利用倒数法求值

利用倒数法求值

通过计算求值，这是初中数学学习中学生必须具备的一项基本技能，同时也是数学学习中出现的一类常见题型。而这一类题中有一部分往往带有一定的解题技巧。下面就通过利用倒数法在求值计算中的一些应用略举一二。

一、有理数的四则运算

例1、计算：)7

23214361()421(-+-÷- 分析：此题可采用直接计算进行解答，但对于计算能力稍欠缺的学生来说，计算容易出错。那么又有什么简便计算方法呢针对本题的特点，我们不妨利用倒数法先求出原式的倒数)42

1()723214361(-÷-+-

的值，再求原式的值。 解：)42

1()723214361(-÷-+- 14

122897)42(7

2)42(32)42(143)42(61)42()7

23214361(-=+-+-=-⨯--⨯+-⨯--⨯=-⨯-+-= ∴14

1)723214361()421(-=-+-÷- 二、求代数式的值

例2、已知：4112=+x x ，求代数式2

21x x +的值。 分析：根据所求代数式的特点，以我们的经验，多数情况下要先知道x x 1

+的值，根据已知条件4112=+x x ，利用倒数法则可求出x

x 1+的值。 解：∵4

112=+x x ，∴412=+x x ，即：412=+x x x ∴41=+x

x ∴2121

2222-++=+x

x x x =2)1(2-+x

x =16-2

=14

下面再举一个可利用倒数法求解的稍为复杂的求代数式的值的问题。

例3、已知：a 、b 、c 均为实数，且

31=+b a ab ，41=+c b bc ，51=+a c ca 求代数式

ca

bc ab abc ++的值。

分析：此题采用根据条件直接求出a 、b 、c 的值，再代入求值的方法显然是不可取的，我们不妨同样采用倒数法进行求解。根据条件显然有0≠abc ，将三个已知条件利用倒数的知识，得到3=+ab b a ，4=+bc c b ，5=+ca

a c ，再将其左边进行拆分可得： 311=+a

b ……○1，411=+b

c ……○2，511=+a

c ……○3 ○1+○2+○3可得6111=++c

b a 根据此结论，再次利用倒数法先求出所求代数式的值的倒数，进而便可求出原代数式的值。

解：根据条件显然有0≠abc ∵

31=+b a ab ，41=+c b bc ，5

1=+a c ca ∴3=+ab b a ，4=+bc c b ，5=+ca

a c ∴311=+a

b ……○1，411=+b

c ……○2，511=+a

c ……○3 ○1+○2+○3可得：12)111(2=++c

b a ∴6111=++c

b a ∴6111=++=++=++b

a c abc ca abc bc abc a

b ab

c ca bc ab ∴61=++ca bc ab abc 通过上述三例可以看出，在

一些求值运算中，有时借助于倒数的知识可以使题目的解答一目了然，简明易懂，给人耳目一新的感觉。在平时的学习中，大家不妨多加强一些类似方法的归纳，这将对我们的学习大有帮助。