08第八讲 积分判别法
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
判别法判断积分敛散性
判别法判断积分敛散性
积分敛散性是数学中比较重要的概念，它可以提供我们不同的性质的函数的收敛情况的信息。
它可以帮助我们更好地了解函数的特性，对函数的研究和应用也有很大帮助。
积分敛散性是指一个函数从$- \infty $ 到$ + \infty $上的固定横跨长度之和所构成的函数。
如果一个函数$y = f(x)$在某一闭区间上是敛散的，则定义符号$ \int_{a}^{b}f(x)dx$为指定的函数在横跨的变量x的横跨值$a$和$b$之间的积分值，即为$y$之和。
当积分值为正，则说明函数$f(x)$在某一闭区间上性质是敛散的；当积分值为负，则说明函数$f(x)$在某一闭区间上性质是散敛的。
（当积分值等于零时，函数$f(x)$在某一闭区间上就是稳定的，不具有任何无动力收敛或者散散现象）。
积分敛散性主要涉及到函数在定义域有效的极限，可以通过对函数解析，判断其边界等概念来判断其积分敛散性。
直线和抛物线，它们在定义域上的无穷点收敛散散良好；反之，如倒钩函数则会出现收敛紊乱等现象。
综上所述，积分敛散性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地了解函数的特性，如果能够掌握其运算的技巧，也可以用于函数的研究和应用。
积分的收敛判别
第二节 xx 积分的收敛判别法上一节我们讨论了xx 积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对xx 积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个xx 积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy 收敛原理）f(x)在[a, +∞ ）上的xx 积分收敛的充分必要条件是：, 存在A>0, 使得b, >A 时，xx 有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对使用xx 收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分(为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b –]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要0<，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果xx 积分收敛，我们称xx 积分绝对收敛（也称f(x)在[a,+xx 绝对可积]; 如收敛而非绝对收敛，则称条件收敛，也称f(x)在[a,+xx 条件可积．由于，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果xx 积分绝对收敛，则xx 积分必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的xx 积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，xx 积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9.4（无限区间上的xx 积分）设在[a,+)上xx 有（k 为正常数）则当收敛时, 也收敛;当发散时, 也发散．证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使[a, b), 则1）如收敛，则也收敛。
广义积分的判别法PPT课件
则称
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
解:
较审敛原理知
给积分收敛 (绝对收敛) .
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绝对收敛 ; 条件收敛 .
根据比 故由定理5知所
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(2013)
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二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
例2. 判别反常积 分
解:
的敛散性 .
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别反常积分
的敛散性 .
解: 根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5.
证：
则
而
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定义. 设反常积 分
则称
