数值分析报告线性方程组
迭代法解线性方程组数值分析实验报告
迭代法解线性方程组数值分析实验报告一、实验目的本次实验旨在深入研究和掌握迭代法求解线性方程组的基本原理和方法，并通过数值实验分析其性能和特点。
具体目标包括：1、理解迭代法的基本思想和迭代公式的推导过程。
2、掌握雅克比（Jacobi）迭代法、高斯赛德尔（GaussSeidel）迭代法和超松弛（SOR）迭代法的算法实现。
3、通过实验比较不同迭代法在求解不同类型线性方程组时的收敛速度和精度。
4、分析迭代法的收敛性条件和影响收敛速度的因素。
二、实验原理1、线性方程组的一般形式对于线性方程组＄Ax ＝ b$，其中＄A$ 是＄n×n$ 的系数矩阵，＄x$ 是＄n$ 维未知向量，＄b$ 是＄n$ 维常向量。
2、迭代法的基本思想迭代法是从一个初始向量＄x^｛（0)｝＄出发，按照某种迭代公式逐步生成近似解序列＄＼｛x^｛（k)｝＼｝＄，当迭代次数＄k$ 足够大时，＄x^｛（k)｝＄逼近方程组的精确解。
3、雅克比迭代法将系数矩阵＄A$ 分解为＄A ＝ D L U$，其中＄D$ 是对角矩阵，＄L$ 和＄U$ 分别是下三角矩阵和上三角矩阵。
雅克比迭代公式为：＄x^｛（k+1)｝＝ D^｛－1}（b ＋（L ＋ U)x^｛（k)｝）＄。
4、高斯赛德尔迭代法在雅克比迭代法的基础上，每次计算新的分量时立即使用刚得到的最新值，迭代公式为：＄x_i^｛（k+1)｝＝（b_i ＼sum_{j=1}＾｛i-1}a_{ij}x_j^｛（k+1)｝＼sum_{j=i+1}＾｛n}a_{ij}x_j^｛（k)｝）／a_{ii}＄。
5、超松弛迭代法在高斯赛德尔迭代法的基础上引入松弛因子＄＼omega$，迭代公式为：＄x_i^｛（k+1)｝＝ x_i^｛（k)｝＋＼omega(（b_i ＼sum_{j=1}＾｛i-1}a_{ij}x_j^｛（k+1)｝＼sum_{j=i}＾｛n}a_{ij}x_j^｛（k)｝）／ a_{ii} x_i^｛（k)｝）＄。
数值分析计算方法实验报告
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1
线性方程组求解的数值实验报告
线性方程组求解的数值实验一、课题名称：双对角线线性方程组的数值实验二、班级和姓名：09101900 张争（学号 0910190161） 三、实验问题摘要：考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线线性方程组（以n=7为例）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7665544332211d a d a d a d a d a da d ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7654321x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7654321b b b b b b b 写出解一般的n （奇数）阶方程组的程序（不要用消元过程，因为不用它可以十分方便的解出这个方程组）。
四、过程中的问题及处理方法：解方程组时应当先解出x1和xn,r 然后根据公式求出其他的解，由于矩阵的特殊性，应该从头尾开始解，最后解出21+n x 。
编程序时使用循环语句要分情况讨论。
五、计算公式： 1x =11d b kk k k k d x a b x 11---=(k<n/2)n x =nnd b kk k k k d x a b x 1+-=(k>n/2)21212123212121+--++++--=n n n n n n n d x a x a b x六、结构程序设计输入矩阵阶数→输入各系数→解出前（n-1）/2个解→解出后（n-1）/2个解→解出第（n+1）/2个解七、程序运行结果：这里令所有的系数等于1，实验结果如下：八、主要程序段介绍：解方程函数：由于矩阵具有好的对称性，解的形式也一样，用循环语句。
但是第一个和最后一个解以及中间一个解的形式不同，需要单独解出，程序如下：void jiefangcheng(){int i;x[1]=b[1]/d[1];for(i=2;i<(i+1)/2;i++)x[i]=(b[i]-a[i-1]*x[i-1])/d[i];x[n]=b[n]/d[n];for(i=n-1;i>(i+1)/2;i--)x[i]=(b[i]-a[i]*x[i+1])/d[i];x[(n+1)/2]=(a[(n-1)/2]*x[(n-1)/2]-a[(n+1)/2]*x[(n+3)/2])/d[(n+1)/2];}九、源程序如下：//*****************张争******学号0910190161**********#include<iostream.h>#define N 10000int n;int a[N],b[N],d[N],x[N];void input(){int i;cout<<"请输入方程组的阶数：";cin>>n;cout<<"请输入方程组的系数："<<endl;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"d"<<i<<"=";cin>>d[i];cout<<"b"<<i<<"=";cin>>b[i];}for(i=1;i<n;i++){cout<<"a"<<i<<"=";cin>>a[i];}}void jiefangcheng(){int i;x[1]=b[1]/d[1];for(i=2;i<(i+1)/2;i++)x[i]=(b[i]-a[i-1]*x[i-1])/d[i];x[n]=b[n]/d[n];for(i=n-1;i>(i+1)/2;i--)x[i]=(b[i]-a[i]*x[i+1])/d[i];x[(n+1)/2]=(a[(n-1)/2]*x[(n-1)/2]-a[(n+1)/2]*x[(n+3)/2])/d[(n+1)/2];}void output(){ int i;cout<<"方程组的解为："<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cout<<"x"<<i<<"="<<x[i]<<endl;}void main(){input();jiefangcheng();output();}。
数值分析实验报告二求解线性方程组的直接方法
数值分析实验报告二求解线性方程组的直接方法姓名：刘学超日期：3/28一实验目的1.掌握求解线性方程组的高斯消元法及列主元素法；2.掌握求解线性方程组的克劳特法；3.掌握求解线性方程组的平方根法。
二实验内容1.用高斯消元法求解方程组(精度要求为)：2.用克劳特法求解上述方程组(精度要求为)。
3.用平方根法求解上述方程组(精度要求为)。
4.用列主元素法求解方程组(精度要求为)：三实验步骤(算法)与结果1用高斯消元法求解方程组(精度要求为)：#include stdio.h#define n3 void gauss(double a[n][n],double b[n]){double sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0；double l[n][n],z[n],x[n],u[n][n]；int i,j,k；for(i=0；i n；i++)l[i][i]=1；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n；j++){if(i=j){for(k=0；k=i-2；k++)sum1+=l[i][k]*u[k][j]；u[i][j]=a[i][j]-sum1；}if(i j){for(k=0；k=j-2；k++)sum2+=l[i][k]*u[k][j]；l[i][j]=(a[i][j]-sum2)/u[j][j]；}}for(k=0；k=i-2；k++)sum3+=l[i][k]*z[k]；z[i]=b[i]-sum3；for(i=n-1；i=0；i--){for(k=i；k=n-1；k++)sum4+=u[i][k]*x[k]；x[i]=(z[i]-sum4)/u[i][i]；}}for(i=0；i n；i++)printf("%.6f",x[i])；}main(){double v[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；double c[3]={7,-1,0}；gauss(v,c)；}2用克劳特法求解上述方程组(精度要求为)#include stdio.h#include stdlib.h#include conio.h#define n3 int main(){float u[n][n],l[n][n],d[n]={7,-1,0},x[n]；float a[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；int i,j,k；printf("equations：\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n-1；j++)printf("(%f)Y%d+",a[i][j],j+1)；printf("(%f)Y%d=%f",a[i][n-1],n,d[i])；printf("\n")；}printf("\n")；for(j=0；j n；j++)for(i=j；i n；i++)l[i][j]=a[i][j]；for(i=0；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[i][j]=a[i][j]；for(j=1；j n；j++)u[0][j]=u[0][j]/l[0][0]；for(k=1；k n；k++){for(j=k；j n；j++)for(i=j；i