⑴如图，求证：DE是⊙O的切线；⑵连结OE、AE.当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值。

8．﹙天津中考题﹚如图，R t△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长。

(完整)人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习(含答案),推荐文档.docx

人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）圆与三角函数1．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， OF⊥BC 于点 F，交⊙ O 于点 E，AE 与 BC交于点 H，点 D 为 OE的延长线上一点，且∠ ODB=∠AEC．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（）求证：22CE=EH?EA；（3）若⊙ O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长．2．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上任一点（不与 A，B 重合），AB⊥CD于 E，BF为⊙O 的切线， OF∥AC，连结 AF， FC，AF 与 CD交于点 G，与⊙ O 交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O 的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos∠ AOC= ，⊙ O 的半径为 r，求 CH的长．3．已知⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC的外接圆， OD∥BC 交⊙ O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、 BD，BD 交 AC于点 F．（1）求证： BD 平分∠ ABC；（2）延长 AC到点 P，使 PF=PB，求证： PB是⊙ O 的切线；（3）如果 AB=10， cos∠ ABC= ，求 AD．4．如图，在矩形ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ ACB=∠ DCE．（1）判断直线 CE与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tan∠ ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．5．如图， AB是⊙ O 的直径， D、 E为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接B D 并延长至点 C，使得CD=BD，连接 AC交⊙ O 于点 F，连接 AE、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°，求∠ BDF的度数；（3）设 DE交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ，E 是的中点，求EG?ED的值．6． AB，CD是⊙ O 的两条弦，直线 AB，CD互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD于点 G．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 外时，连接 BC，求证： BE平分∠ GBC；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AC，AG，求证： AC=AG；（3）如图 3，在（ 2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分∠ ABF，AG=4， tan ∠D= ，求线段 AH 的长．7．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， BP是⊙ O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在 CD的延长线上， EP=EG，（1）求证：直线 EP为⊙ O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC上运动，其他条件不变，若BG2 =BF?BO．试证明 BG=PG；（3）在满足（ 2）的条件下，已知⊙ O 的半径为 3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AO 是△ ABC的角平分线．以 O 为圆心， OC为半径作⊙O．（1）求证： AB 是⊙ O 的切线．（2）已知 AO 交⊙ O 于点 E，延长 AO 交⊙ O 于点 D，tanD=，求的值．（3）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长．9．如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，对角线 AC 为⊙ O 的直径，过点 C 作 AC的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF．（1）求∠ CDE的度数；（2）求证： DF 是⊙ O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan∠ABD 的值．10．如图，已知在△ ABP 中， C 是 BP 边上一点，∠ PAC=∠PBA，⊙ O 是△ ABC的外接圆，AD 是⊙ O 的直径，且交 BP于点 E．（1）求证： PA是⊙ O 的切线；（2）过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF交 AB 于点 G，若 AG?AB=12，求 AC的长；（3）在满足（ 2）的条件下，若 AF：FD=1：2，GF=1，求⊙ O 的半径及 sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙ O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB交⊙ O 于点E．（1）图 1 的 A、B、C、D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图 2，过点 E 作⊙ O 的切线，交 AC的延长线于点 F．①若 CF=CD时，求 sin∠CAB的值；②若 CF=aCD（a＞0）时，试猜想 sin∠ CAB的值．（用含 a 的代数式表示，直接写出结果）12．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，以 BC为直径的⊙ O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC的中点，连接 MH．（1）求证： MH 为⊙ O 的切线．（2）若 MH=，tan∠ ABC=，求⊙ O的半径．（3）在（ 2）的条件下分别过点 A、 B 作⊙ O 的切线，两切线交于点 D，AD 与⊙ O 相切于 N 点，过 N 点作 NQ⊥BC，垂足为 E，且交⊙ O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度．13．如图，⊙ O 的半径 r=25，四边形 ABCD内接于圆⊙ O，AC⊥ BD 于点 H，P 为 CA延长线上的一点，且∠ PDA=∠ ABD．