第一讲 反常积分的审敛法 函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
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一、无穷限广义积分
定义1. 设
若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作
这时称广义积分 就称广义积分
收敛 ;如果上述极限不存在, 发散 .
类似定理5, 有下列结 论:
称为绝对收敛 .
则反常积分
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三、 函 数
1. 定义
下面证明这个特殊函数在
内收敛 . 令
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综上所述 ,
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几何级数、积分判别法则、交错级数
几何级数、积分判别法则、交错级数1. 几何级数几何级数是指以一个常比r乘以前一项得到的无穷级数，即：S= a + ar + ar^2 + ar^3 + ... = Σ ar^n其中，a是第一项，r是公比，n为项数。
对于几何级数，有以下判别法则：(1) 当公比r在-1到1之间时，几何级数是收敛的。
收敛和为：S = a / (1 - r)(3) 当公比r等于1时，几何级数是发散的，除非a=0，此时S=0。
应用举例：求以下几何级数的和：解：首先确定公比r为2，根据上面的公式，求得：可见该几何级数是发散的。
(2) S2 = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...2. 积分判别法则积分判别法则是指通过将级数中的项转化为函数，然后对其进行积分来判断级数的敛散性。
对于正项级数∑an，如果存在一个单调递减且非负的函数f(x)，使得当n≥1时，an=f(n)，那么该级数敛散性与函数∫f(x)dx的敛散性相同，即：当∫f(x)dx收敛时，级数∑an也收敛；当∫f(x)dx发散时，级数∑an也发散。
判断以下级数的敛散性：(1) ∑1/n^2解：将级数中的n^2转化为函数f(x)=1/x^2，函数f(x)单调递减且非负，于是有：∑1/n^2 敛散性与∫f(x)dx的敛散性相同∫f(x)dx = ∫1/x^2 dx = -1/x+C由于当x趋近于∞时，-1/x趋近于0，故该积分收敛。
因此，级数∑1/n^2也收敛。
因为以1为底的对数函数ln|x|在x=0处不存在，故该积分发散。
因此，级数∑1/n也发散。
3. 交错级数交错级数是指在一个级数中，每一项的符号与前一项的符号不同。
即：其中，a1，a2，a3...都是正数或负数。
(1) 对于交错级数的部分和序列Sn，如果序列Sn单调递减且趋于0，即对于所有n≥1，Sn≥Sn+1，且lim Sn=0，那么该级数收敛。
解：显然，该交错级数是符号交替的。
将其部分和序列表示出来：S1 = 1...不难看出，此级数的部分和序列单调递减，而且趋于0，因此该级数收敛。
(完整word版)无穷积分的性质与收敛判别法(word文档良心出品)
§ 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质; 别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
掌握收敛的 Cauchy 准则、比较判教学内容: 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 f f (xdx 收敛与否，取决于函数」a极限。
因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分f f (X dx 收敛的充要条件是：任给 」a uF (u ) = t f (X dx 在U7 + s 时是否存在Z >0,存在G >a ,只要比、u 2>G ,便u 2 u 2 W . 【a f (X )dX - J a f (X )dX = J u f (X )dX -be u证明：由于 J a f(xdx=li m ( f(xdx =li mF(u),所以 u _ 耘 ,U2[f (X dx 收敛二 limF(u)存在 ng >0^G > a ，只要 5、u 2> G ，便有 I u 2 Wf (X Jdx 4 J f (X )dx - J f (X )dx =1 F (u ?) -F (uj |< &aa此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1(线性性质) 说a■—梧f^xdx 与J f2(xdx 都收敛，k i 、k 2为任意常数，贝U a 广k i f i (X )+k 2 f2(x )dx 也收敛，且a -be |- ] -be -bef k 1 f ^^+ k 2 f 2(X )ax = k^ f 1(xdx + k 2j f ^x dx 。
