空间几何体的结构
§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
探究提高
解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何 体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明 一个命题是错误的，设法举出一个反例即可． 主页
变式训练 1
下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱 柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为 直四棱柱． 其中，真命题的编号是②④ ________．(写出所有真命题 的编号)
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变式训练 3
一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个 等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长均为1,则这 2 2 个平面图形的面积是 ______.
y
D
C
D
1
C
2
o
A
E
B x
A
2 1
B
S 1 [1 2 1] 2 2 2. 2
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题 型四
几何体的截面问题
对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能与 底面垂直且互相平行,故①假； 对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底 面,故②真；
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变式训练 1 下面是关于四棱柱的四个命题： ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． ②④ ．(写出所有真命题的编号) 其中，真命题的编号是________
对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面，可得满足条件 的斜四棱柱(如图(1))，故③假； 对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱 的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对角 线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底 面，故④真(如图(2))．
高中数学1.1空间几何体的结构 优秀课件1
2
①
当 0 9 0 时 ， S 1 l2 sin
2
S0
1 2
l2
sin
② 当 90180时 ， P
S0
1 l2 sin
2
1 2
l2
sin 90
即 S0
1 2
l2.
l
P
l
综上选 B.
A
O
BA
O
B
C
C
作业
1. 《导学精练》1.1.1 活页+蓝皮〔分层要求〕 2.预习教材“简单组合体的结构特征〞
简单组合体
圆柱、圆锥、圆台的轴截面问题 通常我们称过旋转体旋转轴的截面为轴截面.
圆柱、圆锥、圆台轴截面分别是矩形、等腰三角形、 等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元 素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.
练习. 以下命题中错误的选项是〔 〕 A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个. B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个. C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆. D.圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形.
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.空 间几何体是几何学的重要组成局部，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等 大量实际问题中都有广泛的应用.
观察与思考
空间我几们何周体围的存定在义着：各种各样的物体,它们都占 据着空如间果的只一考局虑部物. 体的形状和大小，而不考虑 其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图 形就叫做空间几何体.
第一章 空间几何体
本节我们从空间几何体的整体观察入手，研 究空间几何体的结构特征.
观察与思考
由假观设察干以平下面物多体边的形形围状成和的大几小何，体试叫给做出多相面体. 应的空间几何体，说说有它们的共同特征。
高一数学知识点总结_空间几何体的结构知识点
⾼⼀数学知识点总结_空间⼏何体的结构知识点⾼⼀数学怎么学? 学⽣学习期间，在课堂的时间占了⼀⼤部分。
因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结，接下来随着⼩编⼀起来看看吧!⾼⼀数学知识点总结(⼀)空间⼏何体的结构知识点1、静态的观点有两个平⾏的平⾯，其他的⾯是曲⾯;动态的观点：矩形绕其⼀边旋转形成的⾯围成的旋转体，象这样的旋转体称为圆柱。
2、定义：以矩形的⼀边所在直线为旋转轴，其余各边旋转⽽形成的的曲⾯所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转⽽成的圆⾯叫做圆柱的底⾯;平⾏于圆柱轴的边旋转⽽成的⾯叫圆柱的侧⾯，圆柱的侧⾯⼜称圆柱的⾯。
⽆论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫圆柱侧⾯的母线。
表⽰：圆柱⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定：圆柱和棱柱统称为柱体。
3、静态观点：有⼀平⾯，其他的⾯是曲⾯;动态的观点：直⾓三⾓形绕其⼀直⾓旋转形成的⾯围成的旋转体，像这样的旋转体称为圆锥。
4、定义：以直⾓三⾓形的⼀条直⾓边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转⽽形成的⾯所围成的旋转体叫做圆锥。
旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转⽽成的圆⾯成为圆锥的底⾯;不垂直于旋转轴的边旋转⽽成的曲⾯叫圆锥的侧⾯，圆锥的侧⾯⼜称圆锥的⾯，⽆论旋转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧⾯的母线。
表⽰：圆锥⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定：圆锥和棱锥统称为锥体。
5、定义：以半直⾓梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转⽽形成的曲⾯所围成的⼏何体叫圆台。
还可以看成⽤平⾏于圆锥底⾯的平⾯截这个圆锥，截⾯于底⾯之间的部分。
旋转轴叫圆台的轴。
垂直于旋转轴的边旋转⽽形成的圆⾯称为圆台的底⾯;不垂直于旋转轴的边旋转⽽成的曲⾯叫做圆台的侧⾯，⽆论转到什么位置，这条边都叫圆台侧⾯的母线。
表⽰：圆台⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定：圆台和棱台统称为台体。
6、定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转⼀周所形成的曲⾯称为球⾯，球⾯所围成的旋转体称为球体，简称为球。
空间几何体的结构教案
空间几何体的结构教案第一章：绪论1.1 空间几何体的概念学习目标：了解空间几何体的定义和分类，能够识别常见的空间几何体。
