第七章 响应面设计法
第七章 响应面回归设计
二次回归正交设计
应用二次回归正交设计法，所得的 回归系数的估计之间相互独立，因 此删除某些因子时不会影响其它的 回归系数的估计，从而很容易写出 所有系数为显著的回归方程。 二次回归正交设计的试验点由正交 点、主轴点和中心点组成。
二次回归正交设计
两个变量的试验点组合方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M n x1 1 1 −1 −1 x2 1 −1 1 −1 0 0 3 2 用 L 4 ( 2 ), m c = 2 = 4 星号点 , 2 p = 4 中心点 m 0
Ey H0： ： 假设： 假设： Ey H1： ： = β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
≠ β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
统计量： 统计量：
FLf =
S Lf / f Lf Se / fe
当拒绝H 需要寻找原因， 当拒绝 0时，需要寻找原因，改变模型 否则认为线性回归模型合适，可以将S 否则认为线性回归模型合适，可以将 e 合并作为S 检验方程是否显著。 与SLf合并作为 E检验方程是否显著。
回归设计
回归设计概述 回归模型 因素水平编码 Box－Benhken设计 － 设计 二次回归正交设计
概述
回归设计也称为响应面设计。 是一种通过少量试验，获得数据， 估计参数，有效地建立试验指标和 连续变量之间的定量关系的方法。 它是由英国统计学家G.Box在20世 纪50年代初真对化工生产提出的， 后来这一方法得到了广泛的应用。
(
)
Y —响应变量；xj —第j个自变量； ε—正态随机误差；β0 —回归截距； βj βjj’βjj —回归系数；
响应面设计的基本步骤
响应面设计的基本步骤
嘿，咱今儿就来说说这响应面设计的基本步骤哈。
你想啊，响应面设计就像是搭积木，得一块一块稳稳地往上垒。
首先呢，得确定咱要研究的因素，这就好比选好要搭的积木种类。
这些因素可不能瞎选，得是对咱要研究的事儿有重要影响的才行。
然后呢，要确定因素的水平范围。
这就像给积木定个大小范围，不能太大也不能太小，得合适才行。
不然，要么搭出来歪歪扭扭，要么根本搭不起来。
接下来，就该设计实验方案啦。
这就如同规划怎么把积木搭出个漂亮的形状来。
这可得好好琢磨，不同的设计方法就像不同的搭积木技巧，得选个最适合的。
再之后，就是做实验啦。
这可不像小孩子玩积木那么轻松哦，得认真仔细，不能有一点儿马虎。
每一个数据都得像宝贝似的收集起来。
做完实验，就得分析数据啦。
这就像是检查搭好的积木稳不稳，有没有哪里需要调整。
通过分析，咱能看出哪个因素最重要，哪个因素不太起作用，就像知道哪个积木是关键的，哪个是可以替换的。
最后呢，根据分析结果优化方案。
这就好比把搭好的积木再修饰修饰，让它更完美。
你说这响应面设计是不是挺有意思的？就跟搭积木似的，一步一步来，最后就能搭出个漂亮的“城堡”。
咱可不能小瞧了这些步骤，每个步骤都得认真对待，不然这“城堡”可就搭不起来咯。
咱得有耐心，有细心，就像对待最心爱的宝贝一样对待响应面设计。
你想想，要是随随便便弄一下，那能有好结果吗？肯定不能呀！所以呀，咱得好好琢磨这每一步，让响应面设计发挥出最大的作用，给咱带来好的成果。
你说是不是这个理儿？。
响应面方法PPT课件
• (CCD)、Box-Behnken Design(BBD)是最常用的实验设计 方法。
• 以BBD为例说明Design-Expert的使用，CCD，PB与此类 似。
-
16
打开design expert软件， 进入主界面，然后点击 file，点击new design选 项卡创建一个新的试验 设计工程文件。
295.9 363.3 361.7
325.3 336.3 381.0
320.5 353.7 369.5
286.9 322.5 345.9
219.9 278.0 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
• 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍）， 以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；
• 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的响应为Ｚ坐标作出三 维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）。
• 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即， 计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计 后，应进行检验。
为：yij=b0+b1Ni+b2Pj+b4Ni2+b5P-j2+ εij
11
• 使用该模型分析的结果为表3，从表3中可以看出b1、 b4、b5达到极显著水平，b2接近达到显著性，只有b3 达不到显著水平。
表 3 二元二次多项式回归的方差分析(缩减模型)