(1)a"a&af.a^^0 r则『k i fi (x )+k 2auu(X d X=|i m [ fNxHx , J 2 珂 f2(XdX = |i m J af2(x)dx= lim [k i fi (x )+k 2f2(x )]dxuu= lim [k i 〔 f i (x)dx % J a f 2(x)dx]uu= k i|iml f i (x)dx+k 2|imi f 2(x)dx-be -be=k 1J 1 +k 2J 2 = k 1J f 1(x)dx +k 2j f 2(x)dx.f2(x)dx.u —J性质2若f 在任何有限区间［a , u ］上可积，av b则］f (x dx 与［f(xdx 同敛态(即同时收 敛或同时发散)，且有-be b-bef f (X dx = I f (X dx + f f (X dx ,a a b其中右边第一项是定积分。
柯西积分判别法
柯西积分判别法柯西积分判别法是指在微积分领域，借助柯西不等式的广义方法，根据函数的性质判断函数是否可以经由积分来求得它的积分值。
它是一种根据某一函数及它的衍生物来判断该函数是否可以用积分求取它的积分值的快速方法。
柯西积分判别法是计算定积分的一种非常有用的方法，可以根据函数的特性直接判断该函数是否可以由柯西不等式求取其积分值。
考虑函数f(x)在区间[a,b]上可导，在任意区间[c,d]上有：F(d)-F(c)=∫bacf(x)dx即：F'(x)=f(x),其中F(x)为f(x)的某一积分。
如果能找出一种方法，可以根据函数f(x)的性质就可以知道F(x)是否可以由F(x)=∫bacf(x)dx求取，则可以大大减轻求积分时负担。
这就是柯西积分判别法的基本思想。
根据柯西积分判别法，可以将函数f(x)划分为正交系统的三类，即：自变量的多项式系统（P）、对数函数系统（L）和指数函数系统（E）。
首先介绍自变量的多项式系统，即P类：P类的函数的形式为P(x)=aoxn+a1xn-1+···+an-1x+an，其中n≥0，此系统的积分值可以由P(x)=∫bacaxn+a1xn-1+···+an-1x+an dx求取，F(x)=∫bapow(x)dx。
接着介绍对数函数系统，L类：L类函数的形式为L(x)= (bx+c)alog(ax+d)，其中a,b,c,d＞0，在此系统中，函数的积分值可以由L(x)= ∫bac (bx+c)alog(ax+d)dx求取，F(x)=∫balog(ax+d)dx+cpow(x)dx。
最后介绍指数函数系统，E类：E类函数的形式为e（x) = ain（x+b），其中a ＞0，在E类函数中，积分值可以由e（x) = ∫b acin（x+b）dx求取，F(x)＝∫bacin （x+b）dx。
柯西积分判别法为快速求得定积分提供了一种有用的方法，它可以帮助我们快速识别函数f（x）是否可以由积分求取，减轻了求积分时的负担。
积分dirichlet判别法
积分dirichlet判别法一、背景介绍积分Dirichlet判别法是数学中的一种重要工具，广泛应用于实变函数、复变函数、实数集、复数集等领域。
它以数学家Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet的名字命名，是他在数学分析领域的重要贡献之一。
二、基本原理积分Dirichlet判别法的基本原理是通过将一个函数的等式或不等式转化为积分不等式，从而得到函数的性质或特征。
这种方法不仅可以应用于实函数，也可以推广到复函数的情况。
三、应用领域1. 实变函数中的应用：积分Dirichlet判别法可以用来证明不等式的成立。
例如，在函数的连续性和可微性问题中，可以通过积分Dirichlet判别法来推导极限关系，进而得到一些重要的结果。
2. 复变函数中的应用：在复变函数的研究中，积分Dirichlet判别法被广泛应用于解析函数、调和函数、全纯函数等的性质研究，以及复变函数在物理学中的应用。
3. 数学分析中的应用：积分Dirichlet判别法还可以用于处理一些数学分析中的特殊函数，如Gamma函数和Zeta函数等。
通过将这些特殊函数的积分形式转化为积分不等式，可以得到它们的性质和特征。
四、数学推导积分Dirichlet判别法的具体数学推导较为复杂，需要借助复杂的数学符号和运算。
简单地说，该方法利用积分运算的性质和技巧，通过对函数的积分形式进行变换和估计，得到函数的性质和特征。
五、举例说明以求解一个实变函数的性质为例，假设有一个函数f(x)，要证明f(x)在某个区间上连续或可微。
可以通过将f(x)表示为积分形式，然后利用积分Dirichlet判别法对积分进行估计和变换，最终得到f(x)的性质。
六、总结积分Dirichlet判别法是一种重要的数学分析工具，它基于积分运算的特性和技巧，在实变函数、复变函数、数学分析等领域有广泛应用。
通过将函数的等式或不等式转化为积分不等式，可以得到函数的性质和特征。
zt8专题八_关于反常积分敛散性的判别
ò
xm
xn
f ¢ x)dx = f ( xn ) - f ( xm ) < e ． (
这即表明 { f ( xn )}收敛．故由 Heine 定理，极限 lim f ( x) = a 存在．
x?