教学内容：介绍空间几何体的概念，解释点、线、面、体之间的关系。
教学活动：通过实物展示和图形演示，让学生直观地理解空间几何体的概念。
1.2 空间几何体的分类学习目标：掌握空间几何体的分类，能够区分各种几何体的特点。
教学内容：介绍空间几何体的分类，包括立体几何体的分类和旋转体几何体的分类。
教学活动：通过图形展示和分类讨论，让学生掌握空间几何体的分类。
第二章：立体几何体的结构特征2.1 立方体学习目标：了解立方体的结构特征，能够计算立方体的表面积和体积。
教学内容：介绍立方体的定义、性质和结构特征，讲解立方体的表面积和体积的计算方法。
教学活动：通过实物观察和几何模型操作，让学生了解立方体的结构特征。
2.2 球体学习目标：掌握球体的结构特征，能够计算球体的表面积和体积。
教学内容：介绍球体的定义、性质和结构特征，讲解球体的表面积和体积的计算方法。
教学活动：通过实物观察和几何模型操作，让学生掌握球体的结构特征。
第三章：旋转体几何体的结构特征3.1 圆柱体学习目标：了解圆柱体的结构特征，能够计算圆柱体的表面积和体积。
教学内容：介绍圆柱体的定义、性质和结构特征，讲解圆柱体的表面积和体积的计算方法。
教学活动：通过实物观察和几何模型操作，让学生了解圆柱体的结构特征。
3.2 圆锥体学习目标：掌握圆锥体的结构特征，能够计算圆锥体的表面积和体积。
教学内容：介绍圆锥体的定义、性质和结构特征，讲解圆锥体的表面积和体积的计算方法。
教学活动：通过实物观察和几何模型操作，让学生掌握圆锥体的结构特征。
第四章：空间几何体的相互转化4.1 立方体与球体的转化学习目标：了解立方体与球体的相互转化方法，能够进行相关的计算。
教学内容：介绍立方体与球体的相互转化方法，讲解转化的条件和转化的过程。
教学活动：通过几何模型操作和数学证明，让学生了解立方体与球体的相互转化。
空间几何体的结构教师版
空间几何体的结构一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征1、空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的和，而不考试其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体一般地，我们把由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点旋转体我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定旋转所形成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的备注：(1)多面体是由平面多边形围成的，这里的多边形包括它内部的平面部分．(2)多面体最少有四个面．(3)平面图形绕定直线旋转形成旋转体，这条定直线可以是平面图形的边，也可以不是，但定直线一定与平面图形在同一个平面内．Ex1、下列物体不能．．抽象成旋转体的是( )A．篮球B．日光灯管C．电线杆D．国家游泳馆水立方[解析]水立方是多面体，不能抽象成旋转体；篮球、日光灯管、电线杆都可抽象成旋转体．答案：D2、棱柱定义一般地，有两个面互相，其余各面都是，并且每两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的叫做棱柱有关概念棱柱中，两个互相的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的叫做棱柱的顶点图形表示法用表示底面各顶点的表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′分类按底面多边形的分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……备注：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形的几何体，却不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱．因为棱柱要求有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行，而该图中有相邻四边形的公共边是不平行的．Ex2、下列几何体中，柱体有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：D3、棱锥 定义一般地，有一个面是 ，其余各面都是 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥有关概念多边形面叫做棱锥的底面或底；有 的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的 叫做棱锥的顶点；相邻侧面的 叫做棱锥的侧棱 。
第一讲+空间几何体的结构特征和直观图课件-2025届高三数学一轮复习
【题后反思】 (1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用 “斜”(两坐标轴成 45°或 135°)和“二测”(平行于 y 轴的线段 长度减半，平行于 x 轴和 z 轴的线段长度不变)来掌握. (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图 形的面积的关系：S ＝ 直观图 42S 原图形.
答案：C
⊙立体图形的展开图 [例 3]已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图是一个圆心角为 120°的扇形.过该圆锥的轴作截面，截面的面积为( )
25 A. 9
22 B. 9
5 C. 9
2 D. 9
解析：因为圆锥的母线长为 1，其侧面展开图是一个圆心角为 120°的扇形，所以圆锥的底面周长为 2π×1×132600°°＝23π，所以底面 半径为13，圆锥的高为 12－132＝2 3 2，所以轴截面的面积为12× 23×2 3 2＝2 9 2.故选 B.
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的
面所围成的几何体不是圆锥，如图 6-1-3 所示，它是由两个同底圆 锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平 行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
第六章 立体几何
第一讲 空间几何体的结构 特征和直观图
2025年高考一轮总复习
1.多面体的结构特征
名称
棱柱
图形
棱锥
棱台
(续表) 名称 底面
侧棱
侧面 形状
棱柱
棱锥
互相平行且全等
空间几何体的结构
面
顶点
探究2：观察生活中的这六个几何 体，说说它们又有何共同的特征？
组成几何体的每个面不都是平面图形。
3、旋转体：由一个平面图形绕它所 在平面内的一条定直线旋转所形成的封 闭几何体。
4、认识旋转体： 轴：绕之旋转的定直 线（如图直线OO′） 轴
一、棱柱的结构特征 观察下面三个多面体，说说它们有 何共同的结构特征？
圆柱 圆台
圆柱
走在街上或者校园内会看到这样一些物体， 它们的主要几何结构特征是什么？
蒙古大草原上遍布蒙古包，那么蒙古包的 主要几何结构特征是什么？
下列几何体又由哪些简单几何体组合而成？
思考3:根据以上的物体，你能否总结出简单 组合体的构成有哪几种基本形式？
A、由简单几何体拼接而成
B、由简单几何体截去或挖 去一部分而成
下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说 它们的主要几何结构特征吗？ 你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形 旋转而成的吗？
例1：将下列平面图形绕直线AB旋转一周， 所得的几何体分别是什么？
B
B
B A 图3
A
A 图1
图2
例2 在直角三角形ABC中，已知AC=2， BC=2 3， C 90，以直线AC为轴将△ABC旋转一周 得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截 面三角形的面积的最大值.