（1）试判断 PD 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；（2）若 tan∠ ADB= ，PA=AH，求 BD的长；（3）在（ 2）的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图， PA为⊙ O 的切线， A 为切点，直线 PO 交⊙ O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交⊙ O 与点 B，延长 BO 与⊙ O 交与点 C，连接 AC，BF．（1）求证： PB与⊙ O 相切；（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ ACB的值．15．如图，在⊙ O 中，弦 AB 与弦 CD相交于点 G， OA⊥ CD于点 E，过点 B 的直线与 CD的延长线交于点 F，AC∥BF．（1）若∠ FGB=∠ FBG，求证： BF 是⊙ O 的切线；（2）若 tan∠ F= ，CD=a，请用 a 表示⊙ O 的半径；（3）求证： GF2﹣GB2=DF?GF．16．如图，在⊙ O 中，直径 AB⊥CD，垂足为 E，点 M 在 OC上， AM 的延长线交⊙ O 于点 G，交过 C 的直线于 F，∠ 1=∠2，连结 CB与 DG 交于点 N．（1）求证： CF是⊙ O 的切线；（2）求证：△ ACM∽△ DCN；（3）若点 M 是 CO的中点，⊙ O 的半径为 4，cos∠BOC= ，求 BN 的长．17．如图所示，在 Rt△ABC与 Rt△OCD中，∠ ACB=∠DCO=90°，O 为 AB 的中点．（1）求证：∠ B=∠ACD．2．（2）已知点 E 在 AB 上，且 BC=AB?BE（i）若 tan∠ACD= ， BC=10，求 CE的长；（i i ）试判定 CD与以 A 为圆心、 AE 为半径的⊙ A 的位置关系，并请说明理由．18．如图， AB 为⊙ O 的直径，直线 CD 切⊙ O 于点 M，BE⊥ CD于点 E．（1）求证：∠ BME=∠ MAB；（2）求证： BM2=BE?AB；（3）若 BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 M 是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙ O 的半径 r 的长度；（2）求 sin∠CMD；（3）直线 BM 交直线 CD于点 E，直线 MH 交⊙ O 于点 N，连接 BN 交 CE于点 F，求 HE?HF 的值．20．已知 AB、CD 是⊙ O 的两条弦，直线 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，连接 AC，过点 B 作BF⊥AC，垂足为 F，直线 BF交直线 CD于点 M ．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AD，AM， BD，求证： AD=AM；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 外时，连接 AD，AM，求证： AD=AM；（3）如图 3，当点 E 在⊙ O 外时，∠ABF的平分线与 AC交于点 H，若 tan ∠C= ，求 tan∠ABH 的值．2018 年 01 月 10 日金博初数 2 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25 小题）1．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， OF⊥BC 于点 F，交⊙ O 于点 E，AE 与 BC交于点 H，点 D 为 OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（）求证：22CE=EH?EA；（3）若⊙ O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长．【分析】（ 1）由圆周角定理和已知条件证出∠ ODB=∠ ABC，再证出∠ ABC+∠ DBF=90°，即∠ OBD=90°，即可得出 BD 是⊙ O 的切线；（2）连接 AC，由垂径定理得出，得出∠ CAE=∠ECB，再由公共角∠ CEA=∠HEC，证明△CEH∽△ AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接 BE，由圆周角定理得出∠ AEB=90°，由三角函数求出 BE，再根据勾股定理求出 EA，得出 BE=CE=6，由（ 2）的结论求出 EH，然后根据勾股定理求出 BH 即可．【解答】（ 1）证明：∵∠ ODB=∠AEC，∠ AEC=∠ABC，∴∠ ODB=∠ ABC，∵OF⊥ BC，∴∠ BFD=90°，∴∠ ODB+∠ DBF=90°，∴∠ ABC+∠DBF=90°，即∠ OBD=90°，∴BD⊥ OB，∴BD 是⊙ O 的切线；（2）证明：连接 AC，如图 1 所示：∵OF⊥ BC，∴，∴∠ CAE=∠ECB，∵∠ CEA=∠HEC，∴△ CEH∽△ AEC，∴，∴2CE =EH?EA；（3）解：连接 BE，如图 2 所示：∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AEB=90°，∵⊙ O 的半径为 5，sin∠BAE= ，∴AB=10， BE=AB?sin∠ BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵2CE =EH?EA，∴EH= =，在 Rt△ BEH中， BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（ 2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上任一点（不与 A，B 重合），AB⊥CD于 E，BF为⊙O 的切线， OF∥AC，连结 AF， FC，AF 与 CD交于点 G，与⊙ O 交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O 的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos∠ AOC= ，⊙ O 的半径为 r，求 CH的长．【分析】（ 1）首先根据 OF∥AC， OA=OC，判断出∠ BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ BOF≌△ COF，推得∠ OCF=∠OBF=90°，再根据点 C 在⊙ O 上，即可判断出 FC 是⊙ O 的切线．（2）延长 AC、 BF交点为 M ．由△ BOF≌△ COF可知： BF=CF然后再证明： FM=CF，从而得到BF=MF，因为 DC∥BM，所以△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为 cos∠AOC= ，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以 EG=．由（2）可知△ AEG∽△ ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ ABF中，由勾股定理可求得 AF=3r．然后再证明△ CFH∽△ AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（ 1）证明：∵ OF∥ AC，∴∠ BOF=∠OAC，∠ COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠ OAC=∠ OCA，∴∠ BOF=∠COF，在△ BOF和△ COF中，，∴△ BOF≌△ COF，∴∠ OCF=∠OBF=90°，又∵点 C 在⊙ O 上，∴FC是⊙ O 的切线．（2）如下图：延长 AC、BF 交点为 M．由（ 1）可知：△ BOF≌△ COF，∴∠ OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥ OF，∴∠ M=∠OFB，∠ MCF=∠ CFO．