一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
根的判别式的应用
根的判别式的应用根的判别式内容：一元二次方程在一般形式下，即形如：ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．根的判别式的应用：一、判断方程根的情况例1：一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根解：y2+2（y﹣1）＝3y，y2+2y﹣2＝3y，y2﹣y﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴有两个不相等的实数根．故选：A．练习1：1.关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定2.下列一元二次方程中，无实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2+3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2+2x+3＝03.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数与实数b的取值有关二、根据方程根的情况求字母的取值范围例2：如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a≥﹣1C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣1且a≠0解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，解得：a＞﹣1且a≠0，故选：D．练习2：1.关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣3B．k＜3C．k＜3且k≠0D．k＞﹣3且k≠02.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．m≤﹣2 C．m≥﹣2且m≠﹣1 D．m≤﹣2且m≠﹣13.若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜B．a＜且a≠﹣1C．a＞D．a＞且a≠﹣14.若一元二次方程kx2﹣4x﹣5＝0有两个实数根，求k的取值范围．5.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，则实数a的取值范围是.6.已知关于x的方程mx2+（2m-1）x+m=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，则m.(2)若方程有两个相等的实数根，则m.(3)若方程有两个实数根，则m.(4)若方程有实数根，则m.三、与新运算（定义）的综合例3：定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）“满足a+b+c＝0”，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（）A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴a＝c≠b，故选：A．练习3：1.定义比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是．2.如果a2+b2＝c2，那么把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的方程称为“勾系方程”．（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系方程”：；（2）求证：关于x的“勾系方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．3.定义新运算，对干任意实数m，n．都有m☆n＝m2n+n．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．若2☆a的值小于0．请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．四、利用根的判别式判断三角形的形状例4：已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．练习4：1.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．2.边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．五、证明一元二次方程有（无）实数根例5：关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．（1）证明：x2﹣mx+2m﹣4＝0，Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2，∵不论m为何值，（m﹣4）2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，得1﹣m+2m﹣4＝0．解得m＝3．练习5：1.已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．2.已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有一个根﹣1，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．4.已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．（1）求证：方程有两个不等的实数根；（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．六、与韦达定理的结合运用例6：已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1•x2＜0．（1）求m的值．（2）不解方程，求3x1﹣x24．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，∴m2+4m＝5，解得m1＝1，m2＝﹣5，如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1•x2＜0，∴m＝1；（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，x12＝1﹣x1，x22＝1﹣x2，∴x12+x22＝2﹣（x1+x2）＝3，∴3x1﹣x24＝3x1﹣（1﹣x2）2＝3x1﹣1+2x2﹣x22＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+x22）＝2（x1+x2）﹣（x12+x22）＝﹣2﹣3＝﹣5．练习6：1.已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，满足：x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．2.已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．4.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．。
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式是一个重要的知识点，有极为广泛的应用．下面举例说明判别式的几种常见应用．一、判断方程根的情况例1 方程04322=-+x x 的根的情况是（ ）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）无实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个根为零分析：由041329)4(243422>=+=-⨯⨯-=-ac b 知方程有两个不相等的实数根．二、证明方程根的情况例2 已知关于x 的方程0)12()2(2=+--+m x m x ，求证：无论m 取什么数，这个方程总有两个不相等的实数根．分析：由222224(2)4[(21)]448448(2)40b ac m m m m m m m m -=--⋅-+=-+++=++=++>，所以不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．三、判断方程中未知系数的取值范围例 3 已知关于x 的一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 分析：由题意得⎩⎨⎧>-⋅---≠-.0)1()1(4)2(,012k k 解得2<k 且1≠k ． 所以k 的取值范围是2<k 且1≠k ．四、确定二次三项式是完全平方式的条件例4 已知关于x 的二次三项式1)1(2+++mx x m 是一个完全平方式，求m 的值．分析：因关于x 的二次三项式1)1(2-++mx x m 是一个完全平方式，故关于x 的方程01)1(2=-++mx x m 有两个相等的实数根，所以0)1(4422=++=-m m ac b ，解得2-=m ．五、讨论两函数图象的交点情况例5 直线2-=x y 与双曲线x y 6=有没有交点？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由．分析：要判断直线与双曲线有没有交点，只要看它们的解析式组成的方程组有没有实数根，即看消去y 的方程0622=--x x 有无实数解，易知=-⨯--=-)6(4)2(422ac b 28>0,故直线与双曲线有交点．一元二次方程根的判别式还有其它方面的应用,这里不在一一举例,但同学们学习时要注意根的判别式与其它知识之间的联系和区别,掌握将所研究的问题转化为一元二次方程问题的方法，通过对知识的归纳、整理进一步提高分析问题解决问题的能力．。
一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程根的判别式的多种应用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-又∵m-4≠0 ∴m≠4∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。
例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0l 有两个不相等的实数根l 有两个相等的实数根l 有两个实数根l 有一个实数根l 有实数根l 无实数根评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。
三、证明方程根的性质。
例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。
利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.当Δ<0时，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有一个实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
所以，答案为C．有两个不相等的实数根。
应用5：利用根的判别式解函数的最值问题6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.所以，f(x)的最小值为3.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。
下面介绍其中的六种常见应用。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。
解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。
例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。
解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。
又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值。
例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。
解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。
又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.应用4：利用根的判别式解与函数综合问题。
一元二次方程根的判别式及其应用
x 代入原方程得： 2 2 x 1ห้องสมุดไป่ตู้ 0 x 1 ． x 综上知： 1, y 0 .