A A
C
B D
C
B
小结
简单组合体一般具有两种形式 A、由简单几何体拼接而成 B、由简单几何体截去或挖 去一部分而成
例2.已知圆台的两底面半径分别为2cm,5cm， 一条母线长为6cm，求圆台的高
O1 D h O2 A A R O1 r C L
O2
E
B
1.1空间几何体的结构
1.1空间几何体一、知识结构二、重难点1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征及表示方法2.顶点、棱、底面、侧面、母线、轴、球心、半径等基本概念3.柱、锥、台、球的关系，简单组合体的结构特征知识点1多面体的结构特征棱柱、棱锥、棱台的判断方法及性质例1.1有两个互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体是否一定是棱柱？例1.2有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？例1.3若一个几何体有两个面互相平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台吗?⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧结构特征旋转体与旋转体的组合多面体与旋转体的组合多面体与多面体的组合简单组合体球结构特征定义圆台结构特征定义圆锥结构特征定义圆柱旋转体棱台棱锥棱柱多面体几何体知识点2旋转体的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球的判断方法及性质例2.1给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行；⑤圆柱的侧面沿母线展开的图形是矩形；⑥圆柱的母线有且只有一条，其中正确的为_________.（只填序号）例2.2下列命题正确的有（）①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个知识点3特殊多面体平行六面体、直平行六面体、长方体、正三棱柱、正四面体、正四棱柱、正方体、正棱柱、正棱锥、正棱台例3.1给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱。
其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3例3.2一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________.知识点4组合体中截面：直截面：对角截面：轴截面：例4.1已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径。
空间几何体的结构(优质课)教案
空间几何体的结构教学目标：掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．教学过程：1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．3．棱柱(1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
平移起止位置的两个平面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．(2)棱柱的本质特征：①两个底面是全等的多边形，且互相平行；F1E1D1C1B1A1F EA②其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行． (3)正棱柱底面是正多边形，每个侧面都是矩形的棱柱叫正棱柱．4.棱锥 (1)棱锥的定义当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。
空间几何体的结构
空间几何体的结构空间几何体是指在三维空间中具有一定形状和特征的几何体。
它们广泛应用于建筑、工程、物理学、数学等领域，并且对于人们的日常生活也有着重要的影响。
空间几何体的结构包括点、线、面、体以及它们之间的关系和性质。
1.点：点是空间中最基本的几何结构，它没有大小和形状，只有位置。
点用坐标表示，通常用三维坐标系的(x,y,z)来表示。
2.线：线是由无限多个点连接而成的一维结构，它没有宽度和厚度，只有长度。
线用于连接两个点，表示直线的两个端点，也可以用于表示线段，即直线的一部分。
3.面：面是由无限多个线连接而成的二维结构，它具有宽度和长度，但没有厚度。
面用于表示平面或曲面，可以是多边形、圆形、椭圆等形状。
4.体：体是由无限多个面连接而成的三维结构，它具有长度、宽度和厚度。
常见的体包括立方体、圆柱体、球体等，它们具有不同的形状和特征。
在空间几何体中，还存在很多重要的关系和性质，如：1.位置关系：点与点之间可以有相对位置的关系，如点在直线上、点在平面上、点在体内等。
线与线、面与面之间也可以有相对位置的关系，如平行、垂直、相交等。
2.夹角关系：夹角是两条线相交时形成的角。
根据夹角的大小和形状，可以分为锐角、直角、钝角等，夹角的度数可以通过三角函数进行计算。
3.长度、面积和体积：空间几何体的长度、面积和体积是表征其大小的重要性质。
长度是线的特征，可以通过测量直线的长度得到。
面积是面的特征，可以通过测量平面图形的面积得到。
体积是体的特征，可以通过测量三维空间物体的体积得到。
4.对称关系：对称是指一个几何体在一些中心或条轴线下具有镜像关系。
常见的对称关系有轴对称和面对称，通过对称关系可以研究几何体的性质和变化。
总的来说，空间几何体的结构包括点、线、面、体以及它们之间的关系和性质。
了解和掌握这些结构和关系对于理解和应用空间几何体具有重要的意义。
空间几何体的结构课件
第七章
立体几何
栏目导引
不变．
空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效
果上有什么区别？
提示： (1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画
出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形． (2)投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投 影下画出的空间图形．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．一个等腰梯形绕其对称轴旋转180°形成的封闭曲面所围成的图 形是( ) A．圆柱 C．圆台 B．圆锥 D．球
3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三
视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式． 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的
基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．
空间几何体 的表面积与 体积 了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式．(不 要求记忆公式)
工具
第七章
立体几何
工具
第七章
立体几何
栏目导引
知识点
考纲下载 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运 用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
空间几何体 的结构及三 视图和直观 图
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的
简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模 型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC
的面积． 解析： 如图所示，(1)为直观图，(2)为实际图形，取B′C′所在直线
为x′轴，过B′C′的中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′ 交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′交x′轴于M′点．
空间几何体的结构[(教案
空间几何体的结构一、教学目标：1. 让学生了解并掌握空间几何体的基本概念和性质。
2. 培养学生空间想象能力和思维能力。
3. 使学生能够运用空间几何体的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 空间几何体的定义及分类。
2. 空间几何体的基本性质。
3. 空间几何体的直观图和斜二测图。
4. 空间几何体的坐标表示。
5. 空间几何体的线性空间。
三、教学重点与难点：1. 重点：空间几何体的定义、分类、基本性质及坐标表示。
2. 难点：空间几何体的直观图和斜二测图的绘制，线性空间的性质。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解空间几何体的基本概念和性质。
2. 运用案例分析法，分析实际问题，巩固知识点。
3. 利用数形结合法，引导学生直观地理解空间几何体的结构。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和创新能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考空间几何体的实际应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解空间几何体的定义、分类和基本性质。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用空间几何体的知识解决问题。
4. 直观图与斜二测图：讲解绘制方法，培养学生空间想象能力。
5. 坐标表示：讲解空间几何体的坐标表示方法，巩固知识点。
6. 线性空间：介绍线性空间的概念和性质，拓展学生知识面。
7. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
8. 总结与展望：对本节课内容进行总结，为学生后续学习打下基础。
9. 课后作业：布置作业，巩固所学知识。
10. 教学反馈：及时了解学生学习情况，调整教学方法，提高教学质量。
六、教学评估与反思：1. 评估学生对空间几何体基本概念、性质的理解和掌握程度。
2. 检查学生能否运用空间几何体的知识解决实际问题。
3. 评价学生空间想象能力和思维能力的提升情况。
4. 反思教学过程中的不足，提出改进措施。
七、教学拓展与延伸：1. 探讨空间几何体在现实生活中的应用。
2. 介绍空间几何体与其他学科领域的联系。
第一讲空间几何和结构特征以及三视图和直观图讲解
各棱长都为2的正三棱锥的三视图如图所示：
2 2
3
3
2 2
2
2 3 体高h 2 3
三、斜二测画法：
平行于x轴长度不变平行于 x轴 平行于y轴长度减半平行于 y轴 平行于z轴长度不变平行于 z轴
是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫
正四面体. (3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有 多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个
四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件②
(写出你认为正确的两个充要条件)
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形 成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能 是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：A错误.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在
一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.
