第6章 工程力学

弯矩都达到最大值。
第6章 弯 曲 【例6.2】 如图6.9（a） 所示，简支梁AB上作用 一集中力偶M，试绘出梁 AB的剪力图和弯矩图。
A NA x1
M 1 C 1 (a) a x2 l 2 NB 2 B
Fs (b) 0 M/l M B x
(l－a)·M/l
(c)
A 0
C
B x
M·a/l
图 6.9
其单位为m3或mm3。对于常见的截面其抗弯截面系数分别如下。
(1) 矩形截面(如图6.14(a)所示)：
bh2 Wz 6
第6章 弯 曲 (2) 圆形截面(如图6.14(b)所示)：
Wz
d 3
32
(3) 圆环截面(如图6.14(c)所示)：
Wz
其中
D 3
32
(1 4 )
式中，C1为左段截面形心。 若取m-m截面右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左段 截面上等值、反向的剪力Ｆs′和弯矩M′，与左段截面上的剪力Fs和 弯矩M互为作用与反作用的关系。
为了使同一截面取左、右不同的两段时求得的剪力和弯矩符 号相同，把剪力和弯矩的符号规定为：使所取该段梁产生“左上 右下”的相对错动的剪力方向为正，反之为负，如图6.6所示； 使 所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负，如图6.7所示。
第6章 弯 曲
M
b 受压力 z
h
M
M o
y
y
o M
h
中性轴
受拉力 (a) (b)
图 6.13
第6章 弯 曲
从上图可以看出，离中性轴最远的梁的上、下边缘处正应
力最大， 最大正应力用符号σmax表示，其值为
max
Iz Iz 上式中, Wz ymax h /
M Wz
称为截面对中性轴z的抗弯截面系数，
第6章 弯 曲 解 (1) 求AB的支座反力，由力偶系平衡可得
M N A NB l
(2) 列剪力方程和弯矩方程。 1-1截面： 剪力方程为
弯矩方程为
M Fs1 l M M 1 x1 l
(0≤x1<a)
第6章 弯 曲 2-2截面：剪力方程为
M F s 2 l
弯矩方程为
M 1 4 x1
第6章 弯 曲 ② 对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图 6.8(c)所示。列平衡方程：
Fs 2 F N A 0
m
Fs 2 N A F 4 12 8kN
C2
M 2 F ( x2 2) N A x2 0 (2 x2 3)
max
Wz
[ ]
对于一般材料其抗拉强度与抗压强度相等时，［σ］采用材料 的许用拉(压)应力。 当材料的抗拉强度与抗压强度不相同，或 横截面相对中性轴不对称时， 应分别校核抗拉强度与抗压强度。 实际工程中，运用强度条件可以进行三方面计算：校核弯 曲强度、求许可载荷和设计截面尺寸。
第6章 弯 曲
第6章 弯 曲
第6章 弯 曲
6.1 弯曲的概念与实例 6.2 梁的内力与内力图 6.3 弯曲时的正应力与强度计算 *6.4 梁的变形 6.5 提高梁的承截能力的措施
*6.6 组合变形简介
思考与练习
第6章 弯 曲
6.1 弯曲的概念与实例
6.1.1 基本概念
q
F (a) (b)
图 6.1
第6章 弯 曲 以上构件的受力特点是：在通过构件轴线的平面内，受到 力偶或垂直于轴线的外力作用。其变形特点是：构件的轴线由
M=M(x)
以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程。
为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化
规律，可根据剪力方程和弯矩方程, 用横坐标x表示梁的横截面 的位置, 纵坐标分别表示剪力Fs和弯矩M的大小而画出的图形， 分别称为剪力图和弯矩图。
第6章 弯 曲 【例6.1】如图6.8 (a)所示，简支梁AB受集中截荷F=12kN， 试画出其剪力图和弯矩图。
第6章 弯 曲 解 （1）计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央 时，弯矩最大。
700 3 M max 525 N m 2 2
校核弯曲强度:
M max 525 103 max 2.52MPa [ ] 2 500 50 Wz 6
所以, 体重为700 N的工人走过是安全的。
既不伸长又不缩短，这一层称为中性层。中性层与横截面的交
线称为中性轴。中性层将横截面分为受拉区和受压区，在受拉 区或受压区内，纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比，这 表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比。由于每根 纵向纤维可以代表横截面上的一点，因此横截面上任意一点的
正应力与该点到中性轴的距离成正比。
第6章 弯 曲
(＋) Fs Fs Fs
(－) Fs
图 6.6
第6章 弯 曲
M
(＋)
M
(－)
M
M
图 6.7