2013年4月22日星期一
小结
应用一元二次根的判别式主意几点： 1、判断是否一元二次方程； 2、其次要化为标准形式; 3、最后正确求出判别式的值 与零作比较得出根的情况
一元二次方程根的判别式的应用
平乡县实验中学 庞西宏
2013年4月22日星期一
现行初中数学教材要求学生掌握 一元二次方程的根的判断式及其应 用．本讲主要讲解什么是一元二次 方程根的判别式，它有哪些应用。
2013年4月22日星期一
一、什么是一元二次方程的根的 判断式 ax 2 bx c 0 (a 0) ，用配方法将 一元二次方程
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二 次方程的一般形式．
2013年4月22日星期一
【例2】已知关于x的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 , 根据 下列条件，分别求出K的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等 的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根
(3) 当 b 4ac 0 时，方程没有实数根．
2013年4月22日星期一
二、一元二次方程的根的判断式 的应用
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1)2 x 2 3 x 1 0 (2)4 y 2 9 12 y (3)5( x 2 3) 6 x 0
2013年4月22日星期一
谢 谢！
2013年4月22日星期一
2013年4月22日星期一
【例3】已知实数 x , y 、满足 x 2 y 2 xy 2 x y 1 0 ， 试求 x , y 的值． 解：把方程看作是关于 x 的方程，整理得：
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
05-一元二次方程根的判别式及应用
5、已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的最大整数值
6、当 为何值时，方程
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
方程无实数根
一元二次方程的应用
【知识点归纳】
1、列方程解应用问题的步骤是什么？
1审题，②设未知数，③列方程，④解方程（并检验）⑤写答．
7、一块长方形场地面积是300平方米，一边比另一边多5米，求该场地两邻边的长
8、有一长方形水池，长比宽多3米，从水池中放出32吨水后，水池中的水面下降了0.8米，求水池的长和宽
3、家庭作业
1、若关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
2、若|b−1|+ =0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【例题】
1、一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？
2、某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元.如果每月产值的增长率相同，求这个增长率.
