初等函数精品PPT课件
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5.2.1基本初等函数的导数课件(人教版)
5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为
p(t)= p0(1＋5%)t其中p0为t =0时的物价.假定某种商品
的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的
速度大约是多少(精确到0.01元/年)？
解 : 依题意得p(t ) 1.05 , p' (t ) 1.05 ln 1.05
, 其中a 0且a 1.
x ln a
1
特别地, 若f ( x) ln x, 则f ' ( x) .
x
巩固1：求函数的导数
1.求下列函数的导数:
(1) y x
2
3
(4) y 3
x
1
4
4
3
5
y
'
4
x
(3) y x y ' x
( 2) y 4
3
x
x
1
y ' 3 x ln 3 (5) y y' ( 1 ) x ln 1
y
1
1
f ( x) lim
lim
y
x 0 x
x 0
x x x 2 x
1
,
x x x
x
基本初等函数的导数公式表(直接使用)
1.若f ( x) c, 则f ' ( x) 0.
如 : f ( x) x , 则f ' ( x)
1
2 x
2.若f ( x) x , 则f ' ( x) x 1.
,
x
x
x
x( x x)x x( x x)
p(t)= p0(1＋5%)t其中p0为t =0时的物价.假定某种商品
的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的
速度大约是多少(精确到0.01元/年)？
解 : 依题意得p(t ) 1.05 , p' (t ) 1.05 ln 1.05
, 其中a 0且a 1.
x ln a
1
特别地, 若f ( x) ln x, 则f ' ( x) .
x
巩固1：求函数的导数
1.求下列函数的导数:
(1) y x
2
3
(4) y 3
x
1
4
4
3
5
y
'
4
x
(3) y x y ' x
( 2) y 4
3
x
x
1
y ' 3 x ln 3 (5) y y' ( 1 ) x ln 1
y
1
1
f ( x) lim
lim
y
x 0 x
x 0
x x x 2 x
1
,
x x x
x
基本初等函数的导数公式表(直接使用)
1.若f ( x) c, 则f ' ( x) 0.
如 : f ( x) x , 则f ' ( x)
1
2 x
2.若f ( x) x , 则f ' ( x) x 1.
,
x
x
x
x( x x)x x( x x)
基本初等函数的导数ppt课件
5．2 导数的运算 5．2.1 基本初等函数的导数
要点
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
π 3 ＝－
23，
∴切线方程为 y－12＝－ 23x－π3 ，即 y＝－ 23x＋ 36π＋12.
(2)已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离 最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时， 抛物线在点 P 处的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切 线的斜率为－1.
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(5 x2)′＝25x－35；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若直线 y＝x＋a 和曲线 y＝ln x＋2 相切，则实数 a 的值为( C )
A.12
B．2
C．1
3 D.2
解析 因为 y＝ln x＋2，所以 y′＝1x，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以 y′＝x10 ＝1，∴x0＝1.所以 y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选 C.
要点
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
π 3 ＝－
23，
∴切线方程为 y－12＝－ 23x－π3 ，即 y＝－ 23x＋ 36π＋12.
(2)已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离 最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时， 抛物线在点 P 处的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切 线的斜率为－1.
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(5 x2)′＝25x－35；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若直线 y＝x＋a 和曲线 y＝ln x＋2 相切，则实数 a 的值为( C )
A.12
B．2
C．1
3 D.2
解析 因为 y＝ln x＋2，所以 y′＝1x，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以 y′＝x10 ＝1，∴x0＝1.所以 y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选 C.
高中数学人教A版必修1第二章 基本初等函数——幂函数(共14张PPT)
f(x 1 )f(x2 )x 1x2(x 1x x 2 1 )+ (x x 2 1+x2)
x1 x2 x1 + x2
方法技巧:分子有理化
因 x 1 x 2 , x 为 1 , x 2 [ 0 , + ) 所 ,x 1 x 2 以 0 ,x 1 + x 2 0 ,
所 f(x 以 1 )f(x2 )即 , 幂 f(x) 函 x在 [0 数 ,+)上 的 .
