罗伯法构造幻方 - 360文档中心

幻方罗伯法原理

幻方罗伯法原理幻方是一种数学游戏，它由数字组成的正方形矩阵，在每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。

而幻方罗伯法是一种构造幻方的方法，它由法国数学家罗伯于1901年提出。

在幻方罗伯法中，通过一定的规则和技巧，可以构造出各种不同阶数的幻方。

下面我们就来详细介绍一下幻方罗伯法的原理。

首先，我们需要了解幻方的基本规则。

一个n阶幻方是由1到n^2的连续自然数排列在n×n的方阵中，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。

在构造幻方时，我们需要确定一个基准点，然后按照一定的规则填充其他数字，最终形成一个满足幻方规则的矩阵。

接下来，我们来介绍幻方罗伯法的具体原理。

在幻方罗伯法中，首先确定一个基准点，通常选择在幻方的中间行的最后一列。

然后按照以下规则进行填数：1. 从基准点开始，将数字1填入基准点所在的位置。

2. 向右上方移动一格，填入下一个数字。

3. 如果移动到了边界，则按照如下规则进行处理：如果移动到了右上角，则将下一个数字填入当前位置的下方。

如果移动到了最上方，则将下一个数字填入当前位置的右边。

如果移动到了最右方，则将下一个数字填入当前位置的下方。

如果移动到了空白格，则直接填入下一个数字。

4. 重复步骤2和步骤3，直到填满整个幻方。

通过这种方法，我们可以构造出各种不同阶数的幻方。

同时，幻方罗伯法还具有一定的对称性，可以通过一定的变换得到其他形式的幻方。

这种方法的优点在于简单易行，适用于各种不同阶数的幻方构造。

在实际应用中，幻方罗伯法不仅可以用于数学游戏和娱乐，还可以应用于密码学和信息安全领域。

幻方具有一定的加密解密功能，通过幻方罗伯法构造的幻方可以用于信息的加密和解密，增强信息的安全性。

总之，幻方罗伯法是一种构造幻方的简单而有效的方法，通过确定基准点，并按照一定的规则填数，可以构造出各种不同阶数的幻方。

同时，幻方还具有一定的应用价值，可以应用于密码学和信息安全领域。

希望通过本文的介绍，读者能够对幻方罗伯法有更深入的了解，并在实际应用中发挥其作用。

构造幻方

构造幻方所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。

这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。

幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。

奇数阶幻方的经典方法－罗伯奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。

按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：1居上行正中央，依次斜填切莫忘。

上出框界往下写，右出框时左边放。

重复便在下格填，角上出格一个样。

1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。

偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方1.双偶阶幻方（中心对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。

互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。

幻方的制作方法

奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。

六阶幻方，具体的做是：偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，可用<对称交换法>，方法很简单:1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线3) 把这些对角线所划到的数，保持不动4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调幻方完成！单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。

这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。

（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。

我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。

而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。

图1 河图洛书图2 纵横图长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。

一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。

幻方

•
• • • •
幻方概念
• 一个幻方行、列、对
角线各数之和均相等。 4 3 8
9
5 1
2
7 6
历史
• 在一个由若干个排列整齐的数组
成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“为“幻方”。中国古代称为 “河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 • 幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼· 明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
偶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ阶幻方填写方法
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偶阶幻方分两类: 双偶数: 四阶幻方，八阶幻方,....,4K阶幻方，可用<对称交换法>, 方法很简单: 1) 把自然数依次排成方阵 2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线, 3) 把这些对角线所划到的数,保持不动, 4) 把没划到的数，按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调单偶数: 六阶幻方，十阶幻方,....,4K+2阶幻方 <同心方阵法>: 1) 把幻方分成两个区,一是边框一圈，二是里面一个双偶数方阵 2) 把(3+8K)到(16K^2+8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵 3) 把余下的数,在边上试填,调整到符合为止.
初一（4）班郭昌浩
奇数阶幻方填写方法——罗伯法
• 罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：
•
居上行正中央，依次斜填切莫忘。上出框界往下写，右出框时左边放。重复便在下格填，角上出格一个样。首居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中；依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字；上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中；右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中；重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N＋1｝填写在｛N｝下面的格子中角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。