n；i++)l[i][j]-=l[i][k-1]*u[k-1][j]；for(i=k；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[i][j]-=l[i][k-1]*u[k-1][j]；for(i=k；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[k][j]=u[k][j]/l[k][k]；}d[0]=d[0]/l[0][0]；for(k=0；k 2；k++){for(i=k+1；i n；i++)d[i]-=d[k]*l[i][k]；d[k+1]/=l[k+1][k+1]；}for(i=0；i n；i++)x[i]=d[i]；for(k=n-2；k 2-n；k--)for(i=k；i-1；i--)x[i]-=x[k+1]*u[i][k+1]；for(j=0；j n；j++)for(i=j；i n；i++)printf("l[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,l[i][j])；printf("\n")；for(i=0；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)printf("u[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,u[i][j])；printf("\n")；for(i=0；i n；i++)printf("d%d=%f\n",i+1,d[i])；printf("\n")；printf("the result is：\n")；for(i=0；i n；i++)printf("Y%d=%f\n",i+1,x[i])；getch()；}结果：3用平方根法求解上述方程组(精度要求为)#include stdio.h#define n3 void gauss(double a[n][n],double b[n]) {double sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0；double l[n][n],z[n],x[n],u[n][n]；int i,j,k；for(i=0；i n；i++)l[i][i]=1；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n；j++){if(i==j){for(k=0；k=i-2；k++)sum1+=pow(l[i][k],2)；l[i][j]=sqrt(a[i][i]-sum1)；}if(i j){for(k=0；k=j-2；k++)sum2+=l[i][k]*u[k][j]；l[i][j]=(a[i][j]-sum2)/l[j][j]；}}for(k=0；k=i-2；k++)sum3+=l[i][k]*z[k]；z[i]=(b[i]-sum3)/l[i][i]；for(i=n-1；i=0；i--){for(k=i；k=n-1；k++)sum4+=l[k][i]*x[k]；x[i]=(z[i]-sum4)/l[i][i]；}}for(i=0；i n；i++)printf("%.6f",x[i])；}main(){double v[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；double c[3]={7,-1,0}；gauss(v,c)；}结果：4用列主元素法求解方程组(精度要求为)：#include stdio.h#include math.h#define n3 int main(){float u[n][n],l[n][n],d[n]={7,-1,0},x[n]；float a[n][n]={3,-1,2,-1,2,-2,2,-2,4}；int i,j,k；printf("equations：\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n-1；j++)printf("(%f)Y%d+",a[i][j],j+1)；printf("(%f)Y%d=%f",a[i][n-1],n,d[i])；printf("\n")；}printf("\n")；for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)l[i][j]=a[i][j]；for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)u[i][j]=a[i][j]；l[0][0]=sqrt(l[0][0])；u[0][0]=sqrt(u[0][0])；for(i=1；i n；i++)l[i][0]/=u[0][0]；for(j=1；j n；j++)u[0][j]/=l[0][0]；for(k=1；k 3；k++){for(j=0；j k；j++)l[k][k]-=pow(l[k][j],2)；l[k][k]=sqrt(l[k][k])；for(j=0；j k；j++)l[i][k]-=l[i][j]*l[k][j]；for(i=k+1；i n；i++)for(j=0；j k；j++)l[i][k]/=l[k][k]；}d[0]=d[0]/l[0][0]；for(k=0；k 2；k++){for(i=k+1；i n；i++)d[i]-=d[k]*l[i][k]；d[k+1]/=l[k+1][k+1]；}for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)u[i][j]=l[j][i]；for(k=n-1；k 1-n；k--){x[k]=d[k]/u[k][k]；for(i=k-1；i-1；i--)d[i]=d[i]-u[i][k]*x[k]；}for(j=0；j n；j++){for(i=j；i n；i++)printf("l[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,l[i][j])；}printf("\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=i；j n；j++)printf("u[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,u[i][j])；}printf("\n")；printf("the result is：\n")；printf("Y%d=%f\n",i+1,x[i])；}结果：四实验收获与教师评语。
线性方程组的数值解法实验报告
实验报告——线性方程组的数值解法姓名：班级：学号：日期：一 实践目的1. 熟悉求解线性方程组的有关理论和方法。
2. 会编列主元消去法，全主元消去法，雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的程序。
3.通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。
4. 进一步应用数学知识，扩展数学思维，提高编程能力。
二 问题定义及题目分析1.求解线性方程是实际中常遇到的问题。
而一般求解方法有两种，一个是直接求解法，一个是迭代法。
2.直接法是就是通过有限步四则运算求的方程准确解的方法。
但实际计算中必然存在舍入误差，因此这种方法只能得到近似解。
3.迭代法是先给一个解的初始近似值，然后按一定的法则求出更准确的解，即是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。
4.这次实践，将采用直接法：列主元高斯消去法，全主元高斯消去法；迭代法：雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
三 详细设计 设有线性方程组11112211n n a x a x a x b +++=21122222n n a x a x a x b +++= 1122n n nn n n a x a x a x b +++=令A= 111212122212n n n n nn a a a aa a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ x=12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ b= 12n b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一. 上三角方程组的求解很简单。
所以若能将方程组化为上三角方程组，那就很容易得到方程的解，高斯消去法则是一种简洁高效的方法，可以将方程组化为上三角方程组，但是这种方法必须满足每一步时0kk a =才能求解，还有当kk a 绝对值很小时，作分母会引起较大的舍入误差。
因此在消元过程中应尽量选择绝对值较大的系数作为主元素。
1.列主元消去法很好的解决这一问题。
将1x 的系数1(1)k a k n ≤≤中绝对值最大者作为主元素，交换第一行和此元素所在的行，然后主元消去非主元项1x 的系数，。
数值分析实验报告--解线性方程组的迭代法及其并行算法
disp('请注意：高斯-塞德尔迭代的结果没有达 到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭 代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X 如下： ') X=X';jX=jX' end end X=X';D,U,L,jX=jX'
高斯－塞德尔的输入为：
A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; b=[1;1;2]; X0=[0 0 0]'; X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.001,100) A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; 请注意：因为对角矩阵 D 非奇异，所以此方程组有解.