课堂小结
(1) 幂函数的定义； (2)五个基本幂函数的图像画法及特征； (3) 幂函数的性质。
作业：P79习题2.3： 1，2，3。
谢谢指导
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了��
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
初等函数-课件PPT
(2)∵π4 ∈0，π2 ，∴fπ4 ＝－tanπ4 ＝－1， ∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
初等函数连续性市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
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左右极限至少有一种是无穷—无穷间断点
例4 判断 y x2 1 在 x 1 的连续性 x 1
解：定义域x x 1 x 1为 f x的间断点
又 lim f x lim x2 1
x1
x1 x 1
x 1为f x的无穷间断点
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求初等函数旳连续区间——求其定义域
例3 判断y x32 在x 1 的连续性 x 1
解：定义域x x 3且x 1x 1为 f x的间断点
lim f x lim x 3 2
x1
x1 x 1
x 3 2 x 3 2 lim
x1 x 1 x 3 2
lim 1 1 x1 x 3 2 4
x 1为 f x的可去间断点
习
定义旳点旳极限，只要求该点函数值即可
题 解 析
二、解答题
1 cos x
1
、判断函数fxx2 x12x0 在 x 0处
x0
是否连续。若连续，说明理由；若不连续指明
间断点的类型
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解： f 0 1
2
又 lim f x lim
x0
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
习
2 sin2 x
lim
2
1
题 解 析
x0
x 2
2
2 4
lim
x0
f
x
lim x0
x
1 2
1 2
lim f x lim f x f 0
x0
x0
y f x在点x 0处连续。
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人教A版高中数学必修1第二章 基本初等函数(1)2.1 指数函数课件(2)
栏目导引
3．设23－2x>0.53x－4，则x的取值范围是 ________． 解析： 23－2x>0.53x－4 ⇒23－2x>24－3x ⇒3－2x>4－3x ⇒x>1. 答案： {x|x>1}
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
4．函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的 最大值比最小值大a2，求 a 的值． 解析： 当 a>1 时，f(x)＝ax 为增函数，在 x∈ [1,2]上， f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a， ∴a2－a＝a2，即 a(2a－3)＝0， ∴a＝0(舍)或 a＝32>1，∴a＝32.
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
[题后感悟] 如何判断形如y＝af(x)(a>0且a≠1) 的函数的单调性？
方法一：利用单调性定义比较y1＝af(x1)与y2＝ af(x2)时，多用作商后与1比较． 方法二：利用复合函数单调性：当a>1时，函 数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当 0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反．
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
[解题过程] (1)∵x－1≠0，∴x≠1， ∴函数 y＝3x－1 1的定义域为{x|x≠1}， 又∵x－1 1≠0，∴y≠30＝1. ∴函数的值域为{y|y>0 且 y≠1}， (2)函数的定义域为 R ∵x2－4x＝(x－2)2－4≥－4， y＝12x 在 R 上是减函数 ∴0<12x2－4x≤12－4＝16. ∴函数的值域为(0,16]．
1.5基本初等函数、初等函数、复合函数PPT
求arccos x
在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
例 如 求 a 1 r ) ccos(
2
因 为 c 2 o 1 所 s 以 a r 1 ) 2 c cos
3 2
2 3
《微积分》(第三版) 电子教案
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
( 1 ) y 3 x 1 ; ( 2 ) y ( 1 l g x ) 5 ; ( 3 ) y e e x 2
答案：1.y 2cos2 x
2.(1)y u,u3x1
(2)yu5,u1v,vlgx
(3)yeu,uev,vx2
《微积分束
例1.15
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
《微积分》(第三版) 电子教案
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
《微积分》(第三版) 电子教案
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
基本初等函数及其图像精品PPT课件
9
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
y A sin x
10
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
y A rccos x
11
反正切函数 y arctan x
y arctan x
y A rc tan x
12
反余切函数 y arccot x
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
14
双曲正切
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
15
双曲函数常用公式
sh(x y) shxchy chxshy;
sin(x y) sin x cos y cos x sin y ;
ch(x y) chxchy shxshy;
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
自然对数函数y ln x loge x
3
4.三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
4
余弦函数 y cos x
y cos x
5
正切函数 y tan x
y tan x
D {x | x R, x (2n 1) }
y arthx
1 ln 1 x . 2 1 x
D : (1,1)
奇函数,
在 (1,1)内单调增加 .