解析：由三视图知，由4块木 块组成.
答案：4
5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形的形 状是 .
解析：将直观图还原得▱OABC，
则∵O′D′＝
OD＝2O′D′＝4 OC＝
O ′ C′ ＝ 2
cm，
cm，
C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm， =2 cm, OA＝O′A′＝6 cm＝OC，故原图形为菱形.
答案：菱形
高中数学立体几何空间几何体结构-PPT
⑷两个面平行且相似,其余各面都就是梯形得多面体就是棱台( × )
⑸有两个面互相平行,其余四个面都就是等腰梯形得六面体就是棱
台
(√)
(×)
⑹棱台各侧棱得延长线交于一点
(×)
⑺各侧面都就是正方形得四棱柱一定就是正方体
菱形
如图,正四棱锥S-ABCD被一平行于底面得平面A'B'C'D'所截,其中A'为SA 得中点、若四棱锥得底边AB=4,求截得得正棱台ABCD-A'B'C'D'得上底面面积 与下底面得面积之比。
线
叫做圆锥得侧面。
顶点:作为旋转轴得直角边与斜边得交点
A
母线:无论旋转到什么位置,直角三角形得斜 边叫做圆锥得母线。
顶点 S
轴
侧 面
O B
底面
圆锥可以用它得轴来表示。
如:圆锥SO
注:棱锥与圆锥统称为锥体
6、圆台得结构特征
用一个平行于圆锥底面得平面去截圆锥,底面与截面之 间得部分就是圆台、
圆台得轴,底面,侧面,母线与圆锥相似
底面
两底面得全等得多边形
多边形
两底面就是相似得多边形
侧面 侧棱
平行于底面 得平面
平行四边形 平行且相等
三角形 相交于顶点
梯形 延长线交于一点
与两底面就是全等得多边形 与底面就是相似得多边形 与两底面就是相似得多边形
过不相邻两 侧棱得截面
平行四边形
三角形
梯形
D1
E
C1
A1
F
D
A
B1 C
B
例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 经典课件(最新)
图 12
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【反思·升华】 三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、 正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反 映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度，由此得到：主俯长对正，主 左高平齐，俯左宽相等．
(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项：①注意正视图、侧视图和俯视图对应 的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符 合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征；
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空间几何体的结构特征及三视图和直观图 课件
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1．空间几何体
【最新考纲】
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
Hale Waihona Puke (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．
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(3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线 长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周 长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧＝21cl 和 S 圆台侧＝21(c′＋c)l 与三角形和梯形的面积 公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
答案：D
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高频考点 2 空间几何体的三视图 【例 2.1】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构 件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 8 中木构件右边的小长方体是榫头．若如图 摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图 可以是( )
第46讲、空间几何体的结构特征、表面积(教师版)2025高考数学一轮复习讲义
第46讲空间几何体的结构特征、表面积与体积知识梳理知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底=+S ch S 2(斜棱柱底''=+S c l S c 为直截面周长)2222()圆锥=+=+S r rl r r l πππ锥体12正棱锥底'=+S nah S 2()圆锥=+=+S r rl r r l πππ台体1()2正棱台上下'=+++S n a a h S S 22)圆台（''=+++S r r r l rl π球24=S R π体积公式知识点六：空间几何体的直观图1、斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系．（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠= x O y （或135 ），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．注：4．2、平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．必考题型全归纳题型一：空间几何体的结构特征例1．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由棱柱定义知棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形，故满足必要性；但有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，例如两个底面全等的斜棱柱拼接的几何体不是棱柱，如图所示：，故不满足充分性，故选：B例2．（2024·全国·高三对口高考）设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体．以上命题中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】由平行六面体的定义可得底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；命题甲正确；底面是矩形的平行六面体的侧棱不一定垂直于底面，故该几何体不一定为长方体，命题乙错误；直四棱柱的底面不一定为平行四边形，故直四棱柱不一定是平行六面体，命题丙错误；正确的命题只有一个.故选：B例3．（2024·全国·高三专题练习）下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；ABB A与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；②如图2，满足两侧面11ACC A为矩形，③如图3，四边形11即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A变式1．（2024·新疆·统考模拟预测）下列命题中正确的是（）A．有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥.C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体.D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.【答案】D【解析】如图所示的几何体满足两个平面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，A错；正八面体的各面都是三角形，不是三棱锥，B错；如果两个平行截面与圆柱的底面平行，则是旋转体，如果这两个平行截面与圆柱的底面不平行，则不是旋转体．C错；根据圆锥的定义，D正确．故选：D．变式2．（2024·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．三角形的直观图是三角形B．直四棱柱是长方体C．平行六面体不是棱柱D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台【答案】A【解析】对A，根据直观图的定义，三角形的直观图是三角形，故A对；对B，底面是长方形的直四棱柱是长方体，故B错；对C，平行六面体一定是棱柱，故C错；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，不是棱台，故D 错；故选：A变式3．