0.0301 0.0758 0.1834
8.心得体会：
这已经是第三次实验了， 或多或少我已经对 MATLAB 有了更多的了 解与深入的学习。通过这次实验我了解了雅可比迭代法和高斯－ 塞德尔迭代法的基本思想，虽然我们不能熟练编出程序，但还是 能看明白的。运行起来也比较容易，让我跟好的了解迭代法的多 样性，使平常手算的题能得到很好的验证。通过这次实验让我对 MATLAB 又有了更深一层的认识，使我对这门课兴趣也更加浓厚。
运行雅可比迭代程序输入： A=[10
b=[1;1;2];X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)
2 3;2 10 1;3 1 10];
结果为：
k= 1 X=
0.1000 k= 2 X= 0.0200 k= 3 X= 0.0400 k= 4 X= 0.0276 k= 5 X= 0.0314 k= 6 X= 0.0294 k= 7 X= 0.0301 k= 8 X= 0.0297
6、 设计思想：先化简，把对角线的项提到左边，其它项
数值分析报告讲义——线性方程组解法
数值分析讲义第三章线性方程组的解法§3.0 引言§3.1 雅可比(Jacobi)迭代法§3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法§3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法§3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法§3.5 高斯消去法§3.9 其它应用§3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析§3 作业讲评3 §3.11 总结§3.0 引言重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题.分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法.(a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高.(b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人.§3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b )1基本思想:与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：X k +1=BX (k )+f ,其中，B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2问题:(a) 如何建立迭代格式？(b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析:考虑解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--2.453.82102.7210321321321x x x x x x x x x (1)其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=84.02.01.083.02.01.072.02.01.0213312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=+++84.02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3)(3)(1)1(23)(2)1(1k k k k k k kk k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0)0(3)0(2)0(1===xxx,迭代结果如下表.JocabiMethodP31.cpp迭代次数 x1 x2 x30 0 0 01 0.72 0.83 0.842 0.971 1.07 1.153 1.057 1.1571 1.24824 1.08535 1.18534 1.282825 1.095098 1.195099 1.2941386 1.098338 1.198337 1.2980397 1.099442 1.199442 1.2993358 1.099811 1.199811 1.2997779 1.099936 1.199936 1.29992410 1.099979 1.199979 1.29997511 1.099993 1.199993 1.29999112 1.099998 1.199998 1.29999713 1.099999 1.199999 1.29999914 1.1 1.2 1.315 1.1 1.2 1.34Jocobi迭代公式:设方程组AX=b, 通过分离变量的过程建立Jocobi迭代公式，即),,2,1()(1),,2,1(0,11n i x a b a x n i a b x a n ij j j ij i iii ii ni i j ij =∑-==≠∑=≠== 由此我们可以得到Jacobi 迭代公式：),,2,1()(11)1(n i x a b a xn ij j k i ij i iik i=∑-=≠=+[Jacobi 迭代公式的算法] 1: 初始化. n , (a ij ), (b j ), (x 1) , M . 2: 执行k =1直到M 为止. ① 执行i =1直到n 为止.ii nij j j ij i i a x a b u /)(1∑-←≠= ;② 执行i =1直到n 为止.i i u x ← ;③输出k , (x i ).另外，我们也可以建立Jacobi 迭代公式的矩阵形式. 设方程组AX =b ,其中，A =(a ij )n 为非奇异阵，X =(x 1,x 2,…,x n )T , b =(b 1,b 2,…,b n )T将系数阵A 分解为: A =U +D +L ,U 为上三角矩阵，D 为对角矩阵，L 为下三角矩阵.于是AX =b 可改写为 (U +D +L )X =b⇔ X =D -1b -D -1(U +L )X由此可得矩阵形式的Jocobi 迭代公式： X k +1=BX (k )+f □§3.2 高斯-塞德尔Gauss-Seidel 迭代法注意到利用Jocobi 迭代公式计算)1(+k ix 时，已经计算好)(1)(2)(1,,,k i k k x x x - 的值，而Jocobi 迭代公式并不利用这些最新的近似值计算，仍用)(1)(2)(1,,,k i k k x x x - .这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量利用最新的迭代值，得到),,2,1()(1111)1()1(n i x a x a b a xn i j k jij i j k j ij i iik i=∑-∑-=+=-=++上式称为Gauss-Seidel 迭代法. 其矩阵形式是X =-(D +L )-1UX +(D +L )-1b , X k +1=BX (k )+f .迭代次数 x1 x2 x3 0 0 0 0 1 0.72 0.902 1.1644 2 1.04308 1.167188 1.282054 3 1.09313 1.195724 1.2977714 1.099126 1.199467 1.2997195 1.09989 1.199933 1.2999656 1.099986 1.199992 1.2999967 1.099998 1.199999 1.2999998 1.1 1.2 1.3§3.3 超松驰迭代法SOR 方法1基本思想:逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation Method,简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德尔迭代法，是G-S 方法的一种修正或加速.是求解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一. 2 SOR 算法的构造:设方程组AX =b , 其中，A =(a ij )n 为非奇异阵，X =(x 1,x 2,…,x n )T , b =(b 1,b 2,…,b n )T . 假设已算出x (k )，),,2,1()(1111)1()1(n i x a x a b a xn i j k j ij i j k j ij i iik i=∑-∑-=+=-=++ (1)相当于用高斯-塞德尔方法计算一个分量的公式. 若对某个参数ω，作)1(+k ix与)(k i x 加权的平均,即)()1()()1()()1()(1k i k ik i k ik ik ix xx xxx-+=+-=+++ωωω (2)其中，ω称为松弛因子.用(1)式代入(2)式，就得到解方程组AX =b 的逐次超松弛迭代公式：⎪⎩⎪⎨⎧=∑-∑-=∆∆+==-=++),,2,1()()(11)1()()1(n i x a x a b a x x x x n ij k j ij i j k j ij i iii i k i k i ω (3) 显然，当取ω=1时，式(3)就是高斯-塞德尔迭代公式. 3 例题分析:利用SOR 方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=--3322242024321321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1, 2}. 建立与式(1)相等价的形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+=+=132315.05.05.025.05.021*******x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+=+=+++132315.05.05.025.05.0)(2)(1)1(3)(3)(1)1(23)(2)1(1k k k k k k kk k x x x x x x x x x (3)利用SOR 算法，取迭代初值1)0(3)0(2)0(1===x x x ,ω=1.5,迭代结果如下表.逐次超松弛迭代法次数 x1 x2 x3 1 0.625000 0.062500 1.750000 2 0.390625 0.882813 1.468750 3 1.017578 0.516602 1.8085944 0.556885 0.880981 1.7104495 1.023712 0.743423 1.8681036 0.746250 0.908419 1.8387377 0.997715 0.860264 1.9138948 0.864050 0.936742 1.9086059 0.986259 0.922225 1.94552310 0.928110 0.958649 1.94749311 0.985242 0.955944 1.96619812 0.961661 0.973818 1.96952113 0.988103 0.974699 1.97928914 0.979206 0.983746 1.98217215 0.991521 0.985318 1.98741616 0.988509 0.990038 1.98951317 0.994341 0.991414 1.99239718 0.993538 0.993946 1.99380619 0.996367 0.994950 1.99542420 0.996313 0.996342 1.99633121 0.997724 0.997018 1.99725422 0.997871 0.997798 1.99782223 0.998596 0.998234 1.998355GS迭代法须迭代85次得到准确值X*={1, 1, 2};而SOR方法只须55次即得准确值.由此可见，适当地选择松弛因子ω，SOR法具有明显的加速收敛效果. □§3.4 迭代法的收敛性1. 向量和矩阵范数 (a) 向量范数R n 空间的向量范数 || · || ,对任意n R y x ∈,, 满足下列条件：00||||;0||||)1(=⇔=≥x x x (正定性)||||||||||)2(x x⋅=αα (齐次性)||||||||||||)3(y x y x+≤+ （三角不等式）常见的向量范数有： (1) 列范数：(2) 谱范数：(欧几里德范数或向量的长度,模)(3) 行范数：(4) p 范数:上述范数的几何意义是:∞||||x =max(|x 2-x 1|,|y 2-y 1|) ; 1||||x =|x 2-x 1|+|y 2-y 1| ;2122122)()(||||y y x x x -+-=.向量序列}{)(k x依坐标收敛于向量x * 的充要条件是向量序列}{)(k x 依范数收敛于向量x *,即0||||lim *)(=-∞→x x k k .(b) 矩阵范数n m R ⨯空间的向量范数 || ·|| ,对任意 n m R B A ⨯∈,, 满足下列条件：|||||||| || AB || (4)||||||||||||)3(||||||||||)2(00||||;0||||)1(B A B A B A A A A A A ≤+≤+⋅==⇔=≥αα常见的矩阵范数有：∑==∞≤≤nj ij a A ni 1||max ||||1 (行和范数)∑==≤≤ni ij a A nj 11||max ||||1 (列和范数))(||||m ax 2A A A T λ= (谱范数)若A 对称，则有)()(2m ax m ax A A A T λλ=.矩阵A 的谱半径记为)(||||2A A ρ=,ρ(A ) =||m ax 1i ni λ≤≤,其中λi 为A 的特征根。