y ar tanh x
19
.思考
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
20
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
y A sin x
10
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
y A rccos x
11
反正切函数 y arctan x
y arctan x
y A rc tan x
12
反余切函数 y arccot x
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
14
双曲正切
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
15
双曲函数常用公式
sh(x y) shxchy chxshy;
sin(x y) sin x cos y cos x sin y ;
ch(x y) chxchy shxshy;
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
自然对数函数y ln x loge x
3
4.三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
4
余弦函数 y cos x
y cos x
5
正切函数 y tan x
y tan x
D {x | x R, x (2n 1) }
y arthx
1 ln 1 x . 2 1 x
D : (1,1)
奇函数,
在 (1,1)内单调增加 .
y ar tanh x
19
.思考
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
20
人教版高中数学必修一基本初等函数复习课知识总结ppt课件
知识结构及知识梳理
指数 指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质 定义
图像及性质
指数函数 基本初等函数 对数与对数函数
定义 运算性质 对数 换底公式 定义 对数函数
图像和性质 幂函数 定义 图像和性质
根式的性质 (1)当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数， n 这时，a的n次方根用符号 表示. a (2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正 的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 n a 表示.正负两个n次方根 可以合写为 n a n a (a＞0) (3)
底数互为倒数 的两个指数函数
1 x y=a ,y=( ) 的函数图像关于 y a
x
轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1 y 0＜a＜1
y
图 象
o ①x∈ (0,+∞) ；
x
② y∈ R;
o ③过定点(1, 0)
x
性 质
④当x＞ 1时,y＞ 0, 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
练习：若 2
a
= 5
b
= 1 0,则
1
a
1
b
= _________ __ _ _ _.
课堂例题
例3. ( 1) 已知l g 2 = a ,l g 3 = b ,试用 a ,b表示l o g ; 12 5
(2) 已知l o g a ,b表示l o g . 2 3 = a ,l o g 3 7 = b ,试用 14 56
7．(2009年高考江苏卷改编)函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若 实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为 ________． 答案：m＞n
指数 指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质 定义
图像及性质
指数函数 基本初等函数 对数与对数函数
定义 运算性质 对数 换底公式 定义 对数函数
图像和性质 幂函数 定义 图像和性质
根式的性质 (1)当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数， n 这时，a的n次方根用符号 表示. a (2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正 的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 n a 表示.正负两个n次方根 可以合写为 n a n a (a＞0) (3)
底数互为倒数 的两个指数函数
1 x y=a ,y=( ) 的函数图像关于 y a
x
轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1 y 0＜a＜1
y
图 象
o ①x∈ (0,+∞) ；
x
② y∈ R;
o ③过定点(1, 0)
x
性 质
④当x＞ 1时,y＞ 0, 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
练习：若 2
a
= 5
b
= 1 0,则
1
a
1
b
= _________ __ _ _ _.
课堂例题
例3. ( 1) 已知l g 2 = a ,l g 3 = b ,试用 a ,b表示l o g ; 12 5
(2) 已知l o g a ,b表示l o g . 2 3 = a ,l o g 3 7 = b ,试用 14 56
7．(2009年高考江苏卷改编)函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若 实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为 ________． 答案：m＞n
高校工程数学第4节初等函数教学课件
ln 3 ( 2k 1)i .
( k 0, 1, 2,)
( k 0, 1, 2,)
三、乘幂ab与幂函数
在《高数》中知道，如果a为正数，b为实数，那么乘
幂ab可以表示为ab=ebln a，现在将它推广到复数的情形。
1、乘幂的定义 设a为不等于零的一个复数，b为任意一个复数，定义 乘幂ab为ebLn a，即 ab=ebLn a 注意：由于Ln a=ln |a|+i(arg a+2kπ)是多值的，因而ab 也是多值的。
( k 0, 1, 2,)
对数函数举例
[例3] 求下列各式的值:
(1)Ln( 2 3i ); ( 2)Ln( 3 3i ); ( 3)Ln( 3).