∴∠ M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥ BM，∴△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM．∴，．∴又∵ BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵c os∠AOC= ，∴OE= ，AE= ．在 Rt△ EOC中， EC==．在 Rt△ AEC中， AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△ AEG∽△ ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在 Rt△ ABF中， AF===3r．∵CF是⊙ O 的切线， AC为弦，∴∠ HCF=∠HAC．又∵∠ CFH=∠ AFC，∴△ CFH∽△ AFC．∴，即：．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3 ．已知：⊙ O上两个定点A ， B和两个动点 C ， D ， AC 与BD 交于点E．（1）如图 1，求证： EA?EC=EB?ED；（2）如图 2，若=，AD是⊙ O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；（3）如图 3，若 AC⊥BD，点 O 到 AD 的距离为 2，求 BC的长．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图 2，连接 CD，OB 交 AC 于点 F 由 B 是弧 AC 的中点得到∠ BAC=∠ADB=∠ ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△ CBF∽△ ABD．即可得到结论；（3）如图 3，连接 AO 并延长交⊙ O 于 F，连接 DF 得到 AF 为⊙ O 的直径于是得到∠ ADF=90°，过 O 作 OH⊥AD 于 H，根据三角形的中位线定理得到 DF=2OH=4，通过△ ABE∽△ ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（ 1）证明：∵∠ EAD=∠EBC，∠ BCE=∠ADE，∴△ AED∽△ BEC，∴，∴EA?EC=EB?ED；（2）证明：如图 2，连接 CD， OB 交 AC于点 F∵B 是弧 AC 的中点，∴∠ BAC=∠ADB=∠ ACB，且 AF=CF=0.5AC．又∵ AD 为⊙ O 直径，∴∠ ABD=90°，又∠ CFB=90°．∴△ CBF∽△ DAB．∴，故 CF?AD=BD?BC．∴AC?AD=2BD?BC；（3）解：如图 3，连接 AO 并延长交⊙ O 于 F，连接 DF，∴AF 为⊙ O 的直径，∴∠ ADF=90°，过O 作 OH⊥AD 于 H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥ BD，∴∠ AEB=∠ADF=90°，∵∠ ABD=∠ F，∴△ ABE∽△ ADF，∴∠ 1=∠2，∴，∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC的外接圆， OD∥BC 交⊙ O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、 BD，BD 交 AC于点 F．（1）求证： BD 平分∠ ABC；（2）延长 AC到点 P，使 PF=PB，求证： PB是⊙ O 的切线；（3）如果 AB=10， cos∠ ABC= ，求 AD．【分析】（1）先由 OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠ D=∠CBD，由 OB=OD，根据等边对等角得出∠ D=∠ OBD，等量代换得到∠ CBD=∠ OBD，即 BD 平分∠ ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ CFB+∠CBF=90°．再由 PF=PB，根据等边对等角得出∠ PBF=∠CFB，而由（ 1）知∠ OBD=∠ CBF，等量代换得到∠PBF+∠ OBD=90°，即∠ OBP=90°，根据切线的判定定理得出 PB是⊙ O 的切线；（ 3）连结AD．在 Rt△ ABC 中，由cos∠ABC= = =，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由 OD∥ BC，得出△ AOE∽△ ABC，∠ AED=∠OEC=180°﹣∠ ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么 DE=OD﹣ OE=2，然后在 Rt△ ADE中根据勾股定理求出 AD==2．【解答】（ 1）证明：∵ OD∥ BC，∴∠ D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠ D=∠OBD，∴∠ CBD=∠OBD，∴BD 平分∠ ABC；（2）证明：∵⊙ O 是以 AB为直径的△ ABC的外接圆，∴∠ ACB=90°，∴∠ CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠ PBF=∠CFB，由（ 1）知∠ OBD=∠CBF，∴∠ PBF+∠OBD=90°，∴∠ OBP=90°，∴PB 是⊙ O 的切线；（3）解：连结 AD．∵在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AB=10，∴c os∠ABC= = = ，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△ AOE∽△ ABC，∠ AED=∠OEC=180°﹣∠ ACB=90°，∴= =，= =，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（ 2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图 1，△ ABC 内接于⊙ O，∠ BAC 的平分线交⊙ O 于点 D，交 BC 于点 E（BE＞ EC），且BD=2 ．过点 D 作 DF∥BC，交 AB 的延长线于点 F．（1）求证： DF 为⊙ O 的切线；（2）若∠ BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【分析】（1）连结 OD，如图 1，由角平分线定义得∠ BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥ BC，由于BC∥EF，则 OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙ O 的切线；（2）连结 OB， OD 交 BC于 P，作 BH⊥DF 于 H，如图 1，先证明△ OBD为等边三角形得到∠ODB=60°， OB=BD=2，易得∠ BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到 PD= BD=，PB= PD=3，接着在 Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于 OP⊥BC，则 BP=CP=3，所以 CE=1，然后利用△ BDE∽△ ACE，通过相似比可得到 AE=，再证明△ ABE∽△ AFD，利用相似比可得 DF=12，最后根据扇形面积公式，利用 S 阴影部分△ BDF=S﹣S 弓形BD=S△BDF﹣（ S 扇形BOD﹣ S△BOD）进行计算；（3）连结 CD，如图 2，由= 可设 AB=4x，AC=3x，设 BF=y，由 = 得到 CD=BD=2，先证明△ BFD∽△ CDA，利用相似比得到 xy=4，再证明△ FDB∽△ FAD，利用相似比得到 16﹣4y=xy，则 16﹣4y=4，然后解方程易得 BF=3．