（2024·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故选：A.变式4．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．是棱台B．是圆台C．不是棱柱D．是棱锥【答案】D【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D ，符合棱锥的定义，正确．故选：D ．【解题方法总结】空间几何体结构特征的判断技巧（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．题型二：空间几何体的表面积例4．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为（）A ．8B ．163C ．316D ．18【答案】B【解析】设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，球的半径为R ，则2l r R ==，即2R r =，2l r =，球的表面积2214π16πS R r ==，圆锥的表面积22222ππ2ππ3πS rl r r r r =+=+=，则212216π163π3S r S r ==.故选：B.例5．（2024·河南郑州·统考模拟预测）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm ，高为4cm ，内孔半径为1cm ，则此几何体的表面积是（）2cm．A．726πB．728π+C．726π+D．606π+【答案】C【解析】所求几何体的侧面积为()234672cm ⨯⨯=，上下底面面积为()()22136π22πcm 22⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，挖去圆柱的侧面积为()22π48πcm⨯=，则所求几何体的表面积为()()2726πcm +．故选：C ．例6．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径12cm AB =，圆柱体部分的高6cm BC =，圆锥体部分的高4cm CD =，则这个陀螺的表面积（单位：2cm ）是（）A ．(144π+B ．(144π+C ．(108π+D ．(108π+【答案】C【解析】由题意可得圆锥体的母线长为l ==所以圆锥体的侧面积为112π2⋅⋅=，圆柱体的侧面积为12π672π⨯=，圆柱的底面面积为2π636π⨯=，所以此陀螺的表面积为()()272π36π108cm ++=+，故选：C.变式5．（2024·西藏拉萨·统考一模）位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m ，高为9m ，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（）13.16≈）A ．2B ．1.71C ．1.37D ．1【答案】C【解析】如图，设H 为底面正方形ABCD 的中心，G 为BC 的中点，连接PH ，HG ，PG ，则PH HG ⊥，PG BC ⊥，所以13.16PG ===≈，则144226.322 1.3719.2PBCABCDBC PGS PG S AB BC AB ⨯⨯⨯==≈≈⨯正方形△，故选：C.变式6．（2024·湖南长沙·高三校联考阶段练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2:3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（）A．8B．24C ．19D ．127【答案】B【解析】设正六边形的边长为a，由题意正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2:3，所以正六棱锥的高为2 3 a，正六棱锥的母线长为，正六棱锥的侧面积21162S=⨯；正六棱柱的侧面积226212S a a a=⋅⋅=，所以12SS=.故选：B.变式7．（2024·河北·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成1111ABCD A B C D-的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为1:16，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为3567m，则该方亭的表面积约为（）2.2≈1.7≈1.4≈）A．2380m B．2400m C．2450m D．2480m【答案】C【解析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长11A B a=，则4AB a=，棱台的高3h a=，所以(2213165673V a a a=⨯+=，解得3a=，所以正四棱台的上底面边长为3m，下底面边长为12m，棱台的高为9m，2=，由于各侧面均为相等的等腰梯形，所以()1142ABB Aa aS+=所以方亭的表面积22222216417450m 4S a a a a =++⨯=+≈.故选：C变式8．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器．该盘盘口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齐．通体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不胜收．仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为15.5cm ，足径为9.2cm ，顶部到底部的高为4.1cm ，底部圆柱高为0.7cm ，则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（）（参考数据：π的值取3 4.6≈）A ．2143.1cm B ．2151.53cm C ．2155.42cm D ．2170.43cm 【答案】D【解析】方法1：设该圆台的母线长为l ，高为h ，两底面圆的半径分别为R ，r （其中R r >），则215.5cm R =，29.2cm r =，()4.10.7 3.4cm h =-=，所以()46m .c l ==≈，故圆台部分的侧面积为()()21π3(7.75 4.6) 4.6170.43cm S R r l =+≈⨯+⨯=．故选：D方法2（估算法）：若按底面直径为15.5cm ，高为3.4cm 的圆柱估算圆台部分的侧面积得()2315.5 3.4158.1cm S '≈⨯⨯=，易知圆台的侧面积应大于所估算的圆柱的侧面积，故此仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积大于2158.1cm ，对照各选项可知只有D 符合．故选：D【解题方法总结】（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．（3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．题型三：空间几何体的体积例7．（2024·广东梅州·统考三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为15π，圆柱的侧面积为18π，则该毡帐的体积为（）A ．39πB ．18πC ．38πD ．45π【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆锥的母线长为l ，因为圆锥的侧面积为15π，所以15πrl π=，即15rl =.因为2224l r =+，所以联立解得3r =（负舍）.因为圆柱的侧面积为18π，所以218πrh π=，即2318πh π⨯=，解得3h =，所以该毡帐的体积为221π4π39π3r r h ⨯+=.故选：A.例8．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2）A B ．8C ．27D ．27【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r ，因为母线长为2l =,则半圆弧长π2πl ===底面周长2πr =，所以1r =，圆锥的高为PO =如图，设O B x '=，则EB =，设OO h '=，则PO h '=-，因为PO O BPO OA''=，∴11x =所以)13h x -=，∴23x =，)2429V h ==⨯，故选：C ．例9．（2024·山东青岛·高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，则该正四棱锥的体积最大值为（）A ．18B ．643C ．814D ．