解
(1)Ln ( 2 3i )
ln 2 3i iArg(2 3i )
1 3 ln 13 i arctan 2k . 2 2
1、乘幂的定义
（1）当b为整数时，由于
所以ab具有单一的值； （2）当b=p/q（p和q为互质的整数，q>0）时，由于
1、乘幂的定义
ab具有q个值，即当k=0,1,2,…,(q–1)时相应的各个值。
除此而外，一般而论，ab具有无穷多的值。
乘幂的特殊情况
应当指出，(2.4.9)式所定义的乘幂ab的意义，当b为正整 数n及分数1/n时是与a的n次幂及a的n次根（参见第1章） 的意义完全一致的。因为 （1）当b为正整数n时，根据定义
乘幂的特殊情况
（2）当b为分数1/n时，有
其中，k=0,1,2,…,(n–1)。
幂函数的定义
如果 a z 为一复变数, 就得到一般的幂函数 w zb;
( k 0, 1, 2,)
( k 0, 1, 2,)
三、乘幂ab与幂函数
在《高数》中知道，如果a为正数，b为实数，那么乘
幂ab可以表示为ab=ebln a，现在将它推广到复数的情形。
1、乘幂的定义 设a为不等于零的一个复数，b为任意一个复数，定义 乘幂ab为ebLn a，即 ab=ebLn a 注意：由于Ln a=ln |a|+i(arg a+2kπ)是多值的，因而ab 也是多值的。
( k 0, 1, 2,)
对数函数举例
[例3] 求下列各式的值:
(1)Ln( 2 3i ); ( 2)Ln( 3 3i ); ( 3)Ln( 3).
解
(1)Ln ( 2 3i )
ln 2 3i iArg(2 3i )
1 3 ln 13 i arctan 2k . 2 2
1、乘幂的定义
（1）当b为整数时，由于
所以ab具有单一的值； （2）当b=p/q（p和q为互质的整数，q>0）时，由于
1、乘幂的定义
ab具有q个值，即当k=0,1,2,…,(q–1)时相应的各个值。
除此而外，一般而论，ab具有无穷多的值。
乘幂的特殊情况
应当指出，(2.4.9)式所定义的乘幂ab的意义，当b为正整 数n及分数1/n时是与a的n次幂及a的n次根（参见第1章） 的意义完全一致的。因为 （1）当b为正整数n时，根据定义
乘幂的特殊情况
（2）当b为分数1/n时，有
其中，k=0,1,2,…,(n–1)。
幂函数的定义
如果 a z 为一复变数, 就得到一般的幂函数 w zb;
高中数学必修1基本初等函数复习(上课)PPT课件
loge NlnN
(e2.71828)
9
4．积、商、幂的对数运算法则P65： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
loga (MN) loga Mloga N (1)
M loga N loga Mloga N (2) loga Mn nloga M (nR) (3)
aras ars
ar as
a rs
a则
x
负数的奇次方根是负数
n
a
（n为偶数）
正数的偶次方根有两个， 且互为相反数
注：负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作 n 0 0
根指数
na
被开方数
. 根式
3
公式1.
na
n
a.
公式2. n a n a .
当n为大于1的奇数时
公式3.n a n | a | .
当n为大于1的偶数时
.
10
2.换底公式
lo g a b llo o g g c c a b (a 0 ,且 a 1 ;c 0 ,且 c 1 ;b 0 )
注： loag blobg a1 二者互为倒数
.
11
题型一：指对运算
[例 1] (1)计算(0.027)－13－17－2＋27912－( 2－1)0；
1
(2)已知 10α＝2,10β＝3，求 1002α－3β.
a b ab ( 2 ) 已 l 2 3 o 知 , l g 3 7 o , g 试 , 表 用 l 1 5 o 示 4 .
.
16
1.指数函数的定义
定 义 ： 形 如 y a x(a 0 且 a 1 )的 函 数 称 为 指 数 函 数 ；
其 中 x 是 自 变 量 ， 函 数 的 定 义 域 为 R .