三年级趣味数学奥数《幻方》罗伯法

4
例3. 请编出一个三阶幻方，使其幻和是24。
中间数：24÷3＝8 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4
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例3. 请编出一个三阶幻方，使其幻和是24。
中间数：24÷3＝8 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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例3. 请编出一个三阶幻方，使其幻和是24。
中间数：24÷3＝8 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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2
3
9
思维跳板：用 1 至 25 个数排成五行五列，使每行、每列和对角线上五数之和为65。
“罗伯法“
17 5 4 11 1 6 13 8 15 7 14 16
10 12
2
3
9
思维跳板：用 1 至 25 个数排成五行五列，使每行、每列和对角线上五数之和为65。
“罗伯法“
17 5 4 1 6 13 8 15 7 14 16
跟踪训练：请把2~10九个数字填入下图中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于18。
“罗伯法“
9 4 5 2 6 10 7 8 3
思维跳板：用 1 至 25 个数排成五行五列，使每行、每列和对角线上五数之和为65。
“罗伯法“
思维跳板：用 1 至 25 个数排成五行五列，使每行、每列和对角线上五数之和为65。
“罗伯法“
1 3 4 2
例2.请把1~9九个数字填入下图中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于 15。
“罗伯法“
1 3 4 5 2
例2.请把1~9九个数字填入下图中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于 15。
“罗伯法“
自下放
1 3 4 5

罗伯法幻方

用“罗伯法”制作奇数阶幻方
罗伯法口诀：
1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。
最小的数写在第一行的正中间；
向右上方的格子中写第二个数，如果右边有格子但上面没有格子时，把下一个数写在右边格子的最下面；
如果上面有格子但右边没有格子，则把下一个数写在上一行的最左边；
如果右上方的格子已经被写过了，把下一个数字写到这个数的下一个格子中；
当写到右上角时，上面右面都没有格子，也将下一个数写在这个数的下一格。
例题：用1-9这9个数，采用“罗伯罗伯法”构造一个五阶幻方
用1-49这49个数，采用“罗伯法”构造一个七阶幻方
用1-81这81个数，采用“罗伯法”构造一个九阶幻方
3——11
10——18
1、3、5、7、9、11、13、15、17
2——26
3——27
10——34
2、4、6…..50
2——50
5——53
1——169

幻方_??????

幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。

2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。

3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。

1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。

1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

罗伯法三阶幻方的解法

罗伯法三阶幻方的解法罗伯法三阶幻方又被称为古希腊三阶幻方、魔方三阶、6面魔方，是一种具有迷宫结构的拼图游戏，也是一种数学游戏。

2014年，在上海的世界罗伯法幻方大赛上，由李志杰率领的中国队获得第一名，中国队在罗伯法三阶幻方的解法上做出了重大贡献。

经过几十年的发展，罗伯法三阶幻方的解法已经被大量研究，学者们建立了多种不同的解法。

罗伯法三阶幻方的解法基本上分为两种：一种是机械解法，它是基于特定的机械设计，需要利用某种机械原理来实现；另一种则是数学解法，它是基于罗伯法数学原理的，可以通过归纳推理的方法来解决罗伯法三阶幻方的拼图问题。

