圆锥曲线的综合问题

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(1)求指定的圆锥曲线的方程,一般涉及量较多,计算量大,要求较强的运算能力。在计算中,首先要明确运算方向,还要注意运算的合理性、技巧性,使运算简捷。
(2)注重对解析几何基本方法的考查,要求会建立适当的直角坐标系,把平面几何问题转化为代数问题。
(3)注意用圆锥曲线的定义解题,有关圆锥曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离、离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解。
(1)写出直线l的截距式方程;
(2)证明: + = ;
(3)当a=2p时,求∠MON的大小.
剖析:易知直线l的方程为 + =1,欲证 + = ,即求 的值,为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值,进而证得 + = .由 · =0易得∠MON=90°.亦可由kOM·kON=-1求得∠MON=90°.
因此必有 ≤1成立,于是当sinθ=- 时,d2(从而d)有最大值,由题设得( )2=4b2+3.
x=2cosθ,
y=sinθ.
消去参数得 +y2=1,由sinθ= ,cosθ=± 知椭圆上的点(- ,- ),( ,- )到P点的距离都是 .
锦囊妙计:本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系,解答中要注意讨论.
如果b< ,则当y=-b时d2(从而d)有最大值,由题设得( )2=(b+ )2,由此得b= - > ,与b< 矛盾.
因此必有b≥ 成立,于是当y=- 时d2(从而d)有最大值,由题设得( )2=4b2+3,由此可得b=1,a=2.
故所求椭圆的直角坐标方程是 +y2=1.
由y=- 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点(- ,- ),点( ,- )到点P的距离都是 .
考点二函数最值与椭圆的综合问题
【例2】 设椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e= ,已知点P(0, )到这个椭圆上的点的最远距离是 ,求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P的距离等于 的点的坐标.
思路分析:设椭圆方程为 + =1,由e= 知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2,然后将距离转化为y的二次函数,二次函数中含有一个参数b,在判定距离有最大值的过程中,要讨论y=- 是否在y的取值范围内,最后求出椭圆方程和P点坐标.
(4)对称问题是高考的热点,注意关于原点、轴、轴、直线对称的两曲线方程的特点。
(5)解析几何与数列、极限、不等式、函数、向量综合在一起的问题,对解决数学综合问题的能力要求更高,要充分利用解析几何的特点,运用数形结合,用代数的方法解决几何问题。
反映在解题上,就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式,根据方程画出图形,研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等,以达到优化解题的目的.
(1)当l1与l2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;
(2)当 =λ 时,求λ的最大值.
思路分析:(1)求椭圆方程即求a、b的值,由l1与l2的夹角为60°易得 = ,由双曲线的距离为4易得a2+b2=4,进而可求得a、b.
(2)由 =λ ,欲求λ的最大值,需求A、P的坐标,而P是l与l1的交点,故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标,进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.
则kPA= (x1≠1),kPB= (x2≠1).
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,
∴kPA=-kPB.
由A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线上,得
y12=4x1,①
y22=4x2,②
∴ =- .
∴y1+2=-(y2+2).∴y1+y2=-4.
由①-②得直线AB的斜率
kAB= = =- =-1(x1≠x2).
举一反三: 已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,其右焦点到直线x-y+2 =0的距离为3,
(1)求椭圆方程;
(2)椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围。
解 (1)设已知椭圆方程为 + =1(a>b>0)
其中b=1。又设右焦点为(c,0),则
(1)解:直线l的截距式方程为 + =1.①
(2)证明:由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0.②
点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根,故y1+y2= ,y1y2=-2pa.
所以 + = = = .
(3)解:设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2,
则k1= ,k2= .
当a=2p时,由(2)知,y1y2=-2pa=-4p2,
举一反三:
1.对于上例,根据图形的几何性质,以P为圆心,以 为半径作圆,圆与椭圆相切时,切点与P的距离为 ,此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.
x2+(y- )2=7,
x2+4y2=4b2,
得3y2+3y- =4b2-7,
由Δ=0得b2=1,
即椭圆方程为x2+4y2=4.
所求点为(- ,- )、( ,- ).
由y12=2px1,y22=2px2,相乘得(y1y2)2=4p2x1x2,
x1x2= = =4p2,
因此k1k2= = =-1.
所以OM⊥ON,即∠MON=90°.
锦囊妙计:本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
举一反三:如下图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2)、A(x1,y1)、B(x2,y2)均在抛物线上.
8.已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为 ,则长半轴长的最小值是 .
9.已知 分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距,若方程 无实数根,则此双曲线的离心率 的取值范围是 .
10.点P是抛物线y2=4x上一动点,则P到点(0,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值是.
(§ 文)(§理)圆锥曲线的综合问题
知识要点梳理
解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带,它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合,综合了代数、三角、几何、向量等知识.
圆锥曲线与方程是中学数学的重点和难点,它可以和中学数学中的其他章节知识进行交汇,充分体现了中学中的各种数学思想与数学技能。无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来。因此,圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点。
解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是 + =1,其中a>b>0待定.
