分数指数幂

⒉方根的性质 奇次方根的性质：在实数范围内， 奇次方根的性质：在实数范围内，正数的奇 次方根是一个正数； 次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个 负数. 负数 偶次方根的性质：在实数范围内， 偶次方根的性质：在实数范围内，正数的 偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数； 偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数； 负数的偶次方根没有意义. 负数的偶次方根没有意义 0的任何次方根都是 ，记作 n 0 =0. 的任何次方根都是0， 的任何次方根都是 注意： 注意：当a≥0时， 时 写法是错误的
例1 求下列各式的值：
(1) (3)
2 3
3 4
Baidu Nhomakorabea
(−8) ;
3
(2) (−10) ;
2 4
(3− π) ;
−1 2
(4) (a − b) (a > b).
2
例2 求值：
1 )−3, 8, 100 , ( (16) . 4 81 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式 （式中a>0)
−3 4
a ⋅ a,
1 3
2 6
在把根式化成分数指数幂时， 在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大 ， a = a (a>0)， 2 若无a>0这个条件时， 3 a2 =| a |3 ；同时，负 这个条件时， 同时， 若无 这个条件时 数开奇数次方根是有意义的， 数开奇数次方根是有意义的，所以当奇数次根 式要化成分数指数幂时， 式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号 外面去，然后再按规定化成分数指数幂， 外面去，然后再按规定化成分数指数幂， 3 例如： 例如： 5 (−2)3 = −5 23 = −25
a4= a12/3(a>0)， 即 ， =
3
a
12
从形式上来看， 就是说， 从形式上来看 ， 就是说 ， 当根式的被开方式 的指数能被根指数整除时， 的指数能被根指数整除时 ， 根式可以写成分 数指数幂的形式. 数指数幂的形式 问题： 问题：那么当根式的被开方式的指数不能 被根指数整除时， 被根指数整除时，能不能也写成分数指数 幂的形式呢？ 幂的形式呢？
分数指数幂
高一数学备课组
复习：在初中， 复习：在初中，我们学习过的整数指数幂是 怎样定义的？ 怎样定义的？ a0 =?
a0=1（a≠0） （ ）
a－n =?
1 a-n= n a
( a≠0,n∈N*) ∈
正整数指数幂的运算性质是： 正整数指数幂的运算性质是： ①am·an=am+n(m,n∈N*)； ∈ ； ②(am)n=amn(m,n∈N*)； ∈ ； ③(ab)n=an bn(n∈N*); ∈ ④am÷an=am-n(a≠0,m,n∈N* ∈ m>n)； ； 注 且 意：无论 是 ① —⑤ , 还 是 ① —③ 都 n=an/bn(b≠0,且n∈N*). ⑤(a/b) 且 ∈ 指数的范围扩大到整数集Z之后 指数的范围扩大到整数集 之后 要 遵 守 零 指 数幂、负整 ①am·an=am+n(m,n∈Z)； ∈ ； 数指数幂的 ②(am)n=amn(m,n∈Z)； ∈ ； 底数不能等 的规定. 于0的规定 的规定 ③(ab)n=an bn(n∈Z) ∈
3 2
于0，例如， ，例如，
2 3
注意：以后当看到指数是分数时， 注意 ： 以后当看到指数是分数时 ， 如果没有特 别的说明，底数都表示正数. 别的说明，底数都表示正数
⒉负分数指数幂的意义
注意：负分数指数幂在有意义的情况下， 回忆负整数指数幂的意义： 注意：负分数指数幂在有意义的情况下， 回忆负整数指数幂的意义： 1 总表示正数，而不是负数,负号只是出现 总表示正数，而不是负数 N*). 负号只是出现 － n= a ( a≠0,n∈ ∈ n 在指数上. 在指数上 a
当n 是奇数时，实数 的n次方根用符号 n a 是奇数时，实数a的 次方根用符号 表示； 表示； 是偶数时，正数a的 次方根用符号 次方根用符号± 当n 是偶数时，正数 的n次方根用符号± n a 表示. 表示 式子 n a 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫 根式 叫做根指数 被开方数. 做被开方数
a . 3 2 a⋅ a
2
例6 求使代数式 (| x | −1) 有意义的x的取值 范围。
−1 3
8ab − b 3 a −1 ×3 b 例7 化简 2 ) 2 ÷(2⋅ b 3 3 3 4a + 2⋅ ab + b
1 3
4 3
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)； ∈ ； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)； ∈ ； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q). ∈
小结 现在我们已有正整数指数幂、 ⒈现在我们已有正整数指数幂、负整数指数 零指数幂， 负分数指数幂的概念， 幂，零指数幂，正、负分数指数幂的概念， 而有理数是由整数、分数组成的， 而有理数是由整数、分数组成的，所以我们 可以说建立了有理指数幂的概念了. 可以说建立了有理指数幂的概念了 正整数指数幂的运算性质有5条 ⒉ 正整数指数幂的运算性质有 条 ， 当指数 范围由正整数集扩大到整数集Z后 范围由正整数集扩大到整数集 后，幂的运 算性质可由5条合并简化为 条合并简化为3条 算性质可由 条合并简化为 条；当指数范围 扩大到有理数集Q以至实数集 以至实数集R后 扩大到有理数集 以至实数集 后 ， 幂的运 算性质仍然是上述的3条. 算性质仍然是上述的 条
a ＜6b） 6b）
下列说法中正确的是( 下列说法中正确的是(
)．
(A)(A)-2是16的四次方根 16的四次方根 (B)正数的n (B)正数的n次方根有两个 正数的 (C) a的n次方根就是 n a (D)
n
a = a ( a ≥ 0)
n
例2．求下列各式的值． 求下列各式的值． (1) (2) (3) (4)
⒈正分数指数幂的意义 我们给出正数的正分数指数幂的定义 正数的正分数指数幂的定义： ⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
m n
a = a
n
m
(a>0,m,n∈N*,且n>1) ∈ 且
用语言叙述：正数的m/n次幂 次幂(m,n∈N*,且n>1) 用语言叙述：正数的 次幂 ∈ 且 等于这个正数的m次幂的 次算术根. 次幂的n次算术根 等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意：底数a>0这个条件不可少 若无此条件会 这个条件不可少. 注意：底数 这个条件不可少 引起混乱， 例如， 引起混乱 ， 例如 ， (-1)1/3 和 (-1)2/6 应当具有同样 的意义， 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果： 结果： ； (−1) = 3 −1=-1； (−1) = 6 (−1)2 = 6 1=1. 这就说明 分数指数幂在底数小于0时无意义 时无意义. 分数指数幂在底数小于 时无意义
4
3
(−8)
3
; ; ;
(−10) 2
(3 − π ) 4
( a − b) 2 ( a > b)
(5) x 2 + 2 xy + y 2
．
分数指数幂
⑵观察下面的例子： 观察下面的例子：
5
a
10
＝ a2= a10/5(a>0),
即
5
a
10
=a10/5(a>0)； ； =a12/3(a>0).