机械解法是通过特定的机械设计来解决罗伯法三阶幻方的拼图问题。

机械解法是通过分析幻方的拼图结构，利用特定的机械设计，将其有序地拼在一起。

最常见的机械解法是“魔方法”，它是由美国的发明家佩德罗卡洛斯罗伯提出的。

这种解法的优点在于对各个拼图部分的步骤有严格的规律性，可以加快解法的步骤，减少记忆量，从而使用户能够更快地完成拼图任务。

另一种是数学解法，它是基于罗伯法数学原理的，可以解决罗伯法三阶幻方的拼图问题。

数学解法可以通过推断，归纳，抽象，求解等数学概念来对幻方进行解题。

我们可以列出幻方的每一步，依次推导，将拼图的步骤一一归纳，然后抽象出其中的规律，最终达到目的。

无论是机械解法还是数学解法，都是解决罗伯法三阶幻方拼图问题的有效方法。

虽然机械解法比数学解法更快捷，但是多数情况下，由于拼图的复杂性，很难找出机械解法的结论。

而数学解法更加准确，具有普遍性，可以应用于任何复杂的拼图。

从上述分析可以看出，在解决罗伯法三阶幻方拼图问题时，机械解法和数学解法都具有很强的有效性。

机械解法可以更快速地拼出拼图，但是多数情况下，复杂的拼图任务都是无法用机械解法来解决的，而数学解法则更加准确，真正做到全部拼图的完成。

因此，为了更好地解决罗伯法三阶幻方的拼图问题，更好地发挥机械解法和数学解法的优势，研究者们需要更深入地研究罗伯法三阶幻方，进一步探索其机械解法和数学解法的联系，发展出更多新的解法，以期达到更高的解题效率。

幻方常规解法汇总

幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6789 1011121314 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

幻方常规解法汇总

幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n －1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6789 1011121314 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

七年级数学幻方题

七年级数学幻方题一、基础幻方题（1 10）1. 用1 9这九个数字构造一个三阶幻方。

解析：方法一：“罗伯法”。

首先把1放在第一行中间一列，即第一行第二列。

然后按顺序向右上方向填写数字。

如果右上方向出了幻方（比如到了最上面一行的上面或者最右边一列的右面），则把数字填到幻方相对的位置（如果出了上面就填到最下面一行对应的列，如果出了右面就填到最左面一列对应的行）。

当右上方向已经有数字时，就把数字填在当前数字的下面。

按照这个规则，1在第一行第二列，2就填在2行3列（1的右上方向），3填在3行1列（2的右上方向），4填在4行2列（3的右上方向，因为出了幻方的顶行，所以填到最下面一行对应的列），5填在5行3列（4的右上方向），6填在6行1列（5的右上方向），7填在7行2列（6的右上方向，因为右上方向已有数字4，所以7填在6的下面），8填在8行3列（7的右上方向），9填在9行1列（8的右上方向）。

得到的三阶幻方为：begin{bmatrix}816 357 492end{bmatrix}幻和为15（每行、每列、每条对角线上数字之和），计算方法为(1 +2+3+·s+9)÷3=(45÷3) = 15。

2. 在一个三阶幻方中，已知左上角数字为3，幻和为18，请完成这个幻方。

解析：设这个幻方为begin{bmatrix}3ab cde fghend{bmatrix}。

因为幻和为18，所以第一行的和3 + a + b=18，则a + b = 15。

又因为对角线上3 + d+h = 18，所以d + h=15。

同理，c + d+e = 18。

由于中间数d在计算幻和时用到了4次（行、列、两条对角线），根据幻方的性质，幻和等于中间数的3倍，所以d = 18÷3 = 6。

因为3 + d+h = 18，d = 6，所以h = 9。

因为a + b = 15，设a = 7，则b = 8。

再根据幻和为18求出其他数字，得到幻方begin{bmatrix}378 5671053end{bmatrix}。

罗伯法五阶幻方的解法

罗伯法五阶幻方的解法罗伯法五阶幻方是一种特殊的数学方阵，由法国数学家罗伯法于1884年发现。

它是由一个5×5的矩阵组成，其中每个格子都填入1至25之间的不重复的整数，使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。

本文将介绍罗伯法五阶幻方的解法。

我们需要了解一些基本概念。

在罗伯法五阶幻方中，中心格子的位置是固定的，而其他格子的位置是根据一定的规律确定的。

我们可以将中心格子的位置标记为(3,3)，其中第一个数字表示行数，第二个数字表示列数。

其他格子的位置可以通过以下公式计算得出：行数 = (行数 + 1) % 5列数 = (列数 + 2) % 5接下来，我们可以按照以下步骤来填充幻方矩阵：第一步，将数字1填入中心格子(3,3)。