数值分析线性方程组的迭代解法
数值分析课程实验报告实验名称 线性方程组的迭代解法Ax b =的系数矩阵对角线元素容许误差。
雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组的算法描述如下：任取初始向量(0)(0)1(xx =1+，并且 1,2,...,n ，计算 11(ni j ii j ib a a =≠-∑()k x ，结束；否则执行④，则不收敛，终止程序；否则转② 迭代法的算法描述）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解。
基于这种设想构造的迭代公式,n ，k = （2）算法可相应地从雅可比（Jacobi ）迭代法改造得到(Gauss-Seidel)迭代得到的值进一()()()1((1k i ii k k i i x b a x x ωω==+-1,2,,n ，2,k =（3）为松弛因子（显然当1ω=塞德尔迭代公式） ()k ix 通常优于旧值(1)k ix -，在将两者加工成松弛值时，自然要求松弛因子1ω>，以尽量发挥新值的优势，这类迭代就称为逐次超松弛迭代法。
SOR 迭代的关键在于选取合适的松弛因子，松弛因子的取值对收敛速度影响很大，但如何选取最佳松弛因子的问题，至今仍未有效解决，在实际计算时，通常依据系数矩阵的特点，并结合以往的经验选取合适的松弛因子。
练习与思考题分析解答(0)(1,1,1,1)x =[ -0.999976, -0.999976, -0.999976, -0.999976]x =[ -0.99999, -0.999991, -0.999992, -0.999993]x =塞德尔迭代算法的收敛速度要比雅可比迭代算法的收敛速度快SOR 迭代实质上是高斯原理和基本方法相同。
如果选择合适的松弛因子，它能够加快收敛速度。
SOR 迭代算法更加普通，当选取一个合适的松弛因子后收敛速度明显加快。
迭代算法将前一步的结果[ -0.99999, -0.999991, -0.999992, -0.999993]x =[ -0.999992, -0.999993, -0.999994, -0.999995]x =[ -0.999993, -0.999994, -0.999995, -0.999995]x =[ -0.999992, -0.999993, -0.999994, -0.999995]x =[ -0.999999, -1.0, -1.0, -1.0]x =[ -0.999999, -1.0, -1.0, -1.0]x =因为为了保证迭代过程收敛，松弛因子1.3左右。
数值分析实验三(解线性方程组)
《数值分析》实验报告实验编号：实验三课题名称：解线性方程组一、算法介绍1、定义四个函数分别为：DieDai()，Newton()，XianWei()，DuiFen()。
在主函数中输入要选用方法所对应的序号后，用switch语句对函数进行调用。
2、迭代法的主要思想为：保留一个变量在等号的左边，其他都移到等号右边。
3、Newton法的主要算法为：把f(x)在x0附近展开成Taylor级数，取其线性部分，选取一点x0，该点所对应的值为f(x0)，对于n=1,2,…,Nmax，按Xn+1=Xn-f(Xn)/f’(Xn)求出Xn+1，并计算f(Xn+1)，若|Xn+1-Xn|小于容许误差，则停止计算。
4、弦位法：选定初始值x0,x1，并计算f(x0)，f(x1)；按迭代公式xn+1=xn-f(xn)(xn-xn-1)/(f(xn)-f(xn-1))计算x2，再求f(x2)；如果相邻两次迭代值之差在容许的误差范围内则迭代停止，否则用(x2,f(x2)),(x1,f(x1))分别代替(x1,f(x1)),(x0,f(x0))，重复前两个步骤，直至相邻两次迭代值之差在容许的误差范围内。
5、对分区间法：选取方程的根所在的区间(a,b)，取其中点c代入方程中得其值为f(c)，如果f(c)与f(a)异号说明方程的根在(a,c)区间中，则令b=c，否则令a=c，如果f(c)的绝对值小于0.0001，则停止运算，否则继续计算，直至f(c)的绝对值小于0.0001。
二、程序代码#include <iostream>#include <iomanip>#include <cmath>using namespace std;double f(double x){x=x*x*x-3*x-1;return x;}void DieDai(){cout<<"迭代序列：\n";double x0=2,x1=0;int i=1;while(fabs(x0-x1)>=0.0001){x1=x0;x0=pow((3*x0+1),1.0/3);cout<<"x"<<i<<"="<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(4)<<x0<<",f(x"<<i<<")="<<f(x0)<<",误差为："<<x0*x0*x0-3*x0-1<<endl;i++;}cout<<"方程近似解x*="<<x0<<endl;cout<<"共进行"<<i-1<<"次迭代\n" ;}void Newton(){cout<<"迭代序列：\n";double x0=2,x1=0;int i=1;while(fabs(x0-x1)>=0.0001){x1=x0;x0=x0-f(x0)/(3*x0*x0-3);cout<<"x"<<i<<"="<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(4)<<x0<<",f(x"<<i<<")="<<f(x0)<<",误差为："<<x0*x0*x0-3*x0-1<<endl;i++;}cout<<"方程近似解x*="<<x0<<endl;cout<<"共进行"<<i-1<<"次迭代\n" ;}void XianWei(){double x0=1,x1=3,x2=2;cout<<"选定曲线y=f(x)上的两个点P0("<<x0<<","<<f(x0)<<")和P1("<<x1<<","<<f(x1)<<")\n";int i=2;while(fabs(f(x2))>=0.0001){x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(4)<<"当前区间(";cout<<x0<<","<<x1<<"),与x轴交点("<<x2<<","<<f(x2)<<"),误差为：";if(f(x2)*f(x0)<0){cout<<x2*x2*x2-3*x2-1<<endl;x1=x2;}else{cout<<x2*x2*x2-3*x2-1<<endl;x0=x2;}i++;}cout<<"方程近似解x*="<<x2<<endl;cout<<"共进行"<<i-2<<"次迭代\n" ;}void DuiFen(){double a=1,b=3,c;cout<<"f(x)=0的根的存在区间("<<a<<","<<b<<")\n";cout<<"端点函数值f(a)="<<f(a)<<",f(b)="<<f(b)<<endl;int i=2;while(fabs(f(c))>=0.0001){c=(a+b)/2;cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(4)<<"当前区间("<<a<<","<<b<<"),区间中点x="<<c;cout<<",f(x)="<<f(c)<<",误差为：";if(f(c)*f(a)<0){cout<<c*c*c-3*c-1<<endl;b=c;}else{cout<<c*c*c-3*c-1<<endl;a=c;}i++;}cout<<"方程近似解x*="<<c<<endl;cout<<"共进行"<<i-2<<"次迭代\n" ;}void Menu(){int n;cin>>n;switch(n){case 1:cout<<"*** 迭代法***\n";DieDai();Menu();break;case 2:cout<<"*** Newton法***\n";Newton();Menu();break;case 3:cout<<"*** 弦位法***\n";XianWei();Menu();break;case 4:cout<<"*** 对分区间法***\n";DuiFen();Menu();break;case 5:return;}}int main (){cout<<" *****问题：求f(x)=x*x*x-3x-1=0在x0=2附近的实根。
数值分析线性方程组的实验报告包含代码解析
线性代数方程组的直接解法实验目的：线性方程组求解的直接法编程实现，实验内容：线性方程组求解的高斯消去法算法实现线性方程组求解的主元素消去法算法实现线性方程组求解的LU 分解得方法算法实现线性方程组求解追赶法算法实现实验比较：高斯消去、主元素消去、LU 分解都用实例 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=++15.3181533126321321321x x x x x x x x x 这个进行比较。
知识理论解线性方程组的方法大致分为直接法和迭代法。
直接法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次的运算可求的方程组精确解的方法。
方程（2-1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ...... (22112)222212111212111 记为：AX=b ；一、高斯（Gauss ）消元法(1).Gauss 消元法是最基本的一种方法。
先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角方程组。
消元过程：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角方程组 基本思想回代过程：按方程的相反顺序求解三角形方程组，得到原方程组的解。
(2) Gauss 消去法的求解思路为：若先让第一个方程组保持不变，利用它消去其余方程组中的,使之变成一个关于变元的n-1阶方程组。
按照（1）中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。
经过n-1步的消元后，得到一个三角方程。
利用求解公式回代得到线性方程组的解。
①消元过程：第一次消元，,0)1(11≠a设 )1(11)1(11a a l i i =记（i=1,2,3……，n ）.将（2-1）中第i 个方程减去第一个方程乘以1i l （i=1,2,3……，n ），完成第一次消元，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+++)2()2(2)2(2)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11...... ... n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a 得等价方程组 （2-2）)2()2(:b x A =简记为其中：)1(11)1()2(j i ij ij a l a a -=；)1(11)1()2(b l b b i i i -=次消元后经过1-k ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++++=++++++++++++++++++++... ...... ......... ......)()(1)(1,)()(1)(,11)(1,1)(,1)()(1)(1,)()2(2)2(21)2(1,2)2(22)2(22)1(1)1(11)1(1,1)1(12)1(121)1(11k n n k nn k k k n k k nk k k n k n k k k k k k k k k k kn k kn k k k k k k kk n n k k k k n n k k k k b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a x a 简记为：)1()1(++=k k b x A其中：)()()1(k kjik k ij k ija l a a -=+ )()()1(k k ik k i k ib l b b -=+),,1,(n k j i +=按上述方法完成n-1次消元后得到。