3、如图，某拆迁工地利用夹角为135°的两面墙，再用总长为24米的铁丝网围成一个 为42平方米的直角梯形露天仓库（图中为ABCD），求AB，BC的长为多少米？
3、一种药原价每瓶30元，经过两次大幅度降价后，现在每瓶售价10.80元，问平均每次降低百分之几？
4、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下部分刚好能围成一个容积为15平方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面积的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购买这张矩形铁皮共花多少钱？
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式一元二次方程（）的根的判别式为,用“”表示,所以02=++c bx ax 0≠a ac b 42-∆.ac b 42-=∆应用一、不解方程,判断一元二次方程根的情况对于一元二次方程（）,当≥0时,方程有两个实数根;02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆当时,方程无实数根.042<-=∆ac b 具体判断结果为:（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;042>-=∆ac b （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根;042=-=∆ac b （3）当时,一元二次方程没有实数根.042<-=∆ac b 反之亦成立.用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的一般步骤:（1）把一元二次方程化为一般式;（2）确定的值（注意符号）;c b a ,,（3）计算的值;ac b 42-=∆（3）根据的符号确定一元二次方程根的情况.∆例1. 不解方程,判断下列方程的根的情况:（1）;（2）; 2532-=x x 041242=+-x x （3）.()0142=-+y y 分析:不解方程,判断一元二次方程根的情况时,要先把一元二次方程化为一般形式,然后准确确定的值,包括符号,再计算出的值,由的符号确定一元二次方程根c b a ,,ac b 42-=∆∆的情况.解:（1）02532=+-x x ∵ ()01242523452>=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根;（2）∵ ()044414422=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个相等的实数根;（3）0442=+-y y ∵ ()06364144412<-=-=⨯⨯--=∆∴该方程没有实数根.例2. 求证:对于任何实数,关于的一元二次方程总有两个不相等的m x 02222=-+-m mx x 实数根.分析:本题只需证明对于任何实数,该方程根的判别式总是大于0即可.m ∆证明: ()()22422---=∆m m ()()4144124884222+-=++-=+-=m m m m m∵≥0 ()21-m ∴,即 ()04142>+-m 0>∆∴对于任何实数,该方程总有两个不相等的实数根.m 习题1. 若关于的不等式的解集为,则关于的方程的根的情x 12<-a x 1<x x 012=++ax x 况是【 】（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根 （C ）无实数根（D ）无法确定 习题2. 不解方程,判断下列方程根的情况:（1）;（2）; 2432+=x x ()()08222=--+x x （3）.03232=-+x x习题3. 证明:对于任何实数,关于的方程总有两个不相等的实数根. m x ()()221m x x =--习题4. 已知关于的方程.x 022=-++m mx x （1）若此方程的一个根为1,求的值;m （2）求证:不论取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.m应用二、已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围有下面的结论:（1）若一元二次方程（）有实数根,则≥0; 02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆①若一元二次方程有两个不相等的实数根,则;042>-=∆ac b ②若一元二次方程有两个相等的实数根,则.042=-=∆ac b （2）若一元二次方程（）没有实数根,则. 02=++c bx ax 0≠a 042<-=∆ac b 例3. 当为何值时,关于的一元二次方程:k x 0542=-+-k x x （1）有两个不相等的实数根;（2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根.分析:先得到的表达式,然后根据方程根的情况确定的符号,从而建立相应的关于的不∆∆k 等式求解.解: ()()k k 4365442-=---=∆（1）∵该方程有两个不相等的实数根∴,即0>∆0436>-k 解之得:;9<k （2）∵该方程有两个相等的实数根∴,即0=∆0436=-k 解之得:;9=k （3）∵该方程没有实数根∴,即,解之得:.0<∆0436<-k 9>k易错警示:在已知一元二次方程根的情况下确定字母的值或取值范围时,不要忽视二次项系数不等于0的限制.例4. 已知关于的一元二次方程有实数根,求实数的取值范x ()()0112122=+++-x m x m m 围.分析:一元二次方程有实数根的结论是其≥0.∆错解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴≥0,即≥0∆88+m 解之得:≥m 1-∴实数的取值范围是≥.m m 1-错因分析:错解忽视了一元二次方程的二次项系数受到不等于0的限制.正解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴ ⎩⎨⎧≥+=∆≠-088012m m 解之得:且1->m 1≠m ∴实数的取值范围是且.m 1->m 1≠m 例5. 若为△ABC 的三边长,且关于的一元二次方程c b a ,,x ()()022=-+-+-a b x b a x c b 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由.解:△ABC 为等腰三角形.理由如下: ()[]()()a b c b b a ----=∆422acbc ab a acbc ab b b ab a 444444444842222-+-=-++-+-==()()c a b a --4∵该方程有两个相等的实数根∴()()04=--=∆c a b a ∴或0=-b a 0=-c a ∴或b a =c a =∴△ABC 为等腰三角形.习题5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围x 062=+-b x x b 是__________.习题6. 若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是__________. x 0122=-+x kx k 习题7. 在△ABC 中,,且关于的方程有两个相等b AC AB BC ===，32,2x 042=+-b x x 的实数根,则AC 边上的中线长为_________.习题8. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则的值可以是【 】x 012=++mx x m （A ）0 （B ） （C ）2 （D ）1-3-习题9. 关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是【 】x ()01222=+--m x m x m （A ）（B ）≤ 0≠m m 41（C ） （D ） 41<m 41>m 习题10. 一元二次方程的根的情况是__________________.()()3211+=-+x x x 习题11. 关于的一元二次方程.x 012=++bx ax （1）当时,利用根的判别式判断方程根的情况;2+=a b （2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的的值,并求此时方程的根. b a ,习题12.