第五章 机械制图 (线、面相对位置)

m'
d'
a'
O b k a
\
X
1 过a' 作a' b'// a'b'
2 由k'求出k；
3 连接ak
n m
d
结果: M N// ABC c
\ e
例
过直线AB作三角形ABC平面平行于直线DE。
b' d' c' a' X b b' O bc//de
作图步骤：
作b' c' // d'b'
d
c
a
e
例
过M点作水平线 MN平行已知平面ABC。
d'1
X e
3(4)
n 1 m
b
f
X1
a
d
例题
试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交
。
c a b
a
k f
e e f
b
c
k
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
K F C H E A
B
作图步骤 c PV m a b a b c k m 1 f1 2 n k
第七章
第一节
直线、平面的相互关系
平行关系
第二节
第三节
相交关系 垂直关系
第一节
一、直线与平面平行
平行关系
1. 几何条件：若一直线与平面上任一直线平行，则此 直线与该平面互相平行。
A
B D
b C
E
c' a' m' d' d a c b' b
n'
F
a f e
X
O
m n
H
d
c
EF
ABC 上的直线 AD 所以EF ABC
c'
b' a' b n' m'
因为△ABC为正垂面，所 以直线MN的正面投影m'n' 必定平行于a'b'c'。 又因为MN为正平线，所 以mn平行于OX轴。
a
n c
m
例
判别直线MN.DE与三角形ABC平面是否平行 ?
n'
\ e' \
b'
k' c'
作图 方法:
d'e'//a'b' de//ac 判断 DE // ABC
e k d f s
m
a
2。特殊位置情况
若一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平 面有积聚性的同面投影必相互平行。
D G B E F A a H b d(e) C c g(f) x b' d' g'
a'
c'
e' d(e)
b c
f' o
a
g(f)
例题 试判断两平面是否平行。
s e f d b r c
过MN作平面Q垂直于V投影面 M
A
C
B
N 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
M
K E
F
C
B
N
过MN作平面P垂直于H投影面
一般直线与一般位置平面相交
B G A a g
M N
R
K C
F k b f
RH c
H
作图方法1： 包含直线GF作铅垂面R 求出R平面与ABC的交线MN MN与GF的交点K即为所求。
例题：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
f c a
b f
k
d k
c a d
b
n
例题：试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV k SV k h h
k
k
h
k h h QH
k
例题：定平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂 直于定平面。 a c m e f b d n
三 直线、平面的相互关系综合题
1 过K点
作一直线 KL与平 面ABC平 行与直线
方法1 过K点作 一平面 KDP与平 面ABC平 行。 求平面 KDP与直 线EF交点 L，连KL l' d'
m'
// f'
b' // k' c' a'
e'
p'
n' f c
p
l d m e Ph n //
EF相交。
//
c A
b k
D
c
b
则直线垂直平面 （ 根据直角定理）
n
p' a' b'
X b p
0
a
特殊情况
作图方法
[例]
过点M作直
线垂直于三
X
m'
k'
1' O k
2
角形ABC。
m
方法1
k' a' 1' m' X m k m'1 O X b b'
p'
O
p
a
方法2 换面法求解
X1
a'1
c'1
k'1
b'1
特殊情况
例题 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f c g k b
a
d f
k c b h g
a
d
例题 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
h
f c d
g
k
b
a c
g
f k b d 结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。
求直线与平面的交点，并判别可见性。
b' k'
q' b'
QV
a' X
n'
a'
m'
k'
2‘(1’)
c'
a n
1 2
O
b a k q
k
b
c
m
二、垂直线与一般平面相交
m' 1'
c'
作图方法：
利用直线的积 聚投影及平面
O
a' X
n'
k'
3'4'
b'
c
上取点的方法
a
4 k m (n) 3
1
求解。
b
三、一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交
交点——线面的公共点
交点——可见与不可见
a
作图步骤： 1、求交点（k，求k'） 2、判别可见性（远离坐标轴—- 可见）
的分界点
判断直线的可见性
b V N n
a
P m
k
B
A PH a
K a b k n k b
c
C
c
M
H
m
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
例
c' m'
4'
d' f' n'
1'(2')
B E
L
R C
a' e'
M
J
b' c
2
A a
D m
b d RH c H
e
3(4)
n 1 m
b
f
QH
e
a
d
RH
两一般位置平面相交 方法2： 换面法
3'
c' m'
4'
d' f' n'
m'1 1'(2') e'1
c'1
a' e'
a'1 b' c
2 b'1
n'1 f'1
V C
E B
A
D
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 n
直角定理
V
a C
E B D n a k
k d
e
c
b
A
e d
c b
定理2（逆）： 若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影 直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。 n V C E B d f a d k a f
2
e
f b k a a
2
3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
1
c e
直线EF与平面Δ ABC相交，判别可见性示意图
f c 1 (2) k F a V 利 用 重 影 点。 判 别 可 见 性 E e
b
Ⅱ Ⅰ
K
e
C
Ⅲ Ⅳ
k
A a
B
f b
3
c (4)
H
一般直线与一般位置平面相交 判别可见性
b'
a'
X
d'
m' c'
n'
O
作图步骤： ①在平面ABC内 任作一条水平 线(AD)； ②过M点作直线 MN//AD。
b d a c m
n
二、平面与平面平行
1.