第二步，从数字2开始，按照上述公式依次计算出下一个格子的位置，并将数字填入该格子，直到填满所有格子。

第三步，将每个格子的数字按照从左到右、从上到下的顺序排列，即得到罗伯法五阶幻方的解。

以下是具体的步骤和解法：1. 填入中心格子(3,3)的数字1。

2. 根据公式，计算出下一个格子的位置为(4,4)，将数字2填入该格子。

3. 再次根据公式，计算出下一个格子的位置为(0,0)，将数字3填入该格子。

4. 继续按照上述步骤，计算出下一个格子的位置为(1,1)，将数字4填入该格子。

5. 依次类推，继续填入数字5至25，直到填满所有格子。

按照从左到右、从上到下的顺序排列每个格子的数字，即可得到罗伯法五阶幻方的解。

以下是罗伯法五阶幻方的解：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9通过上述步骤，我们成功地解出了罗伯法五阶幻方。

这个解法的特点是简单而直观，通过一定的规律填充矩阵，即可得到满足条件的幻方。

罗伯法五阶幻方不仅具有数学上的美感，还具有一定的实际应用价值，例如在密码学和图像处理领域等。

总结起来，罗伯法五阶幻方是一种特殊的数学方阵，通过一定的规律填充矩阵，使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。

小学奥数之罗伯特法填幻方(完整版)

小学奥数之罗伯特法填幻方1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑴适用于三阶幻方的三大法则有：⑴求幻和：所有数的和÷行数（或列数）⑴求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．987654321987654321134141516129781051132165-1-4-1.幻方（一）教学目标知识点拨⑴角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

幻方填写方法

没法，组合数学还考幻方构造。

这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。

按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4×4把它划分成k×k 个方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。

幻方、三阶幻方、罗伯法

将1—9这9个数填入下图中的方格里，使每行、每列及两条对角线上三个数字的和都相等。
1 居上行正中央，
依次斜填切莫忘，
罗
上出框界往下写，
伯
法
右出框时左边放，
重复便在下格填，
出角重复一个样。
观察三阶幻方，我们有一些巧妙的方法：
1.算出三个数之和，即幻和，即九个数的和除以3； 2.填“三阶幻方”的数如果是一个等差数列，中间格子应填第五个数，而且也是可以用罗伯法的哦！ 3.中间数的3倍等于幻和，中间数的2倍等于两边数的和；三角特征：下图中三角形中（9+3）÷2＝6，这样的三角形有4个。
将9个连续的自然数填入下图的的方格中，使得到的三阶幻方的幻和是60。
在下面图形中填入不大于20的偶数，使得幻方中每一行，每一列以及每条对角线的数字之和都为36。
将图中的数重新排列，构成一个三阶幻方。
22 30 26 22 30 26 22 30 26
在3×3的方格内已填好了两个数15和27，在其余的空格中填上适当的数，使得每一行，每一列以及每条对角线的数25这25个数填入下图中的方格里，使每行、每列及两条对角线上五个数字的和都相等。
将1—49中所有奇数填入下图的方格中，使每行、每列及两条对角线上五个数字的和都相等。
将1－16这16个数填入下图中的方格里，使每行、每列及两条对角线上的四个数字的和都相等。
将15，16，17……29，30这16个数填入下图中的方格里，使每行、每列及两条对角线上的四个数字的和都相等。
8 5
11
如下图的三阶幻方，已经填出了37，50，19这三个数，请把余下部分补充完整。
50 19 37
在下图的方格中填写不大于12且互不相同的9个自然数，使得任一行、任一列及对角线上的三个数之和都等于21。（幻和是21）