(e2.71828)
9
4．积、商、幂的对数运算法则P65： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
loga (MN) loga Mloga N (1)
M loga N loga Mloga N (2) loga Mn nloga M (nR) (3)
aras ars
ar as
a rs
a则
x
负数的奇次方根是负数
n
a
（n为偶数）
正数的偶次方根有两个， 且互为相反数
注：负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作 n 0 0
根指数
na
被开方数
. 根式
3
公式1.
na
n
a.
公式2. n a n a .
当n为大于1的奇数时
公式3.n a n | a | .
当n为大于1的偶数时
.
10
2.换底公式
lo g a b llo o g g c c a b (a 0 ,且 a 1 ;c 0 ,且 c 1 ;b 0 )
注： loag blobg a1 二者互为倒数
.
11
题型一：指对运算
[例 1] (1)计算(0.027)－13－17－2＋27912－( 2－1)0；
1
(2)已知 10α＝2,10β＝3，求 1002α－3β.
a b ab ( 2 ) 已 l 2 3 o 知 , l g 3 7 o , g 试 , 表 用 l 1 5 o 示 4 .
.
16
1.指数函数的定义
定 义 ： 形 如 y a x(a 0 且 a 1 )的 函 数 称 为 指 数 函 数 ；
其 中 x 是 自 变 量 ， 函 数 的 定 义 域 为 R .
初等函数—用初等方法讨论初等函数(初等数学课件)
4
方程有实数解的充要条件是 （6 y 2） 36(1 y ) 0,即y
3
2
2
例题讲解
1
例 2 求函数 y 2
的值域
x x 3
解：把函数变形为关于 x 的二次方程
yx 2 yx 3 y 1 0
当 y 0 时，方程无解，故 y 0 不在函数值域中。
f ( x1 ) f ( x2 )
1 1 x2 x1
x1 x2
x1 x2
， x1 x2 ，所以 x2 - x1 0，x1x2 0
因为 x1，x2 0，
即
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 )
因此
函数 f x
任何非零实数都是它的周期，但它没有最小正周期。
例题讲解
例 1 求函数 y cos 2 x 的最小正周期。
解 设 T 0 是函数 y cos 2 x 的周期，则对一切实数 x ，有
cos2 x T cos2 x
令 x0
2
，有 sin 2 T 0 。所以 T k k Z且k 0
数。
k
k为非零常数 是在 x f x 0, x M 上以 T 为最小正周期的
（2）函数
f x
周期函数。
cos x T cos x 2
2
令 x 0 ，有 cosT 2 1 ，所以 T 2k k N
例题讲解
2
cos 2 1 2k cos4k 1
所以 2 2 1 k 2n n Z ，从而
人教版高中数学基本初等函数(1)复习课(共21张PPT)教育课件
2 2
,
1
小结：1、构造两个函数，研究函数图象， 利用数形结合求解；
2、数形结合是解决方程、不等式的重要工具；
3、考查函数思想、数形结合思想、分类讨论思想
四、核心考点 突破练
例2：复习参考题B组第3题 (课后练习）
对于函数f
x
a
2 2x 1
a
R ：
1 探索函数f x的单调性；
2是否存在实数a使函数f x为奇函数？
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
专题1第3讲基本初等函数精品课件大纲人教版课件.ppt
第3讲│ 主干知识整合
2．指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质 (1)图象：均过定点(0,1)，图象均在第一和第二两个象限； 若底数 a＞1，则图象是上升的，若底数 0<a<1，则图象是下 降的．但虽然底数都大于 1(或者都大于 0 小于 1)，底数取不 同的值，其图象“高低”仍不相同，此时，我们可以根据指 数函数 y＝ax 的图象一定过点(1，a)加以区分，显然，在 y 轴 右侧，底数越大，则图象的位置越靠上． (2)性质：定义域均为 R；值域均为(0，＋∞)；当 a＞1 时 为增函数，当 0<a<1 时为减函数．
第3讲│ 要点热点探究
【点评】 本题考查函数、最值等基础知识，同 时考查运用数学知识解决实际问题的能力．解实际应 用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问 题抽象转化成数学问题，然后再用相应的数学知识去 解决．本题涉及分段函数的最值，处理时一定要逐段 进行讨论，对两段的结果进行比较后最后选择正确结 论．
第3讲 基本初等函数
第3讲 基本初等函数
第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 (1)二次函数的图象 ①二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，对 称轴方程是 x＝－2ba，顶点坐标是－2ba，4ac4－a b2. ②当 Δ＝b2－4ac＞0 时，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象 与 x 轴 的 两 交 点为 M(x1,0)， N(x2,0)， 则 有 |x1 － x2| ＝ b2－4ac |a| .