若为△ABC 的三边长,当时,关于的方程有两c b a ,,0>m x ()()0222=--++ax m m x b m x c 个相等的实数根,求证:△ABC 为直角三角形.应用三、判断抛物线与轴的相交情况x 当抛物线与轴相交时,,对应的一元二次方程()02≠++=a c bx ax y x 0=y 有实数根,此时≥0;当抛物线与()002≠=++a c bx ax ac b 42-=∆()02≠++=a c bx ax y x 轴无交点时,对应的一元二次方程无实数根,此时.因()002≠=++a c bx ax 042<-=∆ac b 此,抛物线与轴的相交情况可以转化为对应的一元二次方程根的情况.于是,我们既可以用x 判别式来判断一元二次方程根的情况,又可以判断抛物线与轴的相交情ac b 42-=∆x 况.“”被赋予了鲜明的代数意义和几何意义.∆（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根042>-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴有两个不同的交点、;21,x x ()02≠++=a c bx ax y x ()0,1x ()0,2x （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根042=-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴只有一个交点,即; 21x x =()02≠++=a c bx ax y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a b （3）当时,一元二次方程没有实数根,抛物线042<-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax 与轴无交点.()02≠++=a c bx ax y x 例6. 判断下列抛物线与轴的相交情况:x （1）;（2）;1432++=x x y 962-+-=x x y （3）.1242+-=x x y 分析:同判断一元二次方程根的情况,判断抛物线与轴的相交情况时,要先将抛物线的解析x式化为一般式,然后进行判断.解:（1）∵0412*******>=-=⨯⨯-=∆∴抛物线与轴有两个交点;1432++=x x y x （2）∵()()0363691462=-=-⨯-⨯-=∆∴抛物线与轴只有一个交点;962-+-=x x y x （3）∵ ()01216414422<-=-=⨯⨯--=∆∴抛物线与轴无交点.1242+-=x x y x 例7. 已知抛物线.122-++=m x x y （1）当取何值时,抛物线与轴有两个交点?m x （2）当取何值时,抛物线与轴只有一个交点?并求出这个交点坐标;m x （3）当取何值时,抛物线与轴没有交点?m x 解:()m m 481422-=--=∆（1）∵抛物线与轴有两个交点x ∴,即0>∆048>-m 解之得:;2<m （2）∵抛物线与轴只有一个交点x ∴,即0=∆048=-m 解之得:2=m 此时,交点坐标为;()0,1-（3）∵抛物线与轴没有交点x ∴,即0<∆048<-m 解之得:.2>m 习题13. 抛物线与轴没有交点,则的取值范围是__________.m x x y +-=62x m 习题14. 抛物线与坐标轴有且只有2个交点,则_________. ()m x x m y 21212++-==m 提示:由题意可知该抛物线与轴只有一个交点,所以且.x 0=∆01≠-m应用四、判断抛物线与直线的相交情况在同一平面直角坐标系中,判断抛物线与直线的相交情况时,可以将问题转化为它们的解析式组成的一元二次方程的根的情况.例8. 当取何值时,抛物线与直线只有一个交点? m 122-++=m x x y m x y 2+=解:由两个函数的解析式可得方程组:⎩⎨⎧+=-++=mx y m x x y 2122整理得到:012=--+m x x ∵抛物线与直线只有一个交点122-++=m x x y m x y 2+=∴()0541412=+=++=∆m m 解之得: 45-=m ∴当时,抛物线与直线只有一个交点. 45-=m 122-++=m x x y m x y 2+=习题15. 若直线与抛物线有交点,则的取值范围是【 】m x y +=x x y 32+=m （A ）≥ （B ）≤m 1-m 1-（C ） （D ）1>m 1<m 应用五、和二次项系数结合确定抛物线与轴的两个交点之间的距离x 对于抛物线,当时,抛物线与轴有两个不同的交()02≠++=a c bx ax y 042>-=∆ac b x 点、,这两个交点之间的距离为. ()0,1x ()0,2x ax x ∆=-21习题16. 求当为何值时,二次函数的图象与轴的两个交点之间的距a 3222++-=a ax x y x 离是3.（答案:或） 23-=a 27=a。
一元二次方程根的判别式的意义及应用
教学目标（一）使学生掌握一二次方程的根的判别式。
（二）使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。
教学重点和难点重点：一元二次方程的根的判别式的运用。
难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解。
教学过程设计（1）（一）复习提问，引入新课1．什么元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式？2．公式适用条件是什么？（二）新课1． 1．根的判别式念在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即△=b2-4ac (注意不是△=)2． 2．根的判别式的应用（实际上就是定理）用三个定理来表示（我们通常把记号A B表示为A是命题的条件，B是命题的结论）于是有：定理1ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＞0方程有两个不等实数根定理2ax2+bx+c=0(a≠0)中，△=0方程有两个相等实数根定理3ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＜0方程没有实数根注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，得另三个定理，那就是定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根△＞0定理5ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根△=0定理6ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根△＜0显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理，定理3与定理6，互为逆定理。
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。
（三）应用举例例1 不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）2x2+3x-4=0; (2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0解：（1）因为△=32-4×2（-4）=9+32>0;所以原方程有两个不相等的实数根。
（注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式。
一元二次方程的根的判别式及其应用
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一元二次方程的根的判别式及其应用
作者：燕培雄
来源：《中学生数理化·教与学》2011年第09期
一元二次方程的根的判别式（以下简称“根的判别式”）不仅是一元二次方程中的重要内容，也是数学中的重要方法，尤其是运用根的判别式解一些数学竞赛试题，常常起到意想不到的效果。
一、知识扫描
1．在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ=b2-4ac称为一元二次方程的根的判别式。
2．一元二次方程的根的判别式的使用条件是a≠0.