现在来证 a = 0 ． a > 0 ， 若 则由保号性，$D > 0 ， x > D 时， f ( x ) > 当 有
x2
x2 x1
f (t )dt +
x2 x1
e d2 ， f (t )dt < .d + 2 2
e d e + ? 2 2 2
e = e ( x > G时) ,这就证得 lim f ( x) = 0 ． x? 2
若无穷限积分
ò
+
a
f ( x)dx 收敛，函数 f ( x) 在 [a, +
且 lim f ( xn ) = 0 ．
Cauchy 收敛准则， 对上述 d , $ G > a ， x1 , x2 > G 时， 当 有 取 x1 , x2 > G ，使 x1 < x < x2 ，且 x2 - x1 = d ，此时由
ò
x2
f ( x)dx <
x1
f ( x)d =
得 f ( x) < 定理 4
蝌 f ( x)dt x1
+
取的；而在含参变量广义积分
在对函数项级数的和函数的分析性质的研究中， 一致收敛的概念起了关键的作用． 通过 一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究．在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入 一致收敛的概念． 它把广义积分的问题化为含参变量的正常积分， 而后者在我们以前学习中 已经讨论无穷限的情形，但所有的结果都可平行地推广到瑕积分的情形． 定义 1 设 f ( x, y ) 在 [a, b]? [c,
柯西积分判别法
柯西积分判别法柯西积分判别法是一种经典的物理理论，它提供了研究物理系统的有效方法，有助于更好地理解物理现象。
柯西积分判别法也叫作柯西函数判别法，这是一种非常重要的物理学理论，它于20世纪初期提出，由美国物理学家约翰柯西发明，用于把极限积分分解为可量化和可解决的部分。
柯西积分判别法的概念和方法可以追溯到17世纪，当时英国数学家约翰斯特拉尔斯把极限积分分解为可量化和可解决的部分，称之为极限积分判别论，这是柯西积分判别法的雏形。
18世纪，瑞士数学家阿兰斯托克斯提出了称为斯托克斯定理的重要理论，这是柯西积分判别法的基础。
20世纪早期，美国物理学家约翰柯西基于斯托克斯定理，发明了柯西积分判别法，并将其应用于物理学的研究。
柯西积分判别法是一种数学方法，它把复杂的积分，分解为可量化和可解决的子积分的过程。
在柯西积分判别法中，把复杂的积分分解为多个部分，每个部分都可以独立地解决或量化。
这样，就可以得出原始积分的解，这使得复杂的积分变得容易解决，也是柯西积分判别法最重要的特点。
柯西积分判别法在物理学中有着重要意义，它可以提供有效的方法，用于研究物理系统，从而更好地理解物理现象。
柯西积分判别法可以被用于几乎所有的物理系统，特别适用于复杂的系统，例如多自由度系统，例如量子力学和引力场理论等。
柯西积分判别法的研究对于探索物理学的奥秘有着巨大的意义，例如，它可以解释棱镜系统的物理现象，例如棱镜系统的动力学变化，也可以揭示电学学系统中电磁力的规律。
此外，它还可以应用于精确计算，例如，可以用柯西积分判别法来计算电场的形态，以及精密定位电磁波的位置。
柯西积分判别法是一种重要的物理学理论，它能够提供有效的方法，用于研究物理系统，它也有助于更好理解物理现象。
由于它的重要性，柯西积分判别法还会被继续发展，以帮助更好地了解物理现象。
积分收敛判别法
积分收敛判别法以积分收敛判别法为标题，本文将介绍积分收敛判别法的基本概念、使用方法和常见的收敛判别法。
积分收敛判别法是数学中一个重要的概念，用于判断一个积分是否收敛或发散。
通过学习积分收敛判别法，我们能够更好地理解积分的性质和应用。
一、积分收敛和发散的概念在介绍积分收敛判别法之前，我们先来回顾一下积分收敛和发散的概念。
对于一个函数f(x)，如果它在某个区间[a,b]上的积分存在有限的极限，即lim┬(n→∞)〖∫_a^bf(x)dx=L〗，则称该积分收敛，L为该积分的值。
反之，如果该积分的极限不存在或为无穷大，即lim┬(n→∞)〖∫_a^bf(x)dx=±∞〗，则称该积分发散。
积分收敛判别法是通过对函数f(x)在某个区间[a,b]上的性质进行分析，来判断该积分是否收敛或发散的方法。
它基于一些重要的数学定理和性质，如比较判别法、绝对收敛判别法、积分中值定理等。
三、比较判别法比较判别法是积分收敛判别法中常用的一种方法。
它的基本思想是通过将要判断的积分函数与一个已知的收敛或发散的函数进行比较，来判断该积分的收敛性。
1. 比较判别法之比较定理比较定理是比较判别法的重要定理之一。
它给出了两个函数f(x)和g(x)的关系，当满足条件时，可以通过比较函数f(x)和g(x)的积分来判断积分的收敛性。
比较定理有两种形式：比较定理之一和比较定理之二。
比较定理之一：如果对于区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，当0≤f(x)≤g(x)时，若∫_a^bg(x)dx收敛，则∫_a^bf(x)dx也收敛；若∫_a^bf(x)dx发散，则∫_a^bg(x)dx也发散。