(1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上 某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大， 并求出最大值．(精确到 1 辆/小时)
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1.描述机械波的解析物理参量——波长、频率(周期)、波速
(1).波长(λ)：沿波传播直线上两个相邻同相点 （相位差为2π）之间的距离。
说明：一个波长范围内包含了一个“完整的波”，即包含了质 点振动的各种可能振动步调(相位)
波数( ~)：波长的倒数称为波数。或：单位长度所包含的完整
波的数目，称为波数。
当 x x0 时，波函数表示该点质点的振动方程
y( x0 , t ) Acos(t kx0 )
任意两点 x1， x2 的相位差为
( x1 , t ) ( x2 , t ) k( x2 x1 ) kx
x x2 x1 称为波程差。
相位差与波程差之间的关系 kx
当 x x2 x1 n（n N）时 2n 。两点振动的相位相同
振动的弹性介质（但不是所有的波都需要弹性介质） B.波动产生的物理机制：波是振动质点带动邻近质点
振动，由近及远向外传递振动的结果。是振动的向 外传递，不是介质质点自身向外运动的结果。 2.机械波的种类：纵波和横波 纵波：振动方向与波的传播方向垂直的波，称为纵波 纵波依靠介质纵向的弹性使振动由近及远向外传播。 纵波可在固体、液体、气体中传播。
y
平面波：波面为平面的波，称为平面波。
简谐波：传递简谐振动的波，称为简谐波
x
1.平面波的运动学方程——波函数
O
目的：描述距振源任一距离处质点的振动情况
设 t 时刻x=0的质元振动方程为
y(0, t) Acos(t )
设平面波的波速为v，则距离振源x点处的相位
(
x,
t
x v
)
(t
x v
)
y
x点处的振动方程为
(2).说明声音在空气和水中的频率为何保持不变
解：(1).空气中
1
u
340 200
1.7m
2
u
340 2000
0.17m
水中
1
u
1450 200
7.25m
2
u
1450 2000
0.725m
(2).在理想机械波模型下，介质中质点的振动频率始终与振源
振动频率相等。与传播的方向构成的曲线，称为波线。
波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同
波矢：特定的波线的矢量，
k
2
k0
称为波矢
其中 k0 为波矢的单位矢量
(2).波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面，称为波面
不同波面上振动的质点有一定的
相位差。相距一个波长的两波面 的相位差为2π
波面
波线
(3).波前：某时刻介质中刚开始振动的
点构成的曲面，或者位于所有波面 之前的波面
波前
A.波线与波面、波前一定垂直。 B.波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程 C.理想机械波模型中，波前的相位一定等于振源的初相位
证明：设振源的简谐振动为 x Acos(t ) 任意时刻t振源的相位为 (t) t
y( x, t )
Acos (
x,t)
Acos(t
ω
v
x
)
O
x
或者写为
y( x, t )
Acos 2
(Tt
x
2
)
波函数的标准形式
y( x, t )
Acos 2
(t
x
2
)
y( x, t) Acos(t kx )
讨论：波函数的物理意义
k
2
k0
A.波函数表示沿波线方向振动状态的周期性分布
将波函数改写为标准形式为 y( x, t) 0.04cos 2 (0.t02 0x.5)
与波函数的标准形式对比可得
A 0.04m
T 0.02s
~
1
(2).频率( )：单位时间内给定的完整波的个数。
周期(T)：传递一个完整波所需的时间。或：频率的倒数
(3).波速( v )：单位时间波向外传播完整波数对应的距离
说明：波的传播速度等于振动的相位传播速度
波长、频率、相位之间的普适关系
v
T
2.描述机械波的辅助物理参量——波线、波面、波前(几何描述)
性摸量(G，固体)。 横波的特征是有稀密相间的不同介质区域。
二 理想机械波模型