27【答案】B【解析】如图，设正四棱锥的底面边长2AB a =，高PO h =，外接球的球心为M ，则OD =，因为球的体积为34π36π3R =，所以球的半径为3R =，在Rt MOD △中，222MD OD OM =+，即22232(3)a h =+-，所以正四棱锥的体积为2211249(3)333V Sh a h h h ⎡⎤==⨯=--⎣⎦整理得3224(0)3V h h h =-+>，则2282(4)V h h h h '=-+=--，当04h <<时，0V '>，当4h >时，0V '<，所以3224(0)3V h h h =-+>在(0,4)上递增，在(4,)+∞上递减，所以当4h =时，函数取得最大值3226444433-⨯+⨯=，故选：B变式9．（2024·湖北武汉·高三统考开学考试）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为5米，则其体积为（）立方米.A ．B ．24C ．D ．72【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，连接,AC BD 于O ，则O 为正方形ABCD 的中心，连接OP ，则底面边长AB =6BD ==，132==BO BD .又5BP =，故高4OP ==.故该正四棱锥体积为(214243V =⨯⨯=.故选：B变式10．（2024·广东河源·高三校联考开学考试）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm ），则平地降雪厚度的近似值为（）A ．91cm 12B ．31cm 4C ．95cm 12D ．97cm 12【答案】C【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为204015cm 4+=，所以平地降雪厚度的近似值为()2221π2010151015953cmπ2012⨯⨯++⨯=⨯.故选：C变式11．（2024·浙江·校联考模拟预测）如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm 和10cm，侧棱长为．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装()31000cm 1L =（）A ．1.5LB ．1.7LC ．2.3LD ．2.7L【答案】C【解析】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面ABCD 是边长为20的正方形，底面1111D C B A 是边长为10的正方形，侧棱1C C =记底面ABCD 和底面1111D C B A 的中心分别为O 和1O ，则1O O 是正四棱台的高.过1C 作平面ABCD 的垂线，垂足为E ，则E AC ∈且11C E O O ，11C E O O =，所以1111111022OE O C A C ====，112022OC AC ===，故CE OC OE =-=所以棱台的高110h C E ==，由棱台的体积公式得3311((400100200)10 2.310cm 2.3L 33V S S h '=+=++⨯≈⨯=．故选：C .【解题方法总结】求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积题型四：直观图例10．（2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC 的直观图O A B C ''''如图所示，3O A C B ''''=，C E O A ''''⊥，8OABC S =，//C D y '''轴，C E ''=，D ¢为O A ''的三等分点，则四边形OABC 绕y 轴旋转一周形成的空间几何体的体积为．【答案】48π【解析】在直观图中，1C D E ''''=，所以在还原图中，2CD =，如图，在直观图中，3O A C B ''''=，D ¢为O A ''的三等分点，所以在还原图中，3OA CB =，D 为OA 的三等分点，又在直观图中，//C D y '''轴，所以在还原图中，//CD y 轴，则CD OA ⊥，所以()11244822OABC S CD OA CB CB CB =⨯+=⨯⨯==，则2CB =，故6OA =，123OD OA ==，所以四边形OABC 是等腰梯形，所以四边形OABC 绕y 轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，即()22211152π8ππ44662π2248π3333V =⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-=．故答案为：48π.例11．（2024·全国·高三对口高考）若正ABC 用斜二测画法画出的水平放置图形的直观图为A B C ''' ，当A B C '''ABC 的面积为．【答案】【解析】A B C ''' 是正ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，如图所示，设B C a ''=，则A B C ''' 的面积为1sin 452a O A ⋅⋅⋅'︒='O A a ∴=''，ABC ∴ 的面积为11222S a OA a O A a ''=⋅=⋅⋅==故答案为：例12．（2024·四川成都·高三统考阶段练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边A B ''与C D ''平行于x '轴.已知四边形A B C D ''''的面积为21cm ，则原平面图形的面积为2cm .【答案】【解析】根据题意得45B A D '''∠= ，原四边形为一个直角梯形，且CD C D ''=，AB A B ''=，2AD A D ''=，())()21sin 45124A B C D S A B C D A D A B C D A D cm ''''=+⋅=''''''''''''+⋅= 梯形，则()A B C D A D ''''''+⋅=所以，()()())211222ABCD S AB CD AD A B C D A D A B C D A D cm '''''''''''=+⋅=+⋅=+⋅='梯形.故答案为：变式12．（2024·全国·高三专题练习）如图，A O B ''' 是用斜二测画法得到的△AOB 的直观图，其中23O A O B ''''==，，则AB 的长度为．【答案】【解析】把直观图A O B '''V 还原为AOB ,如图所示：根据直观图画法规则知,2,2236OA O A OB O B ''''====⨯=,所以AB 的长度为AB ==故答案为：.变式13．（2024·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.45,1,ABC AB AD DC BC ∠===⊥ ，则这块菜地的面积为【答案】22+【解析】过A 作AE BC ⊥于E ，在直观图中， 45ABC ∠= ，1AB AD ==，DC BC ⊥，所以1,2EC BE ==，12BC ∴=+，故原平面图形的上底为1，下底12+，高为2，所以这块菜地的面积为1(11222S =⨯+⨯=故答案为：22+.变式14．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）我们知道一条线段在“斜二测”画法中它的长度可能会发生变化的，现直角坐标系平面上一条长为4cm 线段AB 按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为A B ''，则A B ''最短长度为cm （结果用精确值表示）【解析】如图1所示，可以将平面内所有长为4的线段平移至图中O 点为起点，则它们的终点形成以O 为圆心，半径为4的圆周.以两条互相垂直的直径为坐标轴，建立平面直角坐标系.然后在斜二测画法下画出该圆的直观图，如图2，形成一个椭圆，由斜二测的性质可知，在图2，该椭圆长半轴为4，且经过点A '，易知122OA OA '==且45xO y '︒∠=，所以A '，设椭圆的方程为：222116x y b +=，将A '代入得：222116b +=，解得b ==由椭圆的性质可知，椭圆上的点中，短轴端点到原点的距离b 最小，即7即为所求.故答案为：7.变式15．（2024·陕西延安·校考一模）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中=45∠ ABC ，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为．【答案】22+【解析】因为1AB AD ==，=45∠ ABC ，DC BC ⊥，所以12BC =+，12A D A B ''=''=，，12B C =+''所以()112222222S A D B C A B '''⎛⎫=+⋅=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭'''．故答案为：22+．变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是．【答案】【解析】由直观图可知，在直观图中,，由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图形如图所示所以原图图形为平行四边形，底面边长为1，位于y 轴的对角线长为，所以原来图形的面积为1S =⨯=.故答案为：【解题方法总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：2S =4S 直原．