由e2= = =1-( )2可知 = = = ,即a=2b.
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y- )2=a2(1- )+y2-3y+ =4b2-3y2-3y+ =-3(y+ )2+4b2+3,其中-b≤y≤b.
纵观近几年高考试题,对于圆锥曲线与方程的考查主要有两大类问题:
一是根据条件,求出曲线方程;二是通过方程,研究平面曲线的性质,(1)以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质;(2)求平面曲线的方程和轨迹;(3)圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定;(4)涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。在复习圆锥曲线综合题时要注意以下几点:
=3,解得c= ,∴a= 。
∴椭圆方程为 +y2=1。
(2)设P为MN的中点,
解方程组 得
(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0
Δ=-12m2+36k2+12>0,得m2<3k2+1①
又xM+xN= ,xP=
yP=kxP+m= ∴kAP=
又由MN⊥AP得 = - 。
变形后,得2m=3k2+1②
(c2+λa2)2+λ2a4=(1+λ)2a2c2.
∴(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2.
∴λ2= =-[(2-e2)+ ]+3≤3-2 .
∴λ的最大值为 -1.
锦囊妙计:本题考查了椭圆、双曲线的基础知识,及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形,利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.
解:(1)∵双曲线的渐近线为y=± x,两渐近线夹角为60°,
又 <1,
∴∠POx=30°,即 =tan30°= .
∴a= b.
又a2+b2=4,
∴a2=3,b2=1.
故椭圆C的方程为 +y2=1.
(2)由已知l:y= (x-c),与y= x解得P( , ),
由 =λ 得A( , ).
将A点坐标代入椭圆方程得
答案:A ,△AOB的面积 ,故选A。
3.已知 ,A、B分别在x轴和y轴上运动,O为原点,则动点P的轨迹方程是(A )
(A) (B) (C) (D)
4.双曲线 - =1中,被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是( A )
A 8x-9y=7 B 8x+9y=25C4x-9y=16 D 不存在
5.如果以原点为圆心的圆经过双曲线 的焦点,而且被该双曲线的右准线分成的弧长为2:1的两段圆弧,那么该双曲线的离心率e等于: ( C )
[正解]
因为点P在双曲线的左支上,所以有 ,而 与 矛盾,故符合条件的点P不存在。
紧扣考纲大演练(文科)
一、选择题
1.点 是双曲线 上的一点, 、 分别是双曲线的左、右两焦点, ,则 等于( )
2.设O为坐标原点,过抛物线 的焦点作弦AB,则△AOB的面积的最小值是(A )
(A) 1 (B) 2 (C)2 (D)4
(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;
(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值.
直击考点
考点一 直线与抛物线的综合问题
【例1】 如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0,b≠0),且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
把②代入①,得2m>m2,解得0<m<2。
又由②得k2= >0,解得m> 。
∴ <m<2。
[误区警示]
[例]已知双曲线 的左右焦点分别为F1、F2,左准线为 ,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF1|是P到 的距离d与|PF2|的等比中项
[常见错误]
[错因分析及对策]
忽视了点的坐标的取值范围,事实上, ,而 与 矛盾,故符合条件的点P不存在。
2.已知椭圆 ,点P的坐标为(0,b),求点P到该椭圆上点的最大距离。
解:椭圆的参数方程为 。
设椭圆上任一点Q的坐标为(acosθ,bsinθ),



本题使用椭圆的参数方程,从而借助三角函数求最大值。但要注意讨论 及 两种情况。
考点三 直线与双曲线、椭圆的综合问题
【例3】 (2007年东北重点中学高三调研考题)已知椭圆C的方程为 + =1(a>b>0),双曲线 - =1的两条渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.(如下图)
解法二:根据题设条件,设椭圆的参数方程是
x=acosθ,
y=bsinθ,
∵e= ,
∴a=2b.
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
d2=x2+(y- )2=a2cos2θ+(bsinθ- )2=-3b2·(sinθ+ )2+4b2+3.
如果 >1,即b< ,则当sinθ=-1时,d2(从而d)有最大值,由题设得( )2=(b+ )2,由此得b= - > ,与b< 矛盾.
疑难点、易错点剖析
1.与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种:
(1)不等式(组)求解法:利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围;
(2)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.
wk.baidu.com2.圆锥曲线中最值的两种求法:
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.
解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px.∵点P(1,2)在抛物线上,
∴22=2p·1,得p=2.
故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.
A. B. C. D.
6.已知双曲线的中心在原点,离心率为 ,若它的一条准线与抛物线 的准线重合,则该双曲线与抛物线 的交点互原点的距离是( B )
(A) (B) (C)18+12 (D)21
B.设双曲线方程为 ,
则 ∴双曲线方程为 ,
解方程组 得交点坐标为 或 。
交点到原点的距离为
二、填空题
7.椭圆 的短轴为 ,点 是椭圆上除 外的任意一点,直线 在 轴上的截距分别为 ,则 4.
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