【解答】证明：（1）连结 OD，如图 1，∵AD 平分∠ BAC交⊙ O 于 D，∴∠ BAD=∠ CAD，∴= ，∴OD⊥BC，∵BC∥ EF，∴OD⊥DF，∴DF 为⊙ O 的切线；（2）连结 OB，连结 OD 交 BC于 P，作 BH⊥DF 于 H，如图 1，∵∠ BAC=60°，AD 平分∠ BAC，∴∠ BAD=30°，∴∠ BOD=2∠BAD=60°，∴△ OBD 为等边三角形，∴∠ ODB=60°，OB=BD=2，∴∠ BDF=30°，∵BC∥ DF，∴∠ DBP=30°，在Rt△ DBP中， PD= BD= ，PB= PD=3，在Rt△ DEP中，∵ PD= ，DE= ，∴PE==2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△ BDE∽△ ACE，∴AE： BE=CE：DE，即 AE：5=1：，∴AE=∵BE∥ DF，∴△ ABE∽△ AFD，∴=，即=，解得DF=12，在Rt△ BDH中， BH= BD= ，∴S 阴影部分 =S△BDF﹣S 弓形BD=S△BDF﹣（ S 扇形BOD﹣S△BOD）= ?12? ﹣+ ?（2）2=9 ﹣2π；（3）连结 CD，如图 2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵= ，∴CD=BD=2，∵∠ F=∠ABC=∠ADC，∵∠ FDB=∠DBC=∠ DAC，∴△ BFD∽△ CDA，∴=，即=，∴x y=4，∵∠ FDB=∠DBC=∠ DAC=∠ FAD，而∠ DFB=∠AFD，∴△ FDB∽△ FAD，∴=，即=，整理得 16﹣ 4y=xy，∴16﹣ 4y=4，解得 y=3，即 BF的长为 3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形 ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ ACB=∠ DCE．（1）判断直线 CE与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tan∠ ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．【分析】（ 1）连接 OE．欲证直线 CE与⊙ O 相切，只需证明∠ CEO=90°，即 OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC 中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC= ，同理知 DE=1；方法一、在 Rt△COE中，利用勾股定理可以求得222，即2CO=OE+CE=r +3，从而易得r 的；方法二、点 O 作 OM⊥AE 于点 M ，在 Rt△AMO 中，根据三角函数的定可以求得r 的．【解答】解：（1）直 CE与⊙ O 相切．⋯（ 1 分）理由如下：∵四形 ABCD是矩形，∴BC∥ AD，∠ ACB=∠DAC；又∵∠ ACB=∠ DCE，∴∠ DAC=∠DCE；接 OE，∠ DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠ DCE+∠DEC=90°∴∠ AE0+∠DEC=90°∴∠ OEC=90°，即 OE⊥ CE．又 OE是⊙ O 的半径，∴直 CE与⊙ O 相切．⋯（ 5 分）（2）∵ tan∠ACB= =，BC=2，∴AB=BC?tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ ACB=∠ DCE，∴t an ∠DCE=tan∠ACB= ，∴D E=DC?tan∠DCE=1；方法一：在 Rt△CDE中， CE==，222，即2接 OE，⊙ O 的半径 r，在 Rt△COE中， CO =OE+CE=r +3解得： r=方法二： AE=AD DE=1，点 O 作 OM⊥AE 于点 M ， AM= AE=在 Rt△ AMO 中， OA==÷=⋯（9分）【点】本考了的合：的切垂直于切点的半径；利用勾股定理算段的．7．如，在 Rt△ ABC中，∠ ABC=90°，AC 的垂直平分分与 AC，BC 及 AB 的延相于点 D， E，F，且 BF=BC，⊙ O 是△ BEF的外接，∠ EBF的平分交 EF于点 G，交⊙ O 于点H，接 BD， FH．（1）求：△ ABC≌△ EBF；（2）判断 BD 与⊙ O 的位置关系，并明理由；（3）若 AB=1，求 HG?HB的．【分析】（ 1）由垂直的定义可得∠ EBF=∠ ADF=90°，于是得到∠ C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD 与⊙ O 相切，如图 1，连接 OB 证得∠ DBO=90°，即可得到 BD 与⊙ O 相切；（3）如图 2，连接 CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF= BF，由于 DF垂直平分 AC，得到 AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，求得 BF=，有勾股定理解出EF=，推出△ EHF 是等腰直角三角形，求得HF= EF=，通过△ BHF∽△ FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（ 1）证明：∵∠ ABC=90°，∴∠ EBF=90°，∵DF⊥ AC，∴∠ ADF=90°，∴∠ C+∠A=∠ A+∠AFD=90°，∴∠ C=∠BFE，在△ ABC与△ EBF中，，∴△ ABC≌△ EBF；（2）BD 与⊙ O 相切，如图 1，连接 OB证明如下：∵ OB=OF，∴∠ OBF=∠OFB，∵∠ ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠ C=∠DBC，∵∠ C=∠BFE，∴∠ DBC=∠OBF，∵∠ CBO+∠ OBF=90°，∴∠ DBC+∠CBO=90°，∴∠ DBO=90°，∴BD 与⊙ O 相切；（3）解：如图 2，连接 CF，HE，∵∠ CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF 垂直平分 AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ ABC≌△ EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH 平分∠ CBF，∴，∴EH=FH，∴△ EHF是等腰直角三角形，∴HF= EF=，∵∠ EFH=∠HBF=45°，∠ BHF=∠ BHF，∴△ BHF∽△ FHG，∴，∴HG?HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图， AB是⊙ O 的直径， D、 E为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接B D 并延长至点 C，使得CD=BD，连接 AC交⊙ O 于点 F，连接 AE、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°，求∠ BDF的度数；（3）设 DE交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ，E 是的中点，求EG?ED的值．【分析】（ 1）直接利用圆周角定理得出 AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出 AB=AC，即可得出∠ E=∠ C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠ AFD=180°﹣∠ E，进而得出∠ BDF=∠ C+∠ CFD，即可得出答案；（3）根据 cosB= ，得出 AB 的长，即可求出 AE 的长，再判断△ AEG∽△ DEA，求出 EG?ED 的值．