第6章 弯 曲 6.2.2 剪力图和弯矩图 工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。 若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs
和弯矩M可以写成x的函数：
Fs=Fs(x)
100 2002 Wz 6
由梁的弯曲正应力强度条件得：

M max 4000F [ ] 2 100 200 Wz 6 100 2002 F 150 25 000N 6 4000
因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000N。
第6章 弯 曲 【例6.5】 某建筑工地上, 用长为l=3 m的矩形截面木板做跳 板, 木板横截面尺寸 b=500 mm, h=50 mm, 木板材料的许用应力 ［σ］=6 MPa, 试求： （1） 一体重为700N的工人走过是否安全？ （2） 要求两名体重均为700N的工人抬着1500 N的货物安 全走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
【例6.4】 如图6.15(a)所示，一矩形截面悬臂梁长l=4m，材
料的许用应力［σ］=150MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
F (a) l 1 00
200
M (b) 0 Fl x
图 6.15
第6章 弯 曲 解 绘出悬臂梁的弯矩图, 如图6.15(b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F。 梁的横截面抗弯截面系数为
第6章 弯 曲 (2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力，且作用在跳 板长度的中点时最危险，此处弯矩最大值为
M max
700 2 1500 3 2175 N m 2 2
M M2 M x2 l
(a<x2≤l)
第6章 弯 曲 (3) 绘制剪力图和弯矩图。 绘制剪力图，如图6.9（b）所示；绘制弯矩图，如图6.9 （c）所示。从弯矩图上可看出，集中力偶作用处其弯矩有突 变， 突变值等于集中力偶矩。
第6章 弯 曲
【例6.3】 如图6.10(a)所示，悬臂梁AB受均布载荷作用,试绘
Fs
M Fs F B NB
m m
(c)
图 6.5
第6章 弯 曲 首先，利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为
l a NA F, l
a NB F l
其次，假想地用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段进行分
析，如图6.5(b)所示。为了达到平衡，在m-m截面上必须作用一 个与NA等值、反向的力Fs 。NA与Fs 构成力偶，又有让梁顺时针
l
m
x
m (b) M Fs m Fs ql (c)
q B
0 M
l
x
(d)
0
x
1 ql2 2
图6.10
第6章 弯 曲
6.3 弯曲时的正应力与强度计算
P A B l C l P D
6.3.1 变形几何关系
Fs A 0 －P M Pl P B C D x
A 0
B
C
D
x
图 6.11
第6章 弯 曲 若将11和22所夹部分取出，如图6.12(c)所示。上部纤维缩短， 下部纤维伸长，根据变形的连续性，它们之间有一层纵向纤维
转动的趋势。为了达到转动平衡，截面上必须作用有一个力偶
M。图6.5中使梁的横截面发生错动的内力Fs称为剪力；使梁的 轴线发生弯曲的内力偶矩M称为弯矩。其大小可以由平衡条件 求出， 即:
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F N m
C1
A
Fs 0
M NA x
la Fs N A F l la M F x l
(d)
0
M
8 k N· m
图 6.8
B x
(e)
A 0
C
第6章 弯 曲
(2) 列剪力方程与弯矩方程。
① 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图 6.8(b)所示。列平衡方程：
Fs1 N A 0
m
Fs1 N A 4kN
C1
M1 N A x 0 (0 x1 2)
如图6.4(b)所示。
(3) 外伸梁： 梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁， 如 图6.4(c)所示。
第6章 弯 曲
A B
(a)
A (b)
B
A
B
(c)
图 6.4
第6章 弯 曲
6.2 梁的内力与内力图
6.2.1 剪力与弯矩
A (a) NA x a l A NA
M
m m
F B
NB
(b)
C1 m m
纵向对称面 q M F 对称轴
轴线
NA 弯曲后的轴线
NB
图 6.3
第6章 弯 曲 工程实践中，通常把作用在梁上的所有外力都简化在梁的 纵向对称平面内，且常把梁的轴线被弯曲成一条仍在纵向对称 平面内的光滑平面曲线的弯曲变形称为平面弯曲。