东北大学数值分析实验报告
实验一：解线性方程组的直接方法1、设线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------13682438141202913726422123417911101610352431205362177586832337616244911315120130123122400105635680000121324⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125x *= (-1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 )T2、设对称正定阵系数阵线方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------------192433621411035204111443343104221812334161206538114140231212200420424⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡87654321x x x x x x x x = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4515229232060 x * = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 )T3、三对角形线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------41141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----5541412621357 x *= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 )T分别用Gauss 顺序消去法与Gauss 列主元消去法：平方根法与改进平方根法：追赶法求解，编出算法通用程序用列主元消去法求解方程组一： 流程图如下：源程序：#include < iostream >#include < vector >#include < cmath >using namespace std;class CGAUSSSOLVEEQU{private :vector < vector < double >> m_equset; vector < double > m_answer;int m_n;public :void inputEquSet(double in[],int n); void solveEquSet();void outputAnswer();void change(int m,int m2);} ;void CGAUSSSOLVEEQU::inputEquSet(double in[],int n){vector < double > vtemp;m_n=n;for (int i= 0;i < m_n; i++){m_equset.push_back(vtemp);for (int j= 0;j <= m_n; j++){m_equset[i].push_back(in[i*(m_n+1)+j]);}}}void CGAUSSSOLVEEQU::change(int m,int m2){vector < vector < double >> ::iterator iter;iter = m_equset.begin();vector < vector < double >> ::iterator iter2;iter2 = m_equset.begin();//double}void CGAUSSSOLVEEQU::solveEquSet(){vector < vector < double >> ::iterator iter;iter = m_equset.begin();for (int m= 0;m < m_n - 1 ; ++ m){// 将绝对值最大的主元素移上去for (int i=m;i<m_equset.size();i++){if (fabsl(m_equset[m][m]) < fabsl(m_equset[i][m])) {swap( m_equset[m], m_equset[i]);}}// 进行消元for (int i = m + 1 ;i < m_n; ++ i){double dm;dm = m_equset[i][m] / m_equset[m][m];for (int j = m;j < m_n + 1 ; ++ j){m_equset[i][j] -= dm * m_equset[m][j];}}++ iter;}// 初始化m_answer向量for (int i=0 ;i < m_n; ++ i) m_answer.push_back( 0 );// 求解答案m_answer[m_n - 1 ] = m_equset[m_n - 1 ][m_n] / m_equset[m_n - 1 ][m_n - 1 ];for ( int i = m_n - 2 ;i >= 0 ; -- i){m_answer[i] = m_equset[i][m_n];for ( int j = m_n - 1 ;j > i; -- j)m_answer[i] -= m_answer[j] * m_equset[i][j];m_answer[i] /= m_equset[i][i];}}void CGAUSSSOLVEEQU::outputAnswer(){for (int i= 1;i <= m_n; ++ i){cout << " x( " << i << " )= " << m_answer[i - 1 ] << endl;}}int main(){CGAUSSSOLVEEQU myEqu1;double in1[10*11]={4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,5,8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,12,4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,3,0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,2,-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,3,8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,46,0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,13,16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,38,4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,19,0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1,-21};myEqu1.inputEquSet(in1,10);myEqu1.solveEquSet(); myEqu1.outputAnswer(); cout<<endl; cout<<endl; return 1 ;}实验运行结果：实验心得：通过本次实验，我不仅掌握了模块化程序设计的方法，还了解了求解线性方程组的方法，明确了高斯消去法选主元的必要性。
数值分析实验报告--实验6--解线性方程组的迭代法
1 / 8数值分析实验六：解线性方程组的迭代法2016113 张威震1 病态线性方程组的求解1.1 问题描述理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(),,,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。
实验要求：（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss 消去法、列主元Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？（2）逐步增大问题的维数（至少到100），仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（3）讨论病态问题求解的算法1.2 算法设计首先编写各种求解方法的函数，Gauss 消去法和列主元高斯消去法使用实验5中编写的函数myGauss.m 即可，Jacobi 迭代法函数文件为myJacobi.m ，GS 迭代法函数文件为myGS.m ，SOR 方法的函数文件为mySOR.m 。
1.3 实验结果1.3.1 不同迭代法球求解方程组的结果比较选择H 为6*6方阵，方程组的精确解为x* = (1, 1, 1, 1, 1, 1)T ，然后用矩阵乘法计算得到b ，再使用Gauss 顺序消去法、Gauss 列主元消去法、Jacobi 迭代法、G-S 迭代法和SOR 方法分别计算得到数值解x1、x2、x3、x4，并计算出各数值解与精确解之间的无穷范数。
Matlab 脚本文件为Experiment6_1.m 。
迭代法的初始解x 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T ，收敛准则为||x(k+1)-x(k)||∞<eps=1e-6，SOR方法的松弛因子选择为w=1.3，计算结果如表1。
数值分析报告用直接法和迭代法求解线性方程组
用直接法和迭代法求解线性方程组一、实验目的：通过实验，熟悉线性方程组的列主元消元法、LU 分解法、平方根法、追赶法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。
二、实验内容：1、用追赶法求解三对角方程组Ax=b ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=2100012100012100012100012A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00001b 2、用平方法求解方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--103432122484548416x x x 。
三、实验要求：1．编程实现。
2．可以自拟实验题，要求同上。
四、实验程序及结果：1、用追赶法求解线性方程组a ={-1,-1,-1,-1};d={2,2,2,2,2};c={-1,-1,-1,-1};b={1,0,0,0,0};n=Length[d];l=Table[0,{i,1,n}];u=Table[0,{i,1,n-1}];l[[1]]=d[[1]];u[[1]]=c[[1]]/d[[1]];For[k=2,k<=n-1,k++,l[[k]]=d[[k]]-a[[k-1]]u[[k-1]];u[[k]]=c[[k]]/l[[k]];];l[[n]]=d[[n]]-a[[n-1]]u[[n-1]];y=Table[0,{i,n}];x=Table[0,{i,n}];y[[1]]=b[[1]]/l[[1]];For[k=2,k<=n,k++,y[[k]]=(b[[k]]-a[[k-1]]y[[k-1]])/l[[k]];] x[[n]]=y[[n]];For[k=n-1,k>=1,k+=-1,x[[k]]=y[[k]]-u[[k]]x[[k+1]];] Print["用追赶法求得的解为：x=",x]Print["x=",MatrixForm[x]]用追赶法求得的解为：x= {5/6,2/3,1/2,1/3,1/6} ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6131213265x 2、用平方根法求解方程组:A={{16,4,8},{4,5,-4},{8,-4,22}};b={-4,3,10};n=3;L=Table[0,{i,n},{j,n}];For[i=1,i<=n,i++,L[[i,i]]=Sqrt[A[[i,i]]-∑-=112]],[[i k k i L ];For[j=i+1,j<=n,j++,L[[j,i]]=(A[[j,i]]-∑-=11]]),[[]],[[(i k k i L k j L )/L[[i,i]];]]; Print["矩阵 L=",MatrixForm[L]]y=Table[0,{i,n}];y[[1]]=b[[1]]/L[[1,1]];For[i=2,i<=n,i++,y[[i]]=(b[[i]]-]][[*]],[[11j y j i L i j ∑-=)/L[[i,i]];]Print["由Ly=b,计算得 Y=",MatrixForm[y]](*由Ux=y,计算得x*)x=Table[0,{i,n}];L1=Transpose[L];For[i=n,i>0,i+=-1,x[[i]]=(y[[i]]-∑+=ni k k x i k L 1]][[*]],[[)/L[[i,i]];] Print["由LTx=y,计算得 X=",MatrixForm[x]]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300320214L 由Ly=b,计算得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621Y由LTx=y,计算得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2494x 五、实验总结：通过本次实验我加深了对各种求解线性方程组方法的了解。