响应面法的理论与应用
引言
引言
在生物技术迅猛发展的时代，生物过程的优化对于提高产物的产量、质量和 生产效率具有至关重要的意义。响应面法是一种通过对生物过程各个参数进行优 化，实现目标产物高效合成的数值模拟方法。本次演示将介绍响应面法的基本原 理及其在生物过程优化中的应用案例，同时分析其局限性和未来发展方向。
响应面法的基本原理
应用响应面法进行试验设计与优化的步骤
4、执行实验：按照设计好的实验方案进行实验，并收集数据。 5、数据分析：使用统计方法对实验数据进行拟合，得到输入与输出之间的数 学模型。
应用响应面法进行试验设计与优化的步骤
6、模型验证：使用独立的数据集来验证模型的准确性，以确保它能够准确地 预测未来的实验结果。
响应面法的局限性和未来发展方 向
响应面法的局限性和未来发展方向
虽然响应面法在生物过程优化中取得了显著成果，但仍存在一些局限性，如 对模型的过度拟合和对实际生物过程的简化等。为了克服这些局限性，未来研究 方向包括：
响应面法的局限性和未来发展方向
1、完善模型的可信度和鲁棒性：通过对模型进行交叉验证和敏感性分析等方 法，提高模型的预测能力和稳定性。
参考内容
引言
引言
在科学研究和工业生产中，试验设计与优化是一项至关重要的任务。好的试 验设计可以有效地减少误差、提高效率，从而帮助我们更好地理解并优化复杂的 系统。响应面法是一种常用的试验设计方法，它通过构建一个数学模型来描述输 入参数与输出结果之间的关系。在许多领域，如化学、生物、工程等，响应面法 都得到了广泛的应用。本次演示将探讨响应面法在试验设计与优化中的应用。
总结与展望
3、考虑非线性关系：在现实世界中，许多现象之间的关系可能是非线性的。 未来的研究可以更多地非线性关系的处理方法，以提高响应面法的适用性和解释 力。
响应面方法
二因素响应面分析
• 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以 上间的交互作用。因此假设二因素响应（曲）面的 数学模型为二次多项式模型。
• 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一 般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模 型各参数，从而建立模型；
• 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以 相应的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是 ２因素响应曲面）。
磷肥
0 7 14 21 28 35 42
0 86.9 110.4 134.3 162.5 158.2 144.3 88.7
表1
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
大麦氮磷肥配比试验结果
氮肥
6
9
12
216.4 274.7 274.3
276.7 342.8 343.4
误差
总变异
DF
SS
MS
F
5
332061.25 66412.25 352.08** F F = 0.05(5,43) 2.44; =3.49 0.01(5,43)
• 前提：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的
选取不当，使用响应面优化法是不能得到很好的优化结果的。
因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各
因素与水平。
a
2
• 响应面即回归的正交试验设计，考虑了实验随机误差；可以在因素的试 验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高，统计性质 好的回归方程，并能解决试验优化问题。
• 例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关，可以 通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系， 从而求得最佳施肥配方。
响应曲面设计
一般选择全因子设计（因子数在2-4之间），因子数>5时考虑采用部分因 子设计。
2、如何确定(quèdìng)星号点的位置（多考虑旋转性）
F=K2 或 F=1/2K2(>5个因素） α=(F)1/4
F为因子试验点的总数 ，K为因子的个数 即可满足旋转性，又可满足序贯性，称为中心复合贯序设计（CCC）。 α=2K/4
响应(xiǎngyìng)曲面设计适用范围: ①确信或怀疑因素对指标存在非线性影响
②因素个数2-7个，一般在4个以内 ③所有因素均为计量值数据 ④试验区域已接近最优区域 ⑤基于2水平的全因子正交试验
精品文档
一、响应曲面设计(shèjì)概论 响应曲面设计的方法分为(fēn wéi)两类：
中心复合试验设计（CCD）
需要考虑的问题如1如何选择全因子设计部分2如何确定星号点的位置即确定值3如何确定中心点的个数中心复合设计实验方案的确定1如何选择全因子设计部分一般选择全因子设计因子数在24之间因子数5时考虑采用部分因子设计
Youth
RSM LIULI 精品文档