比较定理之二：如果对于区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，当0≤g(x)≤f(x)时，若∫_a^bg(x)dx发散，则∫_a^bf(x)dx也发散；若∫_a^bf(x)dx收敛，则∫_a^bg(x)dx也收敛。
2. 比较判别法之极限定理极限定理是比较判别法的另一种形式。
无穷级数积分判别法
无穷级数积分判别法无穷级数积分判别法是数学中用来判断无穷级数收敛或发散的方法之一。
在数学中，无穷级数是指由无穷多个数相加或相减而得到的数列，它是数学分析中的重要概念之一。
对于一个无穷级数，我们可以使用积分判别法来判断其是否收敛。
积分判别法是基于函数的连续性和单调性来进行判断的。
我们需要将无穷级数的通项表示为一个函数。
然后，我们对该函数进行积分，得到一个新的函数。
接下来，我们观察这个新函数的性质，判断它是否收敛。
如果新函数收敛，则原无穷级数也收敛；如果新函数发散，则原无穷级数也发散。
具体来说，我们可以使用以下三个常用的无穷级数积分判别法：1. 柯西收敛判别法：柯西收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足a(n+1) / a(n) <= 1，则该级数收敛；如果 a(n+1) / a(n) >= 1，则该级数发散。
2. 比值收敛判别法：比值收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足lim(n->∞) a(n+1) / a(n) < 1，则该级数收敛；如果 lim(n->∞) a(n+1) / a(n) > 1，则该级数发散。
3. 根值收敛判别法：根值收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足lim(n->∞) √(a(n)) < 1，则该级数收敛；如果lim(n->∞) √(a(n)) > 1，则该级数发散。
这些判别法的基本思想都是通过比较级数通项的性质来判断级数的收敛性。
需要注意的是，这些判别法只能判断正项级数的收敛性，对于一般的级数，我们需要将其拆分为正项级数和负项级数分别判断。
还有一些特殊的级数，如幂级数、调和级数等，它们有自己特定的判别法。
幂级数的判别法涉及到收敛半径和收敛区间的计算，而调和级数的判别法则需要使用积分来进行推导。
总结起来，无穷级数积分判别法是一种重要的数学工具，它能够帮助我们判断无穷级数的收敛性。
通过对级数通项进行积分，并观察积分函数的性质，我们可以得出级数的收敛或发散的结论。
积分判别法证明
积分判别法证明积分判别法是一个在高等数学中广泛使用的重要工具，其可以用来判断一些无穷级数的敛散性。
本文将针对积分判别法进行证明。
首先，我们先讲一下积分判别法的基本思想。
对于一个正项级数∑an，如果存在一个单调递减的正函数f(x)，使得∫f(x)dx从1到正无穷收敛，则∑an也收敛；反之，如果∫f(x)dx从1到正无穷发散，则∑an也发散。
证明的思路是：我们对于一个正项级数∑an，假设它满足上述条件，即存在一个单调递减的正函数f(x)，使得∫f(x)dx从1到正无穷收敛。
我们希望能够证明，这个级数也收敛。
我们可以将∑an拆分成很多个部分，即∑an = ∑(2^n-2^(n-1))an。
显然，对于每一个固定的n，∑(2^n-2^(n-1))an 也是一个正项级数，并且∑an和∑(2^n-2^(n-1))an的敛散性是等价的。
因此，我们只需要证明，对于每一个固定的n，∑(2^n-2^(n-1))an 都收敛，就可以证明原级数∑an也收敛。
我们将∑(2^n-2^(n-1))an记为Sn，那么Sn的前n项和为An = 2^n-1。
我们将f(x)拆分成很多个部分，即f(x) =f(1)+f(2)+...+f(n)+...，其中f(n)(x) = f(2^n-1-x)，即f(n)(x)是f(x)在区间[2^(n-1),2^n]上的反函数。
由于f(x)单调递减且正，因此f(n)(x)也单调递减且正。
我们可以通过变量代换和分部积分，得到∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n的值为Anf(An) - ∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)。
因此，我们可以得到∑(2^n-2^(n-1))an = Sn = ∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n ≤ Anf(An) - ∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)。
注意到f(n-1)(x)在区间[2^(n-2),2^(n-1)]上的值都比f(n)(x)在区间[2^(n-1),2^n]上的值大，因此∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)≥∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n。
积分判别法
