2020届广东省六校高三第二次联考数学 试题

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2020届广东六校高三第二次联考试题

数 学

一、选择题:本题12小题,每小题5分,共60分。

1.设全集U 是实数集R ,{}{}2=log 1,13M x x N x x >=<<,则(C U M )N =I ( )

A .{}23x x <<

B .{}3x x <

C .{}12x x <≤

D .{}

2x x ≤

2.复数z 满足23i i z +=(其中i 是虚数单位),则z 的虚部为 ( )

A .2

B .3-

C .3

D .2- 3.在ABC ∆

中,AB =1AC =,30B ∠=o ,则A ∠= ( )

A .60︒

B .︒︒9030或

C .60120︒︒或

D .︒90

4.设平面向量()2,1a =-r ,(),2b λ=r ,若a r 与b r 的夹角为锐角,则λ的取值范围是( )

A .()(),44,1-∞--U

B .()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭

U C .()1,+∞ D .(),1-∞ 5.若0a >,0b >,则“8a b +≤”是“16ab ≤”的 ( ).

A .必要不充分条件

B .充分不必要条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

6.设3log 0.4a =,2log 3b =,则 ( )

A .0ab >且0a b +>

B .0ab <且0a b +>

C .0ab >且0a b +<

D .0ab <且0a b +<

7.已知函数()21010

x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩,,,若()()423f x f x ->-,则实数x 的取值范围 是 ( )

A .()1,-+∞

B .()1-∞-,

C .()14-,

D .()1-∞,

8.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若452a S +=,714S =,则10a = ( )

A .18

B .16

C .14

D .12

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A .76π

B .43π

C .2π

D .136π 10.函数2()1sin 1x f x x e ⎛⎫=-

⎪+⎝⎭

图象的大致形状是 ( ) A . B . C . D .

11.己知点A 是抛物线2

4x y =的对称轴与准线的交点,点B 为抛物线的焦点,P 在抛物线上且满足PA m PB =,当m 取最大值时,点P 恰好在以B A 、为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为 ( )

A .21+

B . 212+

C .512-

D .51-

12.若存在唯一的正整数0x ,使得不等式

20x x ax a e -->恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ) A .240,3e ⎛

⎫ ⎪⎝⎭ B .241,3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .241,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣

⎭ 二、填空题,本题4个小题,每小题5分,共20分。

13.a r 为单位向量,0b ≠r r ,若a b ⊥r r 且32

a b -=r r ,则b =r ________. 14.若tan 24πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

,则tan2α=___________. 15.若()()321111322

f x f x x x '=-++,则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________.

16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC ∆满足6BA BC ==

,2ABC π∠=,

若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为________.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17至21题为必做题,每小题12分;第22、23题为选做题,每小题10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

(一)必做部分

17.(本小题12

分)已知函数2()sin )2f x x x x =+-.

(1)求函数()f x 的最小值,并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合;

(2)若[]22x ππ∈-

,,求函数()f x 的单调减区间.

18.(本小题12分)数列{}n a 的前n 项和记为n S ,19a =,129n n a S +=+,*n ∈N ,11b =,13log n n n b b a +-=.

(1)求{}n a 的通项公式;

(2)求证:对*n ∈N ,总有1211112n

b b b ≤+++

19.(本小题12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,平面ABCD ⊥平面PAD ,//AD BC ,12

AB BC AP AD ===,30ADP ∠=︒ 90BAD ∠=︒. (1)证明:PD PB ⊥;

(2)设点M 在线段PC 上,且13PM PC =,若MBC ∆的面积为27,求四棱锥P ABCD -的体积.

20.(本小题12分)在直角坐标系xoy 中,动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线4x =的距离之比是12

,设动点P 的轨迹为E . (1)求动点P 的轨迹E 的方程;

(2)设过F 的直线交轨迹E 的弦为AB ,过原点的直线交轨迹E 的弦为CD ,若//CD AB ,求证:2

||||CD AB 为定值.

21.(本小题12分)已知函数()ln 1f x x x =++,()2

2g x x x =+. (1)求函数()()y f x g x =-的极值;

(2)若实数m 为整数,且对任意的0x >时,都有()()0f x mg x -≤恒成立,求实数m 的最小值.

(二)选做部分(二选一,本小题10分)

22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线c 的参数方程为3cos sin x y αα

=⎧⎨=⎩(α为参数),在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-

= ⎪⎝⎭

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