1.振源与弹性介质保持相对静止 ——介质振动频率与振源振动频率相同。 A.从机械波产生的物理机制角度理解。 B.稳定、无阻尼受迫振动的振动频率与受迫力频率相等
2.弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变 三 描述机械波的物理参量
设机械波传递到波前处所需时间为t，考虑到介质质点振动 频率与振源振动频率相等，如所有介质质点振动采用同一
记时起点，则波前的相位比振源相位落后 t
于是，t 时刻波前的相位为 (t) (t) t (t ) t
例：声音在空气和水中的波速分别为340m/s，1450m/s。 求：(1).频率分别为200Hz，2000Hz的声波在空气、水中的波长
波形向前推进 n 的距离(波形向前推进的速度为v)。 例：已知平面简谐波的波动方程 y( x, t) 0.04cos (4x 100t)
求：1.波的振幅、周期、频率、波长
2.距波源 处质点的振动方程
2 3.距波源x1=0.20m，x2=0.40m两处的相位差。 解：1.由于波函数的标准形式能直接读出振幅、周期、波长， 因此，在求波函数的基础物理量时，一般将波函数改写 为波函数的标准形式来求解
第一篇 力 学
第五章 波动学基础
内容结构
一 波动的运动学规律 (引入运动学参量、运动学方程、波动的合成)
二 波动的动力学规律
三 波动的能量 四 多普勒效应
§5-1 波动的运动学规律
一 有关机械波的基本概念
1.机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 说明：A.机械波产生的前提条件是：存在波源；存在传播
当x x2 x1 (2n 1) （n N）时 (2n 1) 。两点振动的相位相反
B.波函数表示各质点相对于各自平衡位置的位移分布 当t t0时，波函数表示各质点相对于各自平衡位置的位移分布
y( x, t0 ) Acos(t0 kx ) 当 t nT （ n N ）时，x nT n，
影响纵波的传播速度的因素有：介质的密度；介质的杨氏弹 性模量(Y，固体)，体变模量(B，液体、气体)等。
纵波的特征是有凹凸的波峰、波谷。
横波：振动方向与传播方向平行的波称为横波 横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播
横波只能在固体中传播。 影响横波的传播速度的因素有：介质的密度；介质的切变弹
(1).波长(λ)：沿波传播直线上两个相邻同相点 （相位差为2π）之间的距离。
说明：一个波长范围内包含了一个“完整的波”，即包含了质 点振动的各种可能振动步调(相位)
波数( ~)：波长的倒数称为波数。或：单位长度所包含的完整
波的数目，称为波数。
当 x x0 时，波函数表示该点质点的振动方程
y( x0 , t ) Acos(t kx0 )
任意两点 x1， x2 的相位差为
( x1 , t ) ( x2 , t ) k( x2 x1 ) kx
x x2 x1 称为波程差。
相位差与波程差之间的关系 kx
当 x x2 x1 n（n N）时 2n 。两点振动的相位相同
振动的弹性介质（但不是所有的波都需要弹性介质） B.波动产生的物理机制：波是振动质点带动邻近质点
振动，由近及远向外传递振动的结果。是振动的向 外传递，不是介质质点自身向外运动的结果。 2.机械波的种类：纵波和横波 纵波：振动方向与波的传播方向垂直的波，称为纵波 纵波依靠介质纵向的弹性使振动由近及远向外传播。 纵波可在固体、液体、气体中传播。
y
平面波：波面为平面的波，称为平面波。
简谐波：传递简谐振动的波，称为简谐波
x
1.平面波的运动学方程——波函数
O
目的：描述距振源任一距离处质点的振动情况
设 t 时刻x=0的质元振动方程为
y(0, t) Acos(t )
设平面波的波速为v，则距离振源x点处的相位
(
x,
t
x v
)
(t
x v
)
y
x点处的振动方程为
(2).说明声音在空气和水中的频率为何保持不变
解：(1).空气中
1
u
340 200
1.7m
2
u
340 2000
0.17m
水中
1
u
1450 200
7.25m
2
u
1450 2000
0.725m
(2).在理想机械波模型下，介质中质点的振动频率始终与振源
振动频率相等。与传播的方向构成的曲线，称为波线。