积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛⎰∞1f 收敛. 此时⎰∞1f ≤∑f (n )≤⎰∞1f + f (1).证 ⎰21f ≤f (1) = f (1), ⎰32f ≤f (2)≤⎰21f , … ,⎰+1n nf ≤f (n )≤⎰-n n f 1, 相加得⎰+11n f ≤∑-nk k f 1)(≤⎰n f 1+ f (1). 令n →∞得证. 注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负. 例1(p 级数)∑p n 1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件. 证二 p ≤1时由n p ≥n 1得发散, p >1时用积分判别法. *证三 p ≤1时由n p ≥n 1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p , … 及比较判别法知 加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛.△∑∑∞=∞=32ln ln 1 ,ln 1n p n p nn n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = (x ln p x )2 ln p 1x (ln x + p )< 0 (x > e p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )1当p > 1时收敛, p ≤1时发散.△∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 1<n 21或21n ). △∑nn )(ln 1(n n a →0). △∑! n a n (a >0) (n n a a 1+=1+n a , 或n n a =n n a ! →0). △∑n n n ! (n n a a 1+→e 1或n n a →e1(上 册p.40.4(5)). △∑)2()1(n n n n +(n n a a 1+= (1 +n 1)n 4)22)(12()1(2e n n n →+++<1). △∑n ln 1(n ln 1>n 1或1-n a n →∞). △∑p n )(ln 1(1-n a n →∞). △∑p n n ln (p ≤1时1-n a n →∞,发散; p >1时取q 使p >q >1,, 则q n n a -→0或a n ≤n q , 收敛).△∑(na - 1) (a >1) (由x a x 1-→ln a (x →0)知n a - 1 = O(n1). p.16.1 (9)类似). *△∑2121)1ln 2(+-++n n n n n (≤n n n n n 21)2(2121≤+-). *△∑n n ln ln )(ln 1(∵x x ln )ln (ln 2→0(x → ∞), ∴n 充分大时(ln n ) ln ln n = exp(ln ln n )2 < e ln n = n , 发散). 例2. 证明: 若a n > 0, ∑a n 收敛, 则∑1+n n a a 与∑a n a n +1收敛. [与∑a n 比较]. 例3(p.16.9(4). 考察∑∞=3)ln (ln )(ln 1n qp n n n 的收敛性.解 设f (x ) = x (ln x )p (ln ln x ) q , 则f ' (x ) = ln p 1 x (ln ln x ) q 1((ln x + p ) ln ln x + q ), x 充分大时p , q , f ' (x ) > 0, 故可用积分判别法. ⎰⎰∞∞==3ln 3ln )(uu du x f dx I q p . p >1时取r使p >r >1,由u r u u q p ln 1→0知I 收敛. p =1时I =⎰∞3ln ln q t dt , 当且仅当q >1时收敛. p <1时由u uu q p ln 1 →∞, I 发散. 由积分判别法, 所给级数当p > 1或p =1, q > 1时收敛, 在其它情形发散.*例4 (p.16.10) a n ↓, 非负, 则∑a n 收敛∑2m m a 2(=2a 2 + 4a 4 + …)收敛.证 设∑2 m m a 2= s . 因为n s 2= a 1 + a 2 + … +n a 2= a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + … + a 7 ) + … +(+++--)1221n n a a n a 2≤a 1 + 2a 2 + 4a 4 + … = a 1 + s , 故n s n <n s 2≤a 1 + s , 由收敛原理得∑a n 收敛.设∑a n = s , 则由a 2a 1 + a 2 , 2 a 4 a 3 + a 4等得∑=n m m m a 12221≤ (a 1 + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + …+ a 8 ) + … = s . 