3
a
12
⒋有理指数幂的运算性质 说明： 是一个无理数， 说明 ： 若 a>0， p是一个无理数 ， 则 ap 表示 ， 是一个无理数 我们规定了分数指数幂的意义以后， 我们规定了分数指数幂的意义以后 ， 指 一个确定的实数. 一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性 数的概念就从整数指数 推广到有理数指 从整数指数推广到 数的概念就 从整数指数 推广到 有理数指 对于无理数指数幂都适用. 质，对于无理数指数幂都适用 即当指数的 上述关于整数指数幂的运算性质， 数. 上述关于整数指数幂的运算性质，对 范围扩大到实数集R后 范围扩大到实数集 后，幂的运算性质仍然 于有理指数幂也同样适用， 于有理指数幂也同样适用 ， 即对任意有 是下述的3条. 是下述的 条 理数r， ，均有下面的性质： 理数 ，s，均有下面的性质：
n
≥0， a ，所以类似
4
=± 的 ± 16 2的
⒊三组常用公式 根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式： 根据 次方根的定义，易得到以下三组常用公式： 次方根的定义 为任意正整数时， ⑴当n为任意正整数时，( n a)n=a. 为任意正整数时 为奇数时， ⑵当n为奇数时，n an=a； 为奇数时 ；
⒈根式的概念 一般地，如果一个实数 满足 满足x （ 一般地，如果一个实数x满足 n=a（ n>1,且 且 n∈N*） ，那么称 为a的n次实数方根 那么称x为 的 次实数方根 次实数方根. ∈
巩固训练
1）25的平方根是 ） 的平方根是
±5
4）0的7次方根是 0 ） 的 次方根是 5）16的四次方根是 ±2 ） 的四次方根是 6）a6的三次方根是 a2 ）
n n
(a a(a ≥ 0) 当n为偶数时， a =|a|= 为偶数时， . 为偶数时 −a(a < 0) p ，（a≥0） ⑶根式的基本性质 ：np am = n am，（ ）
注意， 中的 十分重要， 注意，⑶中的a≥0十分重要，无此条件则公 十分重要 式不成立. 式不成立 请用文字叙述一下上面的三条性质。 请用文字叙述一下上面的三条性质。
3 3）-32的五次方根是 -2 ） 的五次方根是
2）27的三次方根是 的三次方根是
思考 : 通过分析,你能否得到一个一般性的结论?
1）正数的奇次方根是一个正数；负数的 ）正数的奇次方根是一个正数； 奇次方根是一个负数. 奇次方根是一个负数 2）正数的偶次方根是两个相反的数； ）正数的偶次方根是两个相反的数； 负数的偶次方根没有意义. 负数的偶次方根没有意义
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是： 数指数幂的意义相仿，就是：
m − n
a
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). ∈ 且 = m= n m a n a
1
规定： 的正分数指数幂等于 的正分数指数幂等于0； 的负分数指 规定 ： 0的正分数指数幂等于 ； 0的负分数指 数幂没有意义. 数幂没有意义
求值 (1)． (1)． ( − 0.1)
5 5
( − 0 .1 ) = − 0 .1
5 5
(2)
5
(−100) 2
5
(−100) 2 = − 100 = 100
(1 − 3 )5 (3) ．
(1 − 3 )5 = 1 − 3
(4) ．
6
(1 − 3 ) 6
6
(1 − 3 ) 6 = 3 − 1
a2 4 (5)． (5)． − ab + 4b 2（ 9 3
2
a ⋅ a,
3 3 2
a a.
例4 计算下列各式的值(式中字母全为正数):
(1) (2a b )(−6a b ) ÷(−3a b ); (2) (m n ) .
例5 计算下列各式的值：
1 −3 8 8 4
2 1 3 2
1 1 2 3
1 5 6 6
(1) ( 25 − 125) ÷ 5;
3 4
(2)