【解答】（ 1）证明：连接 AD，∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD⊥ BC，∵CD=BD，∴AD 垂直平分 BC，∴AB=AC，∴∠ B=∠C，又∵∠ B=∠E，∴∠ E=∠C；（2）解：∵四边形 AEDF是⊙ O 的内接四边形，∴∠ AFD=180°﹣∠ E，又∵∠ CFD=180°﹣∠ AFD，∴∠ CFD=∠E=55°，又∵∠ E=∠C=55°，∴∠ BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接 OE，∵∠ CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ ABD中， cosB= ，BD=4，∴AB=6，∵E 是的中点，AB是⊙ O的直径，∴∠ AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E 是的中点，∴∠ ADE=∠EAB，∴△ AEG∽△ DEA，∴=，即 EG?ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出 AE， AB 的长是解题关键．9． AB，CD是⊙ O 的两条弦，直线 AB，CD互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD于点 G．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 外时，连接 BC，求证： BE平分∠ GBC；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AC，AG，求证： AC=AG；（3）如图 3，在（ 2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分∠ ABF，AG=4， tan ∠D= ，求线段 AH 的长．【分析】（ 1）利用圆内接四边形的性质得出∠ D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠ GBE=∠EBC，进而求出即可；（ 2）首先得出∠ D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△ BGE（ASA），则 CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出 CO的长，再求出tan∠ ABH= = =，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（ 1）证明：如图 1，∵四边形 ABCD内接于⊙ O，∴∠ D+∠ABC=180°，∵∠ ABC+∠EBC=180°，∴∠ D=∠EBC，∵GF⊥ AD， AE⊥DG，∴∠ A+∠ABF=90°，∠ A+∠D=90°，∴∠ ABF=∠D，∵∠ ABF=∠GBE，∴∠ GBE=∠EBC，即BE平分∠ GBC；（2）证明：如图 2，连接 CB，∵AB⊥ CD， BF⊥AD，∴∠ D+∠BAD=90°，∠ ABG+∠ BAD=90°，∴∠ D=∠ABG，∵∠ D=∠ABC，∴∠ ABC=∠ABG，∵AB⊥ CD，∴∠ CEB=∠GEB=90°，在△ BCE和△ BGE中，∴△ BCE≌△ BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥ CG，∴AC=AG；（3）解：如图 3，连接 CO并延长交⊙ O 于 M，连接 AM，∵CM 是⊙ O 的直径，∴∠ MAC=90°，∵∠ M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴= ，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO= ，过点 H 作 HN⊥AB，垂足为点 N，∵t anD= ， AE⊥DE，∴t an ∠BAD= ，∴= ，设NH=3a，则 AN=4a，∴AH==5a，∵HB 平分∠ ABF，NH⊥AB，HF⊥ BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠ BAF= = = ，∴AB==10a，∴NB=6a，∴t an ∠ABH= = = ，过点 O 作 OP⊥AB 垂足为点 P，∴PB= AB=5a， tan∠ABH= =，∴OP= a，∵OB=OC= ， OP2+PB2=OB2，∴25a2+ a2=，∴解得： a=，∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出 tan∠ ABH= = 是解题关键．10．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， BP 是⊙ O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在CD 的延长线上， EP=EG，（1）求证：直线 EP为⊙ O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC上运动，其他条件不变，若BG2 =BF?BO．试证明 BG=PG；（3）在满足（ 2）的条件下，已知⊙ O 的半径为 3，sinB=．求弦CD的长．【分析】（ 1）连结 OP，先由 EP=EG，证出∠ EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠ EPG+∠OPB=90°来求证．（2）连结 OG，由 BG2=BF?BO，得出△ BFG∽△ BGO，得出∠ BGO=∠ BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结 AC、 BC、OG，由 sinB=，求出OG，由（2）得出∠ B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以 2 得出 CD长度．【解答】（ 1）证明：连结 OP，∵EP=EG，∴∠ EPG=∠EGP，又∵∠ EGP=∠ BGF，∴∠ EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠ OPB=∠OBP，∵CD⊥ AB，∴∠ BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠ EPG+∠OPB=90°，∴直线 EP为⊙ O 的切线；（2）证明：如图，连结OG， OP，∵BG2=BF?BO，∴= ，∴△ BFG∽△ BGO，∴∠ BGO=∠ BFG=90°，由垂径定理知： BG=PG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵s inB= ，∴= ，∵OB=r=3，∴OG=，由（ 2）得∠ EPG+∠OPB=90°，∠B+∠ BGF=∠ OGF+∠BGF=90°，∴∠ B=∠OGF，∴s in∠ OGF= =∴OF=1，∴BF=BO﹣ OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△ BCA中，2，CF=BF?FA∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AO 是△ ABC的角平分线．以 O 为圆心， OC为半径作⊙O．（1）求证： AB 是⊙ O 的切线．（2）已知 AO 交⊙ O 于点 E，延长 AO 交⊙ O 于点 D，tanD=，求的值．（3）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长．