关于(guānyú)《RSM》
RSM是利用合理(hélǐ)的实验设计方法并通过实 验的到一定的数据，采用多元二次回归方程来 拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对 回归方程的分析来寻求最优的工艺参数，解决
精品文档
中心复合(fùhé)设计实验方案的确定
3、中心点个数的选择
在满足旋转性的前提下，适当的选择中心点数，可以使整个试验区域内的 预测值具有一致均匀(jūnyún)精度。一般至少选2-5次。
因子数 2 3 4 5 5
立方点 4 8 16 32 16
星号点 4 6 8 10 10
响应面法实验设计步骤
响应面法实验设计步骤
嘿，咱今儿来聊聊响应面法实验设计步骤哈！这响应面法啊，就好比是你要去一个陌生的地方找宝藏。
第一步呢，就是确定你要找宝藏的范围，这就像是确定你的因素和水平。
你得想好哪些因素可能会影响到你的宝藏呀，比如是走这条路还是那条路，是白天去找还是晚上去找。
然后给这些因素设定不同的水平，就像给每条路设定不同的难度级别一样。
第二步，那就是要开始设计实验啦！这就像你规划好怎么去走这些路，怎么去尝试不同的组合。
你得选好合适的实验点，可不能瞎选哦，不然就像无头苍蝇一样乱撞啦！
第三步呢，就是真刀真枪地去做实验啦！这可不能马虎，得认真对待，就跟你真的踏上找宝藏的路途一样，每一步都得走稳咯。
第四步，收集数据呀！这就好比你沿途做标记，记住你走过的路和遇到的情况。
这些数据可都是宝贝呀，能帮你找到宝藏的线索呢！
第五步，拟合模型！哎呀呀，这就像是把那些标记和线索串起来，看看能不能找到宝藏的大致方向。
第六步，对模型进行分析。
这时候你就得好好瞅瞅这个模型靠不靠谱啦，有没有把你带偏呀。
第七步，优化！哈哈，这就是要找到那个最有可能藏着宝藏的地方
啦！要精确定位哦！
你说这响应面法是不是很有趣呀？就像一场刺激的寻宝之旅！你得有耐心，还得有智慧，可不能瞎折腾。
不然，宝藏可就跟你擦肩而过咯！
总之，响应面法实验设计步骤就是这么一套厉害的法宝，能帮你在科研的道路上找到属于你的“宝藏”！好好用它，肯定能有大收获！。
响应面方法
过磷酸钙施用量为21.61kg时产量最高。
295.9 363.3 361.7
325.3 336.3 381.0
320.5 353.7 369.5
286.9 322.5 345.9
219.9 278.0 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
76.70 31.63
8.21 -1.14 -0.19
标准误
6.06 1.17 0.50 0.06 0.01
t
12.66** 27.02** 16.37** -18.22** -16.45**
图1 大麦产量 对于氮、磷肥 的响应面图
• 分别对回归方程求对 N 和 P 的偏导数，并令偏 导数等于0，可求得极值：
• 正交试验设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试 验范围内的最优方案；回归分析可以对结果进行预测和优化，但只能被 动的处理和分析。两者的优势结合起来，有合理的试验设计和较少的试 验次数，建立有效的数学模型。
• 许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出直 观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但 难以直观地判别优化区域。
• 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线性体系 可作适当处理化为线性形式。
响应面法
响应面所谓的响应面是指响应变量η与一组输入变量（ζ1,ζ2,ζ3...ζk）之间的函数关系式：η=f(ζ1,ζ2,ζ3...ζk)。
依据响应面法建立的双螺杆挤压机的统计模型可用于挤压过程的控制和挤压结果的预测。
试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件．显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的量测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型作图．建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法．对于非线性体系可作适当处理化为线性形式．设有ｍ个因素影响指标取值，通过次量测试验，得到ｎ组试验数据．假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则有应用均匀设计一节中的方法将上式写成矩阵式或简记为式中表示第次试验中第个因素的水平值；为建立模型时待估计的第个参数；为第次试验的量测响应（指标）值；为第次量测时的误差．应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵Ｂ如下将Ｂ阵代入原假设的回归方程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图．