一元二次方程根的判别式的多种应用

一元二次方程根的判别式的多种应用

一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：

一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。

例1、判断下列方程根的情况

2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0

二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。

例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？

简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，

∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-

又∵m-4≠0 ∴m≠4

∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。

例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0

l 有两个不相等的实数根

l 有两个相等的实数根

l 有两个实数根

l 有一个实数根

l 有实数根

l 无实数根

评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。

三、证明方程根的性质。

例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0

∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。

评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。

四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。

例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围

内因式分解。

简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。

∴m≥4且m≠0。

评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即：

Δ<0时不能在实数范围内因式分解；

Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解；

再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。五、判定二次三项式为完全平方式。

例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。

例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。

六、利用判别式构造一元二次方程。

例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）

求证：2y=x+z

简解：证明：以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程

（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有两个相等的实数根

又∵（x-y）+（z-x）+（y-z）=0

∴t1=t2=1

由根与系数的关系可知：= t1t2=1

∴2y=x+z

七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。

例9、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。

简解：设方程的两个实数根为m、n，∴m+n=k-1，mn=-3k-2

∴m2+n2=（m+n）2-2mn=k2+4k+5=17

∴k1=-6，k2=2

又∵Δ=[--2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2+10k+9

∴当k1=-6时，Δ= k2+10k+9=-15<0，方程无实数根；

当k2=2时，Δ= k2+10k+9=33>0方程有实数根。

故只取k=2。

评析：初中范围内，在应用韦达定理求字母取值时，其前提条件是使方程有实数根，即必须使所求字母的值满足Δ≥0，正如应用判别式时一定要考虑二次项系数，即对于ax2+bx+c=0（a≠0），可按如下顺序求字母取值：

a——Δ——韦达定理。

八、与几何知识相联系的问题。

例10、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。

例11、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程

x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。

简解：证明：Δ=[-2（a+b）]2-4（c2+ab）=4（a2+b2-c2）

∵a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边

∴Δ=a2+b2-c2 =0 ∴原方程有两个相等的实数根。

在以后的学习中，判别式的应用也非常频繁，在与其他知识的综合运用时更显得尤为重要。

九、判断其他类方程根的情况。

例12、分式方程无实数根，求m的取值范围。

例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。

十、解决二次函数的相关问题。

例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。

例15、求证：无论m为何值，二次函数y= x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。

例16、直线y=3x-3与y=x2-x+1有几个交点？

评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由Δ决定，即Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；Δ<0时没有交点（或者说当a>0时函数值恒为正，当a<0时函数值恒为负）。

十一、求最值问题。

例17、已知x为任意实数，求的最值。

简解：设=y，整理得：（y-1）x2-x-2=0

∵x≠0 ∴在y-1≠0时Δ=1+8（x-1）≥0

即：y≥且y≠1，当y=1时，x=-2

∴的最小值为

十二、巧解方程（组）。