数值分析实验报告二求解线性方程组的直接方法
数值分析实验报告二求解线性方程组的直接方法数值分析实验报告二求解线性方程组的直接方法姓名：刘学超日期：3/28一实验目的1.掌握求解线性方程组的高斯消元法及列主元素法；2.掌握求解线性方程组的克劳特法；3.掌握求解线性方程组的平方根法。
二实验内容1.用高斯消元法求解方程组(精度要求为)：2.用克劳特法求解上述方程组(精度要求为)。
3.用平方根法求解上述方程组(精度要求为)。
4.用列主元素法求解方程组(精度要求为)：三实验步骤(算法)与结果1用高斯消元法求解方程组(精度要求为)：#include#define n3 void gauss(double a[n][n],double b[n]) {double sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0；double l[n][n],z[n],x[n],u[n][n]；int i,j,k；for(i=0；i n；i++)l[i][i]=1；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n；j++){if(i=j){for(k=0；k=i-2；k++)sum1+=l[i][k]*u[k][j]；u[i][j]=a[i][j]-sum1；}if(i j){for(k=0；k=j-2；k++)sum2+=l[i][k]*u[k][j]；l[i][j]=(a[i][j]-sum2)/u[j][j]；}}for(k=0；k=i-2；k++)sum3+=l[i][k]*z[k]；z[i]=b[i]-sum3；for(i=n-1；i=0；i--){for(k=i；k=n-1；k++)sum4+=u[i][k]*x[k]；x[i]=(z[i]-sum4)/u[i][i]；}}for(i=0；i n；i++)printf("%.6f",x[i])；}main(){double v[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；double c[3]={7,-1,0}；gauss(v,c)；}2用克劳特法求解上述方程组(精度要求为)#include#include#include#define n3 int main(){float u[n][n],l[n][n],d[n]={7,-1,0},x[n]；float a[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；int i,j,k；printf("equations：\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n-1；j++)printf("(%f)Y%d+",a[i][j],j+1)；printf("(%f)Y%d=%f",a[i][n-1],n,d[i])；printf("\n")；} printf("\n")；for(j=0；j n；j++)for(i=j；i n；i++)l[i][j]=a[i][j]；for(i=0；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[i][j]=a[i][j]；for(j=1；j n；j++)u[0][j]=u[0][j]/l[0][0]；for(k=1；k n；k++){for(j=k；j n；j++)for(i=j；i n；i++)l[i][j]-=l[i][k-1]*u[k-1][j]；for(i=k；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[i][j]-=l[i][k-1]*u[k-1][j]；for(i=k；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)u[k][j]=u[k][j]/l[k][k]；}d[0]=d[0]/l[0][0]；for(k=0；k 2；k++){for(i=k+1；i n；i++)d[i]-=d[k]*l[i][k]；d[k+1]/=l[k+1][k+1]；}for(i=0；i n；i++)x[i]=d[i]；for(k=n-2；k 2-n；k--)for(i=k；i-1；i--)x[i]-=x[k+1]*u[i][k+1]；for(j=0；j n；j++)for(i=j；i n；i++)printf("l[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,l[i][j])；printf("\n")；for(i=0；i n；i++)for(j=i+1；j n；j++)printf("u[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,u[i][j])；printf("\n")；for(i=0；i n；i++)printf("d%d=%f\n",i+1,d[i])；printf("\n")；printf("the result is：\n")；for(i=0；i n；i++)printf("Y%d=%f\n",i+1,x[i])；getch()；}结果：3用平方根法求解上述方程组(精度要求为)#include#define n3 void gauss(double a[n][n],double b[n]) { double sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0；double l[n][n],z[n],x[n],u[n][n]；int i,j,k；for(i=0；i n；i++)l[i][i]=1；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n；j++){if(i==j){for(k=0；k=i-2；k++) sum1+=pow(l[i][k],2)；l[i][j]=sqrt(a[i][i]-sum1)；}if(i j){for(k=0；k=j-2；k++) sum2+=l[i][k]*u[k][j]；l[i][j]=(a[i][j]-sum2)/l[j][j]；} }for(k=0；k=i-2；k++) sum3+=l[i][k]*z[k]；z[i]=(b[i]-sum3)/l[i][i]；for(i=n-1；i=0；i--){for(k=i；k=n-1；k++) sum4+=l[k][i]*x[k]；x[i]=(z[i]-sum4)/l[i][i]；}}for(i=0；i n；i++)printf("%.6f",x[i])；}main(){double v[3][3]={{3,-1,2},{-1,2,2},{2,-2,4}}；double c[3]={7,-1,0}；gauss(v,c)；}结果：4用列主元素法求解方程组(精度要求为)：#include#include#define n3 int main(){float u[n][n],l[n][n],d[n]={7,-1,0},x[n]；float a[n][n]={3,-1,2,-1,2,-2,2,-2,4}；int i,j,k；printf("equations：\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=0；j n-1；j++)printf("(%f)Y%d+",a[i][j],j+1)；printf("(%f)Y%d=%f",a[i][n-1],n,d[i])；printf("\n")；}printf("\n")；for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)l[i][j]=a[i][j]；for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)u[i][j]=a[i][j]；l[0][0]=sqrt(l[0][0])；u[0][0]=sqrt(u[0][0])；for(i=1；i n；i++)l[i][0]/=u[0][0]；for(j=1；j n；j++)u[0][j]/=l[0][0]；for(k=1；k 3；k++){for(j=0；j k；j++)l[k][k]-=pow(l[k][j],2)；l[k][k]=sqrt(l[k][k])；for(i=k+1；i n；i++)for(j=0；j k；j++)l[i][k]-=l[i][j]*l[k][j]；for(i=k+1；i n；i++)for(j=0；j k；j++)l[i][k]/=l[k][k]；}d[0]=d[0]/l[0][0]；for(k=0；k 2；k++){for(i=k+1；i n；i++)d[i]-=d[k]*l[i][k]；d[k+1]/=l[k+1][k+1]；}for(i=0；i n；i++)for(j=0；j n；j++)u[i][j]=l[j][i]；for(k=n-1；k 1-n；k--){x[k]=d[k]/u[k][k]；for(i=k-1；i-1；i--)d[i]=d[i]-u[i][k]*x[k]；}for(j=0；j n；j++){for(i=j；i n；i++)printf("l[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,l[i][j])；} printf("\n")；for(i=0；i n；i++){for(j=i；j n；j++)printf("u[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,u[i][j])；} printf("\n")；printf("the result is：\n")；for(i=0；i n；i++)printf("Y%d=%f\n",i+1,x[i])；}结果：四实验收获与教师评语。
数值分析实验报告之迭代法求解线性方程组
1、计算机一台。
2、安装IIS。
实验步骤
Step1：将文件中线性方程组的增广矩阵读入内存；
Step2：选择雅可比迭代法或者高斯-赛德尔迭代法；
Step3:初始化迭代初值，设置迭代次数上限；
Step3:开始迭代，产生迭代后的新根，计算此时的误差；
Step4:如果误差不满足要求，转到Step5，否则转到Step6。
实验流程图
实验结果
主界面效果截图
选择雅可比迭代法结果截图
实验结果
使用高斯-塞德尔迭代法结果截图：
第5问第一个线性方程组用雅可比迭代是失败的，但高斯-塞德尔迭代成功：
第5问第一个线性方程组用雅可比迭代是成功的，但高斯-塞德尔迭代是失败的：
Step5:判断是否达到迭代次数上限，若没有达到，让迭代次数加1，返回到Step3，若到达迭代上限，则本次实验迭代失败，输出失败信息。
Step6用表格方式输出线性方程组的解，过程法和高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组的解，编写程序的过程中，首先要对两个迭代法的数学原理十分熟悉，然后对程序的整个流程十分清楚才行。在实验中，我开始是对具体题目编写求解程序，虽然可以将具体的某一道题解出来，但是一旦线性方程组换成另一个，程序将无法求解，即编写的程序不能通用，于是，才开始设计能够实现求解线性方程组的通用算法，无论方程组是几阶方程组，只要知道它的增广矩阵（系数矩阵加常数项列），就可以使用这两个迭代算法求解。将线性方程组的增广矩阵存入文件，就可以通过查找文件名达到获取文件数据的效果。实验中，设置不同的初值，得到的迭代次数也非常不同，本实验我选择的初始值都是0。实验的第5问中，通过连两个迭代法的运用，发现确实是有的线性方程组用雅可比迭代法比高斯-塞德尔迭代法要快，有的线性方程组使用雅可比迭代法或高斯-塞德尔迭代法无法求解。因此，这两个迭代法也不是对所有的小行星方程组都是可以求解的，即使用这两个迭代法无法求解，线性方程组依然有可能有解。
【数值分析实验报告感想】数值分析实验报告