模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面．下面简要讨论二因素响应面分析的大致过程．在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用，有理由设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型，可表示如下：通过ｎ次量测试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的由上式计算的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）．应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求．因此，求出系数的最小二乘估计后，应进行检验．一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别．如果以表示响应试验值，为计算值，则两者的相关系数Ｒ定义为其中对于二因素以上的试验，要在三维以上的抽象空间才能表示，一般先进行主成分分析进行降维后，再在三维或二维空间中加以描述．什么叫响应面法?试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件．显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的量测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型作图．建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法．对于非线性体系可作适当处理化为线性形式．设有ｍ个因素影响指标取值，通过次量测试验，得到ｎ组试验数据（）．假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则有应用均匀设计一节中的方法将上式写成矩阵式或简记为式中表示第次试验中第个因素的水平值；为建立模型时待估计的第个参数；为第次试验的量测响应（指标）值；为第次量测时的误差．应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵Ｂ如下将Ｂ阵代入原假设的回归方程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方式绘出响应与因素的关系图．模型中如果只有一个因素（或自变量），响应（曲）面是二维空间中的一条曲线；当有二个因素时，响应面是三维空间中的曲面．下面简要讨论二因素响应面分析的大致过程．在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用，有理由设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型，可表示如下：通过ｎ次量测试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的由上式计算的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）．应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求．因此，求出系数的最小二乘估计后，应进行检验．一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别．如果以表示响应试验值，为计算值，则两者的相关系数Ｒ定义为其中对于二因素以上的试验，要在三维以上的抽象空间才能表示，一般先进行主成分分析进行降维后，再在三维或二维空间中加以描述．。
响应面设计
响应面分析在多因素数量处理试验的分析中，可以分析试验指标(依变量)与多个试验因素(自变量)间的回归关系，这种回归可能是曲线或曲面的关系，因而称为响应面分析。
例如农作物产量与N 、P 、K 的施肥量有关，可以通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系，从而求得最佳施肥配方。
在回归分析中，观察值y 可以表述为：ε+=)，，，(l x x x f y 21其中)，，，(l x x x f 21是自变量l x x x ，，， 21的函数，ε是误差项。
在响应面分析中，首先要得到回归方程)，，，(l x x x f y 21ˆ=，然后通过对自变量l x x x ，，， 21的合理取值，求得使)，，，(l x x x f y 21ˆ=最优的值，这就是响应面分析的目的。
[例13.15] 有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个水平，施磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35，42kg 7个水平，共49个处理组合，试验结果列于表13.66，试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