题型五：展开图例13．（2024·山东青岛·统考三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．【答案】43π/43π【解析】设圆锥母线长为l ，由题意2π1πl ⨯=，2l =，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面PAB ，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆O ，,D E 是切点，如图，易知PD 是圆锥的高，O 在PD 上，由2,1PA BD ==得π6BPD ∠=，因此π3ABP ∠=，所以1π26OBD DBP ∠=∠=，πtan 63OD BD =，所以圆锥内半径最大的球的表面积为24π4π(33S =⨯=，故答案为：4π3．例14．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图中，B ，C 是线段AD 的三等分点，且AD =．若该三棱柱的外接球O 的表面积为12π，则1AA =．【答案】【解析】由该三棱柱的外接球O 的表面积为12π，设外接球得半径为r ，则24π12πr =，解得r =，由题意，取上下底面三角形得中心，分别为,E F ，EF 得中点即为外接圆圆心O ，作图如下：则OC r ==，EF ⊥平面ABC ，12EF AA OF ==，CF ⊂Q 平面ABC ，OF CF ∴⊥，在等边ABC 中，2sin 6013CF BC =⋅⋅= ，在Rt OFC △中，OF ，12AA OF ==故答案为：例15．（2024·上海普陀·高三统考期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为米（精确到整数）【答案】28【解析】设主降落伞展开后所在球体的半径为R ，由题可得221200R π=，解得14R ≈，故完全展开后伞口的直径约为28米.故答案为：28.变式17．（2024·山东淄博·统考一模）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为．【解析】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为2π，又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线长为2，故圆锥的高为=2113V π=⋅变式18．（2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测）如图，在三棱锥P -ABC 的平面展开图中，CD AB ∥，AB AC ⊥，22AB AC ==，CD =，cos BCF ∠65=，则三棱锥-P ABC 外接球表面积为．【答案】14π【解析】由题意可知，DC AC ⊥，CD CF =AD AE ==，BC =在 BCF 中，2222cos 10BF CF BC CF BC BCF =+-⋅∠=，则BE BF ==因为222AB BE AE +=，所以AB BE ⊥，在三棱锥P -ABC 外接球的球心为O ，PC AC ⊥，PB AB ⊥，记PA 中点为O ，OC OB OA OP ===，即三棱锥P -ABC 外接球的球心为点O ，半径222PA AD R ===，所以外接球表面积为14π．故答案为：14π变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥P －ABC 的底面ABC 为等边三角形．如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，P ，F ，E 三点共线，B ，C ，E三点共线，cos 26PCF ∠=，PC =PB ＝．【答案】【解析】由题意可知，△CEF 为等边三角形，所以60CEF EFC ∠=∠= ，则120PFC ∠= ，由cos 26PCF ∠=可知sin 26PCF ∠=，在△PCF中，由正弦定理得：sin 3sin1202PC PCF PF ∠===．在△PCE 中，由余弦定理得：()()221333EF EF EF EF =++-+⋅，解得1EF =或4EF =-（舍去），所以1AB BC CE ===，则4PE =，2BE =，在△PBE 中，由余弦定理得21642412PB =+-⨯=，所以PB =．故答案为：变式20．（2024·安徽黄山·统考一模）如图，在四棱锥P -ABCD 的平面展开图中，正方形ABCD 的边长为4，ADE V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，90HDC FAB ∠=∠=︒，则该四棱锥外接球被平面PBC 所截的圆面的面积为.【答案】365π【解析】该几何体的直观图如下图所示分别取,AD BC 的中点,O M ，连接,OMPM2,4,PO OM PM ==== 222,OP OM PM OP OM∴+=∴⊥又PO AD ⊥ ，所以由线面垂直的判定定理得出PO ⊥平面ABCD 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0)A B C -，(2,0,0),(0,0,2)D P -设四棱锥P ABCD -外接球的球心()0,2,N a PN NA = ，()224244a a ∴+-=++，解得0a =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = (2,4,2),(2,4,2),(0,2,2)PB PC NP =-=--=- 20.020.0x y z PB n x y z PC n ⎧+-=⎧=⇒⎨⎨-+-==⎩⎩ ，取2z =，则(0,1,2)n = 四棱锥P ABCD -外接球的球心到面PBC的距离为cos ,5n NP d NP n NP NP n NP⋅=⋅=⋅==又NP PBC 所截的圆的半径r =所以平面PBC 所截的圆面的面积为2365r ππ=.故答案为：365π变式21．（2024·山西大同·高三统考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD ==AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为．【答案】7π【解析】还原出如图所示的三棱锥B PAC -，AB AC ⊥ ，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面PAC ，设平面PAC 的截面圆心为O '，半径为r ，球心为O ，球半径为R ，在PAC △中，由余弦定理可得2222cos3013211PC AC AP AC AP =+-⋅⋅=+-⨯⨯ ，则1PC =，这由正弦定理得22sin 30PC r ==，1r =，122OO AB '== ，2R ∴==，∴外接球的表面积2472S ππ⎫==⎪⎪⎝⎭.故答案为：7π.【解题方法总结】多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．题型六：最短路径问题例16．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为）.A ．3B ．27C ．81D ．3【答案】C 【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为1PP ，。
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o
理论迁移
例1 将下列平面图形绕直线AB旋转一周， 所得的几何体分别是什么？
B B B A 图3
A
A 图1
图2
B’ C’ 用表示底面各顶点的字母表示棱柱 : B’
C’
A’
D’ ?
B’
E’
C’
D’
A 棱柱ABCDE A ' B ' C 'A D'E '
B C B
D
A
B C
C D
E
棱柱的分类
1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
补充：几种四棱柱（六面体）的关系：
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是
矩形
底面为 正方形
侧棱与底面 边长相等
长方体
正四棱柱
正方体
课堂练习3: P 10第1题 如图，长方体
D
H
C
G
ABCD ABC D
A
E
D
B
F
中被截去一部分,其中 截去的几何体叫做什么? 剩下的几何体叫做什么?
顶点
棱 面
轴
多面体分类：
按照围成它的面的个数分成：
四面体、五面体、六面体…
问题3：仔细观察下面的几何体，它们有什么共同 特点？
( 1)
( 2)
( 3)
( 4)
图⑴和⑶中的几何体分别由平行四边形和五边形沿某一方向 平移而得。也就是说上下两个面是平行的.
(1)
(3)
思考:图⑵和⑷中的几何体分别由怎样的平面图形， 按什么方向平移而得？
A’ D’
A1
D
D1
C1 C’ B1
上底面
B’
C侧面
侧棱
下底面 顶点
A
B
正棱台
用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。
正棱台的侧面是全等的等腰梯形，
它的高叫作正棱台的斜高。
斜高
正棱锥
正四棱台
辨析
判断:下列几何体是不是棱台,为什么?
