人教A版高中数学必修5第三章不等式3.4 基本不等式课件

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高中数学课件：第三章 3.4 基本不等式第一课时利用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式
b≥2 ab(a>0，b>0)，求a＋b的最小值时，必须注意三个条件：一是a，b均为正数；二是ab为常数；三是等号必须取到，三者缺一不可．
返回
(2)基本不等式求最值时的凑配技巧：在利用基本不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上基本不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解．
返回
[自主解答]
1 1 n 法一：∵ ＋ ≥ ，且a>b>c， a－b b－c a－c
a－c a－c a－c2 ∴n≤ ＋＝ . a－b b－c a－bb－c
a－c2 ∵对a、b、c上式都成立，∴n≤ a－bb－cmin
a－c2 a－c2 ≥ ＝4. a－bb－c a－b＋b－c2 2 ∴n≤4.∴n的最大值为4.
返回
2＋x2y2－2xy 2 ＝＝(xy＋xy)－2 xy ≥2 2 xy－2＝2( 2－1)． xy·
即z的最小值为2( 2－1)．
返回
[错因]
错解过程中犯了严重的错误．由题意1＝x＋
1 2 y≥2 xy得0＜xy≤ 4 ，而此解题过程中等号成立的条件为 xy ＝ 1 xy，即xy＝ 2 ，显然与0＜xy≤ 4 相矛盾．因此，在利用基本不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件要求，否则就会导致解题错误．
返回
[通一类] x y 2．已知x>0，y>0，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为 ________．
返回
x y x y 解：∵3＋4＝1，∴1＝3＋4≥2
xy 3 12＝ 3 xy.
x y 1 3 ∴ xy≤ 3，当且仅当3＝4＝2即x＝2，y＝2时等号成立． ∴xy≤3.

3.4.2基本不等式课件(人教A版必修5)

4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4800 z 150 120( 2 3 x 2 3 y ) =240000+720(x+y) 3
由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,
因此xy=1600,
由基本不等式与不等式性质，可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m 则 2(x+y)=36，x+y=18 由
xy x y 18 9 2 2
矩形菜园的面积为xy m2 xy≤81
可得
等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3 m。如果池底每平方米的造价为所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形 150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能时总造价最低,最低造价为297600元使总造价最低？最低造价为多少元？解：设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z元,根据题意，有

人教A版高中数学必修5《三章不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)%2》示范课课件_4

2
3. 基本不等式变形公式
a b 2 ab
ab (a b)2 4
作业
1.预习课本第99页例1和例2 2.思考：基本不等式有什么作用？在利用基本不等式时需要满足什么条件？
3.4基本不等式： ab a b
2
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究1：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C 2.四个直角三角形的
当 a 0,b 0 时， a b≥ ab , 当且仅当
a = b时，等号成立.
2
基本不等式的几何解释是什么？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过
点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、 BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
x
等号成立的条件.
2.已知 0 x 1，求证：x(1 x) 1 ，并推导出式中等
4
号成立的条件.
小结：
1. 重要不等式
当 a, b R时，a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时等号成立.
2. 基本不等式
当 a, b R时，a b ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
面积和 S=＿2a＿b
３、S与 S有什么
样的不等关系？
B
S>S′ 即 a2 b2 2ab
问：那么它们有相等的情况吗？
D

【全国百强校】湖北省宜昌市第一中学人教A版高中数学必修5课件：3.4基本不等式 (共12张PPT)

问题1.已知 a 0, b 0 ， a b 1，求 ab 的最大值； 1 问题2.已知 x 0 ，当 x 取什么值， x 的值最 x 小？最小是多少.
1 变式1：若 x 1, x 还有最小值么？ x
变式2：若 x 0呢？
由这两个问题，你有什么收获呢？
图象
【应用提升】简单最值问题
如何设计呢？
【实验探究】
a b …2ab ab ab „ 2
2 2
想一想？
实验
【新知建构】
基本不等式
2 2
结论: 若a, b R, 则a b …2ab,
ab 若a 0, b 0, ab „ , 2 当a b时等号成立.
你能用代数方法来证明基本不等式吗？
【应用提升】简单最值问题
课前准备：
（1）阅读教材3.4节《基本不等
式》；（2）准备一大一小两张正方形纸片，在大正方形纸片各边上标出若干等分点．
谢谢合作！
3.4基本不等式（第1课时）
宜昌一中数学组李智伟

【问题引入】
随着科技的发展，人们生活中的电子产品越来越精美、便利。现有三种5寸手机可供选择的设计方案，对应屏幕比分别为： 1:1,16:10,16:9。
一种观念
【课外研究】
请你来判断:
（1）为什么蜂巢都是正六边形？（2）为什么水管的横截面一般为圆形呢？
…… 作业：《课时练》P59～60
谢谢！
分享收获: 一正
对于x 0, y 0, 二定三相等 (1)若xy （定值） p ,则当仅当x y时， x y有最小值2 p ; s xy有最大值 . 4
2
(2)若x y （定值） s ,则当仅当x y时，