18 0 270.3 9 0274.79 42 278 0 42 88.7 9 21 336.3 921 336.318 42 281.2 18 21 382.2 0 086.90 21 162.5表13.66 大麦氮磷肥配比试验结果 磷 肥 氮 肥 0 3 6 9 12 15 18 0 86.9 162.5 216.4 274.7 274.3 301.4 270.3 7 110.4 204.4 276.7 342.8 343.4 368.4 335.1 14 134.3 238.9 295.9 363.3 361.7 345.4 351.5 21 162.5 275.1 325.3 336.3 381.0 362.4 382.2 28 158.2 237.9 320.5 353.7 369.5 388.2 355.3 35 144.3 204.5 286.9 322.5 345.9 344.6 353.5 4288.7192.5219.9278.0319.1290.5281.2对于表13.66的数据可以采用二元二次多项式拟合，那么产量可表示为：ijj i j i j i ij P b N b P N b P b N b b y ε++++++=25243210其中N i 、P j 、εij 分别表示N 、P 施用量和误差，按此模型的方差分析见表13.67。
响应面试验设计
对于α 值选取的另一个出发点也是有意义的， 就是取α =1，这意味着将轴向点设在立方体的表面 上，同时不改变原来立方体点的设置，这样的设计 称为中心复合表面设计 (central composite facecentered design,CCF)。
2001年 11
2000年 11
0
100 200 300
555 668
533 411
400 500 600 700 文章数量
787 800 900
2000年来CNKI数据库中以“主题=响应面设计”检索的文章数 量
20132012年 2011年 2010年 2009年 2008年 2007年 2006年 2005年 2004年 2003年
• 概述
– SAS系统全称为Statistical Analysis System。
– SAS系统最早由美国北卡罗来纳州立大学的两位生 物统计学研究生编制，并于1976年成立了SAS软件 研究所，正式推出SAS软件。
– SAS现在的最新版本为9.1版，根据不同的安装方式， 所占硬盘空间大约为1-2G。
•
– SAS中文论坛
•
SAS系统概述
• SAS系统简介 • 界面操作
SAS系统简介
• 概况
– SAS是美国SAS软件研究所研制的一套大型集成应用软件系 统，具有完备的数据存取、数据管理、数据分析和数据展 现功能。
0
1479 1162 969 791 720 687 608 562 486 457 402
200
400
600
800
1000
响应面法操作步骤
响应面法操作步骤响应面法是一种利用数学建模和实验设计的方法，用于优化多变量系统的性能。
它通过在系统的输入变量范围内选择一组试验点，然后测量其对应的输出变量，并根据这些数据拟合一个数学模型，从而预测响应变量在未来测试点的表现。
以下是响应面法的操作步骤：1.确定目标：首先，明确需要优化的目标和要求。
例如，优化生产过程的一些关键指标，如能耗、产量或质量特性等。
2.确定因素：确定影响目标变量的所有因素，包括输入变量和噪声因素。
输入变量是可以控制和调整的因素，噪声因素是无法控制的外部或随机变量。
3.设计试验计划：设计一组试验点来采集因变量的数据，并且试验点需要尽可能地覆盖输入因素空间。
试验点的数量和分布需要根据实际情况来确定，一般使用正交设计或中心组合设计等方法。
4.执行试验：按照试验计划，依次进行试验并记录实验数据。
确保试验过程的控制和标准化，以提高实验数据的可靠性和可重复性。
5.分析数据：对试验数据进行统计分析和数据处理，以确定输入因素和目标变量之间的关系。
常用的分析方法包括方差分析、多元回归分析、假设检验等。
6.构建数学模型：根据试验数据，建立数学模型来预测目标变量在未来测试点的表现。
常用的模型包括线性模型、二次多项式模型、响应面模型等。
根据模型的复杂度和适应性来确定使用何种方法进行模型构建。
7.验证模型：使用验证集数据来检验数学模型的准确性和可靠性。
对于线性模型，可以使用预测误差分析或交叉验证等方法。
如果模型的验证结果不理想，需要重新调整模型或重新设计试验。
8.优化目标：利用建立好的数学模型，通过数学优化算法寻找最优解。
最优解是使目标函数取得全局或局部最小值（或最大值）的输入因素组合。
9.进行优化：根据最优解，确定最佳的输入因素组合，并应用于实际生产或工程中。
如果输入变量超出范围，可以通过插值或外推方法进行预测和调整。
10.确定可行解：验证最优解是否可行，并评估其实际应用效果。
如果最优解不可行或效果不满意，需要重新优化模型或重新调整因素。
响应面法PPT课件
因此，各因素的水平点共有五个，即（-r, -1, 0, 1, r） 根据上下水平的具体值，可以将标准化的 r值 换为具体值。
以三因素X1, X2, X3为例，说明设计点的步骤
因此，各因素的水平点共有五个，即（-r, -1, 0, 1, r） 根据上下水平的具体值，可以将标准化的 r值 换为具体值。