(1)
(2)
课堂练习4: 平行四边 形，棱锥的侧面 棱柱的侧面是__________
思考2：在圆柱的形成中，旋转轴叫做圆柱的轴， 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面， 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面， 平行于轴的边在旋转中的任何位置叫做圆柱侧面 的母线. 你能结合图形正确理解这些概念吗？ 轴 侧面
母线
母线
底面
思考3：平行于圆柱底面的截面，经过圆柱 任意两条母线的截面分别是什么图形？
A
B
辨析
下列命题是否正确？ 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的立体图形 一定是棱锥.
明矾晶体
思考：一个三棱柱可以分割成几个三 棱锥？
C1
B1 C1
B1 A1
A1
C
B C
B
A
A
问题5：观察下列几何体，构成它的面有什么 特点？与棱锥有何关系？
1.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底 面与截面之间的部分是棱台. 两个互相平行的面叫做底面，其中截面叫做棱台的上 底面，棱锥底面叫做棱台的下底面，其余各面叫 2. 分类:由三棱锥，四棱锥，五棱锥，……截得的棱 做棱台的侧面 台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…… 3.表示: 棱台ABCD-A1B1C1D1
HB
EH // AD
C
A
D
B
E
E C B H
F
C
G
A
E
D
F
G
C
F
G
A
B
问题4：下面的几何体有什么公共特点？
⑴
⑵ 这些图形的共同特点 ⑶ ①一个面是多边形；
⑷
②其余各面是有一个公共点的三角形。
1.定义：（1）有一个面是多边形，（2）其余 各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的几 何体。 S 多边形面叫做棱锥的底面 顶点
底 面
E F
侧棱
D C
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱
顶点
A
侧面
B
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱 的顶点
课堂练习:
1. 下面的几何体中，哪些是棱柱？
2.判断：
命题是否正确， 为什么？
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形 的几何体是棱柱.
1.定义:(1)有两个面互相平行，(2)其余各面都 是四边形，(3)并且每相邻两个面的公共边都互 相平行，由这些面所围成的几何体。 2.分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、 问题5：各种各样的棱柱,主要有什么不同?你认 五边形、 …… 我们把这样的棱柱分别叫做三 为棱柱的分类标准是什么? 棱柱、四棱柱、五棱柱、…… 如何 3. 表示： A’ A’ 表示棱柱
S 用表示顶点和底面的字母表示， S 如棱锥S-ABCDE。 A C C A B D S
E
B
A B
D C
正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边 形，并且顶点在底面的射影是底 面的中心，这样的棱锥是正棱锥. 正棱锥的基本性质 E
S
D
O C
各侧棱相等，各侧面 是全等 的等腰三角形，各等腰 三角形底 边上的高相等（它叫做正棱锥的 斜高）。
侧棱 D 侧面
有公共点的各个三角形面叫做棱锥 的侧面 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱
E A B
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 C 底面
1.定义：（1）有一个面是多边形，（2）其余 各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的几 何体。 2.分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱 锥、四棱锥、五棱锥、…… 3.表示：
思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆 锥，截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台可 以由什么平面图形旋转而形成？
思考2:与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底 面、侧面、母线，它们的含义分别如何？
上底面
侧面
母线
轴
下底面
思考3:经过圆台任意两条母线的截面是什么 图形？轴截面有哪些基本特征？
思考4:设圆台的上、下底面圆圆心分别为 O′、O，过线段OO′的中点作平行于底面的 截面称为圆台的中截面
注意：在画空间几何体时，能看见的棱用实线，看不见的棱，用虚线。
D
1
C
1
D1 A1 B1
C1
A1
B
1
上底面
顶点
S
底面
D
C B
D
A B
C 下底面
底面
A
D
C B
A
棱柱
棱台
棱锥
观察：下列建筑物是什么 几何体？
知识探究（二）：圆柱的结构特征
思考1：如图所示的空间几何体叫做圆柱， 那么圆柱是怎样形成的呢？
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三 边旋转形成的面所围成的旋转体.
顶点
轴 母线
底面
侧面
母线
旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转 而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边在旋转中 的任何位置叫做圆锥侧面的母线.
思考3：经过圆锥任意两条母线的截面是什么 图形？
思考4：经过圆锥的轴的截面称为轴截面，你 能说出圆锥的轴截面有哪些基本特征吗？
知识探究（四）：圆台的结构特征
思考4：经过圆柱的轴的截面称为轴截面，你 能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征吗？
知识探究（三）：圆锥的结构特征 思考1：将一个直角三角形以它的一条直角边 为轴旋转一周，那么其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体是一个什么样的空间图形？ 你能画出其直观图吗？
思考2：以直角三角形的一条直角边所在直线 为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的 旋转体叫做圆锥，那么如何定义圆锥的轴、 底面、侧面、母线？
如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考 问题1：观察下面的图片, 这些图片中的物体 虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空 具有怎样的形状?我们如何描述它们的形状? 间图形就叫做空间几何体。
问题2：观察上述空间几何体，构成这些空间几何 体的面有什么特点？
空间几何体的分类:多面体与旋转体
由若干个平面多边形围成的几何体叫 多面体。 围成多面体的各个多边形叫多面体的面； 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱； 棱与棱的交点叫做多面体的 顶点。 由一个平面绕它所在平面内的一条 定直线旋转所形成的封闭几何体叫 做旋转体。 这条定直线叫做旋转体的轴。
这些图形的共同特点：1、有两个面互相平行； 2、其余各面是四边形；3、每相邻的两个四边 形的公共边平行。
⑵
⑷
1.定义:(1)有两个面互相平行，(2)其余各面都 是四边形，(3)并且每相邻两个面的公共边都互 相平行，由这些面所围成的几何体。
E’ F’ A’
D’ B’ C’
两个互相平行的面叫棱柱的底面 其余各面叫做棱柱的侧面
是_______ 三角 形，棱台的侧面是____ 梯 形。
思考：既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，那么它们之 间有怎样的关系？当底面发生变化时，它们能否相互转 化？
棱台的上底面扩大 上下底面全等
棱台的上底面缩小 为一个点
（1）你学到了哪些知识？ 基本棱锥、棱台各自的特征 . 2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系. （2）关于棱柱、棱锥、棱台，你还有什么问题？ 基本方法：观察、分析、比较、归纳