3．一元二次方程的根的判别式理论：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程没有实数根。
反之成立。
二、典例解析
１．运用根的判别式判断一元二次方程根的情况
例１已知关于x的一元二次方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0。
求证：当p1p2=2(q1+q2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根。
证明：设这两个方程的判别式为Δ1,Δ2。
则
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
(完整版)一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
专题2 一元二次方程的解法及根的判别式应用题型(学生版)
专题2一元二次方程的解法及根的判别式应用题型知识归纳理解一元二次方程的定义及一般形式，掌握一元二次方程的解法，熟练解各类一元二次方程；掌握一元二次方程根的判别式的相关知识点并熟练应用，这些是本节的重要知识点。
本专题主要对一元二次方程的解法及根的判别式应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点梳理二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点梳理三．一元二次方程的解（1）解一元二次方程-直接开平方法（2）解一元二次方程-配方法（3）解一元二次方程-公式法把x ＝（b 2﹣4ac ≥0）叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式．（4）解一元二次方程-因式分解法（5）换元法解一元二次方程知识点梳理四．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b 2﹣4ac ）判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．常考题型专练一、选择题1.若关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根，则m 的取值范围为()A.m ≤1B.m 1≥ C.1m > D.1m <2.若双曲线my x=在第二、四象限，那么关于x 的方程2x 2x m 0-+=的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.条件不足，无法判断3.当4a b +=时，关于x 的一元二次方程220ax bx -++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定4.关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A .k ≤94B.k ≥94C.94k <D.k ≤94且0k ≠5.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根6.关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A.8B.9C.10D.117.若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A.﹣1B.0C.1D.28．下列方程中，没有实数根的是（）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=9．新定义运算：a ※b ＝a 2﹣ab +b ，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x ※2＝5的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根10．若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-二、填空题1．方程22x x =的解是________．2．若实数a 、b 分别满足2430a a -+=，2430b b -+=，且a b ≠，则11a b+的值为．3．一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，则k 的值是．4．如果关于x 的方程22(21)0x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的横纵坐标是x 的方程20x bx c ++=的两根，则b c +=________．三、解答题1．解方程：22(23)(32)x x +=+．2．已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．3．关于x 的一元二次方程()2104kkx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．4．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝，b＝；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．5．学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝，b＝．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．。
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用四川省内江市东兴区顺河中心校高忠全一个公式、一个法则、一个概念，如果用得好、用得妙，它可以帮助我们解答许多复杂的问题。
如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根判别式△＝b2－4ac在中学数学中有着广泛的应用。
一、在因式分解中的应用：在中学数学中，有一些多项式，知道了它能分解成两个一次因式的积，反过来要求多项式中某一个待定系数的值，是初中数学中的一个难点。
但用判别式“△”来解就简单了。
比如：如果x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次因式的积，试求m的值。