【数值分析实验报告感想】数值分析实验报告数值分析实验报告数值分析实验报告学院：姓名：实验一一、实验名称：线性方程组的直接解法二、实验目的：1、理解Gauss列主元素法和LU分解法的基本原理2、掌握Gauss列主元素法和LU分解法3、编写maTLaB程序实现Gauss列主元素法和LU分解法三、实验步骤及内容：使用Gauss列主元素法和LU分解法求解下列方程组：5.0x1?0.96x2?6.5x3?0.962.0x1?4.5x2?0.36x3?0.0200.50x1?1.1x2?3.1x3?6.01．基本计算公式：（一）Gauss列主元素法：主要包括消元和回代步骤：[1]消元过程：主要是把原方程组化为三角方阵的方程组也即lik?aik/akkaijk?1kkkbik?1?bik?likbk?aij?likakj与Gauss消元法的区别在于在每次消元前寻找该列绝对值最大的元素作为主元，然后进行消元。
[2]回代过程：按变量的逆序逐步回代可得到方程组的解：有xn?b/axk?(b?nnnnnkkkkax)/a?kllkk（n-1,n-2,?2,1,）nl?k?1根据以上公式可以求出方程的解。
（二）LU分解法：其基本思想是：对系数矩阵a进行分解，a?L?U,分别得到L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，最后通过两个三角方程组Ly?b和Ux?y，最后得出方程组的解。
2、基本程序设计：列主元素法消元法的maTLaB基本程序如下所示：function[x,det,flag]=Gauss(a,b)%求线性方程组的列主元Gauss消元法，其中%a为方程组的系数矩阵；%b为方程组的右端项；%x为方程组的解；%det为系数矩阵a的行列式的值；%flag为指标向量，flag='failure'表示计算失败，flag=‘oK’表示计算成功。
a=[5.00.966.5;2.04.50.36;0.501.13.1];b=[0.960.0206.0];[n,m]=size(a);nb=length(b)%当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出出错信息ifn~=merror('Therowandcolumnsofmatrixamustbeepual!'); return;end%当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，并输出错误信息ifn~=nberror('Thecolumnsofamustbeequalthelengthofb!')return;end%开始计算，先赋初值flag='oK';det=1;x=zeros(n,1);fork=1:n-1%选主元max1=0;fori=k:nifabs(a(i,k))>max1max1=abs(a(i,k));r=i;endendifmax1flag='failure';return; end%交换两行ifr>kforj=k:nz=a(k,j);a(k,j)=a(r,j);a(r,j)=z;endz=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det;end%消元过程fori=k+1:nm=a(i,k)/a(k,k);forj=k+1:na(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);endb(i)=b(i)-m*b(k);enddet=det*a(k,k);enddet=det*a(n,n);%回代过程ifabs(a(n,n))flag='failure';return; endfork=n:-1:1forj=k+1:nb(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/a(k,k);endx(k)=b(k)/a(k,k);endLU分解法求解线性方程组程序代码：functiony=isexist(a,b)[m,n]=size(a);[m1,n1]=size(b);ifm~=m1error('您的输入有误!!!'); return;endr=rank(a);s=rank([a,b]);ifr==s&r==ny=1;elseifr==s&ry=inf;elsey=0;endfunctionx=LUSeparation(a,b)flag=isexist(a,b);ifflag==0disp('该线性方程组无解!!!'); x==[];return;elser=rank(a);[m,n]=size(a);[L,U,p]=lu(a);b=p*b;y(1)=b(1);ifm>1fori=2:my(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1)';endendy=y';x0(r)=y(r)/U(r,r);ifr>1fori=r-1:-1:1x0(i)=(y(i)-U(i,i+1:r)*x0(i+1:r)')/U(i,i); endendx0=x0';ifflag==1x=x0;return;elseformatrat;z=null(a,'r');[m2,n2]=size(z);x0(r+1:n)=0;fori=1:n2;t=sym(char([10748+i]));k(i)=t;endx=x0;fori=1:n2x=x+k(i)*z(:,i);endendend下页数值分析实验报告四、实验结果：由列主元素消元法解的方程组的解为：在命令窗口中输入：LU分解法运行结果：五、总结：列主元素法相比高斯消元法而言，其避免了小主元的出现的问题，抑制了舍入误差的增长，使得计算结果相比而言误差较小。
迭代法解线性方程组-数值分析实验报告
数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组专业：信息与计算科学学号：*******-24*名：**指导教师：**成绩：二零一六年六月二十日一 、前言：（目的和意义）1.实验目的①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。
②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。
2.实验意义迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。
二、数学原理：设有方程组b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。
对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得向量序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x xk k =∞→，则*x 就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性1.雅可比迭代法基本原理设有方程组),,3,2,1(1n i b x aj j nj ij==∑= …①矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠ 从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式)(111j nj j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②取初始向量),,,()0()0(2)0(1)0(n x x x x=，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：)(111)()1(∑≠=++-=nj j i k j ij ii k ib x a a x…③ 也可记为矩阵形式： J x J k F B xk +==)()1( …④若将系数矩阵A 分解为A=D-L-U ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--=--00000000000000111211212211212222111211n n n nn n nn nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a U L D A式中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a D2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000121323121nn n n a a a a a a L ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000122311312n n n n a a a a a a U 。
数值分析-线性方程组的直接解法
U =
Columns 1 through 7
16.0000 10.0000 -11.0000 -9.0000 17.0000 34.0000 2.0000
0 4.5000 3.2500 -3.2500 10.2500 15.5000 -2.5000
0 0 -3.2222 10.2222 -3.7778 -3.4444 1.5556
fori=2:n
t=0;
fork=1:i-1
t=t+L(i,k)*b(k);
end;
b(i)=b(i)-t;
end;
y=b
x(n)=b(n)/U(n,n);
fori=n-1:-1:1
t=0;
fork=i+1:n
t=t+U(i,k)*x(k);
end;
x(i)=(y(i)-t)/U(i,i);
end;
ifk~=1
A(k:n,k)=A(k:n,k)-A(k:n,1:k-1)*A(1:k-1,k);
end
t=find(abs(A(k:n,k))==max(abs(A(k:n,k))));
t=t(1)+k-1;
flag(k)=t;
ift~=k
p=A(k,:); A(k,:)=A(t,:); A(t,:)=p;
A=[4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0;
8 6 -5 -3 6 5 0 1 0 0;
4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1;
0 -2 1 5 -1 3 -1 1 9 4 ;
-4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3;
8 6 -8 5 7 17 2 6 -3 5;
0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1;
工程数值分析实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，对工程实际问题进行建模、求解和分析。
通过学习数值方法的基本原理和算法，提高解决实际工程问题的能力。
二、实验内容1. 线性方程组的求解2. 矩阵特征值与特征向量的计算3. 函数插值与曲线拟合4. 数值微分与积分三、实验步骤1. 线性方程组的求解（1）编写程序实现高斯消元法、克劳斯消元法和列主元素法（2）设计输入界面，用户输入增广矩阵的行和列，填写系数及常数项（3）分别运用三种方法求解线性方程组，比较求解结果的正确性、数值稳定性和计算效率2. 矩阵特征值与特征向量的计算（1）编写程序实现幂法、QR算法和逆幂法（2）设计输入界面，用户输入矩阵的行和列，填写矩阵元素（3）分别运用三种方法计算矩阵的特征值与特征向量，比较求解结果的准确性和计算效率3. 函数插值与曲线拟合（1）编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值（2）设计输入界面，用户输入函数的自变量和函数值，选择插值方法（3）分别运用三种方法进行函数插值，比较插值结果的准确性和光滑性4. 数值微分与积分（1）编写程序实现有限差分法、龙格-库塔法和辛普森法（2）设计输入界面，用户输入函数的导数或积分的上下限，选择数值方法（3）分别运用三种方法进行数值微分和积分，比较求解结果的准确性和计算效率四、实验结果与分析1. 线性方程组的求解通过实验，我们发现列主元素法在求解线性方程组时具有较好的数值稳定性，计算效率也较高。
而高斯消元法和克劳斯消元法在处理大型稀疏矩阵时存在一定的困难。
2. 矩阵特征值与特征向量的计算实验结果表明，QR算法和逆幂法在计算矩阵特征值与特征向量时具有较高的准确性和计算效率。
幂法在处理大型稀疏矩阵时表现出较好的性能。
3. 函数插值与曲线拟合在函数插值和曲线拟合实验中，样条插值方法具有较好的准确性和光滑性。
拉格朗日插值和牛顿插值方法在处理简单函数时表现良好，但在处理复杂函数时可能存在精度问题。
数值分析实验报告_清华大学__线性代数方程组的数值解法
线性代数方程组的数值解法实验1. 主元的选取与算法的稳定性问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
实验要求：（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取n=10计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
