求随机变量期望的四种方法

连续的两局看成整体 , 大大地简化了解题过
程.
·10·
B
3, 2 3
, Eη = np = 3 ×2 3
= 2.
二 、运用期望性质
即利用期望的性质求期望 , 所用到的性 质主要有 : Ec = c, E ( kξ+ b) = kEξ+ b. 其中 ξ为随机变量 , k, b, c为常数.
例 3 某商场为刺激消费 ,拟按以下方案 进行促销 :顾客每消费 500元便得到抽奖券一
第 1期 高中数学教与学
求随机变量期望的四种方法
唐舜生
(广东省广州市花都区一中 , 510886)
期望是随机变量的重要的特征数字. 已 知期望 ,便掌握了这个随机变量的平均水平 , 也就大体上掌握了它取值的概率规律. 求期 望的常用方法有直接运用定义 、运用期望性 质 、分解事件 、整体考虑等. 下面举例说明.
张 ,每张抽奖券的中奖概率为 1 , 若中奖 , 商 2
场返回顾客现金 100元. 某顾客现购买价格为 2 300元的台式电脑一台 ,得到奖券 4张. 设该 顾客中奖张数为 ξ,购买台式电脑的实际支出 为 η(元 ) ,用 ξ表示 η,并求 η的数学期望.
解 ∵ξ～B
4, 1 2
,
∴Eξ = 4 ×1 2
一 、运用定义 设已知离散型随机变量 ξ的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
n
∑ 则 ξ的期望为 Eξ = xi pi. i =1 例 1 某项考试按科目 A和科目 B依次进
行 ,只有当科目 A 成绩合格时 , 才可继续参加 科目 B 的考试. 已知每个科目只允许有一次补
考机会 ,两个科目成绩均合格方可获得证书.
P (ξ = 4)
=
1-
5 9
×5 9
= 20, 81
P (ξ = 6) = 1 - 5 × 1 - 5 ×1
9
9
= 16. 81
∴随机变量 ξ的分布列为
ξ
2
4
6
5
20
16
P
9
81
81
故 Eξ = 2 ×5 + 4 ×20 + 6 ×16 = 266.
9
81
81 81
点评 本题不是单独考虑一局 , 而是把
所以 Eξ = Eη + Eψ = 1 + 1 = 5 . 23 6
四 、整体考虑
例 5 甲 、乙两人进行围棋比赛 , 约定每 局胜者得 1分 ,负者得 0 分 (无平局 ) , 比赛进 行到有一人比对方多 2分或打满 6局时停止.
设甲在每局获胜的概率为 2 , 且各局胜负相 3
互独立. 设 ξ表示比赛停止时已比赛的局数 , 求随机变量 ξ的分布列和数学期望 Eξ.
= 2.
由题意可知 η = 2 300 - 100ξ,
∴Eη = 2 300 - 100Eξ
= 2 300 - 200 = 2 100 (元 ) .
说明 本题在求 η的数学期望时 , 就是
根据运算性质利用 Eξ求得 ,简化了计算过程.
三 、将事件分解
随机变量的期望具有性质 E (ξ±η) = Eξ ±Eη(ξ,η独立 ) ,利用该性质可把所求期望分 解为几个易求的相互独立的事件的期望和 , 达到简化解题的效果.
现某人参加这项考试 ,科目 A每次考试成绩合
格的概率均为 2 ,科目 B每次考试成绩合格的 3
概率均为 1 . 假设各次考试成绩合格与否均 2
互不影响. 在这项考试过程中 , 假设他不放弃 所有的考试机会 , 记他参加考试的次数为 ξ, 求 ξ的数学期望 Eξ.
解 设“科目 A第一次考试合格 ”为事件 A1 ,“科目 A 补考合格 ”为事件 A2 :“科目 B 第 一次考试合格 ”为事件 B 1 ,“科目 B补考合格 ” 为事件 B 2.
解 依题意知 ,ξ的所有可能值为 2, 4, 6. 设每两局比赛为一轮 , 则该轮结束时比
赛停止的概率为 1 ×1 + 2 ×2 = 5 . 3333 9
若该轮结束时比赛还将继续 , 则甲 、乙在 该轮中必是各得一分 , 此时 , 该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响.
从而有 P (ξ = 2) = 5 , 9
例 4 某市政府要用三辆汽车从新市政 府把工作人员接到老市政府 , 已知从新市政 府到老市政府有两条公路 , 汽车走公路 Ⅰ堵
车的概率为 1 , 不堵车的概率为 3 ; 汽车走公
4
4
路 Ⅱ堵车的概率为 1 ,不堵车的概率为 2 . 若
3
3
甲 、乙两辆汽车走公路 Ⅰ, 丙汽车由于其他原
因走公路 Ⅱ, 且三辆车是否堵车相互之间没
9
9
93
对于某些实际问题中的随机变量 , 如果
能够断定它服从某常见的典型分布 (如二项
分布 、超几何分布等 ) , 则此随机变量的期望 可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
例 2 某校设计了一个实验学科的考察 方案 : 考生从 6 道选题中一次性随机抽取 3 题 , 按题目要求独立完成全部实验操作. 规 定 :至少正确完成其中 2题者方可通过. 已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成 , 2 题不 能完成 ;考生乙每题能正确完成的概率都是
+ 1 ×2 ×1 332
= 1 + 1 + 1 = 4, 669 9
P (ξ = 4) = P (A1A2 B 1B 2 ) + P (A1A2 B1 B2 ) = 1 ×2 ×1 ×1 + 1 ×2 ×1 ×1
33223322
= 1 + 1 = 1, 18 18 9
故 Eξ = 2 ×4 + 3 ×4 + 4 ×1 = 8 .
2 ,且每题正确完成与否互不影响. 分别求出 3
甲 、乙两考生正确完成题数的数学期望.
解 设考生甲正确完成的题数为 ξ, 则 ξ
服从超几何分布 , 其中 N = 6, M = 4, n = 3,
∴ Eξ = nM = 3 ×4 = 2.
N
6
设考生乙正确完成的题数为 η, 则 η ～
·9·
高中数学教与学 2010年
由已知得 ξ = 2, 3, 4, 注意到各事件之间 的独立性与互斥性 ,可得
P (ξ = 2) = P (A1B 1 ) + P (A1 A2 )
=
2 3
×1 2
Байду номын сангаас
+
1 3
×1 3
= 1 + 1 = 4, 39 9
P (ξ = 3) = P (A1 B 1B 2 ) + P (A1 B1 B2 ) + P (A1A2B1 ) = 2 ×1 ×1 + 2 ×1 ×1 322322
有影响. 求三辆汽车中被堵车辆的个数 ξ的数
学期望.
解 所求数学期望可分解为两条路上被
堵车辆的个数的数学期望之和.
设第一条路上被堵车辆的个数为 η,则
η～B
2, 1 4
, Eη = 2 × 1 4
= 1. 2
设第二条路上被堵车辆的个数为 ψ,则
Eψ = 0 × 2 + 1 × 1 = 1 .
3
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