解：整理二次三项式:x2-y2+mx+5y-6得x2+mx-(y2-5y+6)令x2+mx-(y2-5y+6)=0把x看成未知数△=m2-4×1×[-(y2-5y+6)]=4ｙ2－２0y+24+m2要使x2-y2+mx+5y-6分解成两个一次因式的积,△必须是一完全平方式即(-２0)2-4×4(24+m2)=0,整理得：m2=1，则m=±1.当m=1时，二次三项式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+x+5y-6=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6=(x+Y-2)(x-y+3).当m=-1时,二次三式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2-x+5y-6=(x+y-3)(x-y+2)。
一个多项式分解因式后,如果有一个因式是二次三项式,这个二次三项式是否还能继续进行因式分解。
就要看这个二次三项式对应的一元二次方程的根判别式△＝b2－4ac的情况,若△≥0时,那么这个二次三项式就能够进行因式分解；如果△＜0时；那么这个二次三项式就不能够进行因式分解,并且当△=0时,二次三项式是一个完全平方式。
如:已知二次三项式3x2-4x+2k,当k取何值时,(1)在实数范围内能分解因式,(2) 在实数范围内不能分解因式,(3)能分解成一个完全平方式。
解:令3x 2-4x+2k=0 ,a=3,b=-4,c=2k, △=b 2-4ac=(-4)2-4×3×2k=16-24k(1) 当△≥0,即16-24k ≥0,得k ≤32时,二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0,即16-24k ＜0,k ＞32时二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内不能分解因式；(3)当△=0,即16－4k=0, k=32时二次三项式3x 2-4x+2k 是一个完全平方式。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有无实数根．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m )＝4＋4m <0，即m <－1.对于方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0，Δ2＝(2m )2－4·m (m ＋1)＝－4m >4，∴方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．同类变式2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m 的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．证明：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得 ∴x 1＝2/m ，x 2＝ 1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求 的值． 解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝5/2 或m ＝－3/2. 当m ＝5/2时， 当m ＝－－3/2时， 应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y x ＋1是关于x 的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为222.22m m m x m m 21(21)2m x m 251112;(21)216514m m m 231152.(21)216326m m m()A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根∵y＝x＋1是关于x的一次函数，∴，∴k－1>0，解得k>1，又关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ，∴Δ<0，∴关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.∴b2＋c2＝a2.∴此三角形是直角三角形．应用6：利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？(1)由题意，得Δ＝0，解：即m2－4 ＝m2－2m＋1＝0.∴m＝1.故当m为1时，▱ABCD是菱形．此时原方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝.即菱形ABCD的边长为.4a c－4a c－4a c－2m14124m141212(2)由题意知2是关于x 的方程x 2－mx ＋ － ＝0的一个根， ∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋ － ＝0， 解得m ＝ ，故原方程为x 2－ x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝ . ∴AD ＝ . 故▱ABCD 的周长为2× ＝ 5. 2m 142m 1452521212122。
求根公式法解一元二次方程及方程根的判别式的应用
1.把一元二次方程各系数直接代入求根公式，可以直接得到方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做法。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是。
3.一元二次方程的根的判别式是：△= 。
（1）当△＞0时，一元二次方程的实数根。
（2）当△= 0时，一元二次方程的实数根。
（3）当△＜0时，一元二次方程的实数根。
4.用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式，即的形式；（2）确定，，的值；（3）计算△= b2﹣4ac的值，若△时，则将a. b.c 代入求根公式计算；（4）写出答案：x1= , x2= .5.把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解方程的方法叫法。
6.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式。
即的形式；（2）把方程的左边分解成的形式，右边为；（3）令这两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；（5）写出答案。