【分析】（ 1）由于题目没有说明直线 AB 与⊙ O 有交点，所以过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，然后证明 OC=OF即可；（2）连接 CE，先求证∠ ACE=∠ODC，然后可知△ ACE∽△ ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2，所以可求出AE 和AC的长度，由（）可知，△∽△，=AE?AD1OFB ABC 所以，然后利用勾股定理即可求得AB 的长度．【解答】（ 1）如图，过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，∵AO 平分∠ CAB，OC⊥ AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB 是⊙ O 的切线；（2）如图，连接 CE，∵ED 是⊙ O 的直径，∴∠ ECD=90°，∴∠ ECO+∠OCD=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ACE+∠ECO=90°，∴∠ ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠ OCD=∠ ODC，∴∠ ACE=∠ODC，∵∠ CAE=∠CAE，∴△ ACE∽△ ADC，∴，∵t an ∠D= ，∴ = ，∴ = ；（3）由（ 2）可知：=，∴设 AE=x， AC=2x，∵△ ACE∽△ ADC，∴，∴AC2=AE?AD，∴（ 2x）2=x（ x+6），解得： x=2 或 x=0（不合题意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（ 1）可知： AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠ B=∠B，∴△ OFB∽△ ACB，∴= ，设BF=a，∴BC= ，∴BO=BC﹣ OC=﹣3，在Rt△ BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得： a=或a=0（不合题意，舍去），∴AB=AF+BF=．【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ ACE∽△ ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．12．如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，对角线 AC为⊙ O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF．（1）求∠ CDE的度数；（2）求证： DF 是⊙ O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan∠ABD 的值．【分析】（ 1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（ 2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ ODF=∠ ODC+∠FDC=∠OCD+ ∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出 AD，DC 的长，再利用圆周角定理得出 tan∠ABD 的值．【解答】（ 1）解：∵对角线AC 为⊙ O 的直径，∴∠ ADC=90°，∴∠ EDC=90°；（2）证明：连接 DO，∵∠ EDC=90°，F 是 EC的中点，∴DF=FC，∴∠ FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠ OCD=∠ ODC，∵∠ OCF=90°，∴∠ ODF=∠ ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF 是⊙ O 的切线；（3）解：方法一：设DE=1，则 AC=2，由AC2=AD× AE∴20=AD（ AD+1）∴AD=4 或﹣ 5（舍去）∵DC2=AC2﹣ AD2∴DC=2，∴t an ∠ABD=tan∠ACD= =2；方法二：如图所示：可得∠ ABD=∠ ACD，∵∠ E+∠DCE=90°，∠ DCA+∠DCE=90°，∴∠ DCA=∠ E，又∵∠ ADC=∠CDE=90°，∴△ CDE∽△ ADC，∴= ，∴DC2=AD?DE∵AC=2DE，∴设 DE=x，则 AC=2x，则AC2﹣AD2=AD?DE，期（ 2 x）2﹣AD2=AD?x，整理得： AD2+AD?x﹣ 20x2=0，解得： AD=4x或﹣ 5x（负数舍去），则 DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD= = =2．【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出 AD，DC的长是解题关键．。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC ＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S △OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y ＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3(2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。

完整word版,三角函数与圆的专题训练题

※三角函数与圆的专题训练题A 基础训练1．如图，已知⊙O 的半径为1，AB 与⊙O 相切于点A ，OB 与⊙O 交于点C ，CD ⊥OA ，垂足为D ，则tan ∠COD 的值等于线段（）的长.A ．ODB ．OAC ．CD D ．AB2．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、BC 的中点，则sin ∠ABC 的值等于线段（）的长.A ．ACB ．EFC ．DFD ．AB3．如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，点P 在弧AD 上，若AB :AD =1:2，则sin ∠BPC =（）A ．21B ．2C ．45D ．5524．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于P 点，∠BPC =α，则CD :AB 等于（）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．其他答案5．如图，⊙O 的直径AB =21，AB 平分弦CD 交CD 于E ，DF ⊥CD 交CA 的延长线于F ，则sin ∠C ·sin ∠ADC 的值为线段（）的长.A ．DFB ．AEC ．CED ．AC6．如图，⊙O 的直径AB =1，C 为弧AB 的中点，E 为OB 上一点，CE 的延长线交⊙O 于D ，则sin ∠AEC 的值为（）的长．A ．AB B ．AEC ．CD D ．CE7．如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，P A =4，OA =3，则sin ∠AOP 的值为（）A ．43B ．53C ．54D ．34 8．P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∠APB =60°，P A =10，则⊙O 半径长为（）A ．3310 B ．5 C ．310 D ．35 B 综合运用9．如图，P A 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交P A 、PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（）A ．13125B ．512C ．1353D ．133210．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，P AB 是经过圆心O 的割线．