因此∑2m m a 2的部分和有界, 从而收敛.应用: ∑pn 1收敛∑2m mp 21=∑2(1p )m 收敛21p < 1p >1 . ∑∑∑∑⇔=⇔p p p m p m m p m m n n 12ln 12ln 212ln 1收敛收敛收敛p >1. *例5 (Raabe 判别法) 若lim n (1 n n a a 1+) = l , 则l >1时∑a n 收敛, l < 1时∑a n 发散, l = 1时不定.证 l >1时取p 使l >p >1,则n 充分大时n (1n n a a 1+)>p ,n n a a 1+<1p p p n nn n p ---=-≤)1()11(. 由比较法, 收敛. l <1时对充分大的n 有n (1 n n a a 1+)<1, n n a a 1+>111)1(1---=n n n。
积分判别法证明
积分判别法证明
积分判别法是数学中的一种重要方法，用于证明函数的收敛性和发散性。
本文将介绍积分判别法的证明方法。
首先，我们考虑一个正函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的积分，即
∫a^b f(x)dx。
如果该积分收敛，那么我们可以按照以下步骤证明：
1. 对于任意 x∈[a,b]，由正函数的定义可知 f(x)≥0。
2. 我们设 g(x) 为一个小于 f(x) 的正函数，即 g(x)<f(x)，
且在区间 [a,b] 上连续。
3. 根据积分的定义，我们有∫a^b g(x)dx≤∫a^b f(x)dx。
由于 f(x) ≥ 0，所以∫a^b f(x)dx ≥ 0。
因此，如果∫a^b g(x)dx 发散，那么∫a^b f(x)dx 也一定发散。
4. 根据积分的比较判别法，如果∫a^b g(x)dx 收敛，那么∫a^b f(x)dx 也一定收敛。
综上所述，我们通过对积分的比较来判断一个函数的收敛性或者发散性。
需要注意的是，在使用积分判别法时，我们需要选择一个适当的小于原函数的正函数 g(x)。
如果我们选择的 g(x) 过于简单，那么
可能无法得到正确的结论；如果选择的 g(x) 过于复杂，那么证明的过程会变得非常复杂。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的 g(x)，并且灵活运用各种积分技巧，以便更好地应用积分判别法。
- 1 -。
积分判别法
积分判别法生活中的选择题一般很难做，往往把一些事情弄得非常复杂。
而运用积分判别法就能够迅速作出正确的判断，从而做出正确的选择。
例如：去市场买西红柿和土豆，两者都是3元/斤，它们各有10斤，如果同时买，共需18元，若卖者称了6斤，则可以便宜到5元，假设卖者在先前给你看过的几次称重中总是超出1斤，那么他今天也许只给你看1斤，明天也许会少给，而且不止一次。
但最可能的情况是一开始给你看的1斤比较多，逐渐减少，直到最后少于6斤。
因为小学生们的计算水平还不高，所以难免会碰上这种棘手的问题。
在日常生活中我们应该学会积分判别法，灵活地处理好这类问题。
要想解决这个问题，我们首先要知道，有关质量的“斤”，一般用“千克”表示，而1千克= 2斤。
即1kg=2斤。
所以我们可以用以下方法来进行判断：每天放学回家后，我们都要测量一下今天吃饭用的碗有多重。
因为这些碗大多都比较轻，可以准确测量。
但是要想将碗全部装满的话，那就太沉了。
所以，我们必须找出一个合适的标准。
其实，家里经常用的米袋子，就是最合适的标准。
不信，你可以拿起一个米袋子对着光照一照，你会发现，它的透明度差不多。
另外，因为它是装米的袋子，所以密度应该和米一样，重量也应该与之接近，就是说， 1千克的米袋子，应该大约和1千克的米相当。
这样，我们就可以把10个1千克的米袋子叠在一起，再称量一下总重量，然后除以10，就得到大米的重量，那就是1千克。
用这个办法，我们可以称出许多东西，如一斤猪肉、两斤大米等。
由此，我们得知1kg=2斤。
所以说，在日常生活中，我们碰到了类似问题，首先要做的是把握住问题的核心，换个角度思考，找出合适的标准，然后再利用积分判别法，对问题进行分析。
然后根据具体的情况进行处理，这样，我们就能够将问题解决得更加妥善。
因此，我们学习了积分判别法后，在以后的学习或生活中碰到类似的问题时，就不会茫然无措了。
所以，让我们充分运用积分判别法吧！你的积分判别法掌握得怎么样呢？希望大家通过练习后，都能熟练地使用它。
积分判别法探索
积分判别法探索一、引言在微积分中，积分判别法是一种重要的工具，用于对各类积分的收敛性进行判断。
通过积分判别法，我们可以快速确定一个积分是否收敛，从而避免在计算积分时产生错误。
本文将对积分判别法进行探索，了解其原理和应用。
二、积分判别法的基本思想积分判别法的基本思想是通过分析积分的性质来判断其收敛与否。
我们通常会利用一些已知的积分判别法则，比如比较判别法、极限判别法、积分判别法等，来确定积分的收敛性。
三、比较判别法比较判别法是积分判别法中最常用的方法之一。
其基本思想是通过将原积分与一个已知的收敛或发散积分进行比较，从而确定原积分的收敛性。