例1、用公式法解下列方程 1，21202x x -++= 2，2121233x x --+=分析：可先将方程转化为整系数方程，再用求根公式 解：1，整理得：2240x x --= a=1 b=-2 c=-4224(2)41(4)20b ac ∆=-=--⨯⨯-=212x ±∴==±即x 1=1+， x 2=1-（2）整理得：3250x x +-=a=3 b=2, c= -5△ = b 2﹣4ac=2243(5)64-⨯⨯-=∴x=214233-±-±=⨯即x 1=1 ， 253x =-。
例2.用因式分解法解下列方程。
（1）26510x x -+= （2）261360x x ++=分析：这两个方程二次项系数都不是1，但也能将左边分解为两个一次因式乘积的形式。
解：（1）26510x x-+=（2x-1）（3x-1）=0210x∴-=或310x-=即1211,.23x x==（2）261360x x++=()()32230x x++=320230x x∴+=+=或即1223,.x x=-=-例4.选择适当的方法解下列方程()21310x x--=()223)12-=【变式练习】用适当的方法解下列方程(1)()()223243x x-=- (2)()()112x x--=例5 若关于x的方程2420x x k++=有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值。
一元二次方程判别式的应用---毕业论文
【标题】一元二次方程判别式的应用【作者】李沛津【关键词】一元二次方程判别式代数应用【指导老师】郑莲【专业】数学教育【正文】1、引言一元二次方程 ( )的根的判别式，在初中代数数学中仅占两个课时，授课时数虽然较少，但其重要性却不容忽视，在高中的学习中占有重要的地位，是重点教学内容之一，在教科书中又有比较详细、简单的推导过程，它的应用在代数中尤为突出，比如它不仅用于一元二次方程中关于根的讨论，而且在函数、函数的定义域、函数的值域、函数的极值、不等式、因式分解、求变量的变化范围、直线与二次曲线的位置关系等方面都有广泛的应用。
而且它的应用还不只限于数学的领域，在物理等其他领域都会用到。
接下来就先了解判别式的意义，在对其应用来做分类举例介绍判别式。
2、一元二次方程判别式的意义对于实系数一元二次方程 ( 均为常数）（A）根的情况，可由来判断，我们把称为方程（A）根的判别式。
由于负数在实数集内不能进行开平方运算，因此，对方程(A)根的判别式应从两个方面明确其意义：（1）只有具备了均为实数且时，才有如下的结论：当 >0时，方程（A）有两个不相等的实数根；当 =0时，方程（A）有两个相等的实数根；当 <0时，方程（A）没有实数根。
(2)对于 <0时，应该说“原方程没有实数根”，而不说“原方程无解”，以免引起将来在复数集上解一元二次方程时要把“无解”改成“有虚数解”的麻烦。
3、判别式在数学中的应用判别式的应用非常广泛，在中学数学的学习中，它在代数中的应用起到了不少的作用。
所以非常值得一提。
3.1 求字母的值或范围根据抛物线与轴交点的个数，确定解析式中字母系数的值或字母系数之间的关系例1.已知，当满足什么条件时，抛物线与轴总有一个交点。
解：要使抛物线与轴总有一个交点，只需:，又，所以 .即当时，抛物线与x轴总有一个交点。
例2.已知二次函数，证明：取任意实数值时，函数的图象与轴总有两个交点。
证明：因为：，所以取任意实数值时，函数的图象与轴总有两个交点。
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一元二次方程根的判别式的多种应用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-又∵m-4≠0 ∴m≠4∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。
例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0l 有两个不相等的实数根l 有两个相等的实数根l 有两个实数根l 有一个实数根l 有实数根l 无实数根评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。
三、证明方程根的性质。
例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
∴m≥4且m≠0。
评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即：Δ<0时不能在实数范围内因式分解；Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解；再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z简解：证明：以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有两个相等的实数根又∵（x-y）+（z-x）+（y-z）=0∴t1=t2=1由根与系数的关系可知：= t1t2=1∴2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例9、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
简解：设方程的两个实数根为m、n，∴m+n=k-1，mn=-3k-2∴m2+n2=（m+n）2-2mn=k2+4k+5=17∴k1=-6，k2=2又∵Δ=[--2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2+10k+9∴当k1=-6时，Δ= k2+10k+9=-15<0，方程无实数根；当k2=2时，Δ= k2+10k+9=33>0方程有实数根。
故只取k=2。
评析：初中范围内，在应用韦达定理求字母取值时，其前提条件是使方程有实数根，即必须使所求字母的值满足Δ≥0，正如应用判别式时一定要考虑二次项系数，即对于ax2+bx+c=0（a≠0），可按如下顺序求字母取值：a——Δ——韦达定理。
八、与几何知识相联系的问题。
例10、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。
例11、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。
简解：证明：Δ=[-2（a+b）]2-4（c2+ab）=4（a2+b2-c2）∵a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边∴Δ=a2+b2-c2 =0 ∴原方程有两个相等的实数根。