由有限次的试验的出的数据，来估计 y= f （ x1, x2…xp ）具体表达式 （由部分说明全体）。 但该具体表达式不具体存在，只能通过数学模 型进行拟合，得出与实际结果最为近似的表达 式。
数学拟合模型 例如，三因素的多元线性拟合的结果：
y=a+bx1+cx2+dx3
但是，从实际出发，因素与响应一般是非线性的，所以以上模型一般都不适用。 因此，对于曲面上弯曲较大的区域，线性显然不能线性拟合。 我们要用二次或以上的多元非线性拟合
数学拟合模型
三因素的二元非线性拟合的结果表达式： Y=B0+B1X1+B2X2+B3X3+B4X12+B5X22+B6X32+B7X1X 2+B8X2X3+B9X1X3
思路：通过设计试验点， 通过这些试验点的响应，来得出系数的值。
怎样选择试验点了？
星点试验设计
以三因素X1, X2, X3为例，说明设计点的步骤
真实极值= r *∆+x10 = - r *∆+x10
例如，某因素
上水平35，下水平为30 真实上极值=38.41 真实下极值=21.59
两因子组合设计试验点分布图
试验点确定后，进行响应面表设计。
效应面表由以下部分组成：（以三因素为例）
响应面试验设计课件
响应面试验设计
旋转性(rotatable)
旋转设计具有在设计中心等距点上预测方差 恒定的性质，这改善了预测精度。
响应面试验设计
α的选取
在α的选取上可以有多种出发点，旋转性是
响应面试验设计
轴向点(axial point)
轴向点，又称始点、星号点，分布在轴向上。
除一个坐标为+α或-α外，其余坐标皆为0。
在k个因素的情况下，共有2k个轴向点。
响应面试验设计
中心点(center point)
中心点，亦即设计中心，表示在图上，坐标 皆为0。
响应面试验设计
区组(block)
19
0 0 0 0 0 00 0 0
20
0
0
0
0 响0应面试验0设计 0
0
0
BB
ABC -1 -1 0 1 -1 0 -1 1 0 110 -1 0 -1 1 0 -1 -1 0 1 101 0 -1 -1 0 1 -1 0 -1 1 011 000 000 000
3.分析响应面设计的一般步骤
① 拟合选定模型； ② 分析模型的有效性：P值、R2及R2(adj)、s值、
■50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中 应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面 深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所 周知的贡献。
响应面试验设计
• 我国优化试验设计方法
■60末期代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选 法”，如黄金分割法、分数法和斐波那契数列法等。 ■数理统计学者在工业部门中普及 “正交设计”法 。 ■70年代中期，优选法在全国各行各业取得明显成效。
响应面法在试验设计中的应用
响应面法在试验设计中的应用响应面法是一种试验设计方法，用于确定研究因素对一些响应变量的影响。
它是通过拟合数学模型来预测响应变量与研究因素之间的关系，并寻找最优的因素组合。
在工程、化学、生物学等领域，响应面法广泛应用于优化工艺、提高产品质量和性能等方面。
在试验设计中，响应面法通常包括以下几个步骤：1.确定研究因素和响应变量：首先要明确需要研究的因素和关心的响应变量。
因素可以是连续型或离散型的变量，而响应变量则是根据具体研究目的确定的。
2.设计试验方案：根据已知的因素范围和目标要求，设计一组试验点。
通常使用正交设计或中心组合设计来选择试验点，以使得试验点在整个因素空间中均匀分布。
3.进行实验：在选定的试验点上进行实验，并测量响应变量的值。
实验数据应准确可靠，尽量控制其他干扰因素的影响，以确保实验数据的可靠性。
4.构建数学模型：利用试验数据，可以建立数学模型来描述响应变量与因素之间的关系。
常用的模型包括线性模型、多项式模型等，可以根据实验数据的分布和拟合情况选择合适的模型。
5.分析模型和优化：通过对数学模型的参数估计和显著性检验，可以确定哪些因素对响应变量有显著影响。
根据模型，可以进行模型预测和优化。
通过模型预测，可以预测在未来试验中其中一种因素组合的响应变量值。
通过模型优化，可以确定使响应变量达到最优值的因素组合。
响应面法的应用非常广泛。
例如，在工程设计中，可以利用响应面法来优化工艺参数，提高产品的质量和性能。
在药物研发中，可以使用响应面法来优化配方，提高药物的溶解度和稳定性。
在生物学研究中，可以利用响应面法来确定最佳反应条件和培养基配方。
响应面法的优势在于可以同时考虑多个因素对响应变量的影响，避免了逐个更改因素的过程。
通过精心设计试验方案，可以大大减少试验数量和时间成本，提高试验效率。
此外，响应面法还可以通过确定关键因素和其最优取值，为进一步改进和优化提供有力指导。
总之，响应面法是一种强大的试验设计方法，在众多科学领域中得到了广泛应用。
第七章 响应面设计法
例1：某药物毫微球包封率的 优化
• 已知在155F下蒸发35分钟，得到的包封
率是40%。
为
•
设首次优化区间为（150，160F）、 （30，40分）
什 么 除
• 自变量规范化：
以 5
• 采用22析因设计（加5个中心对照点）？