1.1程序清单n=input('矩阵A 的阶数:n=');A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1);p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A); Ab=[A b];r=input('选主元方式(0:自动;1:手动)，r=');Abfor i=1:n-1switch rcase(0)[aii,ip]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=ip+i-1;case (1)ip=input(['第',num2str(i),'步消元，请输入第',num2str(i),'列所选元素所处的行数：']);end;Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);aii=Ab(i,i);for k=i+1:nAb(k,i:n+1)=Ab(k,i:n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:n+1);end;if r==1Abendend;x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);endx1.2运行结果(1)n=10，矩阵的条件数及自动选主元Cond(A,1) =2.5575×103Cond(A,2) = 1.7276×103Cond(A,inf) =2.5575×103程序自动选择主元（列主元）a.输入数据矩阵A的阶数:n=10计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=0b.计算结果x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T (2)n=10，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=10 计算条件数使用p-范数,p=1 选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2 …（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[1.000000000000000, 1.000000000000000, 1.000000000000000, 1.000000000000001, 0.999999999999998, 1.000000000000004, 0.999999999999993, 1.000000000000012, 0.999999999999979, 1.000000000000028]Tb. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=10 计算条件数使用p-范数,p=1选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3 …（实际选择时，第k 步选择主元处于第k+1行） 最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T (3)n=20，手动选主元a. 每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20 计算条件数使用p-范数,p=1 选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：1(2)(2) 6.0000 1.00007.00004.6667 1.0000 5.66678.0000 6.000015.0000[]8.00001.000015.00006.0000 1.00008.0000 6.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：2 …（实际选择时，第k 步选择主元处于第k 行） 最终计算得x=[1.000000000000000，1.000000000000000，1.000000000000000，1.000000000000001，0.999999999999998，1.000000000000004，0.999999999999993，1.000000000000014，0.999999999999972，1.000000000000057，0.999999999999886，1.000000000000227，0.999999999999547，1.000000000000902，0.999999999998209，1.000000000003524，0.999999999993179，1.000000000012732，0.999999999978173，1.000000000029102]T b. 每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元 矩阵A 的阶数:n=20 计算条件数使用p-范数,p=1 选主元方式(0:自动;1:手动)，r=1(1)(1)61786115[]861158614A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第1步消元，请输入第1列所选元素所处的行数：2(2)(2)8.0000 6.0000 1.000015.0000-3.50000.7500-4.250008.0000 6.0000 1.000015.0000[]8.0000 6.000015.00008.0000 1.00006.0000 1.000015.00008.0000 6.000014.0000A b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第2步消元，请输入第2列所选元素所处的行数：3…（实际选择时，第k步选择主元处于第k+1行）最终计算得x=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T(4)A分别为幻方矩阵，Hilbert矩阵，pascal矩阵和随机矩阵将计算结果列于下表：1.3简要分析计算(1)表明：对于同一矩阵，不同范数定义的条件数是不同的；Gauss消去法在消去过程中选择模最大的主元能够得到比较精确的解。
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0 0 0 0 0 0 0 1 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 1 3];
[n,n]=size(A);
L=zeros(n,n);
U=zeros(n,n);
fori=1:n
L(i,i)=1;
end
fork=1:n
forj=k:n
U(k,j)=A(k,j)-sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j)');
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
2、求解下面代数方程组的解
x =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3、jacobi迭代求下面方程组的解
数值分析实验报告
班级
姓名
学号
课程名称
数值分析
时间
地点
一、实验名称：
实验四、线性代数方程组直接解法、迭代法
二、实验目的：
1．高斯消去法的原理和计算步骤，理解迭代法基本原理及步骤；
2．了解顺序消去法能够实现的条件；
3．掌握矩阵的三角分解（即LU分解），平方分解的原理与步骤；
4. 利用LU分解、平方分解求解线性代数方程组.
5.利用Jacobi,Gauss-seidel迭代求解方程组
三、实验内容及要求：
1．编写LU分解matlab通用程序，并用该程序求下面矩阵的LU分解
试写出 , 阵。
2．编写平方分解matlab通用程序，并用该程序求解下面代数方程组的解：
其中
3.编写Jacobi、Gauss-seidel迭代法求解线性代数方程组通用程序，并利用Jacobi、Gauss-seidel迭代求下面方程组的解，精度控制为 （误差最大范数）.
End
以Fjacobi.m保存
a=[28 1 3;2 8 1; 2 -3 15];
b=[32 11 14]';
x0=[0 0 0]';
[x,k]=Fjacobi(a,b,x0,1e-3)
以jacobi保存
再运行程序jacobi
max1=300;%默认迭代300次
D=diag(diag(A));%求a的对角矩阵
end
fori=k+1:n
L(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)'))/U(k,k);
end
end
2、a=[1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
2 5 2 0 0 0 0 0 0 0
0 2 5 2 0 0 0 0 0 0
0 0 2 5 2 0 0 0 0 0
x =
1.0e+005 *
-0.3211
-0.3203
1.1929
k =
300
Gauss-seidel迭代求下面方程组的解
x =
14.7758
-19.5433
-5.8788
k =
300
六、讨论
直接法可以求得精确解是指就计算公式而言保证得到精确解，但计算机计算过程中的舍入误差是不可避免的，这种误差对解的精度影响会不会太大，也就是计算的稳定性，是要考虑的问题。直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量较小，但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。对于迭代法，其收敛性则是要考虑的问题。
U=-tril(A,1);%求a的上角
B=D\(L+U);%用左除比求矩阵的逆
f=D\b;
x=B*x0+f;
k=1;%迭代次数
while norm (x-x0)>=tol
x0=x;
x=B*x0+f;
k=k+1;
if(k>=maxl)
disp('迭代超过300次，方程可能不收敛'）；
return;
End%[k x']如果想显示每一步的迭代结果
return;
end
%[k x']如果想显示每一步的迭代结果
End
以Fgseid.m保存
a=[28 1 3;2 8 1; 2 -3 15];
b=[32 11 14]';
x0=[0 0 0]';
[x,k]=Fgseid(a,b,x0,1e-3)
以gseid.m保存
再运行程序gseid
八、成绩评定
教师签字：年月日
L=-tril(A,-1);%求a的下三角
U=-tril(A,1);%求a的上三角
G=(D-L)\U;%用左除比求矩阵的逆
f=(D-L)\b;
x=G*x0+f;
k=1;%迭代次数
while norm (x-x0)>=tol
x0=x;
x=G*x0+f;
k=k+1;
if(k>=max1)
disp('迭代超过300次，方程可能不收敛');
七、程序附录
1、function[L,U]=myLU(A)
A=[1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 3 2 0 0 0 0 0 0 0
0 1 3 2 0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 2 0 0 0 0 0
0 0 0 1 3 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 3 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 3 2 0 0
[l,u]=lu(a);
x=u\(l\b)
以LUfj.m保存文件
在执行LUfj
3、function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)
%tol是输入误差容限，x0是初值
maxl=300;%默认迭代300次
D=diag(diag(A));%求a的对角矩阵
L=-tril(A,-1);%求a的下三角
四、直接法的实验步骤：
步骤1：打开matlab，存储行列式值，并选主元
步骤2：对矩阵进行消元，再回代
步骤3：编写函数代码，保存并运行
…
五、直接法的实验结果：
1、矩阵分解结果
ans =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 2 5 2 0 0 0 0
0 0 0 0 2 5 2 0 0 0
0 0 0 0 0 2 5 2 0 0
0 0 0 0 0 0 2 5 2 0
0 0 0 0 0 0 0 2 5 2
0 0 0 0 0 0 0 0 2 5];
b=[5 18 27 36 45 54 63 72 81 68]';