高中数学人教A版必修5第三章3.4.1基本不等式课件

三相等
当且仅当 x＝4x，即 x2＝4，x＝2 时取等号.
∴函数 y＝x＋4x(x>0)在 x＝2 时取得最小值 4.
反思与感悟
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
思考：能给出不等式 a2+b2≥2ab 的证明吗？
证明： a b2 0
a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (当且仅当a b 0即a b时等号成立)
思考：
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab 2
基本不等式 ab a b (a 0,b 0) 2
2
42
例2、已知0<x<1,求函数y=x1-x的最大值。
最值定理：
1.当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
即a 0,b 0且a b M , M 为定值 ax
M2 4
“和定积最大”
2.当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值。
即a 0,b 0且ab P, P为定值 a b 2 P 当且仅当a b时，等号成立。( a b)min 2 P
ICM2002会标
如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．
会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
看一看：这会标中含有怎样的几何图形
直角三角形和正方形
想一想：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
四个直角三角形的面积相等直角三角形的直角边不相等大正方形的面积大于四个直角三角形的面积

人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件

人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。

过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。

情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。

本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。

课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。

本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。

030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。

不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。

对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。

若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。

同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。

若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。

特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。

柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。

高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)

D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

高中数学第三章不等式3.4基本不等式(第2课时)课件新人教A版必修5

4 1 9 ( 2)已知a b 0, a b 1, 则的最小值为 ___ a b 2b
方法点拨:常数“1”的代换
例题讲解
1 4 例3.对任意的 (0, ),不等式 2 2x 1 2 2 sin cos 恒成立 ,则实数 x的取值范围是 ( D ) A. 3,4 B.0,2 3 5 C . , 2 2 D. 4,5
a7 a6 2a5 , 若存在两项 am , an , 使得 am an 4a1 , 1 4 3 5 9 25 则的最小值为 ( A ) A. B. C . D. m n 2 3 4 6
变题
改条件 am an 2a1，则最小值在计算时有何不同？
课堂小结
基本不等式
ab 若a , b 0, 则 ab (当且仅当 a b时, 等号成立 ) 2
基本不等式及其应用的运用的原则：（1）结构为王（2）配凑变形为辅（3）成立条件保障
（备用例题）
1.设已知实数a, b R, 若a 2 ab b 2 3, 则 (1 ab) 2 的值域为_______ 2 2 a b 1
作业：
配套练习
例题讲解例1. 试着构造一个最小值为2的函数, “□”内可填入常数或是x相关的式子
f ( x)

x 2
2
x 1
( x 1)
x 1 2 f ( x) ( x 1) 2 x 1 x f ( x) x 2 ( x 1) x 1 x2 f ( x) 2( x 1) x 1

例题讲解
例4.关于x的二次不等式 ax2 2 x b 0的解集为 1 a 2 b2 2 2 的最小值为 ________ x x , 且a b, 则 a ab

3.4基本不等式课件(人教A版必修5)

≥2
(x 1) 1 (x 1)
＋1＝3
1
当且仅当x－1＝ x 1 时取“＝”号.于是x＝2或者x＝0（舍去）
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
例1： (1)已知x 0,求x 1 的最值;
x
(2)已知x 0,求x 1 的最值;
x
(3)若x 3,函数y x
1
,当x为何值时，函数
x3
解法一：
解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym, 则2(x y) 36 x y 18, 矩形菜园的面积为S=xym2 xy x y = 18 =9 22
xy 81
当且仅当x y时等号成立，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2.
解法二：
(2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中 0＜x＜18 ,
其面积为: S x(36 2x) 1 2x(36 2x) 2
1 ( 2x 36 2x )2 362 162 .
2
2
8
当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，
式中的应用
错解 x 0, y 0, x y 1
2 xy x y 1 xy 1 , 1 4, 4 xy
1 9 2 9 2 9 4 12
xy
xy
当且仅当x y时，有最小值12
例2．（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这
个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？
a2 b2 2ab
当且仅当 a b 时等号成立
思考：如何证明？
证明：
a2 b2 2ab (a b)2 0 a2 b2 2ab
当且仅当 a b时，(a b)2 0 此时