波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同
波矢：特定的波线的矢量，
k
2
k0
称为波矢
其中 k0 为波矢的单位矢量
(2).波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面，称为波面
不同波面上振动的质点有一定的
相位差。相距一个波长的两波面 的相位差为2π
波面
波线
(3).波前：某时刻介质中刚开始振动的
点构成的曲面，或者位于所有波面 之前的波面
波前
A.波线与波面、波前一定垂直。 B.波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程 C.理想机械波模型中，波前的相位一定等于振源的初相位
证明：设振源的简谐振动为 x Acos(t ) 任意时刻t振源的相位为 (t) t
y( x, t )
Acos (
x,t)
Acos(t
ω
v
x
)
O
x
或者写为
y( x, t )
Acos 2
(Tt
x
2
)
波函数的标准形式
y( x, t )
Acos 2
(t
x
2
)
y( x, t) Acos(t kx )
讨论：波函数的物理意义
k
2
k0
A.波函数表示沿波线方向振动状态的周期性分布
将波函数改写为标准形式为 y( x, t) 0.04cos 2 (0.t02 0x.5)
与波函数的标准形式对比可得
A 0.04m
T 0.02s
~
1
(2).频率( )：单位时间内给定的完整波的个数。
周期(T)：传递一个完整波所需的时间。或：频率的倒数
(3).波速( v )：单位时间波向外传播完整波数对应的距离
说明：波的传播速度等于振动的相位传播速度
波长、频率、相位之间的普适关系
v
T
2.描述机械波的辅助物理参量——波线、波面、波前(几何描述)
性摸量(G，固体)。 横波的特征是有稀密相间的不同介质区域。
二 理想机械波模型
1.振源与弹性介质保持相对静止 ——介质振动频率与振源振动频率相同。 A.从机械波产生的物理机制角度理解。 B.稳定、无阻尼受迫振动的振动频率与受迫力频率相等
2.弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变 三 描述机械波的物理参量
设机械波传递到波前处所需时间为t，考虑到介质质点振动 频率与振源振动频率相等，如所有介质质点振动采用同一
记时起点，则波前的相位比振源相位落后 t
于是，t 时刻波前的相位为 (t) (t) t (t ) t
例：声音在空气和水中的波速分别为340m/s，1450m/s。 求：(1).频率分别为200Hz，2000Hz的声波在空气、水中的波长
波形向前推进 n 的距离(波形向前推进的速度为v)。 例：已知平面简谐波的波动方程 y( x, t) 0.04cos (4x 100t)
求：1.波的振幅、周期、频率、波长
2.距波源 处质点的振动方程
2 3.距波源x1=0.20m，x2=0.40m两处的相位差。 解：1.由于波函数的标准形式能直接读出振幅、周期、波长， 因此，在求波函数的基础物理量时，一般将波函数改写 为波函数的标准形式来求解
第一篇 力 学
第五章 波动学基础
内容结构
一 波动的运动学规律 (引入运动学参量、运动学方程、波动的合成)
二 波动的动力学规律
三 波动的能量 四 多普勒效应
§5-1 波动的运动学规律
一 有关机械波的基本概念
1.机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 说明：A.机械波产生的前提条件是：存在波源；存在传播
当x x2 x1 (2n 1) （n N）时 (2n 1) 。两点振动的相位相反
B.波函数表示各质点相对于各自平衡位置的位移分布 当t t0时，波函数表示各质点相对于各自平衡位置的位移分布
y( x, t0 ) Acos(t0 kx ) 当 t nT （ n N ）时，x nT n，
影响纵波的传播速度的因素有：介质的密度；介质的杨氏弹 性模量(Y，固体)，体变模量(B，液体、气体)等。
纵波的特征是有凹凸的波峰、波谷。
横波：振动方向与传播方向平行的波称为横波 横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播
横波只能在固体中传播。 影响横波的传播速度的因素有：介质的密度；介质的切变弹