几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行
b' e' f' m' G F X b c n a m f g n' c'
于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。
P
B N M H
R
E
a'
g' O e
EFG// ABC
例
已知 ：MN、PQ决定的平面与平面ABC平行， 试补全三角形ABC的正面投影。
n'
q' 1'
b'
做图步骤： 作n1//bc n2//ab
nn 11 //b' c' ' ' m' 2' p'
~
~
c'
X
a' n q b 1 a
O
~
n' 2´// b' a'
投影图
⒉ 特殊情况：若直线与投影面垂直面平行，则该
平面的积聚投影与直线的同面投影平行。
M P N m H PH n PH 则 P MN
X
c'
n'
m'
a' b'
O
PH mn
a
c b
m n
MN
ABC
例：过点M作直线MN平行于平面△ABC。
解：
b'
有多少解？
a' b a
c' n'
m'
无数解
n c
m
例：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。 解： 正平线
b
e d
a
m
c f
n
1 几何条件若一直线垂直于一定平面，则包含这条
直线的所有平面都垂直于该平面。
q' r'
二 两平面垂直
A
q
r
Ⅱ
D
源自文库
特殊情况
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个 平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于 第一个平面。
A A
Ⅰ Ⅱ
D
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
2 投影特点
n'
m'
k'
1' O k
先作一直线垂直
于平面。 然后再包含该直 线作一平面必垂 直于该平面。
n
X
2
m
例：过已知点D作一平面垂直于已知平面△ABC。
e'
d' X a e k b a' k' b' c'
O
c
d
分析：过已知 点D作直线DK垂 直于平面△ABC， 然后包含直线DK 作平面（可作无 穷多个），图中 任取一点E，则 平面DEK垂直于 △ABC。
~
m p 2
c
例题
b
试判断两平面是否平行
a n m c d c n m a d e r f s e
s
r
f b
结论：两平面平行
例题 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
a s d m b c c n b f k
n
r r
e
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
平面与平面相交
B
M
K F
N
A
L
C
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
一、直线与特殊位置(垂直)平面相交
C
A F H a k E X b a' B K D c' k' d' b'
f' c(f) k
e' O
b d(e)
分析：
利用平面的积聚性求交点
A
E
K F
B G
A
M N
R C F a'
K
g' 3‘(4’)
b'
k'
1'
n'
2'
c' f'
O
m' b
a
g
k
b
f
RH c H
X 4
f
RH
a 作图方法1： 包含直线GF作铅垂面R g 求出R平面与ABC的交线MN MN与GF的交点K即为所求。
k
3 m
n
1,(2)
c
直线与一般位置平面相交
作图方法2：
1
b'
g'
3'4'
f
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。 c
2
k 步骤： 1、 过EF作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
b
1
PH
e
f
1
a a
b
k
2
e
c
以正垂面为辅助平面求线面交点 QV f c
1
b k
步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。 2、求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
e e
2、过直线EF作正垂 平面P。 3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。 4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
h f
n
2
5、连接KH，KH即 为所求。
方法3
三面共点法
a'
1'
N
c'
2'
6'
f'
n'
3' 7' 4'
PV
8' RV
PV b'
5'
m' e'
a
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
第二节 直线与平面相交、两平面相交
直线与平面相交——求交点
平面与平面相交——求交线
并判别可见性
关键：求直线与平面的交点---共有点 求平面与平面的交线---共有线
求解方法：1. 积聚投影法 2. 辅助平面法 3.换面法
直线与平面相交
P
A
K
B
用换面法求 倾斜线与 倾斜 面的交线。 将ABC平面 变换为投 影面 垂直面。
b' f' k'
1 1
k' a' b
4
1' 2'
c' f' O f
X
1
g'1
c'
a'
1
a g
3
k
1,2
c
X1
五、两一般位置平面相交
M
B
K
A L
F
N
C 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其 连线即为两平面的交线。
m
V M B K L F m N C f b n H k a l P
b
c
f n m
k
l
a
k b f
a l
c
n
c PH
一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交
B Q
b' N
C a' m' b n c
X
n'
1‘(2’)
A a
M
c'
q'
O
m q
H a
b n m
q 2
1
c
四、一般直线与一般位置平面相交
b k a
三 直线、平面的相互关系综合题
(b1)a1 k1 c1 f1 f' l' X1 b'
1 过K点
作一直线 KL与平
e1
l1
e'
k'
f l b
c'
a'
面ABC平 行与直线
方法二 用换面 法求解 c
EF相交。
e
a
k
例题
试过定点A作直线与已知直线EF正交。 f
e e
a
a
f
分析 过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。
求两平面的交线
PV n b
2
c
1
m
k
l
QV
e
a
两一般 位置平面相 交，求交线 步骤：
b
m e k c
2
a l
1
n
1、用直线与 平面求交点 的方法求出 两平面的两 个共有点K、 E。 2、连接两个 共有点，画 出交线KE。
两一般位置平面相交 判别可见性 方法1： 辅助平 面法
3'
d' a
g'
O
M RV
X
c
1
2 6 5
f
3
4 8
n m e
7
b
g
d
第三节
垂直关系
一 直线与平面垂直 1 几何条件 • 若一直线垂直于平面内任意相交两直线， 则此直线必垂直于这个平面。 • 反之，若直线垂直于平面，则直线垂直 于平面内的任意直线。
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面， 则必垂直于属于该平面的一切直线。