文科立体几何解答题类型总结及其答案

F E

C A

D

B A 1

C 1B 1

B

C

A

D F

E A

B

C M N

A 1

B 1

C 1

B

C

B A 1

C 1

A

D

C 1

D 1

B 1

A C

D A

B

E

《立体几何》解答题

1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD.

2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C

求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C.

（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 3. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点. （Ⅰ）求证：BC ∥平面MNB 1； （Ⅱ）求证：平面A 1CB ⊥平面ACC 1A 1．

4. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC, 点D 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1； （Ⅲ）线段AB 上是否存在点M ，使得A 1M ⊥平面CDB 1？

5. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点，Ｅ为BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AB 1E ； （Ⅱ）求直线AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值； （Ⅲ）求三棱锥C －ABD 的体积.

6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为AA 1的中点.

求证：（Ⅰ）A 1C ∥平面FBD ； （Ⅱ）平面FBD ⊥平面DC 1B.

（第5题） （第6题） （第7题）

C 1

D 1

B 1

C

D

A 1

M

A B

C

D A 1 B 1

C 1

D 1 M A

B

D

C E

N

F A

1

B 1

B

C 1C

E

F

D

7. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面CB 1D 1； （Ⅱ）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1； （Ⅲ）如果AB ＝1，一个点从F 出发在正方体的表面上依次经过棱BB 1、B 1C 1、

C 1

D 1、D 1D 、DA 上的点，又回到F ，指出整个线路的最小值并说明理由.

8. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝2BB 1, 设B 1D BC 1＝F.

（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ； （Ⅱ）求证：BC 1⊥平面AB 1D. （第8题）

9. 如图所示,在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1中, DB ＝BC, DB ⊥AC, 点M 是棱BB 1上一点.

(Ⅰ)求证：B 1D 1 ∥面A 1BD ； (Ⅱ)求证：MD ⊥AC ； (Ⅲ)试确定点M 的位置, 使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D. 10. 四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为8的菱形，∠BAD ＝60°,

若PA ＝PD ＝5，平面PAD ⊥平面ABCD.

(Ⅰ)求四棱锥P －ABCD 的体积； (Ⅱ)求证：AD ⊥PB ；

(Ⅲ)若E 为BC 的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论？

（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）

11. 如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (Ⅰ)求证：AE ⊥BE ；

(Ⅱ)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ．

12. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3, BC ＝2 ,

D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点，且CF ＝2，

E 是AA 1上一点，且AE ＝2. (Ⅰ) 求证：B 1

F ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求证：BE ∥平面ADF.

13. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点.

（Ⅰ）若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；

C

B

A

B

C

M

P D

D

B A 1

A F

A C

（第18题）

（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM ＝t PC ，试确定实数t 的值，使得PA ∥平面MQB.

14. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ， △PAD 是等边三角形，已知AD ＝4, BD ＝34，AB ＝2CD ＝8. （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？（Ⅲ）求四棱锥P －ABCD 的体积．

（第13题） （第14题） （第16题）

16. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，

M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：

（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.

17. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，

过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；

（Ⅲ）在线段AE 上找一点R ，使得面BDR ⊥面DCB ，并说明理由.

（第17题）

18. 在四棱锥P － ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，

平面PAB ⊥平面ABCD ，

平面PAD ⊥平面ABCD. （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若平面PAB

平面PCD l ，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请说明理由.