2020届广东省六校高三第二次联考数学 试题

2020届广东六校高三第二次联考试题

数 学

一、选择题：本题12小题，每小题5分，共60分。

1．设全集U 是实数集R ，{}{}2=log 1,13M x x N x x >=<<，则（C U M ）N =I ( )

A ．{}23x x <<

B ．{}3x x <

C ．{}12x x <≤

D ．{}

2x x ≤

2．复数z 满足23i i z +=（其中i 是虚数单位），则z 的虚部为 （ ）

A ．2

B ．3-

C ．3

D ．2- 3．在ABC ∆

中，AB =1AC =，30B ∠=o ，则A ∠= （ ）

A ．60︒

B ．︒︒9030或

C ．60120︒︒或

D ．︒90

4．设平面向量()2,1a =-r ，(),2b λ=r ，若a r 与b r 的夹角为锐角，则λ的取值范围是（ ）

A ．()(),44,1-∞--U

B ．()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭

U C ．()1,+∞ D ．(),1-∞ 5．若0a >，0b >，则“8a b +≤”是“16ab ≤”的 （ ）.

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．设3log 0.4a =，2log 3b =，则 （ ）

A ．0ab >且0a b +>

B ．0ab <且0a b +>

C ．0ab >且0a b +<

D ．0ab <且0a b +<

7．已知函数()21010

x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，，，若()()423f x f x ->-，则实数x 的取值范围 是 （ ）

A ．()1，-+∞

B ．()1-∞-，

C ．()14-，

D ．()1-∞，

8．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若452a S +=，714S =，则10a = （ ）

A ．18

B ．16

C ．14

D ．12

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．76π

B ．43π

C ．2π

D ．136π 10．函数2()1sin 1x f x x e ⎛⎫=-

⎪+⎝⎭

图象的大致形状是 （ ） A ． B ． C ． D ．

11．己知点A 是抛物线2

4x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A 、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）

A ．21+

B ． 212+

C ．512-

D ．51-

12．若存在唯一的正整数0x ，使得不等式

20x x ax a e -->恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．240,3e ⎛

⎫ ⎪⎝⎭ B ．241,3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．241,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣

⎭ 二、填空题，本题4个小题，每小题5分，共20分。

13．a r 为单位向量，0b ≠r r ，若a b ⊥r r 且32

a b -=r r ，则b =r ________. 14．若tan 24πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

，则tan2α=___________． 15．若()()321111322

f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．

16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足6BA BC ==

，2ABC π∠=，

若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17至21题为必做题，每小题12分；第22、23题为选做题，每小题10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（一）必做部分

17．（本小题12

分）已知函数2()sin )2f x x x x =+-．

（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合；

（2）若[]22x ππ∈-

，，求函数()f x 的单调减区间．

18．（本小题12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，19a =，129n n a S +=+，*n ∈N ，11b =，13log n n n b b a +-=．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求证：对*n ∈N ，总有1211112n

b b b ≤+++

19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，//AD BC ，12

AB BC AP AD ===，30ADP ∠=︒ 90BAD ∠=︒. (1)证明：PD PB ⊥；

(2)设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，若MBC ∆的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积．

20．（本小题12分）在直角坐标系xoy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线4x =的距离之比是12

，设动点P 的轨迹为E ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；

（2）设过F 的直线交轨迹E 的弦为AB ，过原点的直线交轨迹E 的弦为CD ，若//CD AB ，求证：2

||||CD AB 为定值．

21．（本小题12分）已知函数()ln 1f x x x =++，()2

2g x x x =+． （1）求函数()()y f x g x =-的极值；

（2）若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值．

（二）选做部分（二选一，本小题10分）

22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线c 的参数方程为3cos sin x y αα

=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-

= ⎪⎝⎭

．