在以后的学习中，判别式的应用也非常频繁，在与其他知识的综合运用时更显得尤为重要。
九、判断其他类方程根的情况。
例12、分式方程无实数根，求m的取值范围。
例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。
十、解决二次函数的相关问题。
例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。
例15、求证：无论m为何值，二次函数y= x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。
例16、直线y=3x-3与y=x2-x+1有几个交点？评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由Δ决定，即Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；Δ<0时没有交点（或者说当a>0时函数值恒为正，当a<0时函数值恒为负）。
十一、求最值问题。
例17、已知x为任意实数，求的最值。
简解：设=y，整理得：（y-1）x2-x-2=0∵x≠0 ∴在y-1≠0时Δ=1+8（x-1）≥0即：y≥且y≠1，当y=1时，x=-2∴的最小值为十二、巧解方程（组）。
例18、求方程2x2-2xy+y2-2x+1=0的实数解。
简解：方程变形为2x2-2（y+1）x+y2+1=0Δ=[-2（y+1）]2-4（y2+1）╳2≥0化简得：-（y-1）2≥0 ，而-（y-1）2≤0∴-（y-1）2=0 即y=1∴代入方程得：x1=x2=1十三、证明恒等式。
例19、若a、b、c为实数，且a（a-b）+b（b-c）+c（c-a）=0求证：a=b=c简解：视a为主元，整理得：a2-（b+c）a+（b2-bc+c2 ）=0∵a为实数，∴Δ=[-（b+c）]2-4（b2-bc+c2）≥0解得：b=c，代入上式得a=b，故a=b=c。
由以上例题可以看出一元二次方程的判别式在初中数学中占有非常重要的地位，也是学习某些知识的基础。
在中考试题和竞赛中常有出现。
附：（中考试题和竞赛试题精选）1、不解方程，判别方程2x2+3x-4=0的根的情况（）A、有两个相等的实数根。
B、有两个不相等的实数根。
C、有一个实数根。
D、无实数根（20XX年武汉市中考数学试题）2、已知关于x的方程0.25x2- (m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是（）。
A、2 B、1 C、0 D－1（２００２年四川省中考数学试题）3、已知关于x的方程x2－2x+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A、k<1B、k≤1C、k≤-1D、k≥--1（20XX年辽宁省中考数学试题）4、已知a、b、c是一个三角形三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+0.25c=0的根的情况是（）。
A、无实数根。
B、有两个不相等的正实数根。
C、有两个不相等的负实数根。
D、有两个异号的实数根。
（20XX年河南省中考数学试题）5、关于x的一元二次方程x2—(k+1)x+k=0的根的情况是（）。
A、有两个不相等的实数根。
B、总有实数根。
C、有两个相等的实数根。
D、实数根。
（20XX年包头市中考数学试题）6、关于x的方程x2—2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）。
（20XX年南昌市中考数学试题）7、如果方程组只有一个实数解，则m的取值是（）。
（20XX年厦门市中考数学试题）8、已知关于x的方程x2—x+a=0的两个实数根的平方的倒数和为3，则a=（）。
（20XX年嘉兴市中考数学试题）9、m>2时，关于x、y的方程组的实数解有（）个。
10、已知关于x的方程x2—kx-2=0,求证：方程总有两个不相等的实数根。
（20XX年南京市中考数学试题）11、已知:二次函数y=x2+ax+a-2求证：〈1〉不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点总在横轴下方。
〈2〉是否存在a的值使抛物线y=x2+ax+a-2在横轴上截得的线段长为1？（20XX年杭州市中考数学试题）12、已知x1x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使（2x1-x2）（x1-2x2）= -1.5，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
(20XX年四川省中考数学试题)13、是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根？若存在请求出m的值；若不存在，请说明理由。
14、若方程x2+2px-q=0(p、q为实数)没有实数根。
a) 求证：p+q<0.25b) 试写出上述命题的逆命题。
c) 判断〈2〉中逆命题是否正确，若正确请加以证明；若不正确请举一反例说明。
15、已知关于x的方程（n-1）x2+mx+1=0 <1>有两个相等的实数根。
i. 求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0 <2>必有两个不相等的实数根。
ii. 若方程〈1〉的一根的相反数恰好是方程〈2〉的一根求代数式m2n+12n的值。
（20XX年北京市海淀区中考数学试题）16、若三个方程x2+4ax-4a+3=0；x2+(a-1)x+a2=0；x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。
17、若a、b、c、d都是实数，且满足a2d2+b2(d2+1)+c2+2b(a+c)d=0,求证：b2=ac。
18、已知：a、b、c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。
（20XX年全国初中数学联合竞赛试题）19、已知a、b、c为实数，a-b=8，ab+c2+16=0，求证：a+b+c=020、已知0.25(b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0,则(b+c)/a的值是_____.21、ΔABC的三边满足b+c=8,bc=a2-12a+52,试问ΔABC是什么三角形（按边分类）并证明你的结论。
（第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）。