• 通过中心对照点检验弯曲性，拟合一阶 方程，对模型进行统计检验
• 2因素的等径设计(Equiradial design for 2 factors)
• 大于2因素的等径设计(Equiradial design for more than 2 factors)
一、2因素等径设计
• 按单纯形形状可以分为：三角形Triangle、正方形square、正五 边形pentagon和正六边形hexagon四种。
否定先前的模型是没有根据的放弃模型不用更是不应该的欲发现真正的最优试验条件调整试验范围是必f检验给出的显著性与否是判断回归模型是否有效的当然依据一般情况下回归平方和与剩余平方和的比值越大则模型的可信度愈高表现在复相关系数或相关系数上r数值就越大一元线性回归分析常用相关系数表述相关关系的大小且r值可正可负但是建模的过程中我们不能简单地追求高的回归平方和与剩余平值模型的建立一定要根据专业的知识进行数理统计中一个重要的概念是自由度若选进方程中的项过多使误差自由度为1甚至为0虽然r2更加接近于1模型看上去很完美但这时有关的结论的可靠性是很差的
最速上升（或下降）法步骤
• 确定优化区域：x1（x1i，x1j）,….. xn（xni，xnj） • 将自变量范围规范在（-1，1）之间 • 根据试验（如析因设计）结果确定线性模型 • 假定x1=x2=…..=xn=0为原点或基点 • 选取一个过程变量的步长△xj，通常以回归系数绝对
第七章_响应面回归设计
回归模型
2. 回归系数的最小二乘估计，应满 足以下正规方程：
Y Xb X Y X Xb
' '
当(X’X)-1存在时，解得β 估计b
b X X
'
1
XY
'
回归模型
3. 回归方程的显著性检验：
H0：1 2 p 0 H1：1 , 2 ,, p 不全为0
二次回归正交设计
应用二次回归正交设计法，所得的 回归系数的估计之间相互独立，因 此删除某些因子时不会影响其它的 回归系数的估计，从而很容易写出 所有系数为显著的回归方程。
二次回归正交设计的试验点由正交 点、主轴点和中心点组成。
二次回归正交设计
两个变量的试验点组合方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n x1 1 1 1 1 x2 1 1 1 1 0 0 3 2 用L4 ( 2 ), mc 2 4 星号点, 2 p 4 中心点m0
Y —响应变量；x —第j个自变量； ε —正态随机误差；β 0 —回归截距； β —回归系数；
回归模型
二次响应面模型的矩阵描述：
Y X 2 ~ N n 0, I n
Y —响应变量；X —结构矩阵； ε —正态随机误差；n —数据组数； 0 —nx1的元素全是0的向量；
二次回归正交设计
查表三因子，中心点重复两次的γ =1.2872 Δ =(ZM-Zm)/2γ , X1=Z0+Δ , X-1=Z0-Δ 实验因素水平及编码表
编码 上水平 1 温度（℃） 压力（MPa） 提取时间（hour） 85.54 7.55 2.78
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• 大于2因素的等径设计(Equiradial design for more than 2 factors)
一、2因素等径设计
• 按单纯形形状可以分为：三角形Triangle、正方形square、正五 边形pentagon和正六边形hexagon四种。
• 往往采用最小二乘法获得方程，然后进行统 计检验。
RSM的数学模型
• 泰勒展开式：所有的数学关系式均可以 展开
• 线性、二次多项式，三次以上少见 • 线性的极值往往在边界 • 二次可以采用优化技术
线性和二次模型预测的简单方法
• 例：某药物采用胆酸盐和卵磷脂增溶，中心点为胆酸 盐0.1M, 磷脂/胆酸盐的摩尔比例为1。三种设计的图 如下：
No. X1 X2
X3
X4
X5
X6 X7 X8
1 -0.5 -0.289 2 0.5 -0.289
-0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833 -0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
3 0 0.577 -0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
• X1、X2分别可以用下式表示：i=0,...N-1
N是边数
x1 sin 2i / N, x2 cos 2i / N
2因素等径设计
No 三角形 X1 X2
10 1 2 -0.866 -0.5 3 0.866 -0.5 4 5 6
正方形 正五边形 正六边形
X1 X2 X1 X2 X1 X2
二、2因素以上单纯形设计
• 可以选择析因设计或分式析因设计 前j行的xj=-1/[2j*（j+1）]1/2 • 可以采用单纯形设计：试验次数少，k=n-1 j+1行=j/[2j*（j+1）]1/2
• 基于等边三角形的基础上组成（不明白）R=j/[2j*（j+1）]1/2(下
页)j为x的下标【但是否应该为下页的公式？】
y 0
1x1 ...... k xk
11x12
......
k
k
x
2 k
........