罗伯法口诀的解释

罗伯法（Rob's Method）是一种解决幻方问题的方法，主要用于填充奇数阶的幻方。

这种方法是基于一种叫做阶梯法（Ladder method）的技巧，并且通过口诀的形式便于记忆和应用。

以下是罗伯法口诀的解释：
1. 一居上行正中央：在首行最中间的格子中填入数字1。

2. 依次斜填切莫忘：向右上角斜行，依次填入连续的数字，即按照顺序从2 填到N^2 （N 是幻方的阶数），并保持斜线的方向不变。

3. 上出框界往下写：如果数字要填写的位置超出了幻方的上边界，那么就将这个数字放在下一行对应的位置。

4. 右出框时左边放：如果数字要填写的位置超出了幻方的右边界，那么就将这个数字放在同一列的前一个位置。

5. 排重便在下格填：如果所要填写的数字已经在该斜线上出现过，那么就在下一个空格继续尝试填写。

6. 右上出框往下降：当同时超出上边界的格子和右边界的格子时，需要把数字放置在下一格，同时遵循“上出框界往下写”和“右出框时左边放”的原则。

7. 出角重复一个样：如果在填写过程中遇到了某个数字已经出现在了它应该所在的对角线上，那么只需像遇到重复数字一样处理，在下个空格继续尝试填写。

按照这些规则，可以构建出任意奇数阶的幻方。

这种方法简单易记，适合初学者掌握。

巧填幻方

巧填奇数阶幻方月日姓名【知识要点】在3×3或4×4……的正方形，每行每列及每条对角线上的和都相等的填有数的数阵图叫做幻方。

三阶幻方是最基本的幻方，构造这个幻方可以有很多种方法。

我们在这里介绍其中最常用的一种：罗伯法：法国人罗伯总结出了，到目前为止，构造3价连续自然数幻方的最简单易行的方法：“罗伯法”。

这种方法还可以用于构造5阶、7阶……所有奇数阶幻方。

罗伯法的具体方法可以总结口诀如下：“1”坐边中间，斜着把数填。

出边填对面，遇数往下旋。

出角仅一次，转回下格间。

【典型例题】例1：用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

使每行每列及对角上的数之和是15。

练习1：用3～11这九个数补全图中的三阶幻方，并求幻和。

例2：用1～25这25个数补全图1中的五阶幻方，并求幻和图1图2大比拼：用1～49这49个数补全图2中的七阶幻方，并求幻和例3. 如下图，右方格表中的每个方格中填入一个字母，使得方格表中每行、每列及每条对角线上的四个方格中的字母都是A、B、C、D（排列顺序不限），那么表中*处应填的字母是什么？作业：从1～100中找出25个连续数填入以下五阶幻方中，使每一行、每一列及每条对角线上的数的和都相等。

相关习题1．在下面空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于15。

第1题第2题图第3题图2．把3到11这9个数字填入下图中，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等。

3．把12到36这25个数填入下图中，使每行、每列及每条对角线上5个数的和都相等。

4．使每行每列对角线上的字母都是ABCD第4题第5题第6题5．在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列两条对角线上的三个数的和都等于18。

6．如图，一个方格表内每行、每列及每对角线上的三个数的和都相等。

那么x= 。

7．将图中的数重新排列，使每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。

87 2A B CCD*2123 30×247 252 2 25 5 58 8 8。

罗伯法

罗伯法5阶幻方用罗伯法构造幻方：幻方是一种广为流传的数学游戏，据说早在大禹治水时就发现过。

幻方的特点是：由自然数构成n×n正方形阵列，称为n阶幻方，每一行、每一列、两对角线上的数之和相等。

当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。

法国人罗伯总结出了构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法“罗伯法”。

下图就是一个用罗伯法排好的5阶幻方。

罗伯法的助记口诀：（初学者可先画出一个N×N的方格阵）1 居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填——如果数字{N} 右上的格子已被其它数字占领，就将{N+1} 填写在{N}下面的格子中右上重复一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理罗伯法的具体方法如下：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n2-1个数：1)每一个数放在前一个数的右上一格；2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4)如果这个数（例如6）所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数（例如5）的下一行同一列的格内；5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同4)。

奇数阶幻方的经典方法－罗伯法所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。

这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。

构造幻方的方法：奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。