1. 比较判别法的原理比较判别法可分为两种情况：（1）若对于积分f(x)和g(x)，当x大于某一值时，f(x)≤g(x)，且∫g(x)dx收敛，则可得出∫f(x)dx也收敛。
（2）若对于积分f(x)和g(x)，当x大于某一值时，f(x)≥g(x)，且∫g(x)dx发散，则可得出∫f(x)dx也发散。
2. 比较判别法的应用比较判别法可以应用于各种类型的积分，例如函数型积分、级数型积分等。
通过与已知的收敛或发散积分进行比较，我们可以快速判断出原积分的收敛性。
四、极限判别法极限判别法是另一种常用的积分判别法。
其基本思想是通过计算积分的极限值，从而判断积分的收敛性。
1. 极限判别法的原理极限判别法可分为两种情况：（1）若当积分f(x)的x趋于某一极限时，f(x)的极限值为0，则可得出∫f(x)dx收敛。
（2）若当积分f(x)的x趋于某一极限时，f(x)的极限值不存在或为无穷大，则可得出∫f(x)dx发散。
2. 极限判别法的应用极限判别法常用于计算特定类型的积分，比如含有无穷远点的积分、含有不可导点的积分等。
通过计算极限值，我们可以确定积分的收敛性。
五、积分判别法的应用案例以下是一些常见的积分判别法的应用案例：1. 比较判别法的应用案例：∫[0,1] 1/x^p dx，当p>1时，积分收敛；当p≤1时，积分发散。
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数学分析第十二章数项级数积分判别法
第八讲
数学分析第十二章数项级数
定理12.9（积分判别法）
积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.
设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞
⎰同时收敛或同时发散.
证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是
对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑
数学分析第十二章数项级数-≤≤-=⎰1()()d (1),2,3,.
n
n f n f x x f n n 依次相加可得1
122
1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰若反常积分收敛,有
111()(1)()d (1)()d .
m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰
根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛.
则由(12)式左边, 对任何正整数m ,
数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有
-≤≤=∑⎰11()d ().
(13)m
m f x x S f n S 1
0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+⎰因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑⎰
是同时发散的.112
21()()d (1)().(12)m m
m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞
⎰根据定理反常积分收敛用同样方
数学分析第十二章数项级数例12 讨论1.p p n
级数的敛散性∑1(),0[1,)p f x p x
当时在=>+∞解函数上是非负减函时发散.
是发散的.
数，1d 1p x p x
+∞>⎰反常积分在时收敛，.1时发散≤p 故1()p f n n
=∑∑由积分判别法得01p <≤当≤0p 的情形, 则可由收敛的必要条件知它也至于1p >当时收敛，
数学分析第十二章数项级数例13 讨论下列级数的敛散性.∞∞==∑∑2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )
p p n n n n n n n 解2d ,(ln )
p x x x 研究反常积分由于+∞⎰(i)1,1.
p p 数在时收敛时发散>≤3d (ii),,(ln )(lnln )
p x x x x 对于考察反常积分同样可+∞⎰1p ≤推得级数(ii) 在p > 1时收敛, 在时发散. ()()()22d ln d ln ln p p x x x x x +∞+∞=⎰⎰ln 2d p
u u +∞=⎰时发散，时收敛，当11≤>p p 根据积分判别法得级
复习思考题
数学分析第十二章数项级数
1.设n u ∑为收敛的正项级数，则一定存在收敛的正n v ∑lim 0n n n
u v →∞=项级数,使得. 也就是说没有收敛得最慢的级数.1,1n n u u +<有n u ∑n N >2.如果正项级数满足对一切(1),?
n n n u u <∑或能否得出收敛4.总结判别法使用规律.
3.如果对每个正整数p ，正项级数都有?n u ∑能否得出收敛12lim()0n n n p n u u u +++→∞
+++= ，是否存在发散得最慢的级数？。