⑴求证：∠PTA =∠BTO ；⑵若PT =4，P A =2，则sin B 的值．11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 平分∠CAB ，BM 平分∠ABC 交AE 于M 点，O 为AB上一点，⊙O 过B 、M 点交BA 于F 点．⑴求证：AE 与⊙O 相切；⑵若BC =4，tan ∠EMB=，求S △ABC ．12．已知：P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点．⑴如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ；⑵如图2，若sin ∠P =1312，求tan ∠C 的值．C 拓广探索13．已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点，连接AC ，BD 交于点P ．⑴如图1，当OA =OB ，且D 为OA 中点时，求PC AP 的值； ⑵如图2，当OA =OB ，且AO AD =41时，求tan ∠BPC 的值； ⑶当AD :AO :OB =1:n :n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．第二十八章单元检测题一、选择题（3分×10=30分）1.在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（）A.都扩大3倍B. 都缩小3倍C. 都不变D.有的扩大，有的缩小2.Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ，则sin A 的值是（）2A.45B. 35C. 43D. 34 3.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin a 的值是（） A. 35 B. 43 C. 34 D. 454.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，若AC =AB =tan ∠BCD 的值为（）A. B. 2 C. 3 D. 35.如图，已知某斜坡的坡度为1:AB 与水平宽度的比），则斜坡的坡度α是( )A.30°B.45°C.60°D.75°6.一艘海轮位于灯塔的南偏东25°方向，那么灯塔位于这艘海轮的（）A.南偏西65°方向B. 南偏西25°方向C. 北偏西65°方向D. 北偏西25°方向7.已知△ABC 中，|2cos 1|1)0A B -+-=，则△ABC 的形状是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.如图是一块平行四边形的草地ABCD ，已知：AB =8m ，AD =12m ，∠A =120°，则草地ABCD的面积为（）A.482cmB.962cmC. 2D.29.等腰三角形边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为（） A. 125 B. 512 C. 1213 D. 13510.小强和小明去测量一座古塔的高度，如图所示，他们在离古塔60米的A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD =1.5米，则古塔BE 的高为（） A.1.5)米 B. 1.5)米 C.31.5米 D.28.5米二、填空题（3分×6=18分）11.计算：sin60°= .12.已知3tanA，则锐角∠A的度数为.13.如图，☉0是△ABC的外接圆，AD是☉0的直径，；连接CD，半径3r=，AC=2，则cos B2的值是.14.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin∠CAB= .15.已知在△ABC中，设sin A=m，当∠A是△ABC的最小内角时，则m的取值范围是.16.如图，E为正方形ABCD的边CD的中点，经过A、B、E三点的的☉O与边BC交于点F,P为弧AB上任意一点，若正方形ABCD的边长为4，则sin∠P的值为______三、解答题（共8小题，共72分）π-°-tan45°+2cos60°17.（本题8(3)18.（本题8分）如图，已知圆锥横截面为△ABC，地面圆的周长等于高AO的2π倍，求∠BAC的度数.19.（本题8分）已知△ABC中，∠C=90°，c=A=60°，求∠B、a、b.20.(本题8分)如同他，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高底为5m，求大树的高度.(结果保留根号)21（本题8分）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向上，测绘员沿主输气管道步行2000m到达C处，测得小区M处位于C的北偏西60°方向上，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到小区铺设的管道最短，并求AN的长.22.（本题8分）如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区.取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？23.（本题10分）在e O中，AB为直径，PC为弦，且P A=PC.（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，DE切☉O于点C，若DE∥AB，求tan∠A的值.24.（本题12分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点落在BC边的点F处，AE为折痕，点E在CD上.（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）如图1，若折痕AE=tan∠EFC=34，求矩形ABCD的周长；（3）如图2，在AD边上截取DG，使DG=CF，连接GE、BD，相交于点H.求证BD⊥GE.。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

初三数学圆三角函数相似

初三数学同步训练圆相似锐角三角函数测试题一、选择题：1.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=90o ，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（）A ．3sin 2A =B ．1tan 2A =C ．3cos 2B = D ．tan 3B =2．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，两圆的圆心距是6cm ，•则两圆的位置关系是（） A ．内含 B ．外离 C ．内切 D ．相交3.如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙O 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（）A ．(53)，B ．(35)，C ．(54)，D ．(45)，4.如图，已知ＡＢ是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB等于（） A ．sin α B ．COS α C ．tan α D ．1tan α5.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A ．2 B.32 C.3 D.36.如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（） A ．12m B ．10m C ．8m D ．7m7.在半径为18的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（） A ．