高中数学必修5《基本不等式》优秀课件

替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab （a＞0,b＞0） 2
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数算术平均数
基本不等式
代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何意义：半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的
v
等差中项
重要不等式： a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
a与b为正实数
积定和最小和定积最大
若等号成立， a与b必须能够相等
变式训练
1.已知函数 f x x 3 ，求函数的最值和
此时x的取值．
x
运用均值不等式的过程中，切记不要忽略了“正数”这个条件．
2.已知x＞1，f x x 1 的最小值.
x 1
运用均值不等式的过程中，切记不要忽略了“积为定值”这个条件．
3.4基本不等式:
ab a b 2
学习目标
学习目标： 1、探索并了解基本不等式的证明过程； 2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
重点与难点
重点：利用数形结合思想理解基本不等式。难点：基本不等式成立的条件及应用。
导学案反馈
● 优秀小组：4组、7组、10组、12组 ● 优秀个人：
(评价标准：卷面干净，书写规范，正确率高）
李傲、李艳萌
优秀导学案展示
卷面干净书写规范正确率高

人教A版高中数学必修五3.4基本不等式课件(2)

x
例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
结论1：两个正数的积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。
不等式的简单应用：主要在于求最值把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
2.重点：公式的应用
它们的几何平均数. (3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小
于它们的等比中项;
范例精讲
例1 已知x,y都是正数,求证:
x y2 yx
思考1:已知x,y是任意非零实数,上面结论是否成立?
变式思考2：已知x>1,求证: x 1 3 x 1
变式思考3：已知x>0：两个正数的和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。
应用基本不等式求最值的条件：
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小和定积最大
若等号成立， a与b必须能够相等
已知x,y为正数，x+y=S,xy=P，则
如果P是定___值_，那么当且仅当x=y时，S取得最小值_2__P_。
S2 如果S是定___值_，那么当且仅当x=y时，P取得最大值__4__。
问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
结论1：两个正数的积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。
结论2：两个正数的和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。
课堂小结
1.知识小结 : 认识了基本不等式以及它的简单应用
ab a b (a, b R ) 2

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5

一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把��+2��叫做 a,b 的算术平均数,把 ��叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1��2≥2 3��·1��2=2 36=12. 当且仅当 3x=1��2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ��=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
��+�� 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
��.
2.填空: 基本不等式与最值已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式

ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一对基本不等式的理解
【例 1】给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三利用基本不等式证明不等式【例 3】已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.

人教A版高中数学必修五3.4基本不等式(三)

abc
课堂小结
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十三.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值.
讲授பைடு நூலகம்课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.

高一数学必修五基本不等式详细版.ppt

深
基本不等式：a b aba 0,b 0
入
2
探
当且仅当a=b时，等号成立。
究
揭基本不等式的几何解释：
示
D
本
半径不小于半弦
质
A
aCb B
.精品课件.
E
3
剖析公式应用
深
入探
a b ab 2
究
均值不等式
揭
算术平均数几何平均数
示基本不等式可以叙述为:
本两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
3.4基本不等式: ab a b 2
.精品课件.
1
基本不等式的几A 何背景
D
a2 b2
b
G aF
C
A HE
B
D
a
Ob
C
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
用 a和 ba 0,b .精品0课件代. 替a,b会得到什么？ 2
.精品课件.
15
【基础训练3】
1、求函数 y 1 x(x 3) 的最小值.
x3
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少？
.精品课件.
16
例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利用a b 2 ab
你还有其他的解法吗？

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2 1+ 1
ab
理论迁移
例1 已知x、y都是正数，求证： (x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3
Æ
例2 已知 a2＋b2＋c2＝1，求证：(a＋b＋c)3≤3.
小结作业
1.不等式a2＋b2≥2ab与a
2
b
ab
都
是基本不等式，它们成立的条件不同，
前者a、b可为任意实数，后者要求a、b
思考4：在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式 a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？ D
A
F GE
C
H
B
一般地，对于任意实数a，b，有: a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.
思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用 a 、 b 分别代替a、b ，可得什么不等式?
a b 2 ab
a
a b ab (a>0, b>0)
2
当且仅当a＝b时等号成立.
思考6：不等式 a b ab (a>0, b>0)
2
称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？
a
a+b
思2 考7：我们称
a
+
b
和
ab 分别为a，
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长 D
它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为平方平均不等式，其数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方.
思考3:将不等式 ab ³
2 1+ 1
ab
ab 2
பைடு நூலகம்
ab(a 0,b 0)
两
边同乘以 ab ，可变通出一些什么结论？
ab ³ 2ab a+b
ab ³
都是正数，但二者等号成立的条件相同.
2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理
3.当a、b都是正数时，有不等式链
a2 + b2 吵a + b
2
2
ab ?
2 1+ 1
ab
作业： P100习题3.4 A组：1，2.
3.4 基本不等式 ab a b 2 第一课时
问题提出
1.不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如a2≥0，|a|≥0， |a|≥a等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理.
2.如图是在北京召开的第24界国际数
学家大会的会标，它是根据中国古代数
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
探究（二）：基本不等式的变通
思考1：将基本不等式 a b ab
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B
思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？ D
a2＋b2≥2ab
A
F GE
C
H
思考3：从图形分析,上述不等式在B什么情况下取等号？
当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a2＋b2＝2ab.