12x1x 2 ..... x x k1,k k-1 k
..........
e
p (k d )!/(k!d!)
总系数项数p与方程幂次d和变量数间的关系
多项式系数项数
第六章 响应面设计法
• 第一节 概述 • 第二节 线性模型的RSM实验设计 • 第三节 球面设计和二次模型 • 第四节 均匀设计
第一节 概述
• Response surface method: RSM • RSM的目的：1）建立效应与各个变量
间的数学关系：Y=f(x1,….,xn)+e，其中 期望值记h， h=f(x1,….,xn), 此称为效应 面；2）在试验区域内或近边界附近进 行效应预测；3）继而进行优化。
• 22析因设计 • CCD正方 • CCD球面
ห้องสมุดไป่ตู้学模型
• 线性： y 0 1x1 2x2 e
• 二次多项式：多通过CCD或星点设计获
得： y
0
1x1
2x2
11x12
22
x
2 2
12x1 x 2
e
• 可以通过线性回归或非线性回归获得
RSM的数学通式
• 实验范围：RSM设计的边界可以是球形、 正方体或混合（圆柱体）的；RSM水平 数：可以根据实际情况选择。
第二节 线性模型的RSM设计
• 采用前面已经叙述的2k析因设计或分式析因设 计：试验次数多。
• 单纯形设计：k维空间中有k+1个顶点的等边 图形。由于涉及的数学模型中的参数较少， 故常常可以采用单纯形法设计。
幂
k
次2 3 4 5 6 7
1345678
2 6 10 15 21 28 36
3 10 20 35 56 84 120
常用响应面设计方法
• 如何通过一定的实验设计使获得的试验 结果可以有效地使响应面数学模型近似 真实的设计方法。
• 序贯法：爬山或落底法，分为数步走， 先找出最优区域，然后进一步找出该区 域的响应面曲线，直至优化。
RSM设计的必要性及地位
• 1）优化的需要；2）进行模型方程模拟 的需要；3）为放大工艺、处方时设计 各参数作准备；4）可以描绘效应面。
• 处于第二阶段
效应面模型的获得
• 在一定的范围内可以是线性的： • 但是更多的情况下，特别是在优化区域内，
往往是二次以上的：
• 获得完全真实的数学模型是不可能的，但在 一定的区域内可以获得近似真实。
• 分别按数学模型是线性或二次多项式而 分
常用响应面设计方法
• 必须是可以旋转的：可以保证各方向的精度 • 拟合一阶模型的设计
析因设计 单纯形设计 • 拟合二阶模型的设计 中心复合设计 Box-Behnken设计
RSM设计的策略
• 数学模型的推论：线性模型比二次模型 简单，需要的试验次数少，所以一般可 以先假设为线性，如果出现弯曲再用二 次多项式RSM设计。
40
0
0.6124 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
50
0
0 0.6325 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
60
0
0
0 0.6455 -0.1091 -0.0945 -0.0833
70
0
0
0
0 0.6547 -0.0945 -0.0833
80
0
0
0
0
0 0.6614 -0.0833
90
0
0
0
0
0
0 0.6667
R
0.577 0.6124 0.6325 0.6455 0.6547 0.6614 0.6667
2-8因素单纯形表格的形成及衍生
• Xj列中第j+1行元素取 j/ 2 j(j1)
• Xj列中第1行至第j行元素取- 1/ j 2 j(j1)
-0.707 -0.707 1
0
1
0
0.707 -0.707 0.309 0.951 0.5 0.866
-0.707 0.707 -0.809 0.588 -0.5 0.866
0.707 0.707 -0.809 -0.588 -1 0
0.309 -0.951 -0.5 -0.866
0.5 -0.866