12π B ．10π C ．6π D ．3π8.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB AC ，夹角为120，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长BCA（第1题）QPONxyM第3题第4题O第5题第6题第8题为20cm ，则贴纸部分的面积为（）A ．2100cm πB ．2400cm 3π C ．2800cm π D ．2800cm 3π 9.如图，ABC △内接于O ⊙，若28OAB ∠=°，则C ∠的大小为（）A ． 28°B ．56°C ．60°D ．62°10．已知圆O 的半径为R ，AB 是圆O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 是圆O 的切线，C 是切点，连结AC ，若30CAB ∠=°，则BD 的长为（） A ．2RB ．3RC ．RD ．32R 二、填空题：11.如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，则∠P =_________度．12.如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是． 13.如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的⊙O 交于B 点，现测得4cm PB =，5cm AB =．⊙O 的半径 4.5cm R =，此时P 点到圆心O 的距离是 cm ．14.锐角△ABC 中，BC ＝6,,12=∆ABC S 两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y （y ＞0）,当x ＝，公共部分面积y 最大，y 最大值＝ , 15.如图，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点F ．已知BD =2，设AD =x ，CF =y ，则y 关于x 的函数解析式是．第9题 C A B O 第10题 O CBA P 第11题第12题 ABP O 第13题第14题第15题三、解答题：16.计算:4sin302cos453tan 60︒-︒+︒．17.如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．18.已知：如图，M 是AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝43cm ．（1）求圆心O 到弦MN 的距离；（2）求∠ACM 的度数．19.如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin 760.97°≈，cos 760.24°≈，tan 76 4.01°≈）20.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．四、解答题：21．如图，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C•点的仰角为45°，从地面B 测得仰角为60°，已知AB=20米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，•求气球离地面的高度．北东C D BEA l6076ABC MNO ·DE C B O A22.已知：如图，等腰△ABC 中，AB= BC ，AE ⊥BC 于点E ， EF ⊥AB 于点F ，若CE=1，4cos 5AEF ∠=，求EF 的长.五、解答题： 23.如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OFOE 的值；（3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OFOE的值．24.如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．BBAACOE D DEC O F 图1图2F。

圆与三角函数经典练习题

（第17题图）B(0,-3)(4,0)Aoxy数学练习题（圆与三角函数）1．如图，点A B C ，，都在O 上，若34C =∠，则AOB ∠的度数为（）A ．34B ．56C ．60D ．682．如图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．3．如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是（） A ．4.75B ．4.8C ．5D ．424．如图，ABC △内接于O AD ，是O 的直径，30ABC ∠=，则CAD ∠= 度． 5．直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点A （4，0）与 B （0，-3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过秒后动圆与直线AB 相切。

6．如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN =70°，则A ∠= ．7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点P 在AC 上，AP ＝2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（）。

A 、1B 、45C 、712D 、49 8．如图，O 的半径为5，弦53AB C =，是圆上一点，则ACB ∠= ．13、（2007四川成都）如图，O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．OCB A EFCD G O 图2（第17题）ABCQPA DB O C第13题图已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，那么EDF ∠等于（）Ａ．40° Ｂ．55° Ｃ．65° Ｄ．70°B14．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是圆上的两点（不与A 、B 重合），已知BC ＝2，tan ∠ADC＝54，则AB ＝__________．15、计算（本小题6分）002(51)133tan 60248-+-+--()()1212sin 603tan 452-⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭°°16、（2007山东青岛）一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？（参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25， sin63.5°≈910，tan63.5°≈2）17．（本题满分10分）如图8，已知：ABC △内接于O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，30D ∠=．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若6AC =，求AD 的长．18、如图10，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，交y 轴于点B, 点P 在直线l 上运动． (1)当点P 在⊙A 上时，请你直接写出它的坐标；(2)设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.ACD BO图8